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Aritmética e Teoria dos Números Avaliação II - Individual Semipresencial

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Disciplina:  Aritmética e Teoria dos Números      
Avaliação:  Avaliação II - Individual Semipresencial      
1.Um aluno fez uma suposição de um método que busca determinar o valor de dois números, quando 
conhecido o resultado do seu produto e o mdc entre eles. Basicamente, o método consiste em 
observar a decomposição em fatores primos do resultado apresentado pela multiplicação. 
Percebendo que o método realmente estava correto, o professor questionou o aluno sobre o 
seguinte problema: 
"Sabendo que o produto de dois números com dois algarismos é 1944 e que o mdc entre eles é 18, 
quais seriam estes números?". Sobre este questionamento, analise as afirmativas a seguir: 
 
I- Um dos números é um quadrado perfeito. 
II- Os números são divisíveis também pelo 12. 
III- Ambos os números são pares. 
IV- O módulo da diferença entre eles é 18. 
 
Assinale a alternativa CORRETA: 
 a) As afirmativas II e III estão corretas. 
 b) As afirmativas I, II e IV estão corretas. 
 c)  As afirmativas I, III e IV estão corretas. 
 d) As afirmativas I e II estão corretas. 
2.É comum as pessoas acharem que a palavra "primo", que utilizamos para nomear os números 
primos, está se referindo a alguma relação de parentesco. Este pensamento está totalmente 
equivocado. Na verdade, a palavra primo está relacionada à ideia de primeiro, enquanto os demais, 
seriam os secundários, pensamento este dos primeiros matemáticos gregos. Com base neste 
conceito, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas: 
 
( ) Existem 10 números primos entre 0 e 30. 
( ) Existem infinitos números primos. 
( ) Se dois números são primos entre si, então um deles é primo. 
( ) O produto de dois números primos é um número ímpar. 
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA: 
 a) V - V - F - F. 
 b) F - V - V - F. 
 c)  V - F - F - V. 
 d) V - F - V - F. 
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3.Uma aplicação curiosa da fatoração de um número em primos é poder determinar a quantidade de 
divisores deste número e ainda descobrir quais são, pelas possíveis combinações existentes. Sobre 
o exposto, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas: 
 
( ) O números 60 possui 12 divisores. 
( ) Todo número possui uma quantidade par de divisores naturais. 
( ) Para o número 6 elevando a n (6^n) ter 16 divisores, n deve ser 3. 
( ) Se dois números possuem 4 divisores cada, o produto deles terá 8 divisores. 
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA: 
 a) V - F - V - V. 
 b) V - F - F - F. 
 c)  F - V - F - F. 
 d) V - F - V - F. 
4.Uma propriedade de mdc muito útil é o proposto por Euclides, por não precisar utilizar a fatoração 
em números primos. Esta propriedade mostra que o mdc (a, b) = mdc (a, b - na), com n pertencendo 
aos números naturais. Baseado nisso, acompanhe o desenvolvimento a seguir para cada mdc, e 
classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas: 
 
( ) mdc (76, 248) = mdc (76, 20) = mdc (20, 16) = mdc (16, 4) = 4. 
( ) mdc (24, 178) = mdc (24, 14) = mdc (14, 10) = mdc (10, 4) = mdc (4, 2) = 2. 
( ) mdc (48, 105) = mdc (48, 9) = mdc (9, 3) = 3. 
( ) mdc (48, 314) = mdc (48, 26) = mdc (26, 22) = mdc (22, 4) = mdc (4, 2) = 2. 
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA: 
 a) V - F - V - V. 
 b) V - F - V - F. 
 c)  F - F - V - V. 
 d) V - F - F - V. 
5.Resolver uma equação diofantinas linear aX + bY = c, nos naturais, pode ser simples, devido ao 
método procedimental existente para a sua solução. No entanto, saber se a equação possuirá 
solução, para um certo valor c, pode ter suas complicações. Em alguns casos, a verificação é óbvia 
da impossibilidade, porém, saber generalizar para qualquer valor c é fundamental. Sendo assim, 
para a equação 5X + 3Y = c, em que X, Y e c são números naturais incluindo o zero. Sobre as 
impossibilidades de obter uma solução com a mudança da constante c, classifique V para as 
sentenças verdadeiras e F para as falsas: 
 
( ) Existem 5 impossibilidades para c, em que a equação não possua solução. 
( ) O produto entre os casos impossíveis é 56. 
( ) A equação possui solução para qualquer c > 6. 
( ) Dois deles são números primos. 
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA: 
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 a) F - V - V - V. 
 b) F - V - F - V. 
 c)  V - F - V - F. 
 d) V - F - F - V. 
6.Uma proposta curiosa para fazer aos alunos é a investigação para encontrar a quantidade de 
divisores que existe para um certo número. Obviamente, este tipo de pergunta pode ser proposto no
momento em que eles estudam a estruturas de números, como o produto de números primos. 
Sobre o exposto, analise as sentenças a seguir: 
 
I- A quantidade de divisores do número 180 é 18. 
II- São 8 os divisores pares do número 48. 
III- Se um número possui 10 divisores e o outro 6 divisores, o produto entre eles proporciona 60 
divisores. 
IV- Os únicos números naturais que possuem dois divisores naturais são os primos. 
 
Assinale a alternativa CORRETA: 
 a) As sentenças I, II e IV estão corretas. 
 b) Somente a sentença II está correta. 
 c)  As sentenças I, III e IV estão corretas. 
 d) As sentenças I e III estão corretas. 
7.Em um pomar de laranjas chegou o momento da colheita. No primeiro momento, em cada carreiro 
deste pomar a colheita acontece dividindo igualmente as laranjas em 37 montes. Após serem 
retiradas 17 frutas para análise em laboratório, as restantes são embaladas em 79 embalagens, 
cada uma com a mesma quantidade. Quantas laranjas no mínimo, pode haver, em cada 
embalagem? 
 a) 7 laranjas. 
 b) 4 laranjas. 
 c)  6 laranjas. 
 d) 5 laranjas. 
8.Uma equação diofantinas é uma equação polinomial em que as variáveis podem assumir apenas 
valores inteiros. Um caso mais específico são as equações diofantinas lineares, em que os 
monômios envolvidos são de grau 0 ou 1. Sobre cada equação diofantinas, classifique V para as 
sentenças verdadeiras e F para as falsas: 
 
( ) A equação 4x + 3y = 7, possui solução nos naturais. 
( ) A equação 2x - 6y = 5, possui solução nos inteiros. 
( ) A equação 2x + 5y = 17, possui solução nos inteiros. 
( ) A equação 8x - 4y = 6, possui solução nos inteiros. 
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA: 
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 a) V - F - V - V. 
 b) V - F - V - F. 
 c)  F - F - V - F. 
 d) F - V - F - F. 
9.Equação diofantina

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