Simulação computacional Método das Forças

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO 
CENTRO TECNOLÓGICO 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL 
 
 
 
 
 
 
 
SARA DE JESUS BULHOSA 
 
 
 
 
 
 
 
SIMULAÇÃO COMPUTACIONAL DO MÉTODO DAS FORÇAS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
VITÓRIA 
2020 
 
SARA DE JESUS BULHOSA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SIMULAÇÃO COMPUTACIONAL DO MÉTODO DAS FORÇAS 
 
 
 
 
Trabalho apresentado à disciplina de 
Análise Estrutural II, oferecida pela Universidade 
Federal do Espírito Santo, como requisito para 
avaliação durante a graduação em Engenharia 
Civil - Bacharelado. 
 
Professor: Marcos Antonio Campos Rodrigues 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
VITÓRIA 
2020 
1 
SUMÁRIO 
 
INTRODUÇÃO ……………….…………….…………….…………….…………….…………​3 
A. ESTRUTURA A SER RESOLVIDA …………….……….…….…………….…………….​4 
B. SISTEMA PRINCIPAL…………….…………….……..……….…………….…………….​5 
C. CASO BÁSICO (0) …………….………………….…………….…………….…………….​6 
D. CASOS BÁSICOS QUE ISOLAM OS HIPERESTÁTICOS ………………...………….​7 
D.1 Caso (1): Hiperestático X​1​ isolado no SP ………………….………….…………….​7 
D.2 Caso (2): Hiperestático X​2​ isolado no SP ………………….………….…………….​8 
D.3 Caso (3): Hiperestático X​3​ isolado no SP ………………….………….…………….​9 
D.4 Caso (4): Hiperestático X​4​ isolado no SP ……………………………....………….​10 
E. SISTEMA DE EQUAÇÕES DE COMPATIBILIDADE ………..……………....……….​11 
F. VERIFICAÇÃO DA SOLUÇÃO DO SISTEMA DE EQUAÇÕES…………….……….​12 
G. OBTENÇÃO DE ESFORÇOS INTERNOS…………….…………….………...……….​13 
CONCLUSÃO…………….…………………………………….….…………….…………….​13 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS………………………...….…………….…………….​14 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 
INTRODUÇÃO 
 
Para resolver uma estrutura hiperestática, é sempre necessário considerar os três 
grupos de condições básicas da análise estrutural: condições de equilíbrio, condições 
de compatibilidade entre deslocamentos e deformações, e condições impostas pelas 
leis constitutivas dos materiais (White et al., 1976). 
O primeiro método básico para analisar uma estrutura hiperestática é o chamado 
Método das Forças. Em sua formalização, existe uma sequência de introdução das 
condições básicas do problema: primeiro são utilizadas as condições de equilíbrio, em 
seguida são consideradas as leis constitutivas dos materiais e, finalmente, são 
utilizadas as condições de compatibilidade. 
Na prática, sua metodologia é: “somar uma série de soluções básicas que satisfazem 
as condições de equilíbrio, mas não satisfazem as condições de compatibilidade da 
estrutura original, para na superposição restabelecer as condições de compatibilidade.” 
O presente trabalho visa a resolver um pórtico hiperestático por meio do Método das 
Forças. Para tanto, o software Ftool será uma ferramenta que auxiliará o 
desenvolvimento deste. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
A. ESTRUTURA A SER RESOLVIDA 
Foi definido, arbitrariamente, o quadro plano hiperestático com grau de 
hiperestaticidade g=4 a seguir. O carregamento ao qual está submetido, a configuração 
deformada da estrutura e suas dimensões encontram-se na Figura 1. 
Quanto às propriedades, o material adotado apresenta módulo de elasticidade igual a 
E=2,05.10​8 ​kN/m² e todas as barras apresentam seção transversal com área A=6,7.10​-​³ 
m² e momento de inércia I=4,8.10​-5​ m​4​. 
 
 
 
 
 
 
A=6,7.10​-​³ m² 
I=4,8.10​-5​ m​4 
E=2,05.10​8 ​kN/m² 
 
 
 
 
 
Figura 1 -​ Estrutura original. 
 
As componentes de reações de apoio ​– indicadas na Figura 2 – que foram escolhidas 
como incógnitas da solução da estrutura pelo Método das Forças são: 
● M​A​, que corresponderá ao hiperestático X​1​; 
● V​B​, que corresponderá ao hiperestático X​2​; 
● H​C​, que corresponderá ao hiperestático X​3​ e 
● V​D​, que corresponderá ao hiperestático X​4​. 
 
4 
 
Figura 2 -​ Reações de apoio. 
 
Os valores das reações de apoio selecionadas como incógnitas são: 
● M​A​= ​–​1,071 kN.m​; 
● V​B​= 22,026 kN​; 
● H​C​= –0,481 kN​ e 
● V​D​= ​–​2,023 kN​. 
Os sinais negativos indicam sentidos contrários aos que foram arbitrados. 
Posteriormente, esses valores serão utilizados para verificação da solução do 
problema. 
 
B. SISTEMA PRINCIPAL 
Com a liberação de restrições de apoio associadas aos hiperestáticos escolhidos no 
item A, obteve-se a estrutura isostática apresentada na Figura 3. Essa estrutura será o 
Sistema Principal (SP) para a resolução do quadro original hiperestático pelo Método 
das Forças. 
5 
 
Figura 3 -​ Sistema Principal (SP). 
 
Observa-se que foram eliminados quatro vínculos externos da estrutura original: a 
imposição de rotação nula do apoio A, a imposição de deslocamento vertical θ A Δ B
V 
nulo do apoio B, a imposição de deslocamento horizontal ​nulo do apoio C e a Δ C
H 
imposição de deslocamento vertical nulo do apoio D. O número de vínculos que Δ D
V 
devem ser eliminados para transformar a estrutura hiperestática original em uma 
estrutura isostática é igual ao grau de hiperestaticidade, 4. 
A solução do problema pelo Método das Forças recai em encontrar os valores X​1​, X​2, 
X​3 e X​4 ​que fazem com que, juntamente com o carregamento aplicado, , θ A = 0 Δ B
V = 0
, e . A determinação de X​1​, X​2, X​3 e X​4 é feita através de superposição Δ C
H = 0 Δ D
V = 0 
de casos básicos, utilizando o SP como estrutura para as soluções básicas. O número 
de casos básicos é igual a g+1. Neste trabalho, isso resulta nos casos (0), (1), (2), (3) e 
(4) que são mostrados a seguir. 
 
C. CASO BÁSICO (0) 
O caso (0) do Método das Forças se refere à solicitação externa isolada no SP. Os 
valores da rotação e dos deslocamentos associados a esse caso foram obtidos no 
Ftool e estão apresentados na Figura 4. 
 
 
6 
 
Figura 4 -​ Configuração deformada do SP no caso (0). 
 
A figura acima mostra a configuração deformada do SP no caso (0). A rotação ​δ​10​, os 
deslocamentos verticais ​δ​20 e ​δ​40 ​e o deslocamento horizontal ​δ​30​, nas direções dos 
vínculos eliminados para a criação do SP, são chamados de termos de carga. 
Vale ressaltar que os sinais negativos para ​δ ​indicam que a rotação ou o 
deslocamento apresenta sentido contrário ao adotado para o hiperestático associado. 
 
D. CASOS BÁSICOS QUE ISOLAM OS HIPERESTÁTICOS 
Neste item, serão abordados os casos em que a estrutura do Sistema Principal está 
sujeita à carga dos hiperestáticos um a um. Aqui, as componentes de deslocamentos e 
rotações correspondem aos coeficientes de flexibilidade. 
 
D.1 Caso (1): Hiperestático X​1​ isolado no SP 
O caso (1) se refere ao hiperestático X​1 ​aplicado com valor unitário no Sistema 
Principal, de modo que, posteriormente, o efeito de X​1​=1 seja multiplicado pelo valor 
final que X​1 deverá ter. Os valores da rotação e dos deslocamentos associados a este 
hiperestático foram obtidos no Ftool e estão apresentados na Figura 5. 
7 
 
Figura 5 -​ Configuração deformada do SP no caso (1). 
 
A rotação ​δ​11​, os deslocamentos verticais ​δ​21 e ​δ​41 e o deslocamento horizontal 
δ​31​, provocados por X​1​=1, nas direções dos vínculos eliminados para a criação do SP, 
são chamados de coeficientes de flexibilidade. Por definição as unidades dos 
coeficientes de flexibilidade correspondem às unidades de deslocamento ou rotação 
divididas pela unidade do hiperestático em questão, que é kN.m. 
Vale ressaltar que os sinais negativos para ​δ​31 e ​δ​41 ​indicam que os deslocamentos 
apresentam sentido contrário ao adotado para os hiperestáticosassociados X​3 e X​4​, 
respectivamente. 
 
D.2 Caso (2): Hiperestático X​2​ isolado no SP 
O caso (2) se refere ao hiperestático X​2 ​aplicado com valor unitário no Sistema 
Principal, de modo que, posteriormente, o efeito de X​2​=1 seja multiplicado pelo valor 
final que X​2 deverá ter. Os valores da rotação e dos deslocamentos associados a este 
hiperestático foram obtidos no Ftool e estão apresentados na Figura 6. 
 
8 
 
Figura 6 -​ Configuração deformada do SP no caso (2). 
 
A rotação ​δ​12​, os deslocamentos verticais ​δ​22 e ​δ​42 e o deslocamento horizontal 
δ​32​, provocados por X​2​=1, nas direções dos vínculos eliminados para a criação do SP, 
também são coeficientes de flexibilidade. As unidades destes coeficientes, por 
definição, são unidades de deslocamento ou rotação divididas pela unidade do 
hiperestático X​2​, que é kN. 
Vale ressaltar que os sinais negativos para ​δ​32 e ​δ​42 ​indicam que os deslocamentos 
apresentam sentido contrário ao adotado para os hiperestáticos associados X​3 e X​4​, 
respectivamente. 
 
D.3 Caso (3): Hiperestático X​3​ isolado no SP 
O caso (3) se refere ao hiperestático X​3 ​aplicado com valor unitário no Sistema 
Principal, de modo que, posteriormente, o efeito de X​3​=1 seja multiplicado pelo valor 
final que X​3 deverá ter. Os valores da rotação e dos deslocamentos associados a este 
hiperestático foram obtidos no Ftool e estão apresentados na Figura 7. 
 
9 
 
Figura 7 -​ Configuração deformada do SP no caso (3). 
 
De maneira análoga aos casos (1) e (2), A rotação ​δ​13​, os deslocamentos verticais 
δ​23 e ​δ​43 e o deslocamento horizontal ​δ​33​, provocados por X​3​=1, são coeficientes de 
flexibilidade. As unidades destes coeficientes são unidades de deslocamento ou 
rotação divididas pela unidade do hiperestático X​3​, que é kN. 
Vale ressaltar que os sinais negativos para ​δ​13 e ​δ​23 ​indicam que a rotação e o 
deslocamento apresentam sentido contrário ao adotado para os hiperestáticos 
associados X​1​ e X​2​, respectivamente. 
 
D.4 Caso (4): Hiperestático X​4​ isolado no SP 
O caso (4) se refere ao hiperestático X​4 ​aplicado com valor unitário no Sistema 
Principal, de modo que, posteriormente, o efeito de X​4​=1 seja multiplicado pelo valor 
final que X​4 deverá ter. Os valores da rotação e dos deslocamentos associados a este 
hiperestático foram obtidos no Ftool e estão apresentados na Figura 8. 
 
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Figura 8 -​ Configuração deformada do SP no caso (4). 
 
Como em todos os casos do item D, a rotação ​δ​14 e os deslocamentos ​δ​24​, ​δ​34 e 
δ​44​, são coeficientes de flexibilidade. As unidades destes coeficientes são unidades de 
deslocamento ou rotação divididas pela unidade do hiperestático X​4​, que é kN. 
Vale ressaltar que os sinais negativos para ​δ​14 e ​δ​24 ​indicam que a rotação e o 
deslocamento apresentam sentido contrário ao adotado para os hiperestáticos 
associados X​1​ e X​2​, respectivamente. 
 
E. SISTEMA DE EQUAÇÕES DE COMPATIBILIDADE 
A partir dos resultados obtidos nos cinco casos mostrados, pode-se utilizar a 
superposição dos casos para restabelecer as condições de compatibilidade violadas. 
Isto é feito a seguir, num sistema de 4 equações e 4 incógnitas: 
 δ X δ X δ X δ X θ A = 0⇒ δ 10 + 11 1 + 12 2 + 13 3 + 14 4 = 0 
 δ X δ X δ X δ X Δ B
V = 0⇒ δ 20 + 21 1 + 22 2 + 23 3 + 24 4 = 0 
 δ X δ X δ X δ X Δ HC = 0⇒ δ 30 + 31 1 + 32 2 + 33 3 + 34 4 = 0 
 δ X δ X δ X δ X Δ D
V = 0⇒ δ 40 + 41 1 + 42 2 + 43 3 + 44 4 = 0 
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Escrevendo na forma matricial, na qual a matriz de flexibilidade é formada pelos 
coeficientes de flexibilidade, e substituindo os valores de deslocamentos e rotações 
obtidos: 
 
A solução deste sistema de equações de compatibilidade foi obtida com o auxílio de 
uma calculadora online de matrizes e resultou nos seguintes valores de reações de 
apoio: 
 , 74 kN .m X 1 = − 1 0 
 22, 29 kN X 2 = 0 
 , 82 kN X 3 = − 0 4 
 , 20 kN X 4 = − 2 0 
Os sinais negativos indicam sentidos contrários aos que foram arbitrados. 
 
F. VERIFICAÇÃO DA SOLUÇÃO DO SISTEMA DE EQUAÇÕES 
Na primeira coluna, temos os valores de reações encontrados com as equações de 
compatibilidade do item E. Na segunda coluna, retomamos os resultados da estrutura 
original vista no item A. 
 , 74 kN .m X 1 = − 1 0 
 22, 29 kN X 2 = 0 
 , 82 kN X 3 = − 0 4 
 , 20 kN X 4 = − 2 0 
 , 71 kN .mM A = − 1 0 
 22, 26 kNV B = 0 
 , 81 kNH C = − 0 4 
 , 23 kNV D = − 2 0 
Nota-se que as diferenças entre os valores estão na ordem de 10​-3 , e provavelmente 
ocorreram por motivos de arredondamento, visto que foram usados valores com três 
casas decimais ao longo das operações matemáticas. 
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Deste modo, temos que os valores dos hiperestáticos correspondem, de fato, à solução 
do sistema de compatibilidade obtido no item E. Assim, obteve-se a solução correta da 
estrutura porque, além de satisfazer as condições de equilíbrio – que sempre são 
satisfeitas nos casos (0), (1), (2), (3) e (4) –, o modelo estrutural satisfaz as condições 
de compatibilidade. 
 
G. OBTENÇÃO DE ESFORÇOS INTERNOS 
Para complementar o cálculo pelo Método das Forças, utiliza-se a própria superposição 
de casos básicos para a obtenção dos esforços internos. Tendo os diagramas dos 
casos básicos, os esforços internos finais da estrutura hiperestática original serão: 
 N X N X N X N X N N N = N 0 + 1 1 + 2 2 + 3 3 + 4 4 = 0 + ∑
j=4
j=1
N j j 
 Q X Q X Q X Q X Q Q Q = Q 0 + 1 1 + 2 2 + 3 3 + 4 4 = 0 + ∑
j=4
j=1
Q j j 
 M X M X M X M X M M M = M 0 + 1 1 + 2 2 + 3 3 + 4 4 = 0 + ∑
j=4
j=1
M j j 
 
Onde , , e . , 74 kN .m X 1 = − 1 0 2, 29 kN X 2 = 2 0 , 82 kN X 3 = − 0 4 , 20 kN X 4 = − 2 0 
 
CONCLUSÃO 
O cálculo do pórtico hiperestático feito ao longo deste trabalho ilustrou a resolução da 
estrutura pelo Método das Forças. Foi possível compreender que só há uma solução 
em que é garantido o equilíbrio da estrutura e as condições de compatibilidade. 
Convém salientar que, ao fim dos últimos 4 casos básicos que isolam os hiperestáticos, 
é possível notar que os sinais dos termos ​δ​ii​, sendo i o índice do hiperestático, sempre 
são positivos, pois são deslocamentos ou rotações nos próprios pontos de aplicação de 
forças ou momentos unitários aplicados. 
Nessa perspectiva, nota-se também que os valores de ​δ​ij e ​δ​ji são iguais. Os 
coeficientes ij e ji, sendo i e j índices de hiperestáticos, sempre serão iguais, e isto pode 
ser demonstrado pelo Princípio das Forças Virtuais: 
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 dx dx dx dxδ ij = ∫
 
 
EI
M M i j +∫
 
 
EA
N N i j +∫
 
 
GA
Q Q i j +∫
 
 
GJ
T T i j 
A forma da equação infere que . , e este fato que vale para todos os M i .M M j = M j i 
esforços internos, portanto . δ ij = δ ji 
Sendo assim, ainda que o Ftool tenha ajudado no sentido de informar os valores de 
deslocamentos e rotações ao invés de termos que calcular, o presente trabalho foi 
essencial para entender conceitos relevantes acerca do Método das Forças. 
 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
MARTHA, Luiz Fernando. ​Análise de estruturas: conceitos e métodos básicos.​ Rio 
de Janeiro: Elsevier, 2010. 
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