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Aula 25: teorema fundamental do cálculo

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CÁLCULO I
Aula no 25: Teorema Fundamental do Cálculo I. Área entre grá�cos.
Objetivos da Aula
• Apresentar o Teorema Fundamental do Cálculo;
• Calcular área entre curvas utilizando a integral de�nida.
1 Teorema Fundamental do Cálculo
Teorema 1 (Teorema Fundamental do Cálculo I). Se f for contínua em [a, b], então∫ b
a
f(x) dx = F (b)− F (a)
onde F é qualquer primitiva de f , isto é, uma função tal que F ′ = f .
Exemplo 1. Usando o Teorema Fundamental do Cálculo, calcule∫ b
a
x dx.
Solução: Pelo TFC, temos ∫ b
a
x dx = F (b)− F (a),
onde F é uma primitiva de f(x) = x, ou seja, F (x) =
∫
x dx =
x2
2
+ C. Assim
∫ b
a
x dx =
[
x2
2
]b
a
=
b2
2
− a
2
2
.
�
Exemplo 2. Calcule ∫ 3
0
(x+ 3) dx.
Solução: Pelo TFC, temos ∫ 3
0
(x+ 3) dx =
[
x2
2
+ 3x
]3
0
=
(
32
2
+ 9
)
−
(
02
2
+ 0
)
=
27
2
.
�
1
Cálculo I Aula no 25
Exemplo 3. Calcule: ∫ 6
3
1
x
dx.
Solução: Pelo TFC, temos: ∫ 6
3
1
x
dx = ln(x)|63
= ln(6)− ln(3)
= ln
(
6
3
)
= ln(2).
�
Exemplo 4. Calcule ∫ 2π
π
cos θ dθ.
Solução: Pelo TFC, temos: ∫ 2π
π
cos θ dθ = sen θ|2ππ
= sen 2π − senπ
= 0.
�
Exemplo 5. Calcule: ∫ 2
1
v3 + 3v6
v4
dv.
Solução: Pelo TFC, temos: ∫ 2
1
v3 + 3v6
v4
dv =
∫ 2
1
1
v
+ 3v2 dv
= ln(x)|21 + 3
v3
3
∣∣∣∣2
1
= ln(2) + 7.
�
Exemplo 6. Calcule: ∫ 3
−1
(|x|+ 1) dx.
Solução: Note que:
|x|+ 1 =
{
x+ 1, se x ≥ 0
−x+ 1, se x < 0
Usaremos uma das propriedades da integral de�nida (ver aula anterior) para calcular a integral:∫ 3
−1
(|x|+ 1) dx =
∫ 0
−1
(−x+ 1) dx+
∫ 3
0
(x+ 1) dx
=
(
−x
2
2
+ x
)∣∣∣∣0
−1
+
(
x2
2
+ x
)∣∣∣∣3
0
= 9.
�
2
Cálculo I Aula no 25
Exemplo 7. Calcule ∫ 1
−1
|sen (πx)| dx.
Solução: Observamos que sen (πx) ≥ 0 se 0 ≤ x ≤ 1 e sen (πx) ≤ 0 se −1 ≤ x ≤ 0. Segue que:∫ 1
−1
|sen (πx)| dx =
∫ 0
−1
−sen (πx) dx+
∫ 1
0
sen (πx) dx
=
cos(πx)
π
∣∣∣∣0
−1
− cos(πx)
π
∣∣∣∣1
0
=
4
π
.
�
Exemplo 8. Calcule: ∫ 8
0
3
√
x(x− 1) dx.
Solução: Temos que: ∫ 8
0
3
√
x(x− 1) dx =
∫ 8
0
x 3
√
x dx−
∫ 8
0
3
√
x dx
=
∫ 8
0
x
4
3 dx−
∫ 8
0
x
1
3 dx
=
3x
7
3
7
∣∣∣∣∣
8
0
− 3x
4
3
4
∣∣∣∣∣
8
0
=
300
7
.
�
Exemplo 9. Calcule ∫ π
−π
f(x) dx,
onde
f(x) =
{
sen (x), se x ≤ 0
1− cos(x), se x > 0
Solução: Temos que:∫ π
−π
f(x) dx =
∫ 0
−π
sen (x) dx+
∫ π
0
1− cos(x) dx
=
∫ 0
−π
sen (x) dx+
∫ π
0
1 dx−
∫ π
0
cos(x) dx
= − cos(x)|0−π + x|
π
0 − sen (x)|
π
0
= − cos(0) + cos(−π) + π − sen (π) + sen (0)
= −2 + π.
�
3
Cálculo I Aula no 25
2 Área entre Curvas
De�nição 1. A área A entre a região limitada pelas curvas y = f(x) e y = g(x) e pelas retas x = a e
x = b, onde f e g são contínuas e f(x) ≥ g(x) para todo x ∈ [a, b], é
A =
∫ b
a
[f(x)− g(x)] dx.
Exemplo 10. Calcule a área do conjunto do plano limitado pelas retas x = 0, x = 1, y = 0 e pelo grá�co
de f(x) = x2.
Solução: Primeiramente, vamos construir no mesmo plano cartesiano a região que queremos calcular a
área.
Temos que:
A =
∫ 1
0
x2 dx =
[
x3
3
]1
0
=
1
3
.
�
Exemplo 11. Encontre a área da região limitada pelas curvas y = sen (x), y = x, x =
π
2
e x = π.
Solução: Primeiramente, vamos construir no mesmo plano cartesiano o grá�co destas funções no intervalo[π
2
, π
]
.
4
Cálculo I Aula no 25
Como x ≥ sen (x) para todo x no intervalo
[π
2
, π
]
, temos que:
A =
∫ b
a
[f(x)− g(x)] dx
=
∫ π
π
2
[x− sen (x)] dx
=
[
x2
2
+ cos(x)
]π
π
2
=
3π2
8
− 1.
�
Exemplo 12. Calcule a área da região limitada pelo grá�co de f(x) = x3, pelo eixo x e pelas retas x = −1
e x = 1.
Solução: A região que queremos calcular a área está representada no grá�co abaixo:
Note que: ∫ 1
−1
x3 dx =
[
x4
4
]1
−1
=
1
4
− 1
4
= 0.
Sendo assim, neste caso, calcular a integral de f no intervalo de −1 a 1 não equivale a calcular a área
da região que queremos, pois x3 assume valores negativos em [−1, 0).
Entretanto, como x3 é uma função ímpar, temos que:
A = 2
∫ 1
0
x3 dx = 2
1
4
=
1
2
.
�
Exemplo 13. Encontre a área da região limitada pelas curvas y = x2 e y = −x2 + 4x.
Solução: A região que queremos calcular a área está representada no grá�co abaixo:
5
Cálculo I Aula no 25
Observe que as curvas se intersectam em dois pontos A e B. Dessa forma, precisamos determinar os
pontos A e B, para identi�car os limites de integração. Resolvendo o sistema:{
y = x2
y = −x2 + 4x
obtemos os pontos (0, 0) e (2, 4). Como −x2 + 4x ≥ x2, para todo x no intervalo [0, 2], o grá�co de
f(x) = −x2 + 4x está acima do grá�co de g(x) = x2. Assim, a área procurada é dada por:
A =
∫ 2
0
(−x2 + 4x− x2) dx
=
∫ 2
0
(−2x2 + 4x) dx
=
[
−2x
3
3
+ 2x2
]2
0
=
8
3
.
�
Exemplo 14. Encontre a área da região limitada pelas curvas y = sen (x) e y = cos(x), no intervalo[
0,
π
2
]
.
Solução: Gra�camente, a região que queremos calcular a área está representada no grá�co abaixo:
Resolvendo o sistema: {
y = sen (x)
y = cos(x)
obtemos o ponto P =
(
π
4 ,
√
2
2
)
, que é o único ponto de interseção das curvas no intervalo considerado.
Como cos(x) ≥ sen (x), para todo x ∈
[
0,
π
4
]
e sen (x) ≥ cos(x), para todo x ∈
[π
4
,
π
2
]
, vamos dividir a
6
Cálculo I Aula no 25
região em duas partes. Assim, a área A é dada por:
A =
∫ π
4
0
[cos(x)− sen (x)] dx+
∫ π
2
π
4
[sen (x)− cos(x)] dx
= [sen (x) + cos(x)]
π
4
0 + [−sen (x)− cos(x)]
π
4
π
2
= 2
√
2− 2.
�
Exemplo 15. Encontre a área da região limitada pelas curvas y = ex, y = x2 − 1, x = −1 e x = 1.
Solução: Gra�camente, a região que queremos calcular a área está representada no grá�co abaixo:
Como f(x) ≥ g(x) para todo x ∈ [−1, 1], temos que:
A =
∫ 1
−1
[ex − (x2 − 1)] dx
=
∫ 1
−1
[ex − x2 + 1] dx
=
[
ex − x
3
3
+ x
]1
−1
= e− 1
e
+
4
3
.
�
Observação 1. Algumas vezes, os problemas �cam mais simples de resolver quando integramos em relação
a y e não em relação a x. Assim, seja R a região plana limitada pela direita pela função x = M(y), pela
esquerda por x = N(y) e pelas retas y = c e y = d.
Não é difícil provar que, se as funções M(y) e N(y) são contínuas em [c, d], então:
A =
∫ d
c
[M(y)−N(y)] dy
7
Cálculo I Aula no 25
Exemplo 16. Calcule a área da região limitada pelas curvas y2 = 2x e y = x− 4.
Solução: Note que as interseções entre as curvas são os pontos (2,−2) e (8, 4). Sejam x =M(y) = y+4
e x = N(y) =
y2
2
. Assim, a região que queremos calcular a área está representada a seguir:
Então:
A =
∫ 4
−2
(
y + 4− y
2
2
)
dy
=
[
y2
2
+ 4y − y
3
6
]4
−2
= 18.
�
Exemplo 17. Calcule a área limitada pela curva (y− 2)2 = x− 1, pela tangente a esta curva no ponto de
ordenada y = 3 e pelo eixo x.
Solução: Se y = 3, então x = 2. A equação da reta tangente no ponto (2, 3) é a equação da reta tangente
y = y′(x0)(x−2)+3. Para obter y′, derivamos implicitamente em relação a x a equação (y−2)2 = x−1.
Temos:
2(y − 2)y′ = 1.
No ponto (2, 3), temos que y′(2) =
1
2
. Logo y = x2 + 2 ou 2y − x − 4 = 0. A área que procuramos
está exibida no grá�co abaixo:
8
Cálculo I Aula no 25
Integrando em relação a y, teremos x =M(y) = (y − 2)2 + 1 e x = N(y) = 2y − 4 e:
A =
∫ 3
0
[(y − 2)2 + 1− (2y − 4)] dy
=
∫ 3
0
(y2 − 6y + 9) dy
=
[
y3
3
− 3y2 + 9x
]3
0
= 9.
�
Resumo
Faça um resumo dos principais resultados vistos nesta aula, destacando as de�nições dadas.
Aprofundando o conteúdo
Leia mais sobre o conteúdo desta aula nas páginas 350− 356 do livro texto.
Sugestão de exercícios
Resolva os exercícios das páginas 357− 359 do livro texto.
9