Ângulos (1)

Matemática

•
ESTÁCIO

Welysson Ciro
24.11.2020
Esta é uma pré-visualização de arquivo. Entre para ver o arquivo original
angulos_paralelas_i.pdf
M
www.cursomentor.com
Professor: Leonardo Santos
Tema: Ângulos e Retas Paralelas I
Data: 22 de março de 2015
Q1. Sendo r ∥ s, calcule o valor de a e de
b na figura 1. Q2. Sendo r ∥ s, calcule o
60
◦
a
b
r s
t
Figura 1: Questão 1
valor de a e de b na figura 2.
x
2
+ 8◦
b
a
x
5
+ 20◦
r
s
t
Figura 2: Questão 2
Q3. Duas retas paralelas cortadas por
uma transversal formam dois ângulos
correspondentes que medem, em graus,
2x+ 30◦ e 3x− 20◦. Determine as medidas
desses ângulos.
Q4. Duas retas paralelas cortadas por
uma transversal formam ângulos alternos
externos de medidas expressas por 10x+5◦
e 89◦ + 2x, respectivamente. Calcule a
medida dos ângulos.
Q5. Sendo r ∥ s na figura 3, quantos
x̂
85
◦
35
◦ r
s
Figura 3: Questão 5
graus mede o ângulo x̂?
Q6. Na figura 4 a seguir, temos r ∥ s.
Calcule m, n e x.
r s
3x
2x
m
n
80
◦
t
Figura 4: Questão 6
Q7. Calcule as medidas dos ângulos a, b e
x, indicados na figura, sendo r ∥ s.
a
x
b
2x− 10◦2x+ 10◦
r
s
Figura 5: Questão 7
Q8. Duas retas paralelas são cortadas por
uma transversal. A soma das medidas
de todos os ângulos obtusos formados
formados por essas retas é igual a 468◦.
Quanto mede cada ângulo agudo?
1
Gabarito Ângulos e Retas
Paralelas I
22 de março de 2015
Q1. a = 60◦; b = 120◦
Q2. a = b = 28◦
Q3. 130◦
Q4. 110◦
Q5. 50◦
Q6. x = 16◦; m = 32◦; n = 148◦
Q7. x = 60◦; a = 50◦; b = 70◦
Q8. 63◦
2
angulos_paralelas_ii.pdf
M
www.cursomentor.com
Professor: Leonardo Santos
Tema: Ângulo e Retas Paralelas II
Data: 22 de março de 2015
Q1. Um dos ângulos formados por duas pa-
ralelas com uma transversal mede 53◦ 17′.
Calcule os demais ângulos formados.
Q2. As medidas de dois ângulos cola-
terais internos formados por duas paralelas
com uma transversal têm uma diferença
de 47◦ 23′ 18′′. Calcule todos os demais
ângulos formados.
Q3. A soma das medidas dos ângulos
agudos formados por duas paralelas com
uma transversal é igual a 206◦. Calcule as
medidas de todos os ângulos formados.
Q4. Dois ângulos colaterais internos
têm medida 2x+34◦ e 6x+16◦. Calcule x.
Q5. Dois ângulos são alternos inter-
nos e medem x
2
+ 12◦ e x
3
+ 36◦. Calcule x.
Q6. Sabendo que
←→
AB∥
←→
CD calcule x̂.
A B
C D
130
◦
x̂
150
◦
Q7. Use retas paralelas e mostre que:
a) A soma dos ângulos internos de um tri-
ângulo é 180◦;
b) Usando o item anterior, mostre que a
soma dos ângulos externos do triângulo
vale 360◦.
Q8. Sabendo que
←→
AB∥
←→
CD calcule ŷ.
B A
C D
50
◦
ŷ
110
◦
Q9. Sabendo que
←→
AB∥
←→
CD calcule ẑ.
A B
C D
25
◦
120
◦
ẑ
1
Gabarito Ângulos e Retas
Paralelas II
Q1. 53◦ 17′, 126◦ 43′
Q2. 113◦ 41′ 39′′, 47◦ 23′ 18′′
Q3. 51◦ 30′, 128◦ 30′
Q4. 16◦ 15′
Q5. 144◦
Q6. 80◦
Q7.
a) Trace uma paralela a um dos lados e
marque os ângulos correspondentes.
b) Si + Se = 540◦ ⇒ Se = 360◦
Q8. 120◦
Q9. 75◦
2
angulos-v2.pdf
Curso Mentor
www.cursomentor.com
Turma: EPCAr/CMRJ
Professor: Leonardo Santos
Tema: Ângulos
Data: 25 de março de 2012
Q1. (CFS) A transformação de 9◦ em segun-
dos é:
a) 540′′ b) 22400′′ c) 32400′′ d) 3600′′ e) 100′′
Q2. (CFS) Efetuando 42◦15′29′′ − 20◦42′20′′
encontramos:
a) 20◦33′9′′
b) 21◦33′9′′
c) 22◦28′7′′
d) 22◦18′17′′
e) 23◦15′29′′
Q3. (CFS) O complemento de
3
4
de 79◦35′48′′
mede:
a) 7◦48′9′′
b) 16◦7′44′′
c) 30◦18′9′′
d) 30◦48′52′′
e) 73◦52′16′′
Q4. (CFS) Dois ângulos x̂ e ŷ (x̂ > ŷ) são
complementares. Um deles é o quádruplo do outro.
A diferença x̂− ŷ vale:
a) 75◦ b) 80◦ c) 54◦ d) 15◦ e) 70◦
Q5. (CAP UFRJ) A razão entre dois ângu-
los adjacentes é 3 : 4 e o ângulo formado pelas suas
bissetrizes mede 91◦. Quanto mede o menor desses
ângulos?
Q6. (CFS) Dois ângulos adjacentes â e b̂ medem
respectivamente, 15 do seu complemento e
1
9 do
seu suplemento. Assim sendo, a medida do ângulo
formado por suas bissetrizes é:
a) 80◦30′
b) 74◦30′
c) 35◦30′
d) 24◦30′
e) 16◦30′
Q7. (PUC) Determine o ângulo entre os ponteiros
do relógio às 4h 20min.
Q8. (CFS) Quando duas retas coplanares r e
s são cortadas por uma transversal t, elas formam:
a) Ângulos alternos externos suplementares
b) Ângulos colaterais internos complementares
c) Ângulos alternos externos congruentes
d) Ângulos alternos internos suplementares
e) Ângulos correspondentes suplementares
Q9. (CFS) Duas retas paralelas cortadas por
uma transversal determinam dois ângulos alter-
nos externos cujas medidas são a = 2x + 57◦ e
b = 5x + 12◦. Calcule, em graus, as medidas de a
e b:
a) a = 70◦ e b = 70◦
b) a = 60◦ e b = 60◦
c) a = 78◦ e b = 78◦
d) a = 87◦ e b = 87◦
e) a = 93◦ e b = 93◦
Q10. (CEFET) Na figura, AB é paralelo a
CD. O valor do ângulo BÊC é:
a) 35◦ b) 40◦ c) 50◦ d) 55◦ e) 75◦
Q11. (CAP UFRJ) As retas r1 e r2 da fi-
gura são paralelas. Determine a medida de α.
1
Gabarito
Q1. C Q2. B Q3. C Q4. C Q5. 78◦
Q6. C Q7. 10◦ Q8. C Q9. D Q10. E
Q11. 40◦
2
Cap-7-Ângulos e Triângulos - exercícios - 08-06-2016.docCEPAF/TIOWILLY
7º ANO – SÓ FERAS!!!
08-06-2016
1. Calcule o valor de x e y observando as figuras abaixo:
a)
b)
2. Calcule a medida de x nas seguintes figuras:
a)
b)
3. A medida do complemento
a) do ângulo de 27º 31’ é__________________________
b) do ângulo de 16º 15’ 28’’ é ______________________
4. A medida do suplemento
a) do ângulo de 128º é_______________________
b) do ângulo de 32º 56’ é_____________________
5. Resolva os problemas abaixo:
I – O dobro da medida de um ângulo é igual a 130º. Quanto mede esse ângulo?
II – O dobro da medida de um ângulo, aumentado de 20º, é igual a 70º. Calcule esse ângulo.
III – Calcular o ângulo que, diminuído de 20º, é igual ao triplo de seu suplemento.
6. A medida de um ângulo mais a metade da medida do seu complemento é igual a 75º. Quanto mede esse ângulo?
7. A medida do suplemento de um ângulo é igual ao triplo da medida do complemento desse mesmo ângulo. Quanto mede esse ângulo?
8. Somando 
 
3
 
 
2
 
 da medida de um ângulo com a medida do seu complemento, obtemos 74º. Quanto mede esse ângulo?
9. Calcule os ângulos indicados pelas letras nas figuras abaixo:
a) b) 
c) 
d) 
10. Na figura abaixo, 
OB
 é bissetriz de AÔC e 
OD
 é bissetriz de CÔE. Calcule x:
11. Na figura, 
OM
 é bissetriz de CÔD e med (AÔB) = 120º. Calcule x e y.
12. Na figura abaixo, 
OB
 é bissetriz do ângulo AÔC, quais as medidas x e y indicadas na figura? 
y
4x + 5º
5x – 15º
3x – 15º
y
60º
3x + 20º
x
(
x + 15º
3x – 5º
x
(
A
(
C
(
M
(
D
(
B
15º
y + 10º
y
 x
(
A
(
B
(
C
(
D
(
E
70º
50º
120º
 z
45º
y
x
y
2x – 30º
3x + 20º
17º
 z
95º
x
w
y
 z
108º
y
x
20º
23º
O
C
(
B
(
A
(
 x
 y
_1284208121.unknown
_1284208122.unknown
_1281979641.unknown
_1284208075.unknown
_1207244959.unknown
CEPAF - EXERCÍCIOS SOBRE ÂNGULOS - 27-10-2017.docCEPAF/TIO WILLY TURMA 601 27-10-2017
♦ COMPLEMENTARES: se a soma de suas medidas é igual a 90º e neste caso, um ângulo é o complemento do outro.
♦ SUPLEMENTARES: se a soma de suas medidas é igual a 180º e neste caso, um ângulo é o
suplemento do outro.
♦REPLEMENTARES: se a soma de suas medidas é igual a 360º e neste caso, um ângulo é o replemento do outro.(FIGURA ACIMA)
1) Responda:
a) Um ângulo de 70° e um de 110° são suplementares?
b) Um ângulo de 155° e um de 25° são suplementares?
2) Calcule o complemento, o suplemento e o replemento (se houver) dos seguintes ângulos:
a) 30° 
b) 42,5° 
c) 72° 
d) 132,27° 
e) 140° 
f) 151° 
Adição de Ângulos com Grau, Minutos e Segundos
1) Responda:
a) Um grau é igual a quantos minutos?
b) Um minuto é igual a quantos segundos? 
c) Um grau é igual a quantos segundos? 
2) Transforme em minutos
a) 6° 53’
b) 15° 15’ 
c) 10° 56’
3) Transforme:
a) 120’ em graus
b) 300’ em graus
c) 420’ em graus
d) 120” em minutos
e) 1200º em minutos
4) Transforme em minutos e segundos:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 5) Calcule a soma:
a) 135º 58’ 58’’ + 215º 48’ 58’’ 
b) 205º 38’ 27’’ + 85º 40’ 37’’ 
c) 197º 58’ 38’’ + 15º 49’ 59’’ 
d) 222º 22’ 22’’ + 315º 59’ 59’’ 
6) Calcule os produtos:
a) 35º 48’ 58’’ . 3 
b) 157º 54’ 25’’ . 5 
c) 227º 34’ 52’’ . 7 
d) 299º 59’ 59’’ . 10 
1º = 60’
1’ = 60’’
360º = 1 volta
CEPAF - EXERCÍCIOS SOBRE ÂNGULOS -14-05-2018.docCEPAF/TIO WILLY TURMA 601 27-10-2017
♦ COMPLEMENTARES: se a soma de suas medidas é igual a 90º e neste caso, um ângulo é o complemento do outro.
♦ SUPLEMENTARES: se a soma de suas medidas é igual a 180º e neste caso, um ângulo é o suplemento do outro.
♦REPLEMENTARES: se a soma de suas medidas é igual a 360º e neste caso, um ângulo é o replemento do outro.(FIGURA ACIMA)
1) Responda:
a) Um ângulo de 70° e um de 110° são suplementares?
b) Um ângulo de 155° e um de 25° são suplementares?
2) Calcule o complemento, o suplemento e o replemento (se houver) dos seguintes ângulos:
a) 30° 
b) 42,5° 
c) 72° 
d) 132,27° 
e) 140° 
f) 151° 
Adição de Ângulos com Grau, Minutos e Segundos
CEPAF/Tio Willy 15/05/2018 Turma 601
Brincando com Ângulos
1) Responda:
a) Um grau é igual a quantos minutos?
b) Um minuto é igual a quantos segundos? 
c) Um grau é igual a quantos segundos? 
2) Transforme em minutos
a) 6° 53’
b) 15° 15’ 
c) 10° 56’
3) Transforme:
a) 120’ em graus
b) 300’ em graus
c) 420’ em graus
d) 120” em minutos
e) 1200º em minutos
4) Transforme em minutos e segundos:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 5) Calcule a soma:
a) 135º 58’ 58’’ + 215º 48’ 58’’ 
b) 205º 38’ 27’’ + 85º 40’ 37’’ 
c) 197º 58’ 38’’ + 15º 49’ 59’’ 
d) 222º 22’ 22’’ + 315º 59’ 59’’ 
6) Calcule os produtos:
a) 35º 48’ 58’’ . 3 
b) 157º 54’ 25’’ . 5 
c) 227º 34’ 52’’ . 7 
d) 299º 59’ 59’’ . 10 
1º = 60’
1’ = 60’’
360º = 1 volta
denise_matematica_7a_serie_angulos.pdf
 
Ângulos 
 
 
 
Profa. Dra. Denise Ortigosa Stolf 
 
 
Sumário Página 
O ângulo e seus elementos.............................................................................................. 1 
Medida de um ângulo...................................................................................................... 3 
 Ângulos congruentes ................................................................................................ 6 
 Ângulo raso e ângulo nulo........................................................................................ 7 
Operações com medidas de ângulos ............................................................................. 13 
 Transformação de unidades.................................................................................... 14 
 Simplificando os resultados ................................................................................... 15 
 Adição .................................................................................................................... 16 
 Subtração ................................................................................................................ 16 
 Multiplicação por um número natural .................................................................... 18 
 Divisão por um número natural.............................................................................. 19 
Ângulos consecutivos e ângulos adjacentes ................................................................. 21 
Bissetriz de um ângulo.................................................................................................. 24 
 Construção da bissetriz........................................................................................... 25 
Ângulo reto, ângulo agudo e ângulo obtuso ................................................................. 28 
 Retas perpendiculares............................................................................................. 29 
Ângulos complementares e ângulos suplementares...................................................... 30 
Ângulos opostos pelo vértice........................................................................................ 34 
 Uma propriedade importante dos ângulos o.p.v.......................................................................35 
Referências bibliográficas............................................................................................. 38 
 
 
 
 1 
Ângulos 
 
 
O ângulo e seus elementos 
Veremos como representar matematicamente um ângulo e destacar suas partes 
principais, utilizando os modelos abaixo: 
 
 
Nos modelos matemáticos de figuras que surgem a idéia de ângulo, podemos 
destacar duas semi-retas de mesma origem e não-opostas, que dividem o plano 
em duas regiões: uma convexa e outra não-convexa. 
 
 
 
 
Denominamos ângulo a região formada por duas semi-retas não-opostas que têm 
a mesma origem. 
 
 
 2 
No ângulo da figura abaixo, podemos destacar os seguintes elementos: 
 
� O é o vértice do ângulo 
� As semi-retas OA e OB são denominadas lados do ângulo 
 
Para identificar esse ângulo utilizamos a notaçãoAÔB ou BÔA : 
 
(Lê-se “ângulo AOB”) 
A letra que corresponde ao vértice deve ficar no meio 
 
 
OBS.: Quando não houver dúvidas quanto ao ângulo a que nos referimos, 
podemos utilizar uma notação que indica apenas o seu vértice. 
 
 
 
Ângulo Ô ou AÔB Ângulo P ou NP̂M Neste caso, há três 
ângulos com vértices em 
O: AÔB, BÔC e AÔC 
 
 3 
Medida de um ângulo 
 
A medida de um ângulo é dada pela medida de sua abertura, e a unidade padrão 
utilizada é o grau, que se representa pelo símbolo º após o número. 
Vamos ver o que representa o grau. 
As primeiras noções de ângulo foram desenvolvidas na Grécia antiga. Deve-se a 
Hiparco de Nicéia (século II a.C.), considerado pelos gregos como o pai da 
Astronomia, a primeira divisão do círculo em 360 partes iguais, com o objetivo 
de medir ângulos. 
A cada um desses 360 arcos em que a circunferência foi dividida associamos um 
ângulo cuja medida chamaremos de 1 grau. 
 
 
 
 
O grau é uma unidade de medida de ângulo; 1 grau corresponde à medida do 
ângulo (com vértice no centro da circunferência) associado a um arco de 
360
1
 da 
circunferência. 
 
 
 
 
 4 
Exemplos: 
 
 
 
Assim, para medir um ângulo, comparamos sua medida à medida de um ângulo 
de 1º. Ná prática, utilizamos um instrumento de medida chamado transferidor. O 
transferidor já vem graduado com divisões de 1º em 1º. 
 
 
 
Para medir um ângulo: 
• coloque o transferidor sobre o ângulo, fazendo com que seu centro coincida
com o vértice do ângulo 
• coloque a escala correspondente ao zero no transferidor sobre um dos lados 
do ângulo 
• identifique na escala do transferidor o número interceptado pelo outro lado do 
ângulo 
 
 5 
Exemplos: 
 
a) A medida do ângulo AÔB é 45º, e indicamos med (AÔB) = 45º. 
 
 
 
 
 
b) A medida do ângulo AÔC é 160º, e indicamos med (AÔC) = 160º. 
 
 
 
 
 
 
 
 6 
Ângulos congruentes 
 
Consideremos os ângulos AÔB e QP̂M abaixo: 
 
 
Se transportarmos um ângulo sobre o outro, podemos notar que os vértices e os 
lados dos dois ângulos coincidem: 
 
Assim, AÔB e QP̂M possuem a mesma 
abertura e, portanto, a mesma medida. 
 
Dois ângulos que têm a mesma medida são chamados ângulos congruentes, e 
utilizamos o símbolo ≅ para relacioná-los. 
 
 
 
 
 
 
Q)P̂(Mmed(AÔB)med =
usamos o símbolo = 
quando comparamos 
medidas 
QP̂MAÔB ≅
congruente 
usamos o símbolo ≅ 
quando comparamos 
ângulos 
 7 
Na prática, utilizamos o transferidor para determinar se dois ângulos são ou não 
congruentes. 
 
 
med C)B̂(A = 56º med (DÊF)= 56º 
DÊFAÔB ≅ 
 
 
Ângulo raso e ângulo nulo 
 
• Quando duas semi-retas são opostas, dizemos que formam um ângulo raso ou 
de meia-volta. 
 
BÂC é um ângulo raso ou de meia-volta 
 
 
 8 
• Quando duas semi-retas coincidem, obtemos dois ângulos: o ângulo nulo e 
o ângulo de uma volta. 
 
 
 
ângulo nulo ângulo de uma volta 
 
 
Usando um transferidor, podemos determinar as medidas, em graus, dos ângulos 
abaixo: 
 
 
 
 
 9 
EXERCÍCIOS A 
(1) Considere o ângulo da figura abaixo e responda: 
a) Qual é o vértice desse ângulo? 
 
 
 
b) Quais são os lados desse ângulo? 
 
 
 
c) Qual é o nome desse ângulo? 
 
 
 
 
 
 
(2) Na figura abaixo, identifique todos os ângulos e nomei os mesmos. 
 
 
 
 
 
 
 
 10 
(3) Na figura seguinte, dê as medidas dos ângulos indicados: 
 
 
 
 
 
 
 
(4) Usando um transferidor, dê a medida de cada ângulo: 
a) 
 
b) 
 
 11 
c) 
 
d) 
 
e) 
 
f) 
 
 
 
(5) No exercício anterior, identifique os pares de ângulos congruêntes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 12 
(6) Construa, com a ajuda do transferidor, um ângulo de: 
a) 42º 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 90º 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) 125º 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) 180º 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 13 
Operações com medidas de ângulos 
 
Como vimos, o transferidor mede ângulos com intervalos de 1 em 1 grau. Mas 
há ângulos que não possuem como medida um número inteiro de graus. Como 
não é costume utilizar decimais em medidas de ângulos, utilizamos os 
submúltiplos do grau. 
O grau tem dois submúltiplos: o minuto e o segundo. Para escrever a medida de 
um ângulo utilizando o minuto e o segundo, utilizamos a base 60 de numeração. 
 
 
 
• minuto →→→→ :símbolo ′ 
• segundo →→→→ :símbolo ′′ 
 
Portanto: 
 
 
Por exemplo, o ângulo de medida 18,5º pode ser escrito assim: 
0318º0318ºº50º18º518 ′=′+=+= ,, 
 
 
 
 
 14 
Transformação de unidades 
 
Vejamos como fazer transformações de unidades de ângulos observando os 
exemplos: 
 
1) Quantos minutos tem 32º? 
 
Resposta: 32º tem 0192 ′ . 
 
2) Expresse 037º2 ′′′ em segundos. 
 
Resposta: 037º2 ′′′ tem 0765 ′′ . 
 
3) Escreva 0568 ′′ em graus, minutos e segundos. 
 
Resposta: 0568 ′′ tem 0443º1 ′′′ . 
 15 
Simplificando os resultados 
 
Em algumas situações, principalmente nas operações com medidas de ângulos, 
precisamos simplificar os resultados obtidos. Vejamos como fazer isso, 
observando os exemplos. 
 
1) Simplificar 06º54 ′ . 
º55º1º5406º54 =+=′ 
Resposta: 06º54 ′ escrito na forma simplificada é 55º. 
 
2) Simplificar 612º18 ′ . 
6º206º206º2º186012º18612º18 ′=′+=′++=′+′+=′ 
Resposta: 612º18 ′ escrito na forma simplificada é 6º20 ′ . 
 
3) Simplificar 0857º27 ′′′ . 
0261º280857º27
0261º1º270857º27
026106º270857º27
0267º270857º27
02157º270857º27
020657º270857º27
0857º270857º27
′′+′+=′′′
′′+′++=′′′
′′+′+′+=′′′
′′+′+=′′′
′′+′+′+=′′′
′′+′′+′+=′′′
′′+′+=′′′
 
Resposta: 0857º27 ′′′ escrito na forma simplificada é 0261º28 ′′+′+ . 
 
 
 
 16 
Adição 
 
1) Quanto é a soma de 3553º76 ′′′ com 8345º47 ′′′ ? 
 
 
Expressamos o resultado sempre na forma simplificada. Então: 
 
 
Resposta: A soma é 1303º124 ′′′ . 
 
Subtração 
 
1) Calcule a diferença 9261º387345º68 ′′′−′′′ . 
 
 
Resposta: A diferença é 883º30 ′′′ . 
 17 
2) Qual é o valor de 0384º67623º105 ′′′−′′′ ? 
 
 
Agora calculamos a diferença: 
 
 
Resposta: O valor de 0384º67623º105 ′′′−′′′ é 6331º37 ′′′ . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 18 
Multiplicação por um número natural 
 
1) Qual é o produto de 0381º17 ′′′ por 6? 
 
 
Expressamos o resultado sempre na forma simplificada. Então: 
 
 
Resposta: O produto de 0381º17 ′′′ por 6 é 15º103 ′ . 
 
 
 
 
 
 
 
 19 
Divisão por um número natural 
 
1) Calcule o quociente ( 0413º82 ′′′ ) : 4. 
 
 
Resposta: O quociente é 5573º20 ′′′ . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 20 
EXERCÍCIOS B 
(1) Efetue as operações indicadas: 
a) 0201º4121º13 ′′′+′ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) 3:)3363º27( ′′′ 
b) 0351º1002º35 ′′′−′ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) )5442º10(4 ′′′⋅ 
 
(2) Determine, na forma mais simplificada possível, o valor das expressões: 
a) 0315º1381º275321º15 ′′′+′+′′′ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 5:)02º15º50( ′− 
 
 21 
(3) Na figura abaixo, AÔC é um ângulo de meia-volta. Qual o valor de x? 
 
 
 
 
 
 
 
Ângulos consecutivos e ângulos adjacentes 
 
Observe a figura: 
 
 
Nela identificamos os ângulos AÔC, CÔB e AÔB. 
Verifique em cada uma das figuras seguintes que: 
 
 22 
 
Os ângulos AÔC e CÔB possuem: 
Vértice comum: O 
Lado comum: OC 
 
Os ângulos AÔC e AÔB possuem: 
Vértice comum: O 
Lado comum: OA 
 
Os ângulos CÔB e AÔB possuem: 
Vértice comum: O 
Lado comum: OB 
 
Os pares de ângulos AÔC e CÔB, AÔC e AÔB, CÔB e AÔB são denominados 
ângulos consecutivos. 
Assim: 
Dois ângulos que possuem o mesmo o mesmo vértice têm um lado comum são 
denominados ângulos consecutivos. 
 23 
Observe os exemplos de ângulos consecutivos vistos anteriormente e verifique 
que: 
 
Os ângulos AÔC e CÔB não possuem 
pontos internos comuns 
 
Os ângulos AÔC e AÔB possuem 
pontos internos comuns. 
 
Os ângulos CÔB e AÔB possuem 
pontos internos comuns. 
 
Verifique que os ângulos AÔC e CÔB são consecutivos e não possuem pontos 
internos comuns. Por isso eles são denominados ângulos adjacentes. 
Assim: 
Dois ângulos consecutivos que não possuem ponto interno comum são 
denominados ângulos adjacentes. 
 24 
Bissetriz de um ângulo 
 
Observe a figura abaixo: 
 
 
med (AÔP) = med (PÔB) = 25º 
 
Verifique que a semi-reta OP divide o 
ângulo AÔB em dois ângulos (AÔP e 
PÔB) congruentes. 
Nesse caso, a semi-reta OP é 
denominada bissetriz do ângulo AÔB. 
 
 
Assim: 
 
Bissetriz de um ângulo é a semi-reta de origem no vértice desse ângulo que 
determina, com seus lados, dois ângulos adjacentes congruentes. 
 
 
 
 25 
Construção da bissetriz 
 
Com o compasso e a régua, podemos facilmente traçar a bissetriz de um ângulo 
dado, como veremos a seguir. 
Traçar a bissetriz de um ângulo AÔB 
Com o centro no vértice O, traçamos 
um arco com abertura qualquer e 
determinamos os pontos C e B. 
 
Com centro nos pontos C e D 
traçamos dois arcos de mesma 
abertura, que se encontram no ponto 
E. 
 
A semi-reta é a bissetriz do ângulo 
AÔB. 
 
 
 
 
 26 
EXERCÍCIOS C 
(1) Em cada figura, escreva os pares de ângulos adjacentes: 
 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(2) Com o transferidor, desenhe os ângulos abaixo, traçando em seguida a 
bissetriz de cada um utilizando o compasso. 
a) 60º 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 27 
b) 110º 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) 90º 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) 77º 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 28 
Ângulo reto, ângulo
agudo e ângulo obtuso 
 
Podemos classificar um ângulo em agudo, obtuso ou reto. 
 
Ângulo reto é o ângulo cuja 
medida é 90º. 
 
Ângulo agudo é o ângulo cuja 
medida é menor que 90º. 
 
Ângulo obtuso é o ângulo cuja 
medida é maior que 90º. 
 
 
 
 29 
Retas perpendiculares 
 
Se traçarmos duas retas num plano, tais que sejam concorrentes (possuam um 
ponto em comum), é possível obter 4 ângulos congruentes, ou seja, de mesma 
medida. 
 
É fácil verificar que cada um desses ângulos 
mede 90º. 
a = b = c = d 
 
 
 
Quando duas retas concorrentes formam entre si quatro ângulos retos, dizemos 
que as retas são perpendiculares e utilizamos o símbolo ⊥ para representar esse 
perpendicularismo. 
 
Na figura ao lado, r e s formam entre si quatro 
ângulos retos; então sr ⊥ . 
Símbolo: ⊥ (perpendicular a) 
 
 
 
 
 30 
Ângulos complementares e ângulos suplementares 
 
Observe os ângulos BÔA e CÔB na figura abaixo: 
 
 
 
Verifique que: 
med ( BÔA ) + med ( CÔB ) = 90º 
Nesse caso, dizemos que os ângulos BÔA e CÔB são complementares. 
 
Assim: 
 
Dois ângulos são complementares quando a soma de suas medidas é 90º. 
 
Para calcular a medida do complemento de um ângulo, devemos determinar a 
diferença entre 90º e a medida do ângulo agudo dado. 
Medida do ângulo Complemento 
x 90º − x 
 
 
 31 
Observe os ângulos BÔA e CÔB na figura abaixo: 
 
 
 
Verifique que: 
med ( BÔA ) + med ( CÔB ) = 180º 
Nesse caso, dizemos que os ângulos BÔA e CÔB são suplementares. 
 
Assim: 
 
Dois ângulos são suplementares quando a soma de suas medidas é 180º. 
 
Para calcular a medida do suplemento de um ângulo, devemos determinar a 
diferença entre 180º e a medida do ângulo agudo dado. 
Medida do ângulo Suplemento 
x 180º − x 
 
 
 
 
 
 32 
Exemplos: 
 
a) Determinar a medida do complemento e do suplemento do ângulo de 46º. 
Complemento: º44º46º90 =− 
Suplemento: º134º46º180 =− 
Resposta: O complemento do ângulo de 46º mede 44º e o suplemento 134º. 
 
b) Na figura abaixo, determinar o valor de x. 
 
Como os ângulos são adjacentes complementares: 
º35x
2
70º
x
70º2x
º2090ºx2
º90º202x
º90º10xº30x
=
=
=
−=
=+
=−++
 
Resposta: O valor de x é 35º. 
 
c) Na figura abaixo, determinar as medidas CB̂A e DB̂C . 
 
Como os ângulos são adjacentes 
suplementares: 
º42x
4
168º
x
º6814x
º120º81x4
º180º124x
º180º12x3x
=
=
=
−=
=+
=++
 
Resposta: CB̂A mede 126º e DB̂C mede 54º. 
 33 
EXERCÍCIOS D 
(1) Nas figuras abaixo, determine x: 
 
a) 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
c) 
 
 
 
 
 
d) 
 
e) 
 
 
 
 
 
f) 
 
 
 34 
 
Ângulos opostos pelo vértice 
 
Observe os ângulos AÔB e CÔD na figura abaixo: 
 
 
Verifique que: 
OA e OC são semi-retas opostas 
OB e OD são semi-retas opostas 
 
Portanto, as semi-retas OA e OB que formam os lados do ângulo AÔB são 
opostas, respectivamente, às semi-retas OC e OD que formam os lados do 
ângulo CÔD. 
 
Neste caso, podemos também afirmar que os lados do ângulo AÔB são 
formados pelos prolongamentos dos lados do ângulo CÔD, e vice-versa. 
 
A esses dois ângulos damos o nome de ângulos opostos pelo vértice. 
 
Dois ângulos são chamados opostos pelo vértice (abreviamos o.p.v.) quando os 
lados de um forem prolongamentos dos lados do outro e vice-versa. 
 
 
 
 
 
 
 35 
Uma propriedade importante dos ângulos o.p.v. 
 
 
Na figura ao lado, os ângulos AÔD e BÔC 
são opostos pelo vértice. 
Indicamos por: 
x = med ( CÔB ) 
y = med ( DÔA ) 
m = med ( BÔA ) 
 
Como BÔA e DÔA são adjacentes 
suplementares: 
 
º180ym =+ (I) 
 
Como BÔA e CÔB são adjacentes 
suplementares: 
 
º180xm =+ (II) 
 
Comparando (I) e (II) , temos: 
 
º180xm
º180ym
=+
=+
 ⇒ 
xy 
xmym
=
+=+
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Podemos enunciar a seguinte propriedade: 
Dois ângulos opostos pelo vértice são congruentes, ou seja, têm a mesma 
medida. 
 
 
 
 36 
Exemplo: 
 
► Determinar os valores de x e y na figura abaixo. 
 
 
o.p.v. ângulos 30ºx →= 
ressuplementa adjacetes ângulos 180º30ºy →=+
150ºy
30º180ºy
=
−=
 
Resposta: O valor de x é 30º e de y é 150º. 
 
 
EXERCÍCIOS E 
(1) Nas figuras seguintes, calcule as medidas de x, y, a e b: 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 37 
b) 
 
 
 
 
 
c) 
 
 
 
 
 
d) 
 
 
 
 
 
 
 38 
Referências bibliográficas 
ANDRINI, Álvaro; VASCONCELLOS, Maria José. Novo praticando 
matemática. São Paulo: Brasil, 2002. 
BIGODE, Antonio José Lopes. Matemática hoje é feita assim. São Paulo: 
FTD, 2006. 
DANTE, Luiz Roberto. Tudo é matemática. São Paulo: Ática, 2005. 
EDIÇÕES EDUCATIVAS DA EDITORA MODERNA. Projeto Araribá: 
Matemática. São Paulo: Moderna, 2007. 
EDUCOM: ASSOCIAÇÃO PORTUGUESA DE TELEMÁTICA 
EDUCATIVA. Disponível em: <http://portal.educom.pt>. Acesso em: 19 de 
outubro de 2008. 
GIOVANNI, José Ruy; GIOVANNI JUNIOR, José Ruy. Matemática: pensar e 
descobrir. São Paulo: FTD, 2005. 
GIOVANNI, José Ruy; CASTRUCCI; Benedito; GIOVANNI JUNIOR, José 
Ruy. A conquista da matemática. São Paulo: FTD, 1998. 
GUELLI, Oscar. Matemática em construção. São Paulo: Ática, 2004. 
GUELLI, Oscar. Matemática: uma aventura do pensamento. São Paulo: 
Ática, 1998. 
IMENES, Luiz Márcio; LELLIS, Marcelo Cestari. Matemática paratodos. São 
Paulo: Scipione, 2006. 
KLICK EDUCAÇÃO: O PORTAL DA EDUCAÇÃO. Disponível em: 
<http://www.klickeducacao.com.br>. Acesso em: 7 de outubro de 2008. 
MIANI, Marcos. Matemática no plural. São Paulo: IBEP, 2006. 
MORI, Iracema; ONAGA, Dulce Onaga. Matemática: idéias e desafios. São 
Paulo: Saraiva, 1997. 
 39 
MUNDO VESTIBULAR. Disponível em: <http://www.mundovestibular.com.br>. 
Acesso em: 30 de outubro de 2008. 
SÓ MATEMÁTICA. Disponível em: <http://www.somatematica.com.br>. 
Acesso em: 23 de outubro de 2008. 
 
 
Exercício Avaliativo de Geometria - ângulkos - 9-04-2017.doc
CENTRO EDUCACIONAL PAULO FREIRE
EDUCANDO PARA O FUTURO
Matéria: Matemática Álgebra Geometria
Professor: Tio Willy
Turma: 601 Turno: 1º Data: ___/04/2017
Aluno(a): _______________________________________________________ nº: _________________
1) Quantos ângulos há na figura abaixo? E quais são eles?
2) Determine o complementar, o suplementar e o replementar (se houver): 
a) 127º 
b) 30º
c) 70º 15’35’’
d) 329º 50’10’’
e) 145º 01’01’’
3) Calcule:: 
a) 20°12' 36" + 219º59’59’’
b) 118°10' 51’’. 7
4) Determine o valor de x, y e z:
 x
68º
 z
108º
y
x
120º
 z
45º
y
x
mat39 - Medida de Ângulos.pdf
39
A U L A
Medida de ângulos
Introdução
39
A U L A
Há muitas situações em que uma pequena
mudança de ângulo causa grandes modificações no resultado final. Veja alguns
casos nos quais a precisão dos ângulos é fundamental:
Para saber
a direção a seguir
Para instalar uma
antena parabólica
N
S
EO
NE
SESO
NO
Na construção civil
No futebol
Na localização no mapa Na arquitetura
39
A U L A São tantos os exemplos que você já deve estar se lembrando de outros.
Mas o que é ângulo?
Ângulo é o nome que se dá à
abertura formada por duas
semi-retas que partem de
um mesmo ponto.
As semi-retas que formam o ângulo são os lados do ângulo, e o ponto de
origem das semi-retas é chamado vértice do ângulo.
Nesta aula vamos estudar um pouco mais sobre os ângulos, como medi-los
(que instrumentos usar e qual a unidade de medida) e alguns exemplos e
aplicações importantes.
O ângulo mais famoso, justamente por ser o mais comum, é o ângulo reto.
Você se lembra dele? O ângulo reto é aquele ângulo formado por duas retas
perpendiculares e que está sempre presente nos esquadros. Você deve lembrar
também que o ângulo reto mede 90º.
Falando em medida de um ângulo, neste caso o ângulo reto, perguntamos:
Como
medir um ângulo?
O instrumento utilizado para medir ângulos é o transferidor, e você pode
encontrá-lo de dois tipos:
90
18
00
17
0
10
16
020
15
030
14
040
45 13
05
0 120
60 110
70 100
80 100
80 70
110
60
120
50
130
45
40
140
30
150
20
160
10
170
0 180
190
350
200
340
210
330
220
320
230
310
240
300
250
290
260
280
270
270
280
260290
250300
2403
10 2
303
20 2
20
35
0
19
0
34
0
20
0
33
0 21
0
90
18
00
17
0
10
16
020
15
030
14
040
45 13
05
0 120
60 110
70 100
80 100
80 70
110
60
120
50
130
45
40
140
30
150
20
160
10
170
0 180
lado
lado
‰ngulov•rtice
Nossa aula
39
A U L AUsar o transferidor é muito simples. Observe estes exemplos e depois
pratique desenhando ângulos e medindo-os com seu transferidor.
Dado um ângulo, devemos fazer coincidir seu vértice com o centro do
transferidor e um de seus lados com a marca do zero do transferidor, como
mostram as figuras:
A unidade de medida de ângulo é o grau. Desenhando uma circunferência
e dividindo-a em 360 pequenos ângulos iguais, obtemos um ângulo de um grau.
Usando o transferidor, desenhamos um ângulo de 1º (um grau). Verifique como
ele é pequeno!
EXEMPLO 1
Qual destes ângulos é maior?
Usando um transferidor, você pode verificar que os três ângulos possuem
a mesma abertura (20 graus) e portanto são do mesmo tamanho.
Se dois ângulos têm a mesma abertura, também têm a mesma medida.
EXEMPLO 2
Na ilustração que está na próxima página, você pode observar uma parte do
litoral brasileiro. Vamos ver como calcular a direção, da rota de um avião,
supondo que ele viaje usando sempre a menor distância entre dois pontos, ou
seja, em linha reta.
Nos mapas usados pela aviação, encontramos pequenas bússolas
desenhadas sobre algumas cidades. Para calcular o ângulo de uma rota, o
piloto coloca um transferidor sobre o mapa e faz a leitura do ângulo.
O diâmetro do transferidor deve ter a mesma direção que a direção Norte-
Sul da bússola, sendo que 0º corresponde ao norte magnético.
90
18
00
17
0
10
16
020
15
030
14
040
45 13
05
0 120
60 110
70 100
80 100
80 70
110
60
120
50
130
45
40
140
30
150
20
160
10
170
0 180
centro
90
18
00
17
0
10
16
020
15
030
14
040
45 13
05
0 120
60 110
70 100
80 100
80 70
110
60
120
50
130
45
40
140
30
150
20
160
10
170
0 180
centro
marca de 60º marca de 90º
1
39
A U L A Nesta ilustração, você pode conferir que a rota de um vôo do Rio de
Janeiro a Aracaju é de 56º. Observe que a rota do Rio de Janeiro a João
Pessoa também é de 56º, porém a distância desta viagem é maior do que
a da primeira.
Classificando ângulos
Você já sabe que o ângulo que mede 90º é chamado ângulo reto. Outro
ângulo que recebe nome especial é o ângulo que mede 180º. Neste tipo de ângulo,
as duas semi-retas que formam os lados estão sobre uma mesma reta, e ele é
chamado ângulo raso.
90
18
00
17
0
10
16
020
15
030
14
040
45 13
05
0 120
60 110
70 100
80 100
80 70
110
60
120
50
130
45
40
140
30
150
20
160
10
170
0 180
90
90
18
00
17
0
10
16
020
15
030
14
040
45 13
05
0 120
60 110
70 100
80 100
80 70
110
60
120
50
130
45
40
140
30
150
20
160
10
170
0 180
180
90
180
0 170
10 160
20
150
30
140
4045
130
50
120
60
110
70
100
80
10080
70
110
60
120
50
1304540 140
30 15020 16010 1700 180
N
S
L
O
Jo‹o Pessoa
Aracajœ
Oceano Atl‰ntico
Rio de
Janeiro
39
A U L AÂngulos com medidas entre 0º e 90º são chamados ângulos agudos, e
ângulos com medidas entre 90º e 180º são chamados ângulos obtusos.
Na figura anterior, temos um ângulo agudo e um ângulo obtuso e, além
disso, a soma de suas medidas é igual a 180º. Quando a soma de dois ângulos
é 180º, eles são chamados ângulos suplementares.
Quando dois ângulos agudos somam 90º, eles são chamados ângulos
complementares.
Curiosidade
Você já observou um par de esquadros? Existem dois tipos de esquadro.
Um deles é formado por um ângulo reto e dois ângulos de 45º, e o outro
possui um ângulo reto, um ângulo de 30º e outro de 60º. Confira!
90
18
00
17
0
10
16
020
15
030
14
040
45 13
05
0 120
60 110
70 100
80 100
80 70
110
60
120
50
130
45
40
140
30
150
20
160
10
170
0 180
48
137
‰ngulo agudo
‰ngulo obtuso
90
18
00
17
0
10
16
020
15
030
14
040
45 13
05
0 120
60 110
70 100
80 100
80 70
110
60
120
50
130
45
40
140
30
150
20
160
10
170
0 180
‰ngulo
agudo60
30
‰ngulo
agudo
30
60
45
45
39
A U L A EXEMPLO 3
Para decidir com um carpinteiro qual o ângulo de inclinação que seu telhado
terá, você precisa saber que tipo de telha irá utilizar.
Um carpinteiro nos informou que, para usar telhas francesas, o telhado pode
ter um caimento de 45%. Isso significa que, nesse caso, para cada metro
horizontal, o telhado �cai� 45% de metro. Representamos essa situação com
um desenho em escala a seguir:
Medindo com o transferidor o ângulo x de inclinação do telhado, encon-
tramos 25º.
Se você decidir usar telha de amianto, o ângulo de inclinação pode ser um
ângulo de 10º. Nesse caso, o caimento do telhado seria aproximadamente de
15%. Confira usando o desenho a seguir.
EXEMPLO 4
Você já reparou que, quando observamos um automóvel que se distancia ao
longo de uma grande avenida, ele parece estar diminuindo de tamanho? Ou
que, quando assistimos a um grande show, quanto mais longe do palco,
menores parecem ser os artistas?
x
4,5 m
1 m
escala: 1 m = 10 cm
x
1,5 m
1 m
escala: 1 m = 10 cm
205
0,45 m
0,15 m
39
A U L AObserve a ilustração abaixo. Nela, um homem foi desenhado maior do que
o outro para dar a impressão de que está mais perto de nós. Como vemos o
homem �menor� sob um ângulo de visão menor, nosso cérebro interpreta
a cena como se esse homem estivesse mais afastado do que o primeiro.
Podemos concluir que o ângulo de visão que temos de um objeto depende
da distância desse objeto e da posição que estamos em relação a ele. E nosso
ângulo de visão máximo, sem mexer a cabeça, é de 180º.
Os ângulos e a semelhança
Na Aula 21, você estudou semelhança de figuras planas. Relembre agora o
importante papel que os ângulos exercem no caso de figuras semelhantes.
Sempre que dois polígonos são semelhantes, seus ângulos são
iguais e seus lados são proporcionais e vice-versa.
Observe os polígonos abaixo.
Como são polígonos semelhantes, você pode medir os ângulos correspon-
dentes em cada par e verificar que suas medidas são iguais.
39
A U L A Mas será que a recíproca é verdadeira? Ou seja, será que, sempre que os
ângulos forem iguais, os polígonos serão semelhantes?
Não! Basta verificar que isso não vale para um exemplo. Veja:
Um quadrado e um retângulo não são semelhantes.
No entanto, ambas as figuras possuem quatro ângulos retos.
Mas existe um caso especial. Quando o nosso polígono for
um triângulo é verdadeiro afirmar que se os três ângulos
correspondentes de dois triângulos são iguais, então os
triângulos são semelhantes.
Podemos verificar este fato construindo pares de triângu-
los com ângulos iguais. Observe o exemplo seguinte.
EXEMPLO 5
Construa dois triângulos diferentes com ângulos medindo 50º, 60º e 70º.
Vamos construir o primeiro triângulo e chamá-lo de ABC. Desenhamos um
segmento qualquer que será sua base AB. Usando o transferidor, marcamos
em A um ângulo de 50º e em B um ângulo de 60º. Traçando as semi-retas que
formam o segundo lado de cada um desses ângulos, o ponto onde elas se
encontram é o vértice C do triângulo ABC.
Verifique que o ângulo com vértice em C mede 70º.
(50º + 60º + 70º = 180º)
A soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180º.
Vamos agora utilizar o mesmo processo para desenhar outro triângulo MNP
com ângulos de 50º, 60º e 70º. Já que queremos um triângulo diferente,
vamos começar com uma base maior.
Agora, medindo os lados dos dois triângulos podemos verificar que são
proporcionais. Dobramos o comprimento da base, e os outros 2 lados, automa-
ticamente, dobraram suas medidas.
2 cmA
50
B2 cmA 2 cmA
50
B
C
60
4 cmM
50
N
P
60
70
4 cmM
50
N
39
A U L AExercício
1
Use o transferidor e meça os ângulos abaixo:
a)  b) c)
Exercício 2
Desenhe ângulos conforme o que se pede:
a) agudo
b) reto
c) obtuso
d) raso
Exercício 3
Utilize o mapa do Exemplo 2 e determine os ângulos das rotas abaixo:
a) Rio- Vitória;
b) Rio- São Paulo
Exercício 4
No mesmo mapa, podemos observar que a rota Rio- Belém é de 15º. Se o
piloto errar e marcar nos aparelhos uma rota de 150º, o que acontece?
Exercício 5
Observe a bússola da figura e descubra, usando um transferidor, a quantos
graus correspondem as direções NE (Nordeste), SE (Sudeste), NW (Noroes-
te), SW (Sudoeste).
Exercício 6
Construa um triângulo MNP semelhante a qualquer triângulo cujos ângulos
meçam 110º, 30º e 40º.
Exercício 7
Determine o ângulo suplementar (ou o suplemento) de:
a 120º
b) 43º
Exercício 8
Determine o ângulo complementar (ou o complemento) de:
a) 37º
b) 25º
Exercícios
Estas
abreviaturas no
texto referem-se à
bússola, que
sempre traz as
direções em inglês.
N
S
EO
NE
SESO
NO
1 - Ângulos - CEPAF - 601 - 31-03-2017.docEMzAV
Tio Willy 31-03-2017 T.601
1) Quantos ângulos há na figura abaixo? E quais são eles?
2) A medida de um ângulo obtuso é_______do que a de um ângulo reto e _________do que a de um ângulo raso. Que palavras completam a frase corretamente? (Assinale a opção correta.)
 menor - menor
 b) maior – menor c) menor - maior
 d) maior – maior
3) Classifique os ângulos destacados como reto, agudo ou obtuso.
4) Responda às perguntas sem utilizar o transferidor. Quanto mede o menor ângulo formado pelos ponteiros do relógio que está marcando:
5) Estão representados vários ângulos. Com o auxílio do transferidor, indique suas medidas:
6) 
Efetue as operações a seguir:
a) 59° + 75°
b) 10°26' 47’’ + 19°12' 51’’
c) 34°15'20" + 08°12' 47"
d) 37°57'35" + 15°48'46"
e) 32°34'58" + 25°25'02"
f) 53° - 29°
g) 28°50' - 16°10' 59’’
h) 100° + 40°35'40’’
i) 75°40'12" + 140°28'52" 
j) 67°00’ 58’’ + 25°25'20"
7) Calcule os produtos: 
a) 14° 25' x 3
b) 20°12' 36" x 2
c) 118°10' 51’’ x 7
d) 213°70' 35" x 5
8) Determine o complementar, o suplementar e o replementar (se houver): 
a) 127º 
b) 53º 
c) 30º
d) 70º 15’35’’
e) 329º 50’10’’
f) 145º 01’01’’
g) 215º 59’59’’
h) 11º15’37’’ 
i) 48º 37’29’’
d) 2h30min?
c) 10h30min?
b) 11 horas?
a) 4 horas?
1 - Ângulos Notáveis.ppt
Preenchimento:
	30	45	60
	Sen
	Cos
	Tg
2-lista-de-exercicios-de-angulos-7-serie-8-ano - 04-05-2016.docColégio Adventista de Castelo Branco 
Ensino Fundamental II 3º Bimestre
 II -LISTA DE MATEMÁTICA ÂNGULOS
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
1) Calcular x no triângulo abaixo:
2) Calcule x no triângulo abaixo:
3) Calcule x no triângulo abaixo: 
EXERCÍCIOS 
1) Quanto vale a soma dos ângulos internos de um triângulo?
2) Copie e complete o quadro, sendo A,B e C ângulos internos de um triângulo.
3) Determine x em cada um dos triângulos
4) Determine x em cada um dos triângulos:
5) Determine a medida dos ângulos x, y e z.
TEOREMA DO ÂNGULO EXTERNO
Em qualquer triângulo, a medida de um ângulo externo é igual à soma das medidas dos ângulos internos não-adjacentes.
Prova:
consideremos um triângulo ABC. vamos provar que m(ê) = m(Â) + m (B) 
Exemplos
Calcule o valor de x no triângulo abaixo:
EXERCÍCIOS 
1) Determine a medida do ângulo externo indicado em cada triângulo:
2) Calcule o valor de x nos triângulos dados:
3) Calcule o valor de x nos triângulos dados:
4) Calcule o valor de x nos triângulos dados:
5) Calcule o valor de x:
6) Calcule w e y :
7) Calcule x: 
CONCRÊNCIA DE TRIÂNGULOS 
Intuitivamente, dois triângulos ABC e RST são congruentes se for possivel transportar um deles sobre o outro, de modo que eles coincidam.
Definição 
Dois triângulos são chamados congruentes quando os lados e os angulos correspondentes são congruentes.
logo: 
CASOS DE CONGRUÊNCIA
O estudo dos casos de congruência de dois triângulos tem por finalidade estabelecer o menor número de condições para que dois triângulos sejam congruêntes.
1º CAS0 : L. L. L. ( lado, lado, lado)
Dois triângulos que têm os três lados respectivamente congruentes são congruentes.
2º CASO L. A. L. (lado, ângulo, lado)
Dois treângulos que têm dois lados e o ângulo por eles formados respectivamente congruentes são con gruentes.
3º CASO A. L. A. ( ângulo, lado , ângulo)
Dois triângulos que tem um lado e dois ângulos adjacentes a esse lado respectivamente congruentes são congruentes.
4º CASO : L. A. A° ( lado , ângulo, ângulo oposto)
Dois trângulos que têm um lado, um ângulo adjacente e um ângulo oposto a esse lado respectivamente congruentes são congruentes.
EXERCÍCIOS
1) Cite, em cada item, o caso de congruência dos triângulos.
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
1) Calcular x no triângulo abaixo:
2) Calcule x no triângulo abaixo:
3) Calcule x no triângulo abaixo: 
8º Ano - angulos_7serie.pdf
ÂNGULOS
O que é ângulo.
Ângulo é a figura 
formada por duas semi-
retas com a mesma 
origem. Essas semi-
retas são os lados do 
ângulo e a origem 
comum é o vértice de 
ângulo.
Uma notação bastante usada hoje é:
Medida de um ângulo
Os ângulos são medidos em graus com o 
auxílio do transferidos. Na figura abaixo, o 
ângulo AÔB mede 30º (trinta graus)
Para medir um ângulo fazer coincidir o ponto de origem 
do ângulo com o do transferidor. O número de graus de 
um ângulo é a sua medida.
Os submúltiplos do grau são o minuto (’) e o segundo (”).
Simbolicamente:
Um ângulo de 35 graus e 20 minutos é indicado por 
35º20’.
Um ângulo de 18 graus, 30 minutos e 45 segundos é
indicado por 18º30’45”.
Dois ângulos são adjacentes quando têm 
um lado em comum e não tem pontos 
internos comuns.
Ângulos adjacentes
Ângulos Congruentes
Bissetriz de um ângulo
Bissetriz de um ângulo é
a semi-reta com origem no 
vértice do ângulo e que o 
divide em dois outros 
ângulos congruentes.
Exercícios de Fixação
Calcule a medida dos ângulos indicados 
por a:
Resposta: 
20º
Exercícios de Fixação
Calcule a medida dos ângulos indicados 
por a:
Resposta: 
54º
Exercícios de Fixação
Calcule x:
5x – 20º = 2x + 10º
X = 10º
Resposta:
Exercícios de Fixação
Calcule x:
2x = x - 15º
X = 45º
Resposta:
3
Classificação de ângulos
Como a figura seguinte sugere, duas retas 
perpendiculares determinam quatro ângulos com 
medida igual. Cada um deles é um ângulo reto.
Vamos classificar os ângulos 
comparando-os com o ângulo reto
Os ângulos seguintes são 
considerados ângulos especiais.
Os ângulos seguintes são 
considerados ângulos especiais.
Ângulos complementares
Observe os ângulos dados nas figuras. A soma 
das medidas desses ângulos é 90º.
Exercícios
Calcule a medida do ângulo x:
X = 56º
Resposta:
Exercícios
Calcule x, sabendo que os ângulos são 
complementares.
5X + x = 90º
X = 15º
Resposta:
Exercícios
Calcule x, sabendo que os ângulos são 
complementares.
x + x + 18º = 90º
X = 36º
Resposta:
Exercícios
Calcule x, sabendo que os ângulos são 
complementares.
2x + x - 15º = 90º
X = 35º
Resposta:
Exercícios
Calcule x, sabendo que os ângulos são 
complementares.
x + 10º + x = 90º
X = 40º
Resposta:
Ângulos suplementares
Observe os ângulos dados na figura. A 
soma das medidas desses ângulos é 180º.
Ângulos suplementares
Dois ângulos são suplementares quando a 
soma de suas medidas é 180º
Exercícios de Fixação
Responda:
Um ângulo de 60º e um de 120º
são suplementares?
Resposta: Sim.
Exercícios de Fixação
Responda:
Um ângulo de 86º e um de 104º
são suplementares?
Resposta: Não.
Exercícios de Fixação
Responda:
Um ângulo de 145º e um de 35º
são suplementares?
Resposta: Sim.
Exercícios de Fixação
Qual a medida do ângulo x?
Resposta: 138º
Exercícios de Fixação
Calcule o suplemento dos seguintes 
ângulos.
Resposta: 162ºa) 18º
Resposta: 30ºb) 150º
Resposta: 86º20’c) 93º40’
Resposta: 63º30’d) 116º30’
Exercícios de Fixação
Calcule x sabendo que os ângulos são 
suplementares.
Resposta:
5x + 4x = 180º
X = 20º
Exercícios de Fixação
Calcule x sabendo que os ângulos são 
suplementares.
Resposta:
x + x + 10º = 180º
X = 85º
Exercícios de Fixação
Calcule x sabendo que os ângulos são 
suplementares.
Resposta:
5x – 30º + 2x = 180º
X = 30º
Exercícios de Fixação
Calcule x sabendo que os ângulos são 
suplementares.
Resposta:
x – 20º + 3x – 40º= 180º
X = 50º
Ângulos opostos pelo vértice
Dois ângulos são opostos pelo vértice 
quando os lados de um são semi-retas 
opostas aos lados outro. Veja figura:
Se você medir e comparar os quatro 
ângulos indicados, vai perceber que os 
ângulos opostos pelo vértice têm medida 
igual. Veja que é fácil provar que a e c são 
sempre iguais.
Não. Os lados se um não estão no 
prolongamento dos lados do outro.
Quais são os três pares de ângulos 
opostos pelo vértice?
Exercícios de Fixação
Resposta:
a e d
b e e
c e f
Calcule os ângulos indicados pelas 
letras:
Exercícios de Fixação
Resposta:
x = 72º, y=72º e z=108º
Calcule os ângulos indicados pelas 
letras:
Exercícios de Fixação
Resposta:
x = 95º, z=17º e y=68º e 
w = 68º
Calcule os ângulos indicados pelas 
letras:
Exercícios de Fixação
Resposta:
x = 120º, z=60º e y=45º
Calcule os ângulos indicados pelas 
letras:
Exercícios de Fixação
Resposta:
a + a + a = 180º
a = 60º
Calcule o x, observando o exemplo.
Exercícios de Fixação
Exemplo:
Calcule o x, observando o exemplo.
Exercícios de Fixação
Resposta:
4x + 10º = 2x + 40º
X = 15º
Calcule o x, observando o exemplo.
Exercícios de Fixação
Resposta:
5x + 70º = 2x + 20º
X = 30º
Resposta:
5x = x + 100º
X = 25º
Calcule o x, observando o exemplo.
Exercícios de Fixação
Resposta:
2x – 25º = x + 20º
X = 30º
Calcule o x, observando o exemplo.
Exercícios de Fixação
2
Exercícios de Fixação
Justifique a afirmação “OC não é a 
bissetriz do ângulo AÔB.”
→
Resposta:
Os ângulos AÔC e 
CÔB não possuem a 
mesma medida
Exercícios de Fixação
Calcule x, sabendo que os ângulos 
são complementares.
Resposta:
2x + x + 15º = 90º
X = 25º
Exercícios de Fixação
Calcule x, sabendo que os ângulos 
são complementares.
Resposta:
X + 15º + 3x – 23º = 90º
X=28º
2
Exercícios de Fixação
Calcule x, sabendo que os ângulos 
são suplementares.
Resposta:
6x + 2x + x = 180º
X=20º
Exercícios de Fixação
Calcule x, sabendo que os ângulos 
são suplementares.
Resposta:
2x – 6º + 3x + 30º = 180º
X=60º
5
Exercícios de Fixação
Observe a figura e responda:
a) Existem ângulos opostos pelo vértice?
b) Qual a soma das medidas dos três 
ângulos?
c) Qual é o valor de x?
não
360º
33º45’
2x + 40 + x + 60º + 5x – 10º = 360º
8x = 270º
X = 33º45’
9_exercicios_angulos_poligonos.pdf
ESCOLA SECUNDÁRIA AMARANTE
www.esec-amarante.rcts.pt
MATEMÁTICA – 9.O ANO
Exercícios e Problemas
JUSTIFICA CONVENIENTEMENTE AS TUAS RESPOSTAS E INDICA OS PRINCIPAIS CÁLCULOS.
1. O é o centro da circunferência. Supondo que PÔQ = 60o
e que PN̂M = 65o, calcula
_
QM.
2. A circunferência tem centro A e a recta PQ é tangente
à circunferência em P. Calcula o valor de Â.
3. A circunferência da figura tem centro O e a recta CE é
tangente à circunferência em T . Calcula
_
TF e AF̂T .
4. Um polígono convexo cuja soma das amplitudes dos seus
ângulos internos é 3420o tem necessariamente quantos
lados?
5. Se cada um dos ângulos internos de um polígono regular
tiver de amplitude 156o, então esse polígono terá que ter
quantos lados?
6. Na figura está representado um eneágono (9 lados) re-
gular inscrito numa circunferência de raio 3 cm. O perí-
metro do eneágono é 18 cm. Determina a sua área.
7. Observa a figura. Supondo que
_
AC= 106o e
_
BD= 50o,
determina AÊC .
8. Dados:
• A recta RS é tangente às duas circunferências em
R e em S.
• As circunferências de centros B e C são tangentes
entre si.
• AD̂R = 12o
(a) Determina
_
AR e RÂD.
(b) Se as circunferências tiverem raios 3 cm e 2 cm,
qual é o comprimento de [RS]?
(Sugestão: aplica o teorema de Pitágoras a um triângulo rectân-
gulo cuja hipotenusa seja [BC ])
9. Na figura que se segue, as rectas c e d são tangentes à
circunferência de raio 1 e D̂ = 60o. A distância do ponto
D ao centro da circunferência é de 2 unidades.
c
d
D
Calcula o valor exacto da área da região colorida.
10. Supõe que, na figura, se tem
_
AR= 40◦ e
_
MRI= 150◦.
R
M
A
I
E
(a) Justifica que os triângulos [MRE] e [AEI] são seme-
lhantes.
(b) Calcula MÊI.
11. Observa a figura e, atendendo a que
_
AL= 100◦ e
_
BM=
32◦, calcula:
A
L
B
M
S
(a) AB̂L
(b) ML̂B
(c) AŜL
12. Na figura,
_
RA= 115◦,
_
TP= 43◦ e TR̂A = 85◦.
T
P
A
R
Calcula:
(a)
_
PA e
_
RT ;
(b) As amplitudes dos ângulos internos do quadrilá-
tero [PART].
13. O quadrilátero [ABCD] está inscrito numa circunferên-
cia, como indica a figura, sendo
_
AB= 70◦,
_
BC= 110◦ e
_
CD= 120◦.
B
C
A D
Quanto mede o ângulo formado pelas diagonais do qua-
drado?
14. O polígono [XYZTK] é um pentágono regular.
X
Y
K
T
Z
Determina as amplitudes dos ângulos internos do qua-
drilátero [XYZT].
15. Calcula a soma dos ângulos internos de um polígono
convexo de 8 lados (octógono).
16. Quanto mede cada ângulo interno de um octógono regu-
lar? E cada ângulo externo?
17. Um ângulo externo de um polígono regular tem 30◦ de
amplitude. Quantos lados tem o polígono? E qual é a
soma dos ângulos internos?
18. Num certo polígono regular, cada ângulo externo tem de
amplitude 40◦.
(a) Quantos lados tem o polígono?
(b) Quanto mede cada ângulo interno?
(c) Qual é a soma das medidas dos ângulos internos
desse polígono?
(d) Num polígono regular com o dobro do número de
lados do anterior, quanto medirá cada ângulo in-
terno?
19. Qual é o número mínimo de lados que um polígono con-
vexo deve ter para que a soma dos seus ângulos internos
seja superior a 2000◦?
20. Determina x , atendendo às condições indicadas na fi-
gura.
90º
100º
x
x+20º
130º
21. Supondo que MA=AR e atendendo às amplitudes dos
ângulos indicados na figura, calcula a amplitude x do
∠ ARP.
A
M
O
P
R
89º
105º
92º
x
140º
22. Na figura que se segue, [ABCDEFGH] é um octógono re-
gular inscrito na circunferência de centro K e raio 10 cm.
P é um ponto da circunferência.
(a) Determina a amplitude de cada um dos ângulos
internos do octógono.
(b) Determina BP̂F .
(c) Determina a medida do apótema do octógono sa-
bendo que este tem de perímetro 56 cm.
(d) Qual o valor de PF 2 + PB2?
(e) Qual é o resultado de
PA2 + PB2 + PC 2 + · · · + PG2 + PH2 ?
23. Considera duas circunferências de centros C1 e C2, res-
pectivamente, que se intersectam em dois pontos dis-
tintos A e B. Pelo ponto A traça uma recta paralela ao
segmento C1C2. Designa por D o ponto de intersecção
dessa recta com a circunferência de centro C1 e por E o
ponto de intersecção da recta traçada com a outra cir-
cunferência:
.......................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................................
.............
..........
.........
.........
........
........
........
........
.........
..........
.....
.......................................................................................................................................................................................................................................................
...................
...............
.............
...........
...........
..........
.........
.........
.........
.........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
.........
.........
.........
..........
..........
...........
............
.............
................
.....................
.......................................................................................................................................................................................................................................• •
•
•• •
A
B
D E
C1 C2
Mostra que DE = 2 C1C2.
24. Na figura, os dois triângulos são equiláteros.
..........................................................................................................................................................................................................................
..........
..........
..........
..........
..........
..........
..........
..........
..........
..........
..........
..........
..........
..........
..........
..........
..........
..........
..........
.........................
.................................................................
.................................................................
.............................................................
............................
............................
............................
............................
............................
............................
............................
.......................................................................................................................................................................................................................................
...........
...........
...........
...........
...........
...........
...........
...........
...........
...........
...........
...........
...........
...........
...........
...........
...........
..........
.........................
..........................
.....................................
x
75◦ 65◦
Qual é o valor do ângulo x?
www.matnaesa.no.sapo.pt
prof. Carlos Gomes
Ângulos 1.doc
CEPAF
TIOWILLY
Tema: Ângulos 1
Ql. Dois ângulos de 3x + 12° e 7x + 18° são complementares. Qual o menor dos ângulos?
Q2. Os ângulos x + 45^ e 10x - 50° são opostos pelo vértice. Calcule o valor de x.
Q3. Dois ângulos alternos internos medem 3x + 50° e 10x — 6°. Calcule o complemento de um deles.
Q4. Dois ângulos são adjacentes e suplementares. Suas medidas são 2x + 4° e 4x + 38°. Calcule o complemento do menor.
Q5. Três ângulos somados resultam em um ângulo raso. Se as medidas são 13x + 17 7x + (—3) e 10x + 16, calcule o menor ângulo.
Q6. Calcule o suplemento do complemento de um ângulo de 45°.
Q7. Calcule o replemento do suplemento do complemento de um ângulo de 10°.
Q8. Calcule a metade do suplemento de um quarto do complemento de 10°.
Q9. Qual o complemento de um ângulo de 1° 30'?
Q10. Qual o complemento de um ângulo de 1o 2 3"?
Qll. Qual o suplemento de um ângulo de um ângulo de 11o 22' 33"?
Q12. Qual o complemento do suplemento de um ângulo de 120o?
Q13. Para um dado ângulo o complemento da metade do suplemento é congruente ao suplemento do dobro do complemento. Calcule o ângulo.
Q14. Para um dado ângulo o complemento da terça parte do suplemento é congruente ao suplemento do triplo do complemento. Calcule o ângulo.
Q15. Mostre que, para qualquer ângulo, o complemento do complemento é o próprio ângulo.
Q16. Calcule o ângulo que excede seu complemento em 10o.
Q17. Calcule o ângulo que excede seu suplemento em 50o.
Q18. Um ângulo somado com sua metade, somado com a metade da sua metade resulta em um ângulo cuja metade do suplemento é igual ao ângulo original subtraído de 20o. Qual o ângulo
Ql. 30o
Q2. x = 10o Q3. 16o Q4. 40o Q5. 32o Q6. 135o Q7. 260o Q8. 80o Q9. 88o 30'
Q10. 89o 57' 57'' Qll. 168o 37' 27'' Q12. 30o Q13. 0o Q14. 45o
Q15. 90o - (90o - x) Q16. 50o Q17. 115o Q18. ^
x
Ângulos 2.docCEPAF
TIOWILLY
Tema: Ângulos 2
Q1. Determinar o complemento, o suplemento e o replemento do ângulo de 67o 42' 17".
Q2. Calcular o suplemento e o reple- mento do complemento do ângulo de 73o 17' 32".
Q3. O dobro do suplemento de um ângulo vale sete vezes o seu complemento. Calcular o ângulo.
Q4. A soma de dois ângulos é 78o e um deles vale os | do complemento do outro. Calcule os ângulos.
Q5. O quíntuplo do suplemento do complemento de um ângulo é igual ao triplo do replemento do seu suplemento. Calcule o ângulo.
Q6. Calcular o ângulo formado pelas bissetrizes de dois ângulos consecutivos cujas medidas são 32o 47' e 51o 8'.
Q7. As bissetrizes de dois ângulos consecutivos formam ângulo de 38o. Um dos ângulos mede 41o. Calcule o outro.
Q8. Calcule a medida do ângulo formado pelas bissetrizes de dois ângulos consecutivos, sabendo que o primeiro vale | do seu complemento e que o segundo vale 1 do seu suplemento.
Q9. Dois ângulos são adjacentes, suplementares e de medidas (7x — 54)° e (5x + 18Â. Qual o valor de x?
Q10. As medidas de dois ângulos opostos pelo vértice são (8x + 2^ e (3x + 12)C Calcular x.
Q11. Quatro semirretas formam em torno de um ponto ângulos cujas medidas são proporcionais aos números 2, 3, 5 e 8. Calcule os ângulos.
Q12. Quatro semirretas formam em torno de um ponto ângulos cujas medidas são proporcionais aos números 1, 2, 3 e 4. Calcule os ângulos formados pelas bissetrizes destes ângulos.
Q13. AB e CD são duas retas que se interceptam em um ponto O, tal que AOC é o quádruplo de COB. Calcule os ângulos formados em torno do ponto O.
Gabarito
Q1. 22o 17' 43''; 112o 17' 43''; 282o 17' 43'' Q2. 163o 17' 32''; 343o17' 32''
Q3. 54o Q4. 18o e 60o Q5. 45o
Q6. 41o 57' 30'' ou 9o 10' 30''
Q7. 35o
Q8. 16o 30' ou 1o 30'
Q9. 18 Q10. 2
Q11. 40o, 60o, 100o e 160o
Q12. 54o, 90o, 126o e 90o
Q13. AOC = BOD =
144o;
COB = DOA = 36o
Ângulos 3.doc
CEPAF
TIOWILLY
ÂNGULOS 3
Q1. Dois ângulos de medidas 3x + 60° e x + 180° são congruentes. Calcule o valor de x.
Q2. Dois ângulos são complementares e um e o dobro do outro, quanto vale a diferença entre o maior e o menor deles?
Q3. Na figura 1 OB e bissetriz do ângulo AOC. Encontre o valor de x, se BOC = 4x + 45° e AOC = 7x + 30°.
Figura 1: Questão 3
Q4. Na figura 2, AOC e ângulo raso. Encontre o valor de x, se BOC = f + 45° e AOB = f + 35°.
medidas AOB = 30° e BOC = 40°. Qual o menor ângulo formado entre a bissetriz do
angulo AOC e o lado comum OB.
Q6. Na figura 3, os ângulos, expressos em graus, AOB = f + | e COD = 3f + | são opostos pelo vértice; calcule x.
Figura 3: Questão 6
Q7. Na figura 4, OM e ON são bissetrizes dos ângulos AOB = 11y e BOC = 7y, respectivamente. Calcule a medida de MON.
Figura 4: Questão 7
Q8. Mostre que as bissetrizes de dois ângulos complementares formam 45°.
Q9. Mostre que ângulos opostos pelo vértice são congruentes.
Q10. Calcule o valor do complemento de um ângulo de medida 15° 37' 49".
Figura 2: Questão 4
Q5. Dois ângulos são adjacentes e de
Q1. 60o Q2. 30o Q3. 5o Q4. 50o Q5. 5o Q6. §
Q7. 90o
Q8. Se a e B são os ângulos:
a B
a + B = 90o ^ 2 + 2 = 45o
Q9. Basta considerar a, B e 9 ângulos consecutivos formados por retas concorrentes. Entâo:
a + B = 180o e B + 9 = 180o ^ B = 9 Q10. 74o 22 11"
Ângulos formados por duas retas paralelas e uma transversal.ppt
Ângulos formados por duas retas paralelas e uma transversal
Profª Andréa Thees
Foto: http://anaholck.com/obras/view/3/30
Fotografia de Ana Holck “Da Série Canteiro de Obras” 2006
RECORDANDO...
RECORDANDO...
Duas retas paralelas e uma transversal
Duas retas paralelas e uma transversal
Duas retas paralelas e uma transversal
Duas retas paralelas e uma transversal
Quantos ângulos temos aqui?
Isso mesmo, temos oito ângulos!
Se estiverem ocupando a mesma posição na reta transversal são chamados correspondentes.
Esses ângulos recebem, dois a dois, nomes especiais
Se estiverem ocupando a mesma posição na reta transversal são chamados correspondentes.
Esses ângulos recebem, dois
a dois, nomes especiais
Se estiverem ocupando a mesma posição na reta transversal são chamados correspondentes.
Esses ângulos recebem, dois a dois, nomes especiais
Se estiverem ocupando a mesma posição na reta transversal são chamados correspondentes.
Esses ângulos recebem, dois a dois, nomes especiais
Esses ângulos recebem, dois a dois, nomes especiais
Se estiverem do mesmo lado da transversal...
São chamados ângulos colaterais.
Esses ângulos recebem, dois a dois, nomes especiais
Se estiverem posicionados em lados alternados da reta transversal são chamados alternos.
Esses ângulos recebem, dois a dois, nomes especiais
Duas retas paralelas, cortadas por uma transversal determinam ângulos correspondentes congruentes.
Propriedade fundamental do paralelismo
Exercício
Qual a medida dos ângulos indicados? 
Eles estão na mesma posição em relação à reta transversal? 
O que podemos afirmar em relação às suas medidas?
Concluímos que x = 40º.
Exercício
Qual a medida dos ângulos indicados? 
Eles estão na mesma posição em relação à reta transversal? 
O que podemos afirmar em relação às suas medidas?
Assim, precisamos resolver a equação 5x – 40º = 3x + 20º, cujo resultado é x = 30º.
Ângulos alternos internos
Ângulos alternos internos
Ângulos alternos externos
Ângulos alternos externos
Duas retas paralelas, cortadas por uma transversal determinam ângulos alternos internos ou externos congruentes.
Exercício
Qual a medida dos ângulos indicados? 
Eles estão em que posição em relação à reta transversal? 
O que podemos afirmar em relação às suas medidas?
Assim, precisamos resolver a equação 2x + 10º = x + 30º, cujo resultado é x = 20º.
Ângulos colaterais internos
Ângulos colaterais internos
Ângulos colaterais externos
Ângulos colaterais externos
Duas retas paralelas, cortadas por uma transversal determinam ângulos colaterais internos ou externos suplementares.
Exercício
Qual a medida dos ângulos indicados? 
Eles estão em que posição em relação à reta transversal? 
O que podemos afirmar em relação às suas medidas?
Assim, precisamos resolver a equação x + 20º = 180º, cujo resultado é x = 160º.
Exercício
Qual a medida dos ângulos indicados? 
Eles estão em que posição em relação à reta transversal? 
O que podemos afirmar em relação às suas medidas?
Assim, precisamos resolver a equação 2x + x = 180º, cujo resultado é x = 60º.
Exercício
Qual a medida dos ângulos indicados? 
Os ângulos são concorrentes, logo são ângulos iguais. 
3b - 11° = 2b + 6°
3b - 2b = 6° + 11°
b = 17°
Os ângulos são suplementares, logo a soma entre eles é igual a 180°.
a + (2b + 6°) = 180°
a + 2b + 6° = 180°
a + 2(17°) + 6° = 180°(substituímos b por 17°)
a + 34° + 6° = 180°
a + 40° = 180°
a = 180° - 40°
a = 140°
PARA CASA...
Fazer os exercícios do livro de número 54 (página 196) ao 65 (página 200). 
São 12 exercícios que ajudarão a fixar o que estudamos até aqui!
Vamos corrigir na próxima aula.
Caso você queira aprofundar seus conhecimentos, pode fazer os exercícios do 01 ao 07 do site http://www.scribd.com/doc/19407614/Angulos-formados-nas-paralelas-e-Teorema-de-Tales
Ângulos notáveis - aduzindo sen cos tg.doc
ÂNGULOS.pdf
 
 
 
 
Nome: nº. ano: data: / / 
 
11111111ª LISTA DE EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES DE MATEMÁTICAª LISTA DE EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES DE MATEMÁTICAª LISTA DE EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES DE MATEMÁTICAª LISTA DE EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES DE MATEMÁTICA 
((((((((ÂÂÂÂÂÂÂÂNNNNNNNNGGGGGGGGUUUUUUUULLLLLLLLOOOOOOOOSSSSSSSS EEEEEEEE OOOOOOOOPPPPPPPPEEEEEEEERRRRRRRRAAAAAAAAÇÇÇÇÇÇÇÇÕÕÕÕÕÕÕÕEEEEEEEESSSSSSSS CCCCCCCCOOOOOOOOMMMMMMMM MMMMMMMMEEEEEEEEDDDDDDDDIIIIIIIIDDDDDDDDAAAAAAAASSSSSSSS DDDDDDDDEEEEEEEE ÂÂÂÂÂÂÂÂNNNNNNNNGGGGGGGGUUUUUUUULLLLLLLLOOOOOOOOSSSSSSSS)))))))) 
Ensino Fundamental 
7º Ano 
OORRII EENNTTAAÇÇÕÕEESS:: 
 
� Realize os exercícios em folhas de fichário com a 
identificação completa; não há necessidade de copiar as 
consignas, mas é muito importante o registro dos cálculos 
ou raciocínio utilizado para a resolução das questões 
propostas. 
� Lembre-se de que, apesar de estar em casa, o 
compromisso, a organização e a dedicação com os estudos 
são muito importantes. 
 
Dedique-se, tente fazer. Em caso de dúvidas, me procure! 
Profª Lucimara 
 
1-) Quantos ângulos há na figura abaixo? E quais são eles? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2-) A medida de um ângulo obtuso é ______ do que a de um ângulo reto e ______ do que a de um ângulo 
raso. Que palavras completam a frase corretamente? (Assinale a opção correta.) 
 
a) menor – menor 
 
b) menor – maior 
c) maior – menor 
 
d) maior – maior 
 
3-) Classifique os ângulos destacados como reto, agudo ou obtuso. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 2 
Nome: nº. ano: data: / / 
4-) Responda às perguntas sem utilizar o transferidor. Quanto mede o menor ângulo formado pelos 
ponteiros do relógio que está marcando: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) 4 horas? b) 11 horas? c) 10h30min? d) 2h30min? 
 
5-) Estão representados vários ângulos, bem como a medida de cada um deles. Por estimativa, complete a 
tabela, indicando a letra que acompanha o ângulo e seu valor correspondente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MMEEDDIIDDAA LLEETTRRAA 
60º 
180º 
90º 
10º 
20º 
120º 
 
6-) Lembrando que o ângulo de uma volta mede 360º, determine o valor de x. 
 
 
 
 
 
 
 3 
Nome: nº. ano: data: / / 
7-) Observe a figura: 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) Quais são as retas perpendiculares entre si? 
 
b) Quais são as paralelas entre si? 
 
c) Descubra as medidas dos três ângulos assinalados a, b e c. 
8-) Observe o mapa do bairro de Todos os Santos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
� Complete com as palavras paralela, perpendicular e oblíqua. 
 
a) A rua dos Anjos é _______ à avenida Maria José. 
 
b) A rua São Sebastião é _______ à rua dos Anjos. 
 
c) A rua do Natal é _______ à avenida Três Marias. 
 
d) A rua dos Anjos é _______ à rua Santa Quitéria. 
 
 
 
 4 
Nome: nº. ano: data: / / 
9-) Observe o quadrado e o retângulo desenhados na malha quadriculada. As linhas tracejadas são 
diagonais do quadrado e do retângulo. 
 
 
 
 
 
a) As diagonais do quadrado são perpendiculares entre si? Justifique sua resposta. 
 
b) E no retângulo, as diagonais são perpendiculares entre si? Justifique sua resposta. 
 
10-) Observe a ilustração e determine os ângulos indicados pelas letras: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11-) Escreva simbolicamente: 
 
a) 58 graus. 
 
b) 75 graus e 32 minutos. 
 
c) 38 graus, 20 minutos e 15 segundos. 
 
d) 56 graus e 34 segundos. 
 
 
 
 
 
 
 5 
Nome: nº. ano: data: / / 
12-) Responda às perguntas e complete o quadro: 
 
a) Um grau é igual a quantos minutos? 
b) Um minuto é igual a quantos segundos? 
c) Um grau é igual a quantos segundos? 
 
 
a) 1º = 
 
 
b) 1' = 
 
c) 1º = 
 
 
13-) Transforme em minutos, observando o exemplo: 
 
a) 2°9' 
 
b) 7°15' 
 
c) 6°53' 
d) 15°15' 
 
e) 10°56' 
 
f) 13°11' 
 
14-) Transforme: 
 
a) 120' em graus. b) 300' em graus. c) 420' em graus. 
 
d) 120" em minutos. e) 300" em minutos. f) 420" em minutos. 
 
15-) Transforme em graus e minutos, observando o exemplo: 
 
 
 
 
 
 
a) 80' b) 95' c) 126' d) 170' e) 375' f) 1 000' 
 
16-) Efetue as operações a seguir: 
 
a) 59° + 75° 
 
b) 10°26' + 19°12' 
 
c) 34°15'20" + 8°12'7" 
 
d) 37°57'35" + 15°48'46" 
 
e) 32°34'58" + 25°25'2" 
 
f) 53° – 29° 
 
g) 28°50' – 16°10' 
 
h) 100° – 40°35' 
 
i) 75°40'12" – 40°28'52" 
 
j) 67° – 25°25'2" 
17-) Calcule os produtos: 
 
a) 14°25' × 3 c) 20°12'36" × 2 
 
b) 18°10' × 7 d) 13°70'35" × 5 
3°17' = 3 · 60' + 17' = 197'. 
 
 
 
 6 
Nome: nº. ano: data: / / 
18-) Calcule os quocientes: 
 
a) 72°30' ÷ 3 
 
b) 29° ÷ 2 
 
c) 75°30' ÷ 3 
 
d) 32°40' ÷ 5 
 
e) 37°15'40" ÷ 2 
 
f) 39°20'8" ÷ 4 
 
g) 55°12'18" ÷ 9 
 
h) 32°40'55" ÷ 5 
 
angulos_ii.pdf
Curso Mentor
www.cursomentor.com
Professor: Leonardo Santos
Tema: Ângulos II
Data: 29 de outubro de 2014
Q1. Dois ângulos de 3x + 12◦ e 7x + 18◦
são complementares. Qual o menor dos
angulos?
Q2. Os ângulos x
2
+ 45◦ e 10x − 50◦
são opostos pelo vértice. Calcule o valor de
x.
Q3. Dois ângulos alternos internos
medem 3x + 50◦ e 10x − 6◦. Calcule o
complemento de um deles.
Q4. Dois ângulos são adjacentes e su-
plementares. Suas medidas são 2x + 4◦ e
4x+38◦. Calcule o complemento do menor.
Q5. Três ângulos somados resultam
em um ângulo raso. Se as medidas são
13x + 17, 7x + (−3) e 10x + 16, calcule o
menor ângulo.
Q6. Calcule o suplemento do comple-
mento de um ângulo de 45◦.
Q7. Calcule o replemento do suple-
mento do complemento de um ângulo de
10◦.
Q8. Calcule a metade do suplemento
de um quarto do complemento de 10◦.
Q9. Qual o complemento de um ân-
gulo de 1◦ 30′?
Q10. Qual o complemento de um ân-
gulo de 1◦ 2′ 3′′?
Q11. Qual o suplemento de um ân-
gulo de um ângulo de 11◦ 22′ 33′′?
Q12. Qual o complemento do suple-
mento de um ângulo de 120◦?
Q13. Para um dado ângulo o com-
plemento da metade do suplemento é
congruente ao suplemento do dobro do
complemento. Calcule o ângulo.
Q14. Para um dado ângulo o comple-
mento da terça parte do suplemento é
congruente ao suplemento do triplo do
complemento. Calcule o ângulo.
Q15. Mostre que, para qualquer ân-
gulo, o complemento do complemento é o
próprio ângulo.
Q16. Calcule o ângulo que excede seu
complemento em 10◦.
Q17. Calcule o ângulo que excede seu
suplemento em 50◦.
Q18. Um ângulo somado com sua
metade, somado com a metade da sua
metade resulta em um ângulo cuja metade
do suplemento é igual ao ângulo original
subtraído de 20◦. Qual o ângulo?
1
Gabarito
Q1. 30◦
Q2. x = 10◦
Q3. 16◦
Q4. 40◦
Q5. 32◦
Q6. 135◦
Q7. 260◦
Q8. 80◦
Q9. 88◦ 30′
Q10. 89◦ 57′ 57′′
Q11. 168◦ 37′ 27′′
Q12. 30◦
Q13. 0◦
Q14. 45◦
Q15. 90◦ − (90◦ − x) = x
Q16. 50◦
Q17. 115◦
Q18. 176
◦
3
2
angulos_iii.pdf
CEM
www.cemodernel.com
Professor: Leonardo Santos
Tema: Ângulos III
Data: 27 de novembro de 2014
Q1. Determinar o complemento, o su-
plemento e o replemento do ângulo de
67◦ 42′ 17′′.
Q2. Calcular o suplemento e o reple-
mento do complemento do ângulo de
73◦ 17′ 32′′.
Q3. O dobro do suplemento de um
ângulo vale sete vezes o seu complemento.
Calcular o ângulo.
Q4. A soma de dois ângulos é 78◦ e
um deles vale os 3
5
do complemento do
outro. Calcule os ângulos.
Q5. O quíntuplo do suplemento do
complemento de um ângulo é igual ao
triplo do replemento do seu suplemento.
Calcule o ângulo.
Q6. Calcular o ângulo formado pelas
bissetrizes de dois ângulos consecutivos
cujas medidas são 32◦ 47′ e 51◦ 8′.
Q7. As bissetrizes de dois ângulos
consecutivos formam ângulo de 38◦. Um
dos ângulos mede 41◦. Calcule o outro.
Q8. Calcule a medida do ângulo for-
mado pelas bissetrizes de dois ângulos
consecutivos, sabendo que o primeiro vale
1
5
do seu complemento e que o segundo vale
1
9
do seu suplemento.
Q9. Dois ângulos são adjacentes, su-
plementares e de medidas (7x − 54)◦ e
(5x+ 18)◦. Qual o valor de x?
Q10. As medidas de dois ângulos opostos
pelo vértice são (8x + 2)◦ e (3x + 12)◦.
Calcular x.
Q11. Quatro semirretas formam em
torno de um ponto ângulos cujas medidas
são proporcionais aos números 2, 3, 5 e 8.
Calcule os ângulos.
Q12. Quatro semirretas formam em
torno de um ponto ângulos cujas medidas
são proporcionais aos números 1, 2, 3
e 4. Calcule os ângulos formados pelas
bissetrizes destes ângulos.
Q13.
←→
AB e
←→
CD são duas retas que se
interceptam em um ponto O, tal que AÔC
é o quádruplo de CÔB. Calcule os ângulos
formados em torno do ponto O.
Gabarito
Q1. 22◦ 17′ 43′′; 112◦ 17′ 43′′; 282◦ 17′ 43′′
Q2. 163◦ 17′ 32′′; 343◦17′ 32′′
Q3. 54◦
Q4. 18◦ e 60◦
Q5. 45◦
Q6. 41◦ 57′ 30′′ ou 9◦ 10′ 30′′
Q7. 35◦
Q8. 16◦ 30′ ou 1◦ 30′
Q9. 18
Q10. 2
Q11. 40◦, 60◦, 100◦ e 160◦
Q12. 54◦, 90◦, 126◦ e 90◦
Q13. AÔC = BÔD = 144◦;
CÔB = DÔA = 36◦
1
angulos_iv1.pdf
Curso Mentor
www.cursomentor.com
Tema: Ângulos IV
Prof.: Leonardo Santos
Data: 4 de março de 2015
Q1. Dois ângulos de medidas 3x + 60◦ e
x + 180◦ são congruentes. Calcule o valor
de x.
Q2. Dois ângulos são complementares
e um é o dobro do outro, quanto vale a
diferença entre o maior e o menor deles?
Q3. Na figura 1
−→
OB é bissetriz do
ângulo AÔC. Encontre o valor de x, se
BÔC = 4x+ 45◦ e AÔC = 7x+ 30◦.
O
A
B
C
Figura 1: Questão 3
Q4. Na figura 2, AÔC é ângulo raso.
Encontre o valor de x, se BÔC = x
2
+ 45◦
e AÔB = 3x
2
+ 35◦.
OA
B
C
Figura 2: Questão 4
Q5. Dois ângulos são adjacentes e de
medidas AÔB = 30◦ e BÔC = 40◦. Qual o
menor ângulo formado entre a bissetriz do
ângulo AÔC e o lado comum
−→
OB.
Q6. Na figura 3, os ângulos, expressos em
graus, AÔB = x
2
+ 5
6
e CÔD = 3x
2
+ 1
6
são
opostos pelo vértice; calcule x.
O
A
B
C
D
Figura 3: Questão 6
Q7. Na figura 4,
−→
OM e
−→
ON são bissetrizes
dos ângulos AÔB = 11y e BÔC = 7y,
respectivamente. Calcule a medida de
MÔN .
OA
B
C
M
N
Figura 4: Questão 7
Q8. Mostre que as bissetrizes de dois
ângulos complementares formam 45◦.
Q9. Mostre que ângulos opostos pelo
vértice são congruentes.
Q10. Calcule o valor do complemento
de um ângulo de medida 15◦ 37′ 49′′.
1
Gabarito
Q1. 60◦
Q2. 30◦
Q3. 5◦
Q4. 50◦
Q5. 5◦
Q6. 2
3
Q7. 90◦
Q8. Se α e β são os ângulos:
α + β = 90◦ ⇒ α
2
+
β
2
= 45◦
Q9. Basta considerar α, β e θ ângulos con-
secutivos formados por retas concorrentes.
Então:
α + β = 180◦ e β + θ = 180◦ ⇔ β = θ
Q10. 74◦ 22′ 11′′
2