Aerodinâmica Básica Cap 4

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Aerodinâmica Básica Cap 4
Anderson Jr., John D.. Fundamentos de engenharia aeronáutica
Três princípios fundamentais da Física
• 1. A massa é conservada;
• 2. A segunda lei de Newton (força = massa × aceleração) é verdadeira; 
• 3. A energia é conservada.
Visualização do escoamento (permanente)
• Linhas de trajetória
• Linha de emissão
• Linha de tempo
Visualização do escoamento (Transitório)
• Linhas de trajetória
• Linha de emissão
• Linha de corrente
• Linha de tempo
Visualização do escoamento
• Linha de trajetória (“Path line“)
É o lugar geométrico dos pontos ocupados 
no tempo por um único elemento
infinitesimal do fluido. 
Visualização do escoamento
• Linha de emissão(“Streakline “)
É a curva obtida num dado instante de
tempo, definida pelo lugar geométrico dos
elementos infinitesimais do fluido que 
passaram previamente por um ponto fixo do
espaço.
Visualização do escoamento
• Linha de Corrente(“Streamline “)
•Linhas tangentes à direção do escoamento 
em cada ponto do campo de escoamento, 
em um dado instante.
•Duas linhas de corrente não podem se 
interceptar (o ponto teria duas velocidades)
•O tempo não é variável na equação da LC, já 
que o conceito se refere a um determinado 
instante (é uma fotografia instantânea).
Equação da continuidade
Considerando um tubo de corrente:
• Em um tempo dt um flúido com velocidade V1 
percorre uma distância V1.dt que define e um 
volume: dv = A1.V1.dt 
• sendo r1 a densidade deste flúido neste ponto tem-
se: dm = r1(A1.V.1dt)
• O fluxo de massa é a massa que cruza a área A1 em 
um determinado tempo. 
𝑑𝑚
𝑑𝑡
= 𝑚1 = 𝜌1. 𝐴1. 𝑣1
• O fluxo de massa é a massa que cruza a área A2 em 
um determinado tempo. 
𝑑𝑚
𝑑𝑡
= 𝑚2 = 𝜌2. 𝐴2. 𝑣2
• 𝑚1 = 𝑚2
• 𝝆𝟏. 𝑨𝟏. 𝒗𝟏 = 𝝆𝟐. 𝑨𝟐. 𝒗𝟐
Equação da continuidade
Escoamento incompressível.
• A densidade é constante ao longo de todo 
fluxo.
• 𝜌1 = 𝜌2
• 𝑨𝟏. 𝒗𝟏 = 𝑨𝟐. 𝒗𝟐
Equação do Movimento (Euler)
2ª Lei de Newton
(1) 
Massa do fluido Volume ds.da é:
(2)
Como o vetor da velocidade é sempre paralelo a linha de 
corrente:
(3) 
Substituindo (2) e (3) em 1
(4)
(5)
Equação do Movimento (Euler)
Na dedução da equação de Euler foram ignorados:
• Efeito da gravidade
• Efeito da Fricção (devido a viscosidade).
Escoamento Invíscido
Equação de Bernoulli
Considere dois pontos, 1 e 2, distantes um do outro no fluxo, 
mas na mesma linha de corrente. 
Para relacionar p1 e V1 no ponto 1 com p2 e V2 no ponto 
distante 2, pode-se usar Equação de Euler integrando entre os 
pontos 1 e 2.
Considerando primeiramente o fluxo incompressível.
Equações de Euler e Bernoulli
1. As Equações de Euler e Bernoulli valem apenas para 
fluxos incompressíveis invíscidos (sem fricção).
2. As Equações Euler e Bernoulli relacionam as 
propriedades entre diferentes pontos ao longo de uma linha de 
corrente.
3. Para um fluxo compressível, é preciso usar a Equação 
Euler, com p tratado como uma variável. A equação de 
Bernoulli não deve ser utilizada para fluxos compressíveis.
Equações de Euler e Bernoulli
Considere um duto convergente com área de entrada A1 = 5 m2. O ar entra por esse 
duto com velocidade de V1 = 10 m/s e escapa pela saída com velocidade de V2 = 30 
m/s. 
1) Qual é a área da saída do duto?
2) Se A pressão na entra do duto acima for 100.000 N/m2 qual será a pressão na 
saída considere a densidade de 1,225 kg/m3? 
Medição da velocidade do Ar
Escoamento compressível
• Mach > 0,3 ou 100 m/s
Um fluxo de gás de alta velocidade, a energia 
cinética dos elementos de fluido é grande e 
deve ser levada em consideração. 
Quando os fluxos de alta velocidade são 
desacelerados, a redução em energia cinética 
aparece como um aumento significativo de 
temperatura.
1ª Lei da termodinâmica 
dW = Trabalho por unidade de massa (realizado 
sobre ou pelo sistema) 
dq = Calor por unidade de massa (entrando ou 
saindo) 
de = mudança de energia interna = (Energia 
cinética + potencial) 
A energia interna de um sistema só é alterada 
quando: 
• Realizamos trabalho na sua fronteira 
• Adicionamos ou removemos calor 
(1)
Trabalho
Trabalho
Dw= (Força) x (distância)
Dw= (pdA) x (s)
Sendo p é constante (equilíbrio 
termodinâmico)
Trabalho sobre todo contorno
A integral ∫ s dA representa mudança de volume da unidade 
de massa do gás dentro do sistema. 
O símbolo dv representa a mudança de volume. Como o 
contorno está sendo empurrado para dentro, o volume 
diminui (dv é uma quantidade negativa).
(2)
(3)
(4)
1ª Lei da termodinâmica 
Substituindo (4) em (1)
(1)
(4)
(5)
Variáveis de estado
Saindo do ponto A para B o trabalho realizado é 
igual a área abaixo da curva AB. 
Retornando de B para A o trabalho realizado é 
igual a área abaixo da curva BA e o trabalho 
liquido é igual a área hachuriada em azul.
Indo de Apara B e retornando:
Pressão p, Volume V e energia Interna e se 
mantem constante os seja não dependem do 
caminho. 
No entanto se o caminho AB Diferente de BA a 
quantidade de calor se altera
A quantidade de calor q depende do caminho e não é 
uma variável de estado
Entalpia
Definindo entalpia uma como função das três 
variáveis de estado p, v e e: 
(5)
(6)
(7)
No Isolando de em 6 e substituindo em (5)
Calor específico
Definição: C ≡ dT/ dq (equivalente, congruente)
O valor de dt depende do tipo de processo em que δq é 
adicionado.
Volume constante:
Fronteira rígida
(8)
Pressão constante
(9)
Calor específico
cv e cp, combinados com a primeira lei, produzem relações úteis para a energia interna e e a 
entalpia 
Da equação 5 a volume constante tem-se :
(5a)
(10)
Substituindo 8 em 5:
(8)
Integrando e = CvT (11)
Da equação 7 a volume constante tem-se :
(7a)
Substituindo 9 em 7:
(9)
Integrando h = CTT 
(12)
(13)
Escoamento isentrópico
(14)
Transformação adiabática: dq=0
Transformação reversível: (sem efeitos dissipativos)
Transformação Isentrópica: Adiabática + reversível
Da equação (5) e (11)
dq = de + pdv = 0 -> -pdv = de -> -pdv = cvdT
Da equação (7) e (12)
dq = dh - vdp = 0 -> vdp = dh -> vdp = cpdT (15)
Dividindo equação (15) e (14)
−𝑝𝑑𝑣
𝑣𝑑𝑝
=
𝐶𝑣
𝐶𝑝
→
𝑑𝑝
𝑝
= −
𝐶𝑝
𝐶𝑣
𝑑𝑣
𝑣
→
𝑑𝑝
𝑝
= −𝛾
𝑑𝑣
𝑣
(16)
−𝛾 =
𝐶𝑝
𝐶𝑣
= 1,4onde
Integrando (16) entre o ponto 1 e 2 da linha de corrente
 1
2 𝑑𝑝
𝑝
= 𝛾 1
2 𝑑𝑣
𝑣
→ ln𝑝 1
2 = -𝛾 ln 𝑣 1
2 →
Escoamento isetrópico
𝑑𝑝
𝑝
= −𝛾
𝑑𝑣
𝑣
(16)
−𝛾 =
𝐶𝑝
𝐶𝑣
= 1,4onde
Integrando (16) entre o ponto 1 e 2 da linha de corrente
 
1
2 𝑑𝑝
𝑝
= 𝛾 
1
2 𝑑𝑣
𝑣
→ ln𝑝 1
2 = -𝛾 ln 𝑣 1
2 →
ln 𝑝2 − ln 𝑝1 = 𝛾 ln 𝑣2 − ln 𝑣1 →ln
𝑝2
𝑝1
= − 𝛾 ln
𝑣2
𝑣1
𝑝2
𝑝1
=
𝑣2
𝑣1
−𝛾
(17)
Lembrando que 𝜌 =
1
𝑣
substituindo na equação (17)
𝑝2
𝑝1
=
𝜌1
𝜌2
𝛾
(17)
Escoamento isentrópico
𝑝2
𝑝1
=
𝑣2
𝑣1
−𝛾
(17)
𝑝2
𝑝1
=
𝜌1
𝜌2
𝛾
(18)
Substituindo a equação de estado, temos ρ = p/(RT).em (18)
(19)
Combinando 18 e 19
(20)
Equação da energia
Lembrando da equação de Euler:
(7b)
Da equação (7) 1ª lei da termodinâmica na forma de 
entalpia, considerando o escoamento isentrópico: 
(21)
podemos rescrever a equação 21 como:
(23)
como v = 1/ρ: 
(24)
Integrando (24):
Como h = cpT
(25)
(26)
Equações dos escoamentos
Escoamento incompressível (M < 0,3):
𝑨𝟏𝑽𝟏 = 𝑨𝟐𝑽𝟐
𝒑𝟏 +
𝟏
𝟐
𝝆𝑽𝟏
𝟐 = 𝒑𝟐 +
𝟏
𝟐
𝝆𝑽𝟐
𝟐
𝑨𝟏𝑽𝟏𝝆𝟏 = 𝑨𝟐𝑽𝟐𝝆𝟐
𝒑𝟏
𝒑𝟐
=
𝝆𝟏
𝝆𝟏
𝜸
=
𝑻𝟏
𝑻𝟐
𝜸
𝜸−𝟏
𝑪𝒑𝑻𝟏 +
𝟏
𝟐
𝑽𝟏
𝟐 = 𝑪𝒑𝑻𝟐 +
𝟏
𝟐
𝑽𝟐
𝟐
𝒑 = 𝝆𝑹𝑻
Eq. continuidade
Eq. Bernoulli
Eq. continuidade
Relações Isentrópicas
Eq. da energia
Eq. de estado
Escoamento compressível (M > 0,3):
Em um túnel de vento supersônico a temperatura e a 
pressão do ar dentro do reservatório do túnel de vento são 
T0 = 1000 K e p0 = 10 atm, respectivamente. As 
temperaturas estáticas na garganta e na saída são T* = 833 K 
e Te = 300 K, respectivamente. O fluxo demassa através da 
tubeira é de 0,5 kg/s. Para o ar, cp = 1008 J/(kg)(K). Calcule: 
a. velocidade na garganta V*. 
b. A velocidade na saída Ve.
c. A área da garganta A*. 
d. A área da saída Ae.
Exemplo:
𝑨𝟏𝑽𝟏𝝆𝟏 = 𝑨𝟐𝑽𝟐𝝆𝟐
𝒑𝟏
𝒑𝟐
=
𝝆𝟏
𝝆𝟏
𝜸
=
𝑻𝟏
𝑻𝟐
𝜸
𝜸−𝟏
𝑪𝒑𝑻𝟏 +
𝟏
𝟐
𝑽𝟏
𝟐 = 𝑪𝒑𝑻𝟐 +
𝟏
𝟐
𝑽𝟐
𝟐
𝒑 = 𝝆𝑹𝑻
Eq. continuidade
Relações Isentrópicas
Eq. da energia
Eq. de estado
Escoamento compressível (M > 0,3):
Velocidade do som (onda de choque)
Velocidade do som (onda de choque)
Velocidade do som (onda de choque)
Velocidade do som
Velocidade do som
Aplicando a equação da continuidade
(27)
(28)
Aplicando a equação de Euler
a = velocidade do som
(29)
Substituindo 29 em 28
a = ρ
1
𝜌𝑎
dp
𝑑𝜌
-> 𝑎2 =
dp
𝑑𝜌
-> 𝑎 =
2 dp
𝑑𝜌
(isentrópico)
Utilizando as relações isentrópicas deduzidas anteriormente 
tem-se:
dp
𝑑𝜌
= 𝛾
p
𝜌
(30)
Lembrando a equação de estado: 
p
𝜌
= RT rescrevemos (30)
(31)
(32)
Fluxo compressível subsônico
Relações isentrópicas em função do número de Mach
Anderson Jr., John D.. Fundamentos de engenharia aeronáutica cap 4.11.2
Classificação dos escoamentos
M < 1, o fluxo é subsônico. 
M = 1, o fluxo é sônico.
0,8<M <1,2 Transônico.
M > 1, o fluxo é supersônico.
M > 5 Hipersônico.
Fluxo supersônico
Fluxo supersônico
1. O número de Mach diminui. 
2. A pressão estática aumenta. 
3. A temperatura estática aumenta. 
4. A velocidade de fluxo diminui. 
5. A pressão total p0 diminui. 
6. A temperatura total T0 continua a 
mesma para um gás perfeito.
Mudanças drásticas nas propriedades do fluxo. 
Fluxo supersônico
Fluxo Transônico
Fluxo Transônico
Equação do Movimento (Euler)
Na dedução da equação de Euler foram ignorados:
• Efeito da gravidade
• Efeito da Fricção (devido a viscosidade).
Escoamento Invíscido
Escoamento sobre cilindro
Escoamento Invíscido Escoamento Real
Escoamento sobre cilindro
Escoamento invíscido
• O efeito de fricção devido a viscosidade é ignorado 
Escoamento real
• Linha de corrente desliza sobre a superfície
• Nenhum força aerodinâmica é prevista
• O efeito de fricção devido a viscosidade EXISTE
• Linha de corrente NÃO desliza sobre a superfície
• Existe força de arrasto tendendo a retardar o 
movimento
Paradoxo de d’Alamber: Incapacidade da teoria prever arrasto.
Não deslizamento na parede (ar)
Não deslizamento na parede (Liquido)
Deformação Cisalhamento
Líquido t = m 𝜕𝑉/𝜕𝑛
SÓLIDO t =Gg
Fluxo Laminar X Turbulento
EXPERIMENTO DE REYNOLDS
Número de Reynolds
O número de Reynolds indica se um escoamento é laminar ou 
turbulento.
𝑹𝒆 =
𝐹𝑜𝑟ç𝑎 𝑑𝑒 𝑖𝑛é𝑟𝑐𝑖𝑎
𝐹𝑜𝑟ç𝑎 𝑣𝑖𝑠𝑐𝑜𝑠𝑎
=
𝜌𝑣𝐿
𝜇
𝜌 = 𝑑𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒
𝐿 = 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑐𝑎𝑟𝑎𝑐𝑡𝑒𝑟í𝑠𝑡𝑖𝑐𝑜 ∗.
* Diâmetro, distância percorrida etc.
Re é adimensional
CAMADA LIMITE LAMINAR.
Placa plana (Gradiente de pressão zero)
CAMADA LIMITE LAMINAR.
Placa plana (Gradiente de pressão zero)
CAMADA LIMITE LAMINAR.
Placa plana (Gradiente de pressão zero)
(6)
Substituindo(4) em 5 
(5)
Definindo um coeficiente de fricção 
S é a área total da placa, S = L. (1). (LARGURA 
UNITÁRIA) q = 1/2pV2
(7)
(8)
CAMADA LIMITE LAMINAR.
Gradiente de pressão favorável
• A espessura da camada 
diminui
• A vorticidade tem menos 
tempo para difundir
• A velocidade 
aumenta
• Os gradientes de 
velocidade próximo a 
parede aumenta
• O coeficiente de atrito 
aumenta
CAMADA LIMITE LAMINAR.
Gradiente de pressão adverso
• A espessura da camada 
aumenta
• A vorticidade tem mais 
tempo para difundir
• A velocidade do escoamento 
livre diminui 
• A velocidade próxima a 
parede diminui até zerar e 
reverter.
• No ponto onde a 
velocidade zera 
escoamento descola da 
parede.
CAMADA LIMITE TURBULETA.
• As linhas de corrente se 
dividem e um elemento fluido 
se move de forma irregular e 
tortuosa
Sobre um perfil
• Um pequeno gradiente de 
pressão provoca a transição do 
escoamento laminar para 
turbulento
CAMADA LIMITE TURBULETA.
• As linhas de corrente na 
camada laminar são bi-
dimensional.
Gradiente de pressão adverso
• A camada limite turbulenta 
resiste melhor a gradiente de 
pressão adversos. 
• Os movimentos instáveis no 
escoamento turbulento 
transferem momentun da parte 
externa do escoamento para a 
parte interna junto a parede 
fazendo com que a camada 
limite turbulenta resista melhor 
aos gradientes de pressão 
adversos.
CAMADA LIMITE Turbulenta.
• Natureza caótica -> difícil resolução do problema.
• Recorre-se aos modelos de turbulências. 
• Rente a superfície prenominam os efeitos viscosos
• Ao contrário do que ocorre com fluxos laminares, não é 
possível apresentar resultados teóricos para camadas 
limite turbulentas.
Resultados experimentais para escoamento 
turbulento em placa plana.
RESUMO
tlaminar < tturbulento
Resumo
 O efeito da viscosidade ocorre rente à superfície. 
 A camada limite aumenta a espessura a jusante do 
escoamento.
Gradiente de pressão adverso
 Gradiente de pressão favorável tende a manter a camada limite laminar
 Gradiente de pressão contrário:
o Traciona a camada limite de laminar para turbulento
o Retarda as camadas mais próxima da parede, possuem menos energia, 
diminuem mais a velocidade.
Resumo
Coeficiente de fricção para uma placa plana de em função do numero de Reynolds 
𝑃∞ = 88792 𝑁/𝑚
2
𝑉∞ = 30 𝑚/𝑠
𝑐 = 1,6 𝑚
𝜌 = 1,0296 𝑘𝑔/𝑚3
𝐶𝑃 =
𝑝 − 𝑝∞
1
2𝜌𝑉∞
2
𝐶𝑃 =
89226,32 − 88792
1
2 1,029630
2
= 1,0
𝑥′ =
𝑥
𝑐
0=
0
1,6
Adimensionaizar a corda
Coeficiente de pressão
Coeficiente de pressão Cp
𝑃∞ = 88792 𝑁/𝑚
2
𝑉∞ = 30 𝑚/𝑠
𝑐 = 1,6 𝑚
𝜌 = 1,0296 𝑘𝑔/𝑚3
𝐶𝑃 =
𝑝 − 𝑝∞
1
2𝜌𝑉∞
2
𝐶𝑃 =
89226,32 − 88792
1
2 1,029630
2
= 1,0
𝑥′ =
𝑥
𝑐
0=
0
1,6
Adimensionaizar a corda
Coeficiente de pressão
Coeficiente de pressão Cp
Aerofólios Turbulento e Laminares
Comparação de aerofólios de fluxo laminar e convencional. 
LaminarConvencional
Aerofólios Turbulento e Laminares
Comparação de aerofólios de fluxo laminar e convencional. 
http://www.aerofiles.com/airfoils.html Relação de aerofólios usados em cada aeronave
https://m-selig.ae.illinois.edu/ads/coord_database.html UIUC Airfoil Data Site
http://web.mit.edu/drela/Public/web/xfoil/ XFOIL Page
http://www.aerofiles.com/airfoils.html
https://m-selig.ae.illinois.edu/ads/coord_database.html
http://web.mit.edu/drela/Public/web/xfoil/