matematica_-_etapa_2_novo

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Nivelamento de Matemática
Centro Universitário Leonardo da Vinci
Organização
Cristiane Bonatti
Reitor da UNIASSELVI
Prof. Herminio Kloch
Pró-Reitora de Ensino de Graduação a Distância
Prof ª. Francieli Stano Torres
Pró-Reitor Operacional de Ensino de Graduação a Distância
Prof. Hermínio Kloch
Diagramação e Capa
Davi Schaefer Pasold
Revisão:
Diógenes Schweigert
José Rodrigues
Marina Luciani Garcia
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 NÚMEROS RACIONAIS (Q)
Números racionais são os que podem ser escritos na 
forma fracionária, na forma decimal ou percentual. Como por 
exemplo , 0,5 ou 50%.
Iniciaremos os estudos na forma fracionária.
 
Números Fracionários são todos os números resultantes 
da divisão de dois números inteiros. Como 0, 1, -2, -27, 35, 
, ..., podemos observar que o conjunto dos números racionais 
contêm os números inteiros. 
Analisando a fi gura a seguir, ela foi dividida em 8 
partes iguais, dizemos que ela representa um inteiro. Das 8 
partes iguais, três foram pintadas. A representação na forma 
fracionária é .
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Na representação da fração , temos que o número 3 
representa o numerador, o número 8 o denominador, e o traço 
de fração (divisão). Eles são chamados de termos da fração.
TRANSFORMAÇÃO DE FRAÇÃO EM NÚMERO MISTO E 
VICE-VERSA
TRANSFORMAÇÃO DE FRAÇÃO EM NÚMERO MISTO
1ª maneira
Observe a representação gráfi ca anterior, o número 
de vezes em que o todo está dividido é representado pelo 
denominador, por este motivo, mesmo na forma de número 
misto, o denominador não se altera.
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Fazendo a leitura da divisão: o quociente é o número 
inteiro que a fração representa, o divisor continua 
sendo o denominador e o resto é o numerador.
Então:
Transformação de número misto em fração
2ª maneira
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1ª maneira
2ª maneira
Atenção
Observe que foi efetuada a operação inversa da divisão 
do caso anterior, pois antes se dividia denominador por 
numerador e encontrava-se a forma do número misto. Agora 
multiplicamos a parte inteira pelo denominador e somamos 
com o numerador; lembrando que o denominador não se 
altera, pois ele continua dividindo o todo em partes iguais.
Novamente observe que o denominador não se altera, pois 
a quantidade de partes em que o todo está dividido é a mesma.
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FRAÇÕES EQUIVALENTES
Frações equivalentes são as que têm o mesmo valor em 
relação a uma fração para a outra, só que representada de 
forma equivalente (igual, mesmo valor).
Exemplo: 
, essas frações são frações equivalentes, pois todas 
equivalem à metade.
Vejamos isso em uma representação gráfi ca, cada parte 
representa uma parte de um todo.
Assim:
⇒ ⇒ ⇒
⇒ ⇒⇒ ⇒
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Para podermos entender um pouco melhor essa 
situação, vamos conhecer a simplifi cação de fração.
SIMPLIFICAÇÃO DE FRAÇÃO
Simplifi car uma fração é dividir o numerador e o 
denominador por um mesmo número natural, diferente de 
zero e de um, tornando essa fração mais simples. A fração 
estará na sua forma mais simples quando não é mais possível 
dividi-la, deixando-a em sua forma irredutível.
Exemplo:
(b) , a fração não pode ser simplifi cada, pois não existe 
um mesmo número que divida o 4 e o 7 simultaneamente. 
Sendo assim, é uma fração irredutível.
NÚMERO RACIONAL (Q)
Número Racional é todo número que pode ser 
representado por uma fração com numerador e denominador 
inteiros e denominador diferente de zero (não existe divisão 
por zero).
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Exemplo:
3 é um número racional, pois 3 = etc. 
1
3 ,
3
9 ,
2
6
-12,75 é um número racional, pois -12,75 = 
Todo número racional pode ser escrito na forma de um 
número decimal, por meio de uma decimal exata ou de uma 
dízima periódica.
Exemplo:
 
 
 = 0,333...
O CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS (Q)
O conjunto formado pelos números racionais 
é indicado pela letra Q:
O símbolo dos números racionais Q vem da 
inicial da palavra quociente, que signifi ca razão ou 
fração.
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Então, para ser um número racional, deve ser um valor 
de x tal que x seja igual a uma fração com numerador e 
denominador inteiro e que o denominador seja diferente de 
zero.
A RELAÇÃO ENTRE OS CONJUNTOS DOS NÚMEROS
Observe através do diagrama a relação entre conjuntos
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}, indica o conjunto dos números naturais;
Z = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}, indica o conjunto dos 
números inteiros;
Q =





 ∈∈= *Z b e Za|
b
a Q , indica o conjunto dos números 
racionais.
Com isso podemos dizer que todo número natural 
é também um número inteiro e todo número inteiro é 
um número racional, ou ainda, que N está contido em 
Z e que N e Z estão contidos em Q.
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COMPARAÇÃO DE DOIS NÚMEROS RACIONAIS
Comparar dois números racionais signifi ca dizer se o 
primeiro é maior (>), menor (<) ou igual (=) ao segundo.
Exemplo:
, pois todo número negativo é menor que um número 
positivo.
, pois 0 é maior do que qualquer número negativo.
, pois quanto mais próximo do 0 maior será o número 
negativo.
A REPRESENTAÇÃO DOS NÚMEROS RACIONAIS NA 
RETA NUMÉRICA
Como todo número racional pode ser representado na 
sua forma decimal, existe uma relação de ordem em Q e, 
portanto, podemos localizá-lo na reta real.
Lembrando que primeiramente precisamos localizar o 
ponto de origem na reta e, como acabamos de ver, os números 
inteiros estão dentro do conjunto dos números racionais.
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Depois de marcados os números inteiros na reta, 
podemos localizar os números racionais.
Exemplo:
(a)
 é um número racional entre 1 e 2, pois = 0,75
(b)
- 0,27 é um número racional entre – 1 e 0, pois – 0,27 
= - 
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MÓDULO OU VALOR ABSOLUTO DE UM NÚMERO 
RACIONAL
Já estudamos módulo nos números inteiros. Só para 
relembrar: módulo é a distância do ponto que representa esse 
número até a origem.
Exemplo:
A distância do ponto A até a origem 0 (zero) é representada 
por 
 
que é de da unidade.
A distância do ponto B até a origem 0 (zero) é 
representada por 
 
que é de da unidade.
Então:
 
é um número racional, pois 
 
= – 1
 
= – 1,125
 
é um número racional, pois 
 
= 1
 
= 1,125 
A B
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NÚMEROS OPOSTOS OU SIMÉTRICOS
Nesse mesmo exemplo, podemos identifi car também os 
números opostos ou simétricos, que são representados 
por dois pontos que estão à mesma distância da origem.
INVERSO DE UM NÚMERO RACIONAL
De todos os números racionais, o único que não tem 
inverso é o zero.
Exemplo:
, o inverso de .
OPERAÇÕESCOM NÚMEROS RACIONAIS
ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO
A adição de números inteiros pode ser realizada pela 
redução das frações ao mesmo denominador positivo e pela 
soma dos numeradores, conservando o denominador.
Exemplo:
No entanto, se observarmos a fração , é uma fração 
equivalente a , ou seja, a primeira fração foi multiplicada por 
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2, por esse processo chegamos num mesmo denominador e, 
então, podemos fazer a soma dos numeradores, conservando 
o denominador.
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PROPRIEDADES DA ADIÇÃO
COMUTATIVA
Numa adição de números racionais, a ordem das 
parcelas não altera seu resultado.
Exemplo:
ASSOCIATIVA
Na adição de mais de dois números racionais, não 
importa a ordem em que forem feitas as adições, pois podemos 
agrupar valores e chegarmos aos mesmos resultados.
Exemplo:
ou
ELEMENTO NEUTRO
Qualquer número racional somado ao 0 (zero), resulta 
nele mesmo.
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ou
OPOSTOS OU SIMÉTRICOS
Qualquer número racional somado ao seu oposto resulta 
em zero.
Exemplo:
 ou 
SUBTRAÇÃO
A subtração dos números racionais pode ser realizada 
somando o primeiro número com o oposto do segundo, desse 
modo resolvemos pelo mesmo método da adição.
Exemplo:
21 1
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OPERAÇÕES DE NÚMEROS RACIONAIS COM 
DECIMAIS
Para realizarmos este tipo de operação, podemos optar 
entre duas formas de resolução:
1ª maneira
Transformar todos os valores em fração
Exemplo:
Utiliza-se a simplifi cação de frações para tornar as 
operações mais fáceis.
2ª maneira 
Transformar todos os valores em decimal (usamos a 
regra do arredondamento no caso dos números decimais. 
Exemplo:
Observe:
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Toda fração é uma divisão, então transformar uma 
fração em número decimal é dividir o seu numerador 
pelo seu denominador.
MULTIPLICAÇÃO
Na multiplicação de números racionais, multiplicamos 
os numeradores e os denominadores da seguinte forma. 
Numerador multiplica numerador e denominador multiplica 
denominador.
Exemplo: 
ou 
 ou 
Para multiplicação de números racionais na forma 
decimal, basta multiplicar seus valores absolutos.
Exemplo:
(-0,876) . (-0,87) = +0,76212 ou (0,87) . (0,876) = + 
0,76212
⋅ ⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅ ⋅
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(0,876) . (-0,87) = - 0,76212 ou (-0,87) . (+0,876) = - 
0,76212
PROPRIEDADES DA MULTIPLICAÇÃO
COMUTATIVA
Na multiplicação de números racionais, a ordem dos 
fatores não altera o produto
Exemplo:
(0,876) . (-0,87) = - 0,76212 ou (-0,87) . (+0,876) = - 0,76212
ASSOCIATIVA
 Na multiplicação de números racionais com mais de 
dois fatores, não importa a ordem em que efetuamos as 
multiplicações.
Exemplo: 
DISTRIBUTIVA
O produto de um número racional por uma soma 
ou 
⋅ ⋅
⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
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de racionais é igual à soma dos produtos resultantes da 
multiplicação entre o primeiro racional e cada uma das 
parcelas.
Exemplo:
ELEMENTO NEUTRO DA MULTIPLICAÇÃO
Como vimos na adição, o elemento neutro é o zero. Já 
na multiplicação, o elemento neutro é o 1 (um), pois qualquer 
número multiplicado por 1 resulta nele mesmo.
Exemplo:
 
 ou 35 . 1 = 35
Vejamos a pura álgebra desta propriedade.
INVERSO 
Todo número multiplicado pelo seu inverso resulta em 1.
d d
⋅ ⋅ ⋅
⋅
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Através da multiplicação de fração, multiplicamos o 
numerador pelo numerador. Assim, obtemos o produto 
do numerador e, multiplicando denominador pelo 
denominador, obtemos o produto do denominador, 
ou seja, a segunda fração deve ser invertida, veja os 
exemplos a seguir:
Exemplo:
 ou 
 ou
Exemplo:
, para cada fração pertencente aos números 
inteiros, representamos seu inverso por 
 
= 1
DIVISÃO DOS NÚMEROS RACIONAIS
Na divisão de fração, trabalhamos com a multiplicação 
inversa. Você deve estar se perguntando: se é uma divisão, 
como vou resolver uma multiplicação?
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POTENCIAÇÃO DOS NÚMEROS RACIONAIS
Para elevarmos uma fração a um expoente, basta 
elevarmos o numerador e denominador a esse expoente.
Exemplo:
RADICIAÇÃO
Raiz enésima de um número 
Se considerarmos um número real x, para a raiz enésima 
desse número será representada da seguinte maneira:
 Índice radicando
A palavra Radical vem do latim radix, que signifi ca 
raiz. O símbolo √ de radical foi introduzido em 1525, 
por Christoff Rudolff.
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QUANDO O ÍNDICE FOR PAR
Exemplo:
, pois 9.9 = 9² = 81 e (-9) . (-9) = 81
, pois 3.3.3.3 = 34 = 81 e (-3)4 = 81 
– 2, pois 2.2.2.2.2.2.2.2 = 28 = 256 e (-2)8 = 256
A raiz quadrada dos números negativos não existe no 
conjunto dos números racionais. Isto também se estende a 
todas as raízes pares. Assim, qualquer número elevado ao 
quadrado resulta em um número positivo.
Exemplo:
 ( é o oposto de ) e não existe 
PARA ÍNDICES PARES no conjunto dos números Q!
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QUANDO O ÍNDICE FOR ÍMPAR
Exemplo:
 = 3, pois 3.3.3 = 3³ = 27
 = 2, pois 2.2.2.2.2.2.2 = 2
7 = 128
 = -3, pois, (-3).(-3).(-3) = (-3)³ = - 27
, pois (-2).(-2).(-2).(-2).(-2).(-2).(-2) = (-2)7 = - 128
Qualquer raiz de índice ímpar com radicando positivo ou 
negativo existe.
 
RAIZ COM ÍNDICE NATURAL E ZERO NO RADICANDO
Para raízes com o radicando zero e qualquer índice, o 
resultado sempre será zero.
 Exemplo:
, pois 0 . 0 = 0
POTÊNCIA COM EXPOENTE RACIONAL
Toda potência com expoente fracionário pode ser escrita 
na forma de radical e todo radical pode ser escrito na forma 
de uma potência com expoente fracionário.
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Exemplo:
 ou ou 
Os números inteiros também são racionais, por 
isso as propriedades estudadas para expoentes inteiros 
devem ser preservadas para os expoentes racionais.
Exemplo:
, ou seja,
 
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PROPRIEDADES DAS POTÊNCIAS
 COM EXPOENTE FRACIONÁRIO
Multiplicação de potências de mesma base; conserva a 
base e soma os expoentes.
Exemplo:
Divisão de potências de mesma base; conserva a base 
e subtrai os expoentes.
Exemplo:
Potência de potência
Exemplo:
RACIONALIZAÇÃO DE DENOMINADORES
No conjunto dos números reais existem expressões 
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que apresentam um radical no denominador, nesse caso 
precisamos racionalizar os denominadores. Para racionalizar, 
precisamos transformar o denominador em um denominador 
racional, mantendo o valor da expressão. Lembre que 
uma expressão em forma de fração não se altera quando 
multiplicamos ou dividimos o numerador e o denominador 
pelo mesmo número, diferente de zero.
Exemplo:
(a)
 = 
(b)
 = 
Potência de um produto
Exemplo:
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REDUÇÃO DE RADICAIS AO MESMO ÍNDICE
Reduzir ao mesmo índicesignifi ca atribuir dois radicais, 
de mesmo índice, de tal forma que o primeiro seja equivalente 
ao segundo.
Exemplo:
Ou seja,
PROPRIEDADES DOS RADICAIS
1ª Propriedade
Se um radical tem o índice igual ao expoente do 
radicando, seu valor é igual à base do radicando.
Exemplos:
 = 9, pois 9.9.9 = 9³ = 729 e a = 9
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 = 3, pois .3.3.3 = 3³ = 27 e a = 3
Não se esqueça, porém, das condições impostas à 
existência dos radicais envolvidos.
Exemplo:
 não é igual a -1, (-1)4 = 1, ou seja, = 1 pois 
2ª Propriedade
O valor do radical não se altera quando multiplicamos 
ou dividimos o índice e o expoente do radicando pelo mesmo 
número.
Exemplos:
(a)
(b)
(c)
1 3
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3ª Propriedade
Um radical que tem um produto no radicando pode ser 
decomposto em um produto de radicais de mesmo índice, 
com cada fator do primeiro produto em um radical. 
Exemplo:
4ª Propriedade
Se um radical tem um quociente em seu radicando, ele 
pode ser decomposto em um quociente de dois radicais com 
o mesmo índice. 
Exemplo:
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OPERAÇÕES COM RADICAIS
SIMPLIFICANDO RADICAIS
Se o valor do radicando tiver o expoente igual ao valor 
do índice do radical, esses fatores podem ser extraídos do 
radicando e escritos como fatores externos.
Exemplo:
737².37.9 ==
555².5³5 ==
Lembrando também que um fator externo pode ser 
introduzido como fator no radicando, bastando para isso 
escrevê-lo com um expoente igual ao índice do radical.
Exemplo:
7.97².373 ==
ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO
Na adição e subtração de radicais, só podemos escrever 
o resultado num só radical se os termos forem semelhantes, 
pois, então, podemos usar a propriedade distributiva da 
multiplicação em relação à adição e subtração.
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Exemplo:
MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO 
Exemplo:
Se os índices forem iguais, basta usar a 3ª e a 4ª 
propriedades.
Se os índices forem diferentes, devemos inicialmente 
reduzir os radicais ao mesmo índice para depois resolver. 
RESUMO DO TÓPICO
NÚMEROS RACIONAIS (Q)
Número Racional é todo número que pode ser 
34
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representado por uma fração com numerador e denominador 
inteiros e denominador diferente de zero (não existe divisão 
por zero).
Q = 





 ∈∈= *Z b e Za|
b
a Q 
FRAÇÕES EQUIVALENTES
Frações equivalentes são as que têm o mesmo valor 
em relação a uma fração, só que representada de forma 
equivalente (igual, mesmo valor).
SIMPLIFICAÇÃO DE FRAÇÃO
Simplifi car uma fração é poder dividir o numerador e o 
denominador por um mesmo número natural, diferente de 
zero e de um, tornando-a na sua forma irredutível.
COMPARAÇÃO DE DOIS NÚMEROS RACIONAIS
Comparar dois números racionais signifi ca dizer se o 
primeiro é maior do que (>), menor do que (<) ou igual (=) ao 
segundo.
OPERAÇÕES COM NÚMEROS RACIONAIS
ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO
A adição de números inteiros pode ser realizada pela 
redução das frações ao mesmo denominador positivo e pela 
soma dos numeradores, conservando o denominador.
35
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PROPRIEDADES DA ADIÇÃO
Comutativa: a ordem das parcelas não altera seu 
resultado.
Associativa: não importa a ordem em que forem feitas 
as adições, pois podemos agrupar valores e chegarmos aos 
mesmos resultados.
Elemento Neutro: qualquer número racional somado ao 
0 (zero), resulta nele mesmo.
Oposto ou Simétrico: qualquer número racional somado 
a seu oposto resulta em zero.
MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO
Na multiplicação de números racionais, multiplicamos 
os numeradores e os denominadores da seguinte forma: 
numerador multiplica numerador e denominador multiplica 
denominador.
PROPRIEDADES DA MULTIPLICAÇÃO
Comutativa: a ordem dos fatores não altera o produto.
Associativa: não importa a ordem em que efetuamos as 
multiplicações.
Distributiva: o produto pela soma dos racionais é igual 
à soma dos produtos resultantes da multiplicação entre o 
primeiro racional e cada uma das parcelas.
Elemento Neutro: na multiplicação o elemento neutro é 
o 1 (um), pois qualquer número multiplicado por 1 resulta nele 
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mesmo.
Inverso: todo número multiplicado pelo seu inverso resulta 
em 1.
RADICIAÇÃO
Se considerarmos um número real x, para a raiz enésima 
desse número será representada da seguinte maneira:
RACIONALIZAÇÃO DE DENOMINADORES
Para racionalizar, precisamos transformar o denominador 
em um denominador racional, mantendo o valor da expressão.
OPERAÇÕES COM RADICAIS
SIMPLIFICANDO RADICAIS: quando o valor do 
radicando tiver o expoente igual ao valor do índice do radical, 
esses fatores podem ser extraídos do radicando e escritos 
como fatores externos.
ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO: só podemos escrever o 
resultado num só radical se os termos forem semelhantes.
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1. Quando x = -5 e y = 4, a expressão , qual seu valor 
numérico:
a) Seu valor será 
b) Seu valor será 
c) Seu valor será -3 
d) Seu valor será 3
2. São dadas as igualdades:
I.
II.
III.
IV.
De acordo com as igualdades, é correto afi rmar que:
( ) Todas as igualdades são verdadeiras.
( ) Somente as igualdades I, II e IV são verdadeiras.
( ) Somente a igualdade II é verdadeira.
( ) Somente as igualdades I e II são verdadeiras.
3. O resultado de )64).(46( +− é:
a) 0
b) 
A UTOATIVIDADE
38
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c) 2 
d) 2
4. Simplifi cando o Radical , obtém-se:
a) 
b) 
c) 
d) 
5. Racionalizando o denominador de , o resultado será:
a) 
b) 
c) 
d) 
39
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a)
b)
c)
d)
6. Se você dividir por , obterá:
7. O número racional -2,7 pode ser escrito na forma de fração, 
assinale a opção correta:
a) 
b) 
c) 
d) 
40
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8. O número racional fi ca entre quais os inteiros 
consecutivos?
a) Entre os consecutivos -4 e -3. 
b) Entre os consecutivos -4 e -5.
c) Entre os consecutivos 4 e 3.
d) Entre os consecutivos 4 e 5. 
9. A expressão numérica , pode ser 
simplifi cada por qual expressão?
a) 
b) 
c) 
d) 
10. Determine o radical corresponde à potência 20,3, 
assinalando a opção correta:
a)
b)
c)
d)
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1. Quando x = -5 e y = 4, a expressão , qual seu valor numérico:
a) Seu valor será 
b) Seu valor será 
c) Seu valor será 
d) Seu valor será 3
2. São dadas as igualdades:
I.
II.
III.
IV.
De acordo com as igualdades, é correto afi rmar que:
( ) Todas as igualdades são verdadeiras.
( ) Somente as igualdades I, II e IV são verdadeiras.
( x ) Somente a igualdade II é verdadeira.
( ) Somente as igualdades I e II são verdadeiras.
G ABARITO
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3. O resultado de )64).(46( +− é:
a) 0
b) 
c) 2 
d) 2
4. Simplifi cando o Radical , obtém-se:
a) 
b) 
c) 
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d) 
5. Racionalizando o denominador de , o resultado será:
a) 
b) 
c) 
d) 
44Copyright © Editora GRUPO UNIASSELVI 2011. Todos os direitos reservados.
6. Se você dividir por , obterá:
a)
b)
c)
d)
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7. O número racional -2,7 pode ser escrito na forma de fração, assinale a opção 
correta:
a) 
b) 
c) 
d) 
8. O número racional fi ca entre quais os inteiros consecutivos?
a) Entre os consecutivos -4 e -3. 
b) Entre os consecutivos -4 e -5.
c) Entre os consecutivos 4 e 3.
d) Entre os consecutivos 4 e 5.
9. A expressão numérica , pode ser simplifi cada, assinale 
a sentença verdadeira:
46
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a) 
b) 
c) 
d) 
10. Determine o radical corresponde à potência 20,3, assinalando a opção correta:
a)
b)
c)
d)