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Estatística e Probabilidade
Aula 1
Assimetria e Curtose
Professor Luciano Nóbrega
2º Bimestre
Medidas de assimetria
As medidas de assimetria e curtose (esta última veremos na 
próxima aula) são as que restam para completarmos o quadro das 
estatísticas descritivas, que proporcionam, juntamente com as 
medidas de posição e dispersão, a descrição e compreensão 
completas da distribuição de freqüências estudadas até agora.
As medidas de assimetria referem-se à forma da curva de 
uma distribuição de freqüências, mais especificamente do polígono 
de freqüência ou do histograma.
Você lembra?
Distribiuição simétrica
1º caso: Curva ou Distribuição de Freqüências Simétrica
Neste caso, a média, a moda e a mediana são iguais. 
Assim:
x = md = mo
Medidas de assimetria
A idéia é que podemos classificar aqueles gráficos a partir do 
comportamento da série com o auxílio de algumas fórmulas.
Vejamos alguns casos:
x = mo  Simetria
Em resumo:
Medidas de assimetria
2º caso: Curva ou Distribuição de Freqüências Assimétrica Negativa
Neste caso, a média aritmética apresentará um valor menor do que a 
mediana, e esta, por sua vez, apresentará um valor menor do que a 
moda. Assim: x < md < mo
< <
Distribuição 
assimétrica 
negativa
A “cauda”
apresenta-se à 
esquerda do 
eixo de 
simetria.
x < mo  Assimetria Negativa
Em resumo:
Medidas de assimetria
3º caso: Curva ou Distribuição de Freqüências Assimétrica Positiva
Neste caso, a média aritmética apresentará um valor MAIOR do que a 
mediana, e esta, por sua vez, apresentará um valor MAIOR do que 
a moda. Assim: mo < md < x 
< <
Distribuição 
assimétrica 
positiva
A “cauda”
apresenta-se à 
direita do eixo
de simetria.
x > mo  Assimetria Positiva
Em resumo:
Medidas de assimetria
Como calcular o coeficiente de assimetria?
Existem diversos modos, todos obtidos empiricamente, de se calcular 
o coeficiente de assimetria.
Vamos estudar os mais usuais:
1º Coeficiente de Pearson
AS = (x - mo) = (x - mo)
σ DP
Quando:
AS = 0 temos que a distribuição é simétrica;
AS > 0 temos que a distribuição é assimétrica positiva;
AS < 0 temos que a distribuição é assimétrica negativa.
Medidas de assimetria
Exemplo:
Em uma distribuição de frequências foram encontradas as seguintes 
medidas: x = 45,23 mo = 42,51 md = 43,48 e DP = 21,3
a) Classifique o tipo de assimetria;
b) Calcule o coeficiente de assimetria.
1º Coeficiente de Pearson
AS = (x - mo) = (x - mo)
σ DP
x < mo  Assimetria Negativa
x = mo  Simetria
x > mo  Assimetria Positiva
Medidas de assimetria
2º Coeficiente de Pearson
AS = 3.(x - md) = 3(x - md)
σ DP
Da mesma forma:
AS = 0 temos que a distribuição é simétrica;
AS > 0 temos que a distribuição é assimétrica positiva;
AS < 0 temos que a distribuição é assimétrica negativa.
Medidas de assimetria
Exemplo:
Em uma distribuição de frequências foram encontradas as seguintes 
medidas: x = 15,23 mo = 12,89 md = 13,48 e DP = 7,3
a) Classifique o tipo de assimetria;
b) Calcule o coeficiente de assimetria.
2º Coeficiente de Pearson
AS = 3(x - md) = 3(x - md)
σ DP
x < mo  Assimetria Negativa
x = mo  Simetria
x > mo  Assimetria Positiva
Testando os conhecimentos
1 – Considerando a distribuição de frequência relativa aos 
pesos de 100 operários de uma fábrica:
Pesos (Kg) fi xifi (xi – x)
2.fi
50 |--- 58 10
58 |--- 66 15
66 |--- 74 25
74 |--- 82 24
82 |--- 90 16
90 |--- 98 10
Classifique, quanto à 
assimetria, segundo os 
coeficientes de Pearson. Para 
isso, siga o seguinte 
procedimento:
a) Preencha a tabela;
b) Determine a média, a moda, a 
mediana, a var. e o D.P.;
c) Substitua as variáveis nas fórmulas:
1º Coeficiente de Pearson
AS = (x - mo)
DP
2º Coeficiente de Pearson
AS = 3(x - md)
DP
Moda de Pearson
mo = 3.md – 2.x
md = ℓmd + n/2 - Fant . h
fmd
Testando os conhecimentos
2 – Considerando a distribuição de frequência relativa aos 
salários de 70 operários de uma fábrica:
Pesos (Kg) fi xifi (xi – x)
2.fi
500 |--- 580 10
580 |--- 660 15
660 |--- 740 25
740 |--- 820 20
Classifique, quanto à 
assimetria, segundo os 
coeficientes de Pearson. Para 
isso, siga o seguinte 
procedimento:
a) Preencha a tabela;
b) Determine a média, a moda, a 
mediana, a var. e o D.P.;
c) Substitua as variáveis nas fórmulas:
1º Coeficiente de Pearson
AS = (x - mo)
DP
2º Coeficiente de Pearson
AS = 3(x - md)
DP
Moda de Pearson
mo = 3.md – 2.x
md = ℓmd + n/2 - Fant . h
fmd
Testando os conhecimentos:
3 – Considere os seguintes resultados relativos a três distribuições de frequências. Determine os 
coeficientes de assimetria de Pearson e classifique-as de acordo com a escala.
Quando:
AS = 0 → Distribuição Simétrica 
0 < |AS| < 1 → Assimétrica Fraca
|AS| ≥ 1 → Assimétrica Forte
Distribuições x mo md DP
A 54 54 54 20
B 35 40 15 38
C 45 30 20 42
1º Coeficiente de Pearson
AS = (x - mo)
DP
2º Coeficiente de Pearson
AS = 3(x - md)
DP
Resumo
Classificação quanto a assimetria
x – mo = 0 → Distribuição Simétrica
x – mo < 0 → Distribuição Assimétrica Negativa
x – mo > 0 → Distribuição Simétrica Positiva
1º Coeficiente de Pearson
AS = (x - mo)
DP
2º Coeficiente de Pearson
AS = 3(x - md)
DP
Quando:
AS = 0 → Distribuição Simétrica 
0 < |AS| < 1 → Assimétrica Fraca
|AS| ≥ 1 → Assimétrica Forte
Índice de Momento de Curtose (fórmula do 4)
Medidas de Curtose
Definição
Denominamos por “CURTOSE” o grau de achatamento de uma curva de distribuição de frequência. Esse 
comportamento é dado pela concentração dos valores em relação a moda.
c = ∑(xi – x)
4
.fi
∑fi – 3
DP
4 Coeficiente Percentílico de Curtose
c = 0,263 – Q3 – Q1
2.(D9 – D1)
São duas as fórmulas:
1º caso: Curva Normal
Os dados estão razoavelmente em torno da moda.
Medidas de Curtose
São três casos para classificarmos a curtose:
mo
Mesocúrtica
c = 0
2º caso: Curva Afilada
Os dados estão fortemente em torno da moda.
Medidas de Curtose
mo
Leptocúrtica
c >0
3º caso: Curva Achatada
Os dados estão fracamente em torno da moda.
Medidas de Curtose
mo
Platicúrtica
c <0
Medidas de Curtose
Exemplo:
Sabendo que uma distribuição apresenta as seguintes medidas: ∑fi = 20
Q1 = 24. P75 = 41, P10 = 20, P90 = 48, ∑(xi – x)
4
.fi = 29 e DP = 1,5
Determine o momento de curtose e o coeficiente percentílico de curtose, em seguida, classifique a curva de 
frequência quanto à curtose.
c = ∑(xi – x)
4
.fi
∑fi – 3
DP
4
c = 0,263 – Q3 – Q1
2.(D9 – D1)
c = 0 → Mesocúrtica c > 0 → Leptocúrtica c < 0 → Platicúrtica
c = 29
20 – 3
1,5
4
c = 1,45 – 3
5,0625
c = 0,286 – 3 = – 2,714
Platicúrtica
c = 0,263 – 41 – 24
2.(48 – 20)
c = 0,263 – 17
56
c = 0,263 – 0,303 = – 0,04
Platicúrtica
Testando os conhecimentos
1 – Considere os seguintes resultados relativos a três distribuições de frequências. 
Determine os coeficientes de assimetria de Pearson e classifique-as de acordo com a 
escala.
Distribuições ∑(xi – x)
4.fi ∑fi DP P75 P25 P90 P10
A 54 20 1,8 93 81 101 77
B 35 40 0,3 80 63 86 55
C 45 30 0,9 45 28 49 20
c = ∑(xi – x)
4
.fi
∑fi – 3
DP
4
c = 0,263 – Q3 – Q1
2.(D9 – D1)
c = 0 → Mesocúrtica c > 0 → Leptocúrtica c < 0 → Platicúrtica
Testando os conhecimentos
2 – Uma amostra aleatória de 250 residências revelou a seguinte distribuição do consumo de 
energia elétrica mensal.
Consumo (Kw/h) fi fri Fi Fri xi xifi (xi – x) (xi – x)
2 (xi – x)
2.fi
0 |----- 50 2
50 |----- 100 15
100 |----- 150 32
150 |----- 200 47
200 |----- 250 23
Complete a tabela e responda:
a) Qual o consumo médio?
b) Qual o desvio padrão?
c) Qual os coeficientes de Pearson e os de curtose?
1º Coeficiente de Pearson
AS = (x - mo)
DP
2º Coeficiente de Pearson
AS = 3(x - md)
DP
var = ∑ (xi – x)
2
n
Testando os conhecimentos
3 – Com base na tabela abaixo, determine o coeficiente de curtose e classifique em relação à curva.
Pesos (kg) 50 |--- 58 |--- 66 |--- 74 |--- 82 |--- 90 |--- 98
Quant. Func. 10 15 25 24 1610
Para isso, faça o que se pede:
a) Determine as separatrizes Q1, Q3, D1 e D9
b) Utilize a fórmula c = 0,263 – Q3 – Q1
2.(D9 – D1)
Pi = ℓi + 
i.n
/100 - Fant . h
fi
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