ALC - P1 - Estudo do Produto Escalar e Produto Vetorial no Geogebra

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ROTEIRO DE PRÁTICA 
Tema 
Estudo do Produto Escalar e Produto Vetorial no 
GeoGebra Unidade 01 
Disciplina (s) ▪ Álgebra Linear Computacional 
Data da última 
atualização 
03/02/2020 
 
I. Instruções e observações 
 
LEIA COM ATENÇÃO AS SEGUINTES INSTRUÇÕES E OBSERVAÇÕES 
1. É importante o conhecimento prévio do conteúdo sobre vetores, produto escalar e produto vetorial. 
2. É imprescindível ter o roteiro da prática em mãos. 
3. 
 
II. Materiais 
Descrição Quantidade 
Software GeoGebra 3D Online 
Roteiro da prática 1 
Calculadora científica 1 
III. Introdução 
A compreensão dos conceitos, bem como a execução dos cálculos, que envolvem os temas Produto Escalar e 
Produto Vetorial são de suma importância aos estudantes e profissionais das Engenharias/Ciências. Tal importância 
surge da grande variedade de aplicações desses produtos nas diversas disciplinas e na modelagem de problemas 
típicos dessas áreas. Entre outras aplicações, podemos citar: 
▪ Cálculo de ângulos, áreas e volumes. 
▪ Determinação do momento de uma força. 
▪ Trabalho realizado por uma força. 
▪ Fluxo de água através de uma mangueira. 
Nessa atividade, você utilizará o software GeoGebra (https://www.geogebra.org/) para determinação do ângulo e 
do produto vetorial entre dois vetores, além do cálculo da área de um triângulo. 
 
 
 
 
 
IV. Objetivos de Aprendizagem 
 
https://www.geogebra.org/
 
 
 
 
▪ Ao término desta atividade o aluno deverá ser capaz de determinar o ângulo e o produto vetorial entre dois 
vetores, bem como calcular a área de um triângulo a partir do produto vetorial. 
▪ Utilizar o software GeoGebra para determinação do ângulo e do produto vetorial entre dois vetores. Além disso, 
usando a ferramenta de medição, calcular a área de um triângulo. 
 
 V. Experimento 
 
ETAPA 1: determinação do ângulo entre dois vetores 
 
PASSO 1: Esboce, no GeoGebra 3D, os vetores �⃗� = (1,1,1) e 𝑣 = (1,1,3). O Geogebra reconhece os vetores a partir 
de letras minúsculas. 
 
PASSO 2: Ainda usando o GeoGebra, insira três pontos no espaço, sendo eles a origem do sistema de coordenadas 
cartesianas e as extremidades dos vetores já representados: 𝐴 = (0,0,0), 𝐵 = (1,1,1) e 𝐶(1,1,3). Esses pontos 
servirão para identificarmos o ângulo entre os vetores �⃗� e 𝑣 , conforme PASSO 3 abaixo. 
 
PASSO 3: Usando a ferramenta de medição ÂNGULO , clique sequencialmente nos pontos 𝐵→𝐴→𝐶. Qual o 
ângulo apresentado? 
 
 
α = Ângulo (B, A, C) 
→29,5° 
 
 
 
 
 
PASSO 4: Calcule, usando a fórmula abaixo, o ângulo entre os vetores �⃗� e 𝑣 e compare o resultado com o valor 
encontrado no PASSO 3. 
�⃗� ∙ 𝑣 = |�⃗� | |𝑣| cos (�⃗� , 𝑣 ) 
 
 
 
𝐶𝑜𝑠 (𝜃) = 
�⃗⃗� ,�⃗� 
|�⃗⃗� |.|�⃗� |
=
(1,1,1) . (1,1,3)
√1+1+1 . √1+1+3
= 
5
√33
 ≅ 0,87 
 
cos−1(0,87) = 29,5° 
 
É obtido o mesmo resultado 29,5° 
 
 
 
 
ETAPA 2: determinação do produto vetorial 
 
PASSO 5: Calcule, no espaço abaixo, o produto vetorial entre os vetores �⃗� e 𝑣 . 
 
 
Produto Vetorial 
 
𝑤 = |
𝑖 𝑗 𝑘
1 1 1
1 1 3
| = |
1 1
1 3
|
𝑖
→ − |
1 1
1 3
|
𝑗
→ + |
1 1
1 1
|
𝑘
→ = 2
𝑖
→ −2
𝑗
→ +0
𝑘
→ ∴ 𝑤 = (2,−2, 0) 
 
 
 
PASSO 6: Usando o GeoGebra, represente o vetor �⃗⃗� = �⃗� × 𝑣 . Para isso, digite a função �⃗⃗� = �⃗� ⊗ 𝑣 . Compare o 
resultado com o vetor determinado no PASSO 5. 
Observação: o operador ⊗ pode ser encontrado a partir do seguinte procedimento: 
 
 
 
 
 
PASSO 7: Usando o mesmo procedimento realizado nos PASSOS 2 e 3, identifique o ângulo entre os pares de 
vetores (�⃗� , �⃗⃗� ) e (𝑣 , �⃗⃗� ). O resultado verificado era previsível? Por quê? 
 
 
Sim, o resultado foi previsível, foram obtidos ângulos de 90°. 
O produto vetorial gera um vetor ortogonal aos vetores que de origem. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ETAPA 3: determinação da área de um triângulo a partir do produto vetorial 
 
PASSO 8: Utilizando a ferramenta de esboço de polígonos , clique nos pontos 𝐴, 𝐵 e 𝐶 para representar o 
triângulo 𝐴𝐵�̂�. 
 
PASSO 9: Identifique a área do polígono 𝐴𝐵�̂�, clicando na ferramenta de medição de área e, em sequência, 
no polígono representado. Qual o valor da área encontrada? 
 
 
Área de A, B, C = 1,41 
 
 
 
 
 
PASSO 10: Utilize produto vetorial para comprovar o resultado encontrado no PASSO 9. Lembrete: 𝐴 =
1
2
|�⃗� × 𝑣 |. 
 
 
Sabendo que: 𝑤 = 
𝑢
→ ⊗
𝑣
→ = (2,−2, 0) 
 
𝐴 = 
1
2
. |2,−2, 0| = 
1
2
 . 2,83 ≅ 1,41 
 
Podemos observar que a área da figura é numericamente igual ao produto vetorial da área do paralelograma 
divido por dois. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Moacir Domingos da Silva Junior Matrícula: 2019200649 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
VII. Referências 
 
▪ PAULO WINTERLE. Vetores e geometria analítica, 2ed. Pearson 256 ISBN 9788543002392. 
 
▪ SANTOS, Fabiano José dos. Geometria analítica. Porto Alegre ArtMed 2009 1 recurso online ISBN 9788577805037.