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Aula 8 – Análise Vetorial 
 
 
 
CURSO DE FÍSICA 
AULA 8 – ANÁLISE VETORIAL 
PROF. FABRÍCIO SCHEFFER - FÁBRIS 
 
 
 
 
Aula 8 – Análise Vetorial 
Aula 8 – Análise Vetorial 
8.1 Grandeza Escalar e Vetorial 
Grandeza: é tudo que pode ser medido. 
Grandeza Escalar: é aquela que fica perfeitamente 
definida quando conhecemos o seu valor numérico e a sua 
unidade de medida. Massa, tempo, comprimento e energia 
são exemplos de grandezas escalares. 
Ex: Um corpo de massa 2 kg. 
Valor numérico: 2 
Unidade de medida: kg 
Grandeza Vetorial: é aquela que fica perfeitamente 
definida, quando conhecemos além do valor numérico e da 
unidade de medida a direção e o sentido. Velocidade, 
aceleração e força são exemplos de grandezas vetoriais. 
Módulo (ou valor numérico): representa o 
valor numérico ou a intensidade da grandeza. 
Direção: Podemos dizer que a direção é uma 
propriedade comum a retas paralelas (vertical, 
horizontal, oblíqua...). 
Sentido: O sentido é considerado a orientação 
sobre uma direção (para esquerda, para leste, 
para cima, para o sul...) 
Assim, na direção horizontal o sentido pode ser 
para a direita ou para a esquerda, e na direção vertical o 
sentido pode ser para cima ou para baixo. 
Ex: Um carro se move em uma estrada retilínea e plana 
com velocidade igual a 80 km/h . 
Módulo (valor numérico): 80 
Unidade de medida: kg 
Direção: horizontal (com relação ao chão) 
Sentido: vai depende do referencial adotado (o que 
será estudado no próximo módulo) 
 
8.2 Adição de Escalares 
A soma de grandezas escalares é a soma algébrica 
das grandezas físicas. 
Ex: 1 hora + 3 horas = 4 horas 
 
8.3 Adição de Vetores 
Existem mais de uma maneira de se somar dois ou 
mais vetores. 
1° Método do Paralelogramo: Quando o ângulo 
formado ente os vetores é diferente de 90°, de 0° e de 
180° (oblíquo): 
 
 
 
 
 
Exemplo: 
Determine o módulo da soma de dois vetores, um de 
módulo 4 m e outro de módulo 3 m e que formam um 
ângulo de 30º entre eles. 
Resolvendo: 
 √ 
 √ 
 √ √ 
 m 
 
 
2° Método do Polígono: Método para somar 
geometricamente dois ou mais vetores bidimensionais. 
(1) Desenhe o vetor ⃗ em uma escala conveniente e 
no ângulo apropriado. 
(2) Desenhe o vetor ⃗⃗ na mesma escala, com a 
origem na extremidade do vetor ⃗, também no 
ângulo apropriado. 
(3) Desenhe o vetor ⃗ na mesma escala, com a 
origem na extremidade do vetor ⃗⃗, também no 
ângulo apropriado. 
(4) O vetor soma ⃗ é o vetor que vai da origem de ⃗ à 
extremidade de ⃗. 
 
 
 
 
 
 
 
a
b

a
b
 
 
Aula 8 – Análise Vetorial 
3° Com mesma direção e mesmo sentido: Quando o 
ângulo formado entre os vetores é igual a 0° (paralelos). 
 
 
Exemplo: 
Determine a soma de dois vetores de mesma direção e 
mesmos sentido, com módulos iguais a 6 cm e 3 cm. 
Resolvendo: 
 6 cm 3 cm 
 
 
 
4° Com mesma direção e sentidos postos: Quando o 
ângulo formado entre os vetores é igual a 180° 
(antiparalelos). 
 
 
Exemplo: 
Determine a soma de dois vetores de mesma direção mas 
com sentidos opostos, com módulos iguais a 6 cm e 3 cm. 
Resolvendo: 
 6 cm 3 cm 
 
 
 
 
5° Ortogonais: Quando o ângulo formado ente os 
vetores é igual a 90° (perpendiculares). 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: 
Determine a soma de dois vetores perpendiculares entre 
si, com módulos iguais a 6 cm e 3 cm. 
Resolvendo: 
 3 cm 6 cm 
 
 √ √ √ 
8.4 Diferença de Dois Vetores 
 
 
 
 
 
 
 
 ⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗ 
 
 √ 
 
Exemplo: 
Determine a diferença entre dois vetores, um de módulo 4 
m e outro de módulo 3 m e que formam um ângulo de 30º 
entre eles. 
Resolvendo: 
 √ 
 √ 
 √ √ 
 m 
 
8.5 Componentes ortogonais de um vetor 
O processo de obter as componentes de um vetor 
é chamado de decomposição do vetor. Uma componente 
de um vetor é a projeção do vetor em um eixo 
(componente horizontal - - e componente vertical - ). 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: 
Quais são as componentes horizontal e vertical de um 
vetor cujo o módulo é 21 km e que faz um ângulo de 22° 
com o eixo x. 
Resolvendo: 
 
 
Exercícios 
1. (FURG) Quais das grandezas físicas, abaixo, são vetoriais? 
a) velocidade, deslocamento, massa, força, trabalho. 
b) pressão, velocidade, força, aceleração, deslocamento. 
c) energia, força, aceleração, quantidade de movimento. 
d) força, quantidade de movimento, aceleração, pressão e 
deslocamento. 
e) quantidade de movimento, força, aceleração, deslocamento e 
velocidade. 
 
2. (FURG) Observando as grandezas vetoriais representadas abaixo, 
através de vetores, podemos afirmar que 
 
 ⃗ ⃗⃗ ⃗ 
a) elas possuem direções diferentes 
b) elas possuem direções e sentidos diferentes 
c) ⃗ e ⃗⃗ possuem direções opostas a de ⃗. 
d) ⃗ e ⃗⃗ possuem sentidos opostos ao de ⃗. 
e) elas possuem o mesmo sentido. 
 
 
𝒂𝒙 𝒂𝒄𝒐𝒔𝜽 
𝒂𝒚 𝒂 𝒔𝒆𝒏 𝜽 
 
 
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3. (PUC/CAMPINAS-SP) A soma de dois vetores ortogonais, isto é, 
perpendiculares entre si, um de módulo 12 e outro de módulo 16, terá 
módulo igual a: 
a) 4 
b) um valor compreendido entre 12 e 16 
c) 20 
d) 28 
e) um valor maior que 28 
 
4. (UNIFOR) A soma de dois vetores de módulos 12 N e 18 N tem 
certamente módulo compreendido entre: 
a) 6 N e 18 N 
b) 6 N e 30 N 
c) 12 N e 18 N 
d) 12 N e 30 N 
e) 29 N e 31 N 
 
5. (PUC-PR) Em uma partícula atuam duas forças de 50 N e 120 N, 
perpendiculares entre si. O valor da força resultante é: 
a) 130 N b) 170 N c) 70 d) 6.000 N e) 140N 
 
6. (FURG) Um avião movimenta-se para leste com velocidade constante 
de 600 km/h em relação à terra, enquanto um outro movimenta-se para 
norte, também com velocidade constante, em relação à terra, mas de 
módulo igual a 800 km/h. Qual o módulo da velocidade relativa entre os 
aviões? 
a) 1400 km/h 
b) 20 km/h 
c) 10000 km/h 
d) 1000 km/h 
e) km/h 
 
7. (FURG) Um helicóptero, partindo do chão, sobe 1500 m na vertical e, 
num vôo horizontal, percorre 3 km em trajetória retilínea. Em seguida, 
mantendo o vôo horizontal, percorre 4 km numa nova trajetória retilínea 
que faz um ângulo de 90 graus com a anterior. Finalmente, desce 
verticalmente os 1500 m, pousando no chão. O deslocamento total do 
helicóptero, em módulo, vale: 
a) 3354 m 
b) 5431 m 
c) 5000 m 
d) 10000 m 
e) 10500 m 
 
8. Dois vetores ⃗ e ⃗⃗ de módulos 2 cm e 3 cm devem ser associados de 
modo a produzir uma resultante √ cm. Determine o ângulo que devem 
fornecer entre si. 
9. Dados os vetores ⃗ e ⃗⃗, de módulo 10 cm e 8 cm, respectivamente, e 
que formam entre si um ângulo de 60º determine o módulo dos vetores: 
a) ⃗ = ⃗ + ⃗⃗ 
 
b) ⃗⃗⃗ = ⃗ - ⃗⃗ 
 
10. O valor máximo do módulo da soma de dois vetores é 20 cm e o 
valor mínimo é 4 cm. Calcular o módulo de cada vetor. 
 
11.Três vetores de módulos iguais podem ser arranjados de forma a 
terem resultante nulo? Justifique. 
 
12. (UFMG) Dado o diagrama abaixo, pergunta-se qual a expressão 
correta: 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
 
13. Duas forças de módulo F e uma de módulo F/2 atuam sobre uma 
partícula de massa m, sendo as suas direções e sentidos mostrados na 
figura. 
A direção e o sentido da força resultante é mais bem representado pela 
figura da alternativa 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) b) c) d) e) 
 
 
14. (PUC-CAMPINAS) Submetida à ação de três forças constantes, 
uma partícula se move em linha reta com movimento uniforme. A figura a 
seguir representa duas dessas forças. A terceira força tem módulo: 
 
a) 5 N 
b) 7 N 
c) 12 N 
d) 13 N 
e) 17 N 
 
 
15. (UEPG-PR) Quando dizemos que a velocidade de uma bola é de 20 
m/s, horizontal e para a direita, estamos definindo a velocidade como 
uma grandeza: 
a) escalar. 
b) algébrica. 
c) linear. 
d) vetorial. 
e) Nenhuma das anteriores. 
 
16. (UFPI) A resultante dos vetores ⃗⃗ ⃗⃗ e ⃗⃗⃗⃗⃗ é melhor representada por: 
 
a) b) c) 
 
d) e) 
 
 
17. (VUNESP-SP) Duas forças, cujos módulos (intensidades) são 
diferentes de zero, atuam juntas sobre um ponto material. O módulo da 
resultante dessas forças será máximo quando o ângulo entre elas for: 
 
a) 0o b) 45o c) 60o d) 90o e) 180o 
 
18. Ache o módulo das componentes retangulares dos vetores indicados 
nas figuras. 
 
 
Gabarito 
1) e 2) d 3) c 4) b 5) a 6) d 7) c 8) 60° 9) a) √ cm b) √ 
cm ; 10) 12 e 8 11) SIM 12) d 13) Ee 14) d 15) d 16) a 17) a 
18) a) ax= 20cm ay= 20 cm b) bx=10 m by= 10 m 
 
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