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CÁLCULO NUMÉRICO - MCN001
Método dos Mínimos Quadrados (MMQ)3
A resposta correta da questão está identificada com a cor Vermelha.
ATIVIDADE PARA AVALIAÇÃO
(1 ponto) Uma calculadora opera na base 10 com quatro dígitos na mantissa e expoente
assumindo valores {-3,-2, -1, 0, 1, 2, 3}. Dado os números: 104,310; -2,031; 0,099356 e
-0,000015, assinale a alternativa que contém a correta representação desses números na
calculadora. Utilize truncamento dos valores.
JUSTIFICATIVA 
Representação: (sinal) 0,d1d2d3d4 x 10^{-3,-2,-1,0,1,2,3} 
Logo: 
104,310 = + 0,1043 x 10^{3} = 104,3 
-2,031 = -0,2031x10^{1} = -2,031 
0,099356 = +0,9935 x 10^{-1} = 0,09935 
-0,000015 = -0,15 x 10^{-3} = -0,00015
1.
104,0; -2,03;0,0993 e -0,0001.a.
104,3; -2,032;0,09936 e -0,00016.b.
104,3; -2,031; 0,09935 e -0,00015.c.
104,0; 2,032; 0,09935 e -0,00016.d.
104,0; -2,03; 0,0994 e 0,00010.e.
(1 ponto) Uma calculadora opera na base 10 com quatro dígitos na mantissa e expoente
assumindo valores {-3,-2, -1, 0, 1, 2, 3}. Assinale a alternativa contendo o menor e o maior
número em módulo representados nessa máquina.
2.
10⁻⁴ e 999,9.a.
10⁻³ e 999,9.b.
-999,9 e 999,9.c.
10⁻⁴ e 10⁴.d.
/
JUSTIFICATIVA 
Representação: (sinal) 0,d1d2d3d4 x 10^{-3,-2,-1,0,1,2,3} 
Logo, o menor número em módulo (valor absoluto) será:
0,1000 x 10^{-3} = 10^{-4}. 
O maior número será: 
0,9999 x 10^{3} = 999,9
10⁻⁴ e 10⁻³.e.
(1 ponto) Uma calculadora opera na base dez com quatro dígitos na mantissa e expoente
assumindo valores {-3,-2, -1, 0, 1, 2, 3}. Assinale a alternativa contendo a quantidade de
números que podem ser representados nessa máquina.
JUSTIFICATIVA 
Representação: (sinal) 0,d1d2d3d4 x 10^{-3,-2,-1,0,1,2,3} 
Logo: 
● 2 representações possíveis para o sinal + ou -; 
● 9 possibilidades para d1, pois d1 ∈ {1,2,3,4,5,6,7,8,9}; 
● 10 possibilidades para os demais dígitos, pois d2,d3,d4 ∈ {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}; 
● 7 possibilidades para 10^{i}, pois i ∈ {-3,-2,-1,0,1,2,3}. 
Temos um total de 2 x 9 x 10 x 7 = 126000 +1= 126001 possibilidades, incluindo o número
zero que está presente em todos os sistemas de representação.
3.
126000a.
126001b.
125001c.
1080d.
1081e.
3
(1 ponto) O erro absoluto na medição de um resistor foi de 3,3 𝛀, em que o valor exato da
resistência é de 243,32753. Assinale a alternativa com o erro relativo associado a essa
medição:
4.
/
JUSTIFICATIVA 
EAbsoluto = Valor_Exato-Valor_Aproximado = 3,3 
ERelativo = |EAbsoluto|/Valor_Exato = 3,3 / 243,32753 = 0,013561967 ≈ 1,356%
0,01356 %a.
0,00135 %b.
1,356 %c.
1,536 %d.
0,0153 %e.
(1 ponto) Um aluno mediu determinado resistor obtendo 2,5 𝛀. Todavia, a resistência pode
variar num intervalo entre 2,0 𝛀 e 3,0 𝛀. Assinale a alternativa correta:
JUSTIFICATIVA 
Os erros devem ser calculados em relação aos valores conhecidos, ou seja, os limitantes
superior e inferior da resistência. Logo: 
EAbs = |2,5 – 2,0| = 0,5 𝛀 
ERel = |2,5 – 2,0|/|2,0| = 0,25 = 25% (Erro relativo máximo) 
EAbs = |2,5 – 3,0| = 0,5 𝛀 
ERel = |2,5 – 3,0|/|3,0| ≈ 0,1666 ≈ 16,66%
5.
Os erros absolutos e relativos não podem ser medidos.a.
Os erros absolutos são diferentes e o erros relativos são iguais.b.
Os erros absolutos e relativos são os mesmos valendo 0,5 𝛀 e 25%,
respectivamente.
c.
Os erros absolutos são idênticos e valem 0,5 𝛀, enquanto o erro relativo
máximo será de 25%.
d.
Os erros absolutos são idênticos e valem 0,5 𝛀, enquanto o erro relativo máximo
será de 16,66%.
e.
(1 ponto) Uma fábrica produz três tipos de produto, P1, P2 e P3, em três estações de
trabalho, E1, E2 e E3. Uma unidade do produto P1 consome 3h na estação de trabalho E1,
2h em E2 e 1h em E3. Uma unidade do produto P2 consome 2h, 3h e 1h nas estações E1,
E2 e E3, respectivamente. Uma unidade de P3 consome 1h, 2h e 3h em E1, E2 e E3,
6.
/
respectivamente. O tempo total gasto pelas estações E1, E2 e E3 ao produzir esses itens é
de 30h, 40h e 40h, respectivamente. Qual alternativa descreve o problema apresentado
como um sistema de equações lineares?
JUSTIFICATIVA 
Seja x1 a quantidade produzida do produto P1, x2 a quantidade do produto P2 e x3 a
quantidade do produto P3. Em cada estação de trabalho, teremos: 
E1: 3h para produzir x1 unidades de P1 + 2h para produzir x2 unidades de P2 + 1h para
produzir x3 unidades de P3, num total de 30h => 3 x 1 + 2 x 2 + x3 = 30. 
E2: 1h para produzir x1 unidades de P1 + 1h para produzir x2 unidades de P2 + 3h para
produzir x3 unidades de P3, num total de 40h => x1 + x2 + 3 x 3 = 40. 
E3: 2h para produzir x1 unidades de P1 + 3h para produzir x2 unidades de P2 + 2h para
produzir x3 unidades de P3, num total de 40h => 2 x 1 + 3 x 2 + 2 x 3 = 40. 
3 x 1 + 2 x 2 + x3 = 30 
2 x 1 + 3 x 2 + 2 x 3 = 40 
x1 + x2 + 3 x 3 = 40
3x1+2x2+x3=30 
2x1+3x2+2x3=40 
x1+x2+3x3=40
a.
3x1+2x2+x3=30 
2x1+3x2+x3=40 
x1+2x2+3x3=40
b.
3x1+2x2+x3=40 
2x1+3x2+x3=30 
x1+2x2+3x3=40
c.
3x1+2x2+x3=40 
2x1+3x2+2x3=40 
x1+x2+3x3=30
d.
x1+ x2+x3=30 
2x1+3x2+2x3=40 
3x1+2x2+3x3=40
e.
(1 ponto) Considere os seguintes sistemas lineares:
(i) 
x+y-z=3 
2x-y-2z=5 
2x+2y-2z=6 
7.
/
(ii) 
x+y-z=3 
2x-y-2z=5 
-2x+2y-2z=6 
(iii) 
x+y-z=3 
2x-y-2z=5 
2x+2y-2z=7 
Assinale a alternativa correta: 
JUSTIFICATIVA 
O sistema (i) é indeterminado já que os hiperplanos x + y - z = 3 e 2x + 2y - 2z = 6 são
coincidentes: 2x + 2y - 2z = 6 ⇔ 2(x + y - z) = 2.3 ⇔ x + y - z = 3. 
O sistema (ii) possui uma única solução que pode ser obtida pelo método de eliminação de
Gauss: x = 0, y = ⅓ e z = -8/3. 
O sistema (iii) não tem solução, o que também pode ser verificado ao se aplicar o método de
eliminação de Gauss: 
1 0 -1 | 8/3 
0 1 0 | ⅓ 
0 0 0 | 1 
ou calculando-se o determinante pela regra de Sarrus: 
1 1 -1 | 1 1 
2 -1 -2 | 2 -1 
2 2 - 2 | 2 2 
det = (2 - 4 - 4) - (2 - 4 -4) = 0 => retas paralelas ou coincidentes. 
Todavia, observa-se que os hiperplanos x + y - z = 3 e 2x + 2y - 2z = 7 são paralelos, 2x + 2y
- 2z ⇔ 2(x + y - z).
O sistema (i) não tem solução, o (ii) tem uma única solução e o (iii) é indeterminado.a.
Os sistemas (i) e (ii) possuem uma única solução, enquanto o (iii) é indeterminado.b.
O sistema (i) é indeterminado, o (ii) tem uma única solução e o (iii) não tem
solução.
c.
Os sistemas (i) e (iii) são indeterminados, enquanto o (ii) possui uma única solução.d.
Todos os sistemas são indeterminadose.
/
(1 ponto) Considere o seguinte sistema linear:
3x+y+z=10 
x+2z=7 
x+3y-z=5 
Utilizando o método de Gauss-Seidel, assinale a alternativa em que as equações foram
reescritas de modo a permitir a convergência do método: 
JUSTIFICATIVA 
O sistema 3x + y + z = 10 é o único cujo os coeficientes são diagonais dominantes: 
x + 3y - z = 5 
x + 2z = 7 
Seja: 
3x + y + z = 10 → a11x + a12y + a13 = b1 
x + 3y - z = 5 → a21x + a22y + a23 = b2 
x + 2z = 7 → a31x + a32y + a33 = b3 
Para ser diagonal dominante, teremos:
|a11| ≥ |a12| + |a13| → |3| > |1| + |1| ok 
|a22| ≥ |a21| + |a23| → |3| > |1| + |-1| ok 
|a33| ≥ |a31| + |a32| → |2| > |1| + |0| ok
8.
3x+y+z=10 
x+2z=7 
x+3y-z=5
a.
x+2z=7 
x+3y-z=5 
3x+y+z=10
b.
x+3y-z=5 
3x+y+z=10 
x+2z=7
c.
3x+y+z=10 
x+3y-z=5 
x+2z=7
d.
x+3y-z=5 
x+2z=7 
3x+y+z=10
e.
(1 ponto) Considere o seguinte sistema linear:
R1: 3x + y + 2z = 10 
9.
/
R2: x + 3z = 7 
R3: x + 2y - z = 5 
Em que Ri se refere a i-ésima linha do sistema. Utilizando o método de eliminação de
Gauss, assinale a alternativa cuja sequência de operações sobre as linhas leva à solução
final do problema: 
JUSTIFICATIVA 
R1 ← R1 ÷ 3; R2 ← R2 - R1; R3 ← R3 - R1; R2 ← R2 × -3; R1 ← R1- 
1/2 × R2; R3 ← R3 - 5/2 × R2; R3 ← R3 ÷ 10; R1 ← R1- 
3 × R3; R2 ← R2 + 7 × R3
a.
R1 ← R1 ÷ 3; R2 ← R2 - R1; R1 ← R1 - 1/3 × R2; R3 ← R3 - 5/3 × R2; 
R3 ← R3 ÷ 3; R1 ← R1 - 3 × R3; R2 ← R2 + 7 × R3
b.
R1 ← R1 ÷ 3; R2 ← R2 - R1; R3 ← R3 - R1; R2 ← R2 × -3; R1 ← R1- 
1/3 × R2; R3 ← R3 - 5/3 × R2; R3 ← R3 ÷ 10; R1 ← R1- 
3 × R3; R2 ← R2 + 7 × R3
c.
R3 ← R3 - R1; R2 ← R2 × -3; R1 ← R1 - 1/3 × R2; R3 ← R3- 
5/3 × R2; R3 ← R3 ÷ 10; R1 ←R1 - 3 × R3; R2 ← R2 + 7 × R3
d.
R1 ← R1 ÷ 3; R2 ← R2 - R1; R3 ← R3 - R1; R2 ← R2 × -3; R1 ← R1- 
1/3 × R2; R3 ← R3 - 3/5 × R2; R3 ← R3 ÷ 10; R1 ← R1- 
2 × R3; R2 ← R2 + 5 × R3
e.
/
(1 ponto) Considere as afirmações a seguir: 10.
A convergência no método de Jacobi é mais rápida do que no método de Gauss-
Seidel.
I.
O método de Gauss-Seidel converge para todo e qualquer tipo de matriz.II.
Os resultados obtidos pelo método de Gauss-Seidel são mais eficientes que os
obtidos pelo método de Jacobi, considerando o número máximo de iterações para
III.
/
É correto o que se afirma em: 
JUSTIFICATIVA 
I. Falsa: A convergência do método de Gauss-Seidel é mais rápida do que no método de
Jacobi. 
II. Falsa: Podemos garantir que o método converge se a matriz for diagonal dominante,
positiva definida ou simétrica. 
III. Verdadeira.
obter a precisão desejada.
I, apenas.a.
II, apenas.b.
III, apenas.c.
I e II, apenas.d.
II e III, apenas.e.