4 lista

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO
4ª LISTA DE EXERCÍCIOS – ENGENHARIA DA QUALIDADE 
Gabriel Barros Rezende
Maiara Keury Silva Carvalho
1. 
a) Média = = = 1,005
= = = 0,00091
b) Pra calcular a proporção de retrabalho fazemos:
P(x ≤ 0,095) = P{ z ≤ } = P{ z ≤ } = {} = 4,47 x 10-13
Agora calculamos a proporção de descarte:
P(x ≥ 0,305) = 1 - P{ z ≤ } = 1- P{ z ≤ } = 1 - {3,85} 
P(x ≥ 0,305) = 5,96 x 10-5
c) Para calcular a nova media primeiro devemos calcular o Cp:
Cp = = = 1,83
Agora achamos o valor da media:
 = (3 x x Cp) + LIE = (3 x 0,00091 x 1,83) + 0,295 = 0,300
Como descobrimos o novo valor da media, podemos fazer um novo calculo da proporção de retrabalho:
P(x ≤ 0,095) = P{ z ≤ } = P{ z ≤ } = {} = 1,93 x 10-8
E a proporção de descarte:
P(x ≥ 0,305) = 1 - P{ z ≤ } = 1- P{ z ≤ } =1 - {5,50} = 1,93 x 10-8
2) Os dados a seguir são de medidas de 5 valores da concentração de um reagente químico após passar por um processo de filtragem. Tais medidas são dispostas na tabela abaixo juntamente com as médias, amplitudes e os limites inferiores e superiores:
	Amostra
	Medições realizadas
	Média
	Amplitude
	LIC Xbar
	LC Xbar
	LSC Xbar
	LIC R
	LC R
	LIC R
	1
	21
	21
	19
	20
	24
	21
	5
	16,8303
	20,35
	23,8697
	12,871
	6,1
	0
	2
	23
	20
	26
	21
	23
	22,6
	6
	16,8303
	20,35
	23,8697
	12,871
	6,1
	0
	3
	21
	23
	17
	21
	19
	20,2
	6
	16,8303
	20,35
	23,8697
	12,871
	6,1
	0
	4
	21
	22
	25
	24
	20
	22,4
	5
	16,8303
	20,35
	23,8697
	12,871
	6,1
	0
	5
	17
	18
	20
	20
	20
	19
	3
	16,8303
	20,35
	23,8697
	12,871
	6,1
	0
	6
	18
	15
	20
	21
	20
	18,8
	6
	16,8303
	20,35
	23,8697
	12,871
	6,1
	0
	7
	23
	23
	23
	18
	22
	21,8
	5
	16,8303
	20,35
	23,8697
	12,871
	6,1
	0
	8
	23
	20
	14
	21
	20
	19,6
	9
	16,8303
	20,35
	23,8697
	12,871
	6,1
	0
	9
	25
	24
	24
	19
	19
	22,2
	6
	16,8303
	20,35
	23,8697
	12,871
	6,1
	0
	10
	21
	21
	25
	15
	19
	20,2
	10
	16,8303
	20,35
	23,8697
	12,871
	6,1
	0
	11
	15
	21
	19
	20
	21
	19,2
	6
	16,8303
	20,35
	23,8697
	12,871
	6,1
	0
	12
	17
	15
	16
	20
	19
	17,4
	5
	16,8303
	20,35
	23,8697
	12,871
	6,1
	0
	13
	13
	17
	17
	19
	17
	16,6
	6
	16,8303
	20,35
	23,8697
	12,871
	6,1
	0
	14
	22
	20
	18
	21
	16
	19,4
	6
	16,8303
	20,35
	23,8697
	12,871
	6,1
	0
	15
	17
	21
	8
	21
	21
	17,6
	13
	16,8303
	20,35
	23,8697
	12,871
	6,1
	0
	16
	17
	20
	21
	19
	21
	19,6
	4
	16,8303
	20,35
	23,8697
	12,871
	6,1
	0
	17
	19
	21
	22
	17
	20
	19,8
	5
	16,8303
	20,35
	23,8697
	12,871
	6,1
	0
	18
	21
	18
	20
	23
	22
	20,8
	5
	16,8303
	20,35
	23,8697
	12,871
	6,1
	0
	19
	19
	26
	20
	24
	28
	23,4
	9
	16,8303
	20,35
	23,8697
	12,871
	6,1
	0
	20
	26
	26
	25
	26
	24
	25,4
	2
	16,8303
	20,35
	23,8697
	12,871
	6,1
	0
	Soma
	 
	 
	 
	 
	 
	407
	122
	
	
	
	
	
	
	Média Geral
	 
	 
	 
	 
	 
	20,35
	6,1
	
	
	
	
	
	
Logo, com os dados da tabela foi possível construir o gráfico de controle:
Analisando os gráficos, podemos perceber com os valores limitantes de LIC e LSC que existe uma coerência durante o processo, no entanto os valores nos subgrupos 13 e 20 se distanciam, apresentando anormalidades e ultrapassado os limites, respectivamente. Dessa maneira, na tentativa de tornar o processo estável, deve-se excluir os valores das linhas 13 e 20. Assim, nenhum ponto apresentará mais anormalidades:
Analisando o Gráfico (x), percebe-se que o processo é capaz visto que os pontos se encontram dentro dos limites de controle. No entanto, há dúvidas sobre a estabilidade já que o gráfico pode ter certa tendência já que sete pontos seguidos se encontram abaixo da média entre os pontos 10 e 16. Já que a tendência não se encontra em estado altamente preocupante (por estar dentro dos limites de controle), pode ser descoberto o motivo dessa tendência em uma análise do ambiente do processo (vários tipos de erros tangentes ao processo podem fazer esse tipo de tendência ocorrer, como, por exemplo, um problema na própria medição).
Após o novo processo de filtragem, quando as especificações se tornam , foi realizada a plotagem de um gráfico de capacidade, no qual segue representado na imagem:
Diante de tais informações, o cálculo para a descoberta do percentual fora da especificação será feito seguindo as equações abaixo:
 , ou seja, de acordo com a tabela de distribuição normal padrão, 95,54 % encontra-se dentro da especificação. Sendo assim, o percentual fora da especificação é de 4,46%.
De fato, observando o gráfico de capacidade, já se encontra o valor nítido de mostrando que o gráfico não é capaz (para um gráfico capaz, necessita ao menos valor de Cp igual a 1).
3.
a) 
Como o p-valor é maior q o nível de significância 0,5, então a viscosidade segue uma distribuição normal.
b) 
O gráfico de controle mostra que o processo está estável, logo não apresenta anormalidades.
c) Podemos ver na letra a que o valor da média é 2929 e o desvio padrão é 129.
d) 
Podemos ver que o p-valor é 0,233, então a distribuição é normal pois o p-valor é maior do que 0,5.
É possível concluir que as medidas da viscosidade estão vindas de uma variação que está alta em relação a media, e vemos que as ultimas 5 medidas tem uma sequencia acima da média que pode ser alguma falha na produção.
e) Nesse tipo de gráfico, pode-se dizer que se a soma dos desvios acumulados da média flutuar em torno de 0, o processo está sob controle. Fornece-nos informações mais detalhadas porque é mais sensível a alterações menores e pode identificar melhor os dados históricos.
4) a) São dadas medidas do peso líquido de um alvejante em pó. Tais medidas são dispostas na tabela abaixo juntamente com as médias, amplitudes e os limites inferiores e superiores:
 
	Amostra
	Medições realizadas
	1
	15,8
	16,3
	16,2
	16,1
	16,6
	2
	16,3
	15,9
	15,9
	16,2
	16,4
	3
	16,1
	16,2
	16,5
	16,4
	16,3
	4
	16,3
	16,2
	15,9
	16,4
	16,2
	5
	16,1
	16,1
	16,4
	16,5
	16
	6
	16,1
	15,8
	16,7
	16,6
	16,4
	7
	16,1
	16,3
	16,5
	16,1
	16,5
	8
	16,2
	16,1
	16,2
	16,1
	16,3
	9
	16,3
	16,2
	16,4
	16,3
	16,5
	10
	16,6
	16,3
	16,4
	16,1
	16,5
	11
	16,2
	16,4
	15,9
	16,3
	16,4
	12
	15,9
	16,6
	16,7
	16,2
	16,5
	13
	16,4
	16,1
	16,6
	16,4
	16,1
	14
	16,5
	16,3
	16,2
	16,3
	16,4
	15
	16,4
	16,1
	16,3
	16,2
	16,2
	16
	16
	16,2
	16,3
	16,3
	16,2
	17
	16,4
	16,2
	16,4
	16,3
	16,2
	18
	16
	16,2
	16,4
	16,5
	16,1
	19
	16,4
	16
	16,3
	16,4
	16,4
	20
	16,4
	16,4
	16,5
	16
	15,8
	Soma
	
	
	
	
	
	Média Geral
	
	
	
	
	
	Amostra
	Média
	Amplitude
	LIC Xbar
	LC Xbar
	LSC Xbar
	LIC R
	LC R
	LIC R
	1
	16,2
	0,8
	15,99393
	16,268
	16,54208
	1,002
	0,475
	0
	2
	16,14
	0,5
	15,99393
	16,268
	16,54208
	1,002
	0,475
	0
	3
	16,3
	0,4
	15,99393
	16,268
	16,54208
	1,002
	0,475
	0
	4
	16,2
	0,5
	15,99393
	16,268
	16,54208
	1,002
	0,475
	0
	5
	16,22
	0,5
	15,99393
	16,268
	16,54208
	1,002
	0,475
	0
	6
	16,32
	0,9
	15,99393
	16,268
	16,54208
	1,002
	0,475
	0
	7
	16,3
	0,4
	15,99393
	16,268
	16,54208
	1,002
	0,475
	0
	8
	16,18
	0,2
	15,99393
	16,268
	16,54208
	1,002
	0,475
	0
	9
	16,34
	0,3
	15,99393
	16,268
	16,54208
	1,002
	0,475
	0
	10
	16,38
	0,5
	15,99393
	16,268
	16,54208
	1,002
	0,475
	0
	11
	16,24
	0,5
	15,99393
	16,268
	16,54208
	1,002
	0,475
	0
	12
	16,38
	0,8
	15,99393
	16,268
	16,54208
	1,002
	0,475
	0
	13
	16,32
	0,5
	15,99393
	16,268
	16,54208
	1,002
	0,475
	0
	14
	16,34
	0,3
	15,99393
	16,268
	16,54208
	1,002
	0,475
	0
	15
	16,24
	0,3
	15,99393
	16,268
	16,54208
	1,002
	0,475
	0
	16
	16,2
	0,3
	15,99393
	16,268
	16,54208
	1,002
	0,475
	0
	17
	16,3
	0,2
	15,99393
	16,268
	16,54208
	1,002
	0,475
	0
	18
	16,24
	0,5
	15,99393
	16,268
	16,54208
	1,002
	0,475
	0
	19
	16,3
	0,4
	15,99393
	16,268
	16,54208
	1,002
	0,475
	0
	20
	16,22
	0,7
	15,99393
	16,268
	16,54208
	1,002
	0,475
	0
	Soma
	325,36
	9,5
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	Média Geral
	16,268
	0,475
	 
	 
	 
	 
	 
	 
De acordo com os gráficos da tabela, foi possível desenvolver os gráficos: 
 
Analisando os gráficos pode-se notarque ambos apresentam uma variação significativa conseguindo se manter entre os limites de especificações.
b) A média e desvio padrão do processo podem ser demonstradas na Tabela abaixo.
	Desvio Padrão
	0,204213
	Média 
	16,268
 
c) Analisando o gráfico “Normal prob”, podemos afirmar que o peso de enchimento segue uma distribuição normal.
d) Pode-se observar no gráfico “Capability” que Cp já se encontra o valor nítido de mostrando que o gráfico não é capaz (para um gráfico capaz, necessita ao menos valor de Cp igual a 1).
O nível sigma do processo :
e)	Para descobrirmos o percentual fora da especificação será feito o seguinte procedimento.
 , ou seja, de acordo com a tabela de distribuição normal padrão, 98,38 % encontra-se dentro da especificação. Sendo assim, o percentual fora da especificação é de 1,62%.
f) Nenhum recipiente estará abaixo do limite inferior de especificação de 15,7 oz.
5.
a) 
Considerando a escala HRB, para dureza na escala Vickers entre 100 e 200, podemos ver no gráfico que as amostras estão seguindo estáveis dentro dos limites de especificação. 
b) Para analisar a capacidade do processo é preciso ver se os dados das amostras segue uma distribuição normal. Observando os gráficos a seguir podemos ver que a distribuição é normal, pois o p-valor é maior que 0,05.
Agora fazendo uma analise da capacidade do processo da Fila A e a Fila B:
Pela analise da Fila A, é possível concluir q o valor de Cp e Cpk são menores que um logo o processo não é capaz. Agora analisando a Fila B, é possível concluir que os valores de Cp e Cpk são menores que um e bem próximos logo também não é capaz e é centralizado. 
c) 
Nível de sigma global (Z.Bench + 1,5) = 4,29
Nível de sigma potencial (Z.Bench + 1,5) = 3,85
A partir dos resultados do gráfico da fila A, podemos concluir que o nível de o nível de sigma em longo prazo é 4,29. E o nível sigma em curto prazo é 3,85.
Nível de sigma global (Z.Bench + 1,5) = 3,82
Nível de sigma potencial (Z.Bench + 1,5) = 3,41
A partir dos resultados do gráfico da fila B, podemos concluir que o nível de o nível de sigma em longo prazo é 3,82. E o nível sigma em curto prazo é 3,41.
d) Para a fila A:
Para descobrirmos o percentual fora da especificação será feito o seguinte procedimento.
(x-)/σ=(120-110)/3,325=3,00 , ou seja, de acordo com a tabela de distribuição normal padrão, 99,87 % encontra-se dentro da especificação. Sendo assim, o percentual fora da especificação é de 0,13%.
Para a fila B:
Para descobrirmos o percentual fora da especificação será feito o seguinte procedimento.
(x-)/σ=(120-110,7)/3,831=2,43 , ou seja, de acordo com a tabela de distribuição normal padrão, 99,25 % encontra-se dentro da especificação. Sendo assim, o percentual fora da especificação é de 0.75%.
3
33003200310030002900280027002600
99
95
90
80
70
60
50
40
30
20
10
5
1
Mean2929
StDev129,0
N20
AD0,319
P-Value0,511
Viscosidade
P
e
r
c
e
n
t
Probability Plot of Viscosidade
Normal 
191715131197531
3400
3300
3200
3100
3000
2900
2800
2700
2600
2500
Observation
I
n
d
i
v
i
d
u
a
l
 
V
a
l
u
e
_
X=2928,9
UCL=3322,9
LCL=2534,9
Gráfico de Viscosidade
340033003200310030002900280027002600
99
95
90
80
70
60
50
40
30
20
10
5
1
Mean2972
StDev146,2
N25
RJ0,980
P-Value>0,100
Viscosidade
P
e
r
c
e
n
t
Probability Plot of Viscosidade
Normal 
252321191715131197531
3400
3200
3000
2800
2600
Observation
I
n
d
i
v
i
d
u
a
l
 
V
a
l
u
e
_
X=2971,9
UCL=3354,9
LCL=2588,9
252321191715131197531
400
300
200
100
0
Observation
M
o
v
i
n
g
 
R
a
n
g
e
__
MR=144
UCL=470,5
LCL=0
I-MR Chart of Viscosidade
191715131197531
16,6
16,4
16,2
16,0
Sample
S
a
m
p
l
e
 
M
e
a
n
_
_
X=16,268
UCL=16,5420
LCL=15,9940
191715131197531
1,00
0,75
0,50
0,25
0,00
Sample
S
a
m
p
l
e
 
R
a
n
g
e
_
R=0,475
UCL=1,004
LCL=0
Xbar-R Chart of X1; ...; X5
191715131197531
16,4
16,2
16,0
S
a
m
p
l
e
 
M
e
a
n
_
_
X=16,268
UCL=16,5420
LCL=15,9940
191715131197531
1,0
0,5
0,0
S
a
m
p
l
e
 
R
a
n
g
e
_
R=0,475
UCL=1,004
LCL=0
2015105
16,8
16,4
16,0
Sample
V
a
l
u
e
s
16,616,416,216,015,8
LSL15,7
USL16,7
Specifications
LSLUSL
Overall
Within
17,016,516,015,5
StDev0,2014
Pp0,83
Ppk0,71
Cpm*
PPM18402,43
Overall
StDev0,2118
Cp0,79
Cpk0,68
PPM24383,49
Within
Overall
Within
Specs
Process Capability Sixpack Report for X1; ...; X5
Xbar Chart
R Chart
Last 20 Subgroups
Capability Histogram
Normal Prob Plot
AD: 1,257, P: < 0,005
Capability Plot
16,616,416,216,015,8
LSL15,8
Target*
USL16,7
Sample Mean16,268
Sample N100
StDev(Overall)0,201449
StDev(Within)0,211848
Process Data
Pp0,74
PPL0,77
PPU0,71
Ppk0,71
Cpm*
Cp0,71
CPL0,74
CPU0,68
Cpk0,68
Potential (Within) Capability
Overall Capability
PPM < LSL0,0010085,1413582,80
PPM > USL0,0015998,0120715,19
PPM Total0,0026083,1534297,98
ObservedExpected OverallExpected Within
Performance
LSLUSL
Overall
Within
Process Capability Report for X1; ...; X5
121110987654321
115,0
112,5
110,0
107,5
105,0
Sample
S
a
m
p
l
e
 
M
e
a
n
_
_
X=110,03
UCL=116,59
LCL=103,46
121110987654321
16
12
8
4
0
Sample
S
a
m
p
l
e
 
R
a
n
g
e
_
R=6,42
UCL=16,52
LCL=0
Xbar-R Chart of Fila A
121110987654321
120
115
110
105
Sample
S
a
m
p
l
e
 
M
e
a
n
_
_
X=110,69
UCL=118,54
LCL=102,85
121110987654321
20
15
10
5
0
Sample
S
a
m
p
l
e
 
R
a
n
g
e
_
R=7,67
UCL=19,74
LCL=0
Xbar-R Chart of Fila B
120115110105100
99
95
90
80
70
60
50
40
30
20
10
5
1
Mean110,0
StDev3,325
N36
AD0,576
P-Value0,125
Fila A
P
e
r
c
e
n
t
Probability Plot of Fila A
Normal 
120115110105100
99
95
90
80
70
60
50
40
30
20
10
5
1
Mean110,7
StDev3,831
N36
AD0,497
P-Value0,199
Fila B
P
e
r
c
e
n
t
Probability Plot of Fila B
Normal 
120117114111108105102
LSL100
Target*
USL120
Sample Mean110,028
Sample N36
StDev(Overall)3,32511
StDev(Within)3,85005
Process Data
Pp1,00
PPL1,01
PPU1,00
Ppk1,00
Cpm*
Cp0,87
CPL0,87
CPU0,86
Cpk0,86
Potential (Within) Capability
Overall Capability
PPM < LSL0,001281,624599,30
PPM > USL0,001354,044796,66
PPM Total0,002635,669395,96
ObservedExpected OverallExpected Within
Performance
LSLUSL
Overall
Within
Process Capability Report for Fila A
120116112108104100
PPM < LSL0,002621,888845,96
PPM > USL0,007567,9519511,17
PPM Total0,0010189,8328357,12
ObservedExpected OverallExpected Within
Performance
LSL100
Target*
USL120
Sample Mean110,694
Sample N36
StDev(Overall)3,83085
StDev(Within)4,50861
Process Data
Pp0,87
PPL0,93
PPU0,81
Ppk0,81
Cpm*
Cp0,74
CPL0,79
CPU0,69
Cpk0,69
Potential (Within) Capability
Overall Capability
LSLUSL
Overall
Within
Process Capability Report for Fila B
120117114111108105102
LSL100
Target*
USL120
Sample Mean110,028
Sample N36
StDev(Overall)3,32511
StDev(Within)3,85005
Process Data
Z.Bench2,79
Z.LSL3,02
Z.USL3,00
Ppk1,00
Cpm*
Z.Bench2,35
Z.LSL2,60
Z.USL2,59
Cpk0,86
Potential (Within) Capability
Overall Capability
PPM < LSL0,001281,624599,30
PPM > USL0,001354,044796,66
PPM Total0,002635,669395,96
ObservedExpected OverallExpected Within
Performance
LSLUSL
Overall
Within
Process Capability Report for Fila A
120116112108104100
LSL100
Target*
USL120
Sample Mean110,694
Sample N36
StDev(Overall)3,83085
StDev(Within)4,50861
Process Data
Z.Bench2,32
Z.LSL2,79
Z.USL2,43
Ppk0,81
Cpm*
Z.Bench1,91
Z.LSL2,37
Z.USL2,06
Cpk0,69
Potential (Within) Capability
Overall Capability
PPM < LSL0,002621,888845,96
PPM > USL0,007567,9519511,17
PPM Total0,0010189,8328357,12
ObservedExpected OverallExpected Within
Performance
LSLUSL
Overall
Within
Process Capability Report for Fila B
191715131197531
24
22
20
18
16
Sample
S
a
m
p
l
e
 
M
e
a
n
_
_
X=20,35
UCL=23,87
LCL=16,83
191715131197531
12
9
6
3
0
Sample
S
a
m
p
l
e
 
R
a
n
g
e
_
R=6,1
UCL=12,90
LCL=0
1
1
1
Xbar-R Chart of X1; ...; X5
191715131197531
24
22
20
18
16
Sample
S
a
m
p
l
e
 
M
e
a
n
_
_
X=20,278
UCL=23,931
LCL=16,625
191715131197531
15
10
5
0
Sample
S
a
m
p
l
e
 
R
a
n
g
e
_
R=6,33
UCL=13,39
LCL=0
Xbar-R Chart of X1; ...; X5
28242016128
LSL15
Target*
USL25
Sample Mean20,2778
Sample N90
StDev(Overall)2,9832
StDev(Within)2,76842
Process Data
Pp0,56
PPL0,59
PPU0,53
Ppk0,53
Cpm*
Cp0,60
CPL0,64
CPU0,57
Cpk0,57
Potential (Within) Capability
Overall Capability
PPM < LSL22222,2238433,1928297,71
PPM> USL33333,3356717,9244027,65
PPM Total55555,5695151,1272325,36
ObservedExpected OverallExpected Within
Performance
LSLUSL
Overall
Within
Process Capability Report for X1; ...; X5