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ISBN-978-85-87978-17-2

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na equação de estado. 
 
Teorema da superposição para circuitos lineares dinâmicos 
Teorema 
A resposta de um sistema linear ( ) ( ) ( )x t Ax t u t= +� a (1) (2)( ) ( ) ( )u t au t bu t= + é dada por 
(1) (2)( ) ( ) ( )x t ax t bx t= + onde (1) ( )x t é a solução para (1)( ) ( )u t u t= e (2) ( )x t é a solução para 
(2)( ) ( )u t u t= ; 
Demonstração 
Considerando inicialmente as respostas a (1)( ) ( )u t u t= e (2)( ) ( )u t u t= têm-se: 
(1) (1) (1)( ) ( ) ( )x t Ax t u t= +� (6.6) 
(2) (2) (2)( ) ( ) ( )x t Ax t u t= +� (6.7) 
Multiplicando-se (6.6) por a e (6.7) por b e somando-se as duas equações resultantes tem-se: 
(1) (2) (1) (1) (2) (2)( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ax t bx t aAx t au t bAx t bu t+ = + + +� � 
ou 
(1) (2)( ) ( ) ( ) ( )x t Ax t au t bu t= + +� . 
Análise de circuitos: um enfoque de sistemas 
 - 74 - 
Teorema da substituição 
Teorema 
Na interligação de dois subcircuitos com uma porta, que interagem apenas através dos terminais que 
têm em comum, qualquer um dos dois circuitos pode ser substituído equivalentemente (do ponto de 
vista elétrico) por uma fonte que reproduz o histórico de tensão ou corrente nos terminais de 
interligação. 
O teorema da substituição vale para circuitos lineares ou não. Sua aplicação é ilustrada na Figura 6.8. Afirma-se 
que o valor de todas as variáveis internas do circuito N1, bem como as variáveis na porta, será numericamente 
igual nos três casos da figura. A demonstração é feita equacionando-se os três circuitos equivalentes com o 
método geral de análise e comparando-se os conjuntos de equações obtidos, que serão equivalentes. 
 
 
N1 
i1 
+ 
- 
v1 
 
N2 
i2(t) 
+ 
- 
1 
2 
 
 
N1 
i1 
+ 
- 
v1 v2(t) 
1 
2 
 
+ 
- 
v2(t) 
 
N1 
i1 
+ 
- 
v1 i2(t) 
1 
2 
 
 
FIGURA 6.8 – Ilustração do teorema da substituição. 
 
Comportamento qualitativo de dx/dt = Ax para circuitos de segunda ordem 
A evolução de um circuito linear em função apenas das condições iniciais é determinado por uma equação 
diferencial do tipo ( ) ( )x t Ax t=� . Caso a matriz A tenha dois autovetores 21 ηη , (linearmente independentes), 
a solução desta equação diferencial será dada por 
( ) ( )1 21 1 2 2( ) s t s tx t k e k eη η= + (6.8) 
onde 21 ηη , são tais que 
21,i;As iii == ηη 
s1 e s2 são autovalores de A. Esta solução corresponde ao primeiro termo da solução (6.5) e pode ser 
verificada por substituição. 
Observações: 
1 Os autovalores de A são as raízes do seu polinômio característico βαλλ ++ 22 . 
2 Com base na solução (6.8) é possível esboçar trajetórias no plano x1 × x2, às vezes também chamado 
plano de fase. Existem seis comportamentos qualitativos distintos e mais dois casos degenerados. Os 
casos degenerados são: 
• aqueles nos quais det(A) = 0, isto é, há autovalores em zero; 
• aqueles nos quais há dois autovalores iguais sem autovetores linearmente independentes. 
3 x = 0 é o único ponto de equilíbrio para ( ) ( )x t Ax t=� se e só se det(A) ≠ 0. No caso degenerado 
det(A) = 0 o conjunto com infinitos pontos de equilíbrio é descrito por 0222111 =+ axax . 
Análise de circuitos: um enfoque de sistemas 
 - 75 - 
Tabela 6.1 – Comportamento qualitativo de dx/dt = Ax para sistemas de segunda ordem 
Nome Autovalores (no plano complexo), 
condições 
Comportamento qualitativo no 
plano x1 × x2 
 
 
 
Nó estável 
 
 
Reais distintos no semiplano esquerdo 
do plano complexo 
α > 0 
2αβ < 
 
 
 
 
Nó instável 
 
 
Reais distintos no semiplano direito do 
plano complexo 
α < 0 
2αβ < 
 
 
 
 
Ponto de sela 
 
 
 
Reais, um no semiplano direito, o outro 
no semiplano esquerdo do plano 
complexo 
β < 0 
 
 
 
 
Centro 
 
 
 
Complexos conjugados, no eixo 
imaginário 
α = 0 
β > 0 
 
 
 
 
Foco estável 
 
 
Complexos conjugados, no semiplano 
esquerdo 
α > 0 
2αβ > 
 
 
 
 
Foco instável 
 
 
Complexos conjugados, no semiplano 
direito 
α < 0 
2αβ > 
 
 
Análise de circuitos: um enfoque de sistemas 
 - 76 - 
Os seis casos de comportamento qualitativo contemplados aqui estão resumidos na Tabela 6.1. O 
comportamento assintótico é obtido com a variável tempo tendendo a infinito (ou menos infinito). Nessa 
situação, apenas um dos modos (uma das exponenciais) da solução (6.8) é relevante e a direção da trajetória 
é definida pelo autovetor correspondente. Portanto, cada uma das assíntotas (retas inclinadas) nas figuras da 
tabela 6.1 tem sua direção definida por um dos autovetores 1η ou 2η . 
O caso degenerado onde há dois autovalores iguais sem autovetores linearmente independentes, mas 
det(A) ≠ 0, pode ser entendido como caso limite de uma sequência de circuitos com autovetores unitários 
cujo produto escalar está cada vez mais próximo de 1. No limite, ter-se-á um nó (estável ou instável) no qual 
a direção das assíntotas irá coincidir. 
Na Figura 6.9 os casos da Tabela 6.1 são relacionados aos coeficientes do polinômio característico de A. 
 
β
α
β = α2
 
FIGURA 6.9 – Comportamento de sistemas lineares de segunda ordem como função dos coeficientes do 
polinômio característico. 
No caso de circuitos lineares com det(A) ≠ 0 sujeitos a fontes constantes, o ponto de equilíbrio não mais será 
a origem. O novo ponto de equilíbrio xeq será a solução da equação 
fonteseq BuAx +=0 
O comportamento qualitativo em torno do novo ponto de equilíbrio continuará sendo determinado pelos 
autovalores e autovetores de A. Isto pode ser verificado definindo o novo vetor de estado eqxxx~ −= e 
determinando a equação de estado nas novas coordenadas: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )eqx x xfontesx t Ax t Bu t x t Ax t
= −
= + → =
� �� � �
 
 
Análise de circuitos: um enfoque de sistemas 
 - 77 - 
Análise de pequenos sinais para circuitos dinâmicos não-lineares 
Assim como na análise de pequenos sinais para circuitos resistivos, também na análise de pequenos sinais 
para circuitos dinâmicos parte-se da premissa que além das fontes invariantes no tempo existem fontes 
contribuindo com sinais de corrente ou tensão de pequena amplitude. Por “pequena amplitude” entende-se 
uma amplitude tal que os valores dos pontos de operação do circuito não sofram uma alteração significativa. 
Suponha-se o caso bastante geral no qual o equacionamento de um circuito dinâmico não-linear resulta em 
um sistema de equações do tipo: 
( ) 0 da Lei de Kirchhoff das correntes
( ) ( ) 0 da Lei de Kirchhoff das tensões
( , , , ) ( ) das definições dos elemento de circuito
T
f
Ai t
A e t v t
f v v i i u t
=
− =
=��
 
onde uf(t) é a contribuição das fontes. 
Partindo da hipótese de que os sinais são de pequena amplitude, busca-se equacionar separadamente o ponto 
de operação (contribuição das fontes constantes), usando análise DC, e a contribuição do sinal, usando 
análise de pequenos sinais. A análise é feita em três passos: 
• determinam-se os pontos de operação (pontos de equilíbrio do circuito dinâmico); 
• estuda-se a estabilidade dos pontos de operação de interesse; 
• calculam-se as tensões de ramo e correntes de ramo de pequenos sinais usando um circuito de 
pequenos sinais obtido por linearização. 
 
Determinação dos pontos de equilíbrio do circuito dinâmico (pontos de operação) 
Estes são pontos nos quais 0== iv �� . Cada um é caracterizado por uma tripla de vetores (EQ, VQ, IQ). Estes 
vetores são obtidos a partir de 
0
0
(0, ,0, ) ( ) 
Q
T
Q Q
Q Q f
AI
A E V
f V I U t
=
− =
=
 
onde Uf(t) contempla a contribuição das fontes DC apenas. Este é um sistema de equações algébricas que 
caracteriza um circuito resistivo