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Simulação computacional Método das Forças

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associados X​3 e X​4​, 
respectivamente. 
 
D.2 Caso (2): Hiperestático X​2​ isolado no SP 
O caso (2) se refere ao hiperestático X​2 ​aplicado com valor unitário no Sistema 
Principal, de modo que, posteriormente, o efeito de X​2​=1 seja multiplicado pelo valor 
final que X​2 deverá ter. Os valores da rotação e dos deslocamentos associados a este 
hiperestático foram obtidos no Ftool e estão apresentados na Figura 6. 
 
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Figura 6 -​ Configuração deformada do SP no caso (2). 
 
A rotação ​δ​12​, os deslocamentos verticais ​δ​22 e ​δ​42 e o deslocamento horizontal 
δ​32​, provocados por X​2​=1, nas direções dos vínculos eliminados para a criação do SP, 
também são coeficientes de flexibilidade. As unidades destes coeficientes, por 
definição, são unidades de deslocamento ou rotação divididas pela unidade do 
hiperestático X​2​, que é kN. 
Vale ressaltar que os sinais negativos para ​δ​32 e ​δ​42 ​indicam que os deslocamentos 
apresentam sentido contrário ao adotado para os hiperestáticos associados X​3 e X​4​, 
respectivamente. 
 
D.3 Caso (3): Hiperestático X​3​ isolado no SP 
O caso (3) se refere ao hiperestático X​3 ​aplicado com valor unitário no Sistema 
Principal, de modo que, posteriormente, o efeito de X​3​=1 seja multiplicado pelo valor 
final que X​3 deverá ter. Os valores da rotação e dos deslocamentos associados a este 
hiperestático foram obtidos no Ftool e estão apresentados na Figura 7. 
 
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Figura 7 -​ Configuração deformada do SP no caso (3). 
 
De maneira análoga aos casos (1) e (2), A rotação ​δ​13​, os deslocamentos verticais 
δ​23 e ​δ​43 e o deslocamento horizontal ​δ​33​, provocados por X​3​=1, são coeficientes de 
flexibilidade. As unidades destes coeficientes são unidades de deslocamento ou 
rotação divididas pela unidade do hiperestático X​3​, que é kN. 
Vale ressaltar que os sinais negativos para ​δ​13 e ​δ​23 ​indicam que a rotação e o 
deslocamento apresentam sentido contrário ao adotado para os hiperestáticos 
associados X​1​ e X​2​, respectivamente. 
 
D.4 Caso (4): Hiperestático X​4​ isolado no SP 
O caso (4) se refere ao hiperestático X​4 ​aplicado com valor unitário no Sistema 
Principal, de modo que, posteriormente, o efeito de X​4​=1 seja multiplicado pelo valor 
final que X​4 deverá ter. Os valores da rotação e dos deslocamentos associados a este 
hiperestático foram obtidos no Ftool e estão apresentados na Figura 8. 
 
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Figura 8 -​ Configuração deformada do SP no caso (4). 
 
Como em todos os casos do item D, a rotação ​δ​14 e os deslocamentos ​δ​24​, ​δ​34 e 
δ​44​, são coeficientes de flexibilidade. As unidades destes coeficientes são unidades de 
deslocamento ou rotação divididas pela unidade do hiperestático X​4​, que é kN. 
Vale ressaltar que os sinais negativos para ​δ​14 e ​δ​24 ​indicam que a rotação e o 
deslocamento apresentam sentido contrário ao adotado para os hiperestáticos 
associados X​1​ e X​2​, respectivamente. 
 
E. SISTEMA DE EQUAÇÕES DE COMPATIBILIDADE 
A partir dos resultados obtidos nos cinco casos mostrados, pode-se utilizar a 
superposição dos casos para restabelecer as condições de compatibilidade violadas. 
Isto é feito a seguir, num sistema de 4 equações e 4 incógnitas: 
 δ X δ X δ X δ X θ A = 0⇒ δ 10 + 11 1 + 12 2 + 13 3 + 14 4 = 0 
 δ X δ X δ X δ X Δ B
V = 0⇒ δ 20 + 21 1 + 22 2 + 23 3 + 24 4 = 0 
 δ X δ X δ X δ X Δ HC = 0⇒ δ 30 + 31 1 + 32 2 + 33 3 + 34 4 = 0 
 δ X δ X δ X δ X Δ D
V = 0⇒ δ 40 + 41 1 + 42 2 + 43 3 + 44 4 = 0 
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Escrevendo na forma matricial, na qual a matriz de flexibilidade é formada pelos 
coeficientes de flexibilidade, e substituindo os valores de deslocamentos e rotações 
obtidos: 
 
A solução deste sistema de equações de compatibilidade foi obtida com o auxílio de 
uma calculadora online de matrizes e resultou nos seguintes valores de reações de 
apoio: 
 , 74 kN .m X 1 = − 1 0 
 22, 29 kN X 2 = 0 
 , 82 kN X 3 = − 0 4 
 , 20 kN X 4 = − 2 0 
Os sinais negativos indicam sentidos contrários aos que foram arbitrados. 
 
F. VERIFICAÇÃO DA SOLUÇÃO DO SISTEMA DE EQUAÇÕES 
Na primeira coluna, temos os valores de reações encontrados com as equações de 
compatibilidade do item E. Na segunda coluna, retomamos os resultados da estrutura 
original vista no item A. 
 , 74 kN .m X 1 = − 1 0 
 22, 29 kN X 2 = 0 
 , 82 kN X 3 = − 0 4 
 , 20 kN X 4 = − 2 0 
 , 71 kN .mM A = − 1 0 
 22, 26 kNV B = 0 
 , 81 kNH C = − 0 4 
 , 23 kNV D = − 2 0 
Nota-se que as diferenças entre os valores estão na ordem de 10​-3 , e provavelmente 
ocorreram por motivos de arredondamento, visto que foram usados valores com três 
casas decimais ao longo das operações matemáticas. 
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Deste modo, temos que os valores dos hiperestáticos correspondem, de fato, à solução 
do sistema de compatibilidade obtido no item E. Assim, obteve-se a solução correta da 
estrutura porque, além de satisfazer as condições de equilíbrio – que sempre são 
satisfeitas nos casos (0), (1), (2), (3) e (4) –, o modelo estrutural satisfaz as condições 
de compatibilidade. 
 
G. OBTENÇÃO DE ESFORÇOS INTERNOS 
Para complementar o cálculo pelo Método das Forças, utiliza-se a própria superposição 
de casos básicos para a obtenção dos esforços internos. Tendo os diagramas dos 
casos básicos, os esforços internos finais da estrutura hiperestática original serão: 
 N X N X N X N X N N N = N 0 + 1 1 + 2 2 + 3 3 + 4 4 = 0 + ∑
j=4
j=1
N j j 
 Q X Q X Q X Q X Q Q Q = Q 0 + 1 1 + 2 2 + 3 3 + 4 4 = 0 + ∑
j=4
j=1
Q j j 
 M X M X M X M X M M M = M 0 + 1 1 + 2 2 + 3 3 + 4 4 = 0 + ∑
j=4
j=1
M j j 
 
Onde , , e . , 74 kN .m X 1 = − 1 0 2, 29 kN X 2 = 2 0 , 82 kN X 3 = − 0 4 , 20 kN X 4 = − 2 0 
 
CONCLUSÃO 
O cálculo do pórtico hiperestático feito ao longo deste trabalho ilustrou a resolução da 
estrutura pelo Método das Forças. Foi possível compreender que só há uma solução 
em que é garantido o equilíbrio da estrutura e as condições de compatibilidade. 
Convém salientar que, ao fim dos últimos 4 casos básicos que isolam os hiperestáticos, 
é possível notar que os sinais dos termos ​δ​ii​, sendo i o índice do hiperestático, sempre 
são positivos, pois são deslocamentos ou rotações nos próprios pontos de aplicação de 
forças ou momentos unitários aplicados. 
Nessa perspectiva, nota-se também que os valores de ​δ​ij e ​δ​ji são iguais. Os 
coeficientes ij e ji, sendo i e j índices de hiperestáticos, sempre serão iguais, e isto pode 
ser demonstrado pelo Princípio das Forças Virtuais: 
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 dx dx dx dxδ ij = ∫
 
 
EI
M M i j +∫
 
 
EA
N N i j +∫
 
 
GA
Q Q i j +∫
 
 
GJ
T T i j 
A forma da equação infere que . , e este fato que vale para todos os M i .M M j = M j i 
esforços internos, portanto . δ ij = δ ji 
Sendo assim, ainda que o Ftool tenha ajudado no sentido de informar os valores de 
deslocamentos e rotações ao invés de termos que calcular, o presente trabalho foi 
essencial para entender conceitos relevantes acerca do Método das Forças. 
 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
MARTHA, Luiz Fernando. ​Análise de estruturas: conceitos e métodos básicos.​ Rio 
de Janeiro: Elsevier, 2010. 
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