Sistemas de Controle II

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André Taveira da Silva Scheibel
Sistemas de controle II 
© 2016 by Universidade de Uberaba
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sistema de armazenamento e transmissão de informação, sem prévia autorização, 
por escrito, da Universidade de Uberaba.
Universidade de Uberaba
Reitor 
Marcelo Palmério
Pró-Reitor de Educação a Distância
Fernando César Marra e Silva
Editoração
Produção de Materiais Didáticos
Capa
Toninho Cartoon
Edição
Universidade de Uberaba
Av. Nenê Sabino, 1801 – Bairro Universitário
Catalogação elaborada pelo Setor de Referência da Biblioteca Central UNIUBE
André Taveira da Silva Scheibel
Eng. Civil e autor deste material teve sua formação de pós-gradua-
ção iniciando na UEM – Universidade Estadual de Maringá – Pr, e 
terminando o quinto ano na UNICESUMAR – Centro Universitário 
de Maringá – Pr .Atualmente, o prof. André Taveira da Silva Schei-
bel realiza seu mestrado em estruturas na UEM. O prof. André 
também exerce atividades como consultor técnico em patologias 
da construção, além de ser professor na UNICESUMAR.
Sobre os autores
Sumário
Capítulo 1 Sistemas Dinâmicos em espaço de estados .................9
1.1 Representação geral no espaço de estados ................................................... 10
1.1.1 Independência Linear ............................................................................. 11
1.1.2 Controlabilidade ..................................................................................... 16
1.1.3 Considerações Finais ............................................................................. 22
Capítulo 2 Observabilidade e realimentação de estados ................23
2.1 Observabilidade ............................................................................................... 24 
2.1.1 Matriz de observabilidade ...................................................................... 26
2.1.2 Realimentação de Estados .................................................................... 30
Capítulo 3 Posicionamento de polos ...............................................37
3.1 Topologia para o posicionamento de polos ..................................................... 38
3.1.1 Alocação de polos de processos a controlar 
na forma de variáveis de fase ......................................................................... 41
Capítulo 4 Equivalentes discretos de Sistemas Contínuos.............51
4.1 Estruturas de controladores ............................................................................. 52
4.1.1 Controle Digital por Emulação ............................................................... 53
4.1.2 Controle pelo método de Euler .............................................................. 54
Capítulo 5 Controladores PID Digitais .............................................63
5.1 Controladores PID Digitais .............................................................................. 64
5.1.1 Algoritmo para Controlador PID Digital .................................................. 68
Capítulo 6 Compensadores “LEAD-LAG” .......................................73
6.1 Compensadores ............................................................................................... 74
6.1.1 Controlador PI ........................................................................................ 75
6.1.2 Controlador PD....................................................................................... 75
6.1.3 Controlador PID...................................................................................... 79
6.1.4 Construção do bloco derivativo puro D .................................................. 81
6.1.5 Implementação prática do bloco derivativo D ........................................ 81
6.1.6 Compensador avanço de fase ............................................................... 82
6.1.7 Compensador atraso de fase ................................................................. 84
6.1.8 Compensador atraso-avanço................................................................. 85
Capítulo 7 Algoritmo “Dead-Beat” e de Kalman ..............................87
7.1 Projeto de controladores digitais ..................................................................... 88
7.1.1 Controladores Deadbeat ........................................................................ 89
7.1.2. Algoritmo de Kalman ............................................................................. 93
Capítulo 8 Controladores Digitais no Espaço de Estados ..............109
8.1 Descrição por Variáveis de Estado .................................................................. 111
8.1.4 Observabilidade ..................................................................................... 116
8.1.5 Funções de Transferência ..................................................................... 119
8.1.6 Realimentação de Estado ...................................................................... 120
8.1.7 Fórmula de Ackermann para Determinação da Matriz de Ganhos K ... 121
Conclusão ........................................................................................................123
Referências ......................................................................................................126
Caro(a) aluno(a),
Seja bem-vindo(a) à disciplina de Sistemas de Controle II, cujo ma-
terial didático foi elaborado pelo professore Eng. Civil André Taveira 
da Silva Scheibel.
Os sistemas de controle modernos fazem parte da sociedade atual, 
são grande o números de aplicações que vemos no cotidiano. Os 
sistemas de controle também existem na natureza e podem 
Na época atual, os sistemas de controle se encontram em inú-
meras aplicações, em sistemas de navegação, naves espaciais e 
controle de mísseis, aviões etc. Os aviões utilizam os sistemas de 
controle para os comandos elétricos, hidráulicos e mecânicos que 
desenvolvem os comandos das pás das asas que dão resposta ao 
comando do manche do piloto. 
Podemos observar, também, esses sistemas em controle de níveis 
em reservatórios de água potável, em fábricas, nas espessuras de 
plásticos, metais e demais produtos, em montadoras de veículos. Um 
exemplo é a fabricação de antenas que usam plásticos em sua estru-
tura, o plástico entra por uma extrusora e a quantidade a ser injetada é 
controlada para que não se extrapole a condição imposta pelo molde. 
Esses sistemas não estão disponíveis apenas em industrias. No 
aquecimento residencial ou de uma piscina, são geridos por um 
simples controle, em um sistema binário que expande ou contrai 
com a mudança de temperatura. 
Apresentação
Existem inúmeros sistemas de controle que nos cercam dia a dia, 
que podem ser simples ou extraordinários. Ao começar estes estu-
dos de sistemas de controle, você verá a imensidão de possibilida-
des e oportunidades que esses sistemas representam.
André Taveira da Silva Scheibel
Introdução
Sistemas Dinâmicos em 
espaço de estados
Capítulo
1
Usamos atualmente duas abordagens para a análise de projeto 
com retração. Uma é a técnica clássica e a outra, o domínio de 
frequência, em que uma equação diferencial é transformada em 
uma função de transferência, obtendo-se um modelo matemático 
que representa o sistema, este se relaciona algebricamente com 
uma representação de saída ou da entrada. A substituição de 
uma equação diferencial por uma algébrica simplifica os cálculos 
para uma representação de sistemas individuais e também para 
sistemas interconectados.
A desvantagem do sistema clássico é que ele só pode ser utilizado 
para sistemas lineares e invariantes no tempo ou, então, para 
sistemasaproximados para estes.
As técnicas de domínio de frequência nos fornecem uma rápida 
informação sobre a estabilidade e resposta transitória. Assim, 
verificamos individualmente o efeito que foi produzido no sistema 
pela alteração e obtemos um projeto aceitável.
As técnicas clássicas nos permitem modelar a abordagem do 
domínio no tempo. Assim, o projetista tem uma outra perspectiva 
para desenvolver seu projeto, a qual, apesar de poder ser 
abordada para uma grande parte dos sistemas, não é tão clara 
10 UNIUBE
• Conhecer a representação geral no espaço de estados, 
aplicar o método de variável independente no sistema, 
verificar se o sistema é ou não é controlável e verificar a 
eficácia de um projeto de retroação de estado.
• Conceito de representação geral no espaço
• Independência linear
• Resolução de um sistema com variáveis independentes 
linearmente
• Controlabilidade
• Análise da controlabilidade do sistema
• Verificação para implementação de projeto de 
retroação de estado.
Objetivos
Esquema
Representação geral no espaço de estados1.1
Combinação linear: n variáveis, xi, para i = 1 a n é dada:
S = KnXn + Kn-1Xn-1 + ... + K1X1
Ki = Constante
como a abordagem clássica. Nesse caso, o projetista precisa de 
vários cálculos para que a interpretação física do modelo se torne 
aparente, no modelo clássico, com poucos cálculos, o modelo já 
fornece a interpretação física.
 UNIUBE 11
1.1.1 Independência Linear
Quando um conjunto de variáveis não pode ser escrito como uma 
combinação linear das outras. 
Por exemplo, se tivermos:
x1, x2 e x3 = 5x1 + 6x3 não são linearmente independentes, pois uma 
delas pode ser escrita como combinação linear da outra.
Agora se tivermos:
K2x2 = k1x1 + k3x3 se não tivermos nenhum xi = 0, desta forma, xi 
pode ser escrito como combinação linear das outras variáveis, para 
todo ki = 0. Assim, dizemos que as variáveis serão independentes, 
se a combinação S = 0 e se todos os ki = 0 e nenhum xi = 0.
Variável de sistema: variável que responda a uma entrada ou a 
condições iniciais em um sistema.
Variáveis de estado: o menor conjunto linearmente independente 
de variáveis de sistema tal que os valores dos membros do conjun-
to no instante t0, juntamente com as funções forçantes conhecidas, 
determinam completamente o valor de todas as variáveis do siste-
ma para todos os instantes de tempo t≥t0 (NISE, 2002).
Vetor de estado: os elementos são variáveis no próprio estado.
Espaço de estados: espaço n-dimensional cujos eixos são as vari-
áveis de estado. 
Equações de estados: um sistema com n equações diferenciais 
todas de primeira ordem, em que as variáveis n a serem resolvidas 
formam as próprias variáveis de estado.
12 UNIUBE
Equações de saída: expressam as variáveis de saída como combi-
nações lineares das variáveis de estado e das entradas.
Assim, um sistema no espaço de estados se representa pelas 
equações:
x= Ax + Bu
y = Cx + Du
Temos, então, que para t ≥ t0 e para as condições iniciais, x(t0):
x - valor de estado;
x – derivada do vetor de estado em relação ao tempo;
y – vetor resposta;
u – vetor de entrada ou de controle;
A – matriz de sistema;
B – matriz de entrada;
C – matriz de saída;
D – matriz de ação avante.
Dizemos, então, que a equação x = Ax + Bu é a equação de estado 
e o vetor x, vetor de estado. 
 UNIUBE 13
Figura 01 - Representação gráfica de espaços de estados e de um vetor de estado
Fonte: (SINSE, 2002, p. 95).
Essa equação fornece todas as variáveis do sistema para t ≥ t0. 
Por exemplo:
Considere um sistema de segunda ordem, linear, invariante no tem-
po, com uma entrada v(t), em que as equações de estados podem 
ter a seguinte forma:
x1 e x2 são variáveis de estado. Havendo uma única saída, a aqua-
ção de saída será:
A escolha das variáveis para um sistema de estado não é única. 
Deve ser atendido o requisito de elas serem independentes e deve 
ser escolhido um número mínimo de variáveis.
14 UNIUBE
EXEMPLO 1: 
Dado o circuito elétrico abaixo, obter uma representação no espaço 
de estados se a saída for a corrente através do resistor. 
Figura 01 - Circuito elétrico para representação no espaço de estados
Fonte: Nise (2002, p. 97).
Solução:
Passo 1: nomear as correntes de todos os ramos do circuito.
Passo 2: selecionar as variáveis de estado, escrevendo a equa-
ção da derivada relativa a todos os elementos armazenados de 
energia, isto é, o indutor e o capacitor.
Assim:
 (1.1)
 (1.2)
Com base nas equações (1.1) e (1.2), escolhemos como variáveis 
de estado as grandezas diferenciáveis, ou seja, vc e iL.
 UNIUBE 15
Passo 3: aplicar a teoria de circuitos, como as leis de Kirchhoff das 
tensões e das correntes, para obter iC e vL em termos das variáveis 
de estado, vC e iL. No nó 1,
 (1.3)
Que nos dá iC em termos das variáveis de estado vC e iL.
Ao longo da malha externa, temos:
 (1.4)
Que nos dá vL em termos da variável de estado, vC, e da fonte de 
tensão, v(t).
Passo 4: substituir as equações (1.3) e (1.4) nas equações (1.1) e 
(1.2) obtemos:
 (1.5)
 (1.6)
ou
 (1.7)
 (1.8)
Passo 5: obter a equação de saída. Como é iR(t),
 (1.9)
16 UNIUBE
Representando as equações (1.7) e (1.8) e (1.9) na forma matricial 
vetorial, temos;
 (2.0)
 (2.1)
O ponto sobre a derivada indica derivação em relação ao tempo.
AMPLIANDO O CONHECIMENTO
Livro: Engenharia de Controle Moderno 
Autor: Katsuhiko Ogata
Sinopse: Nesta edição, conceitos são expli-
cados e desenvolvidos por meio de exemplos 
e apoiados por exercícios que cobrem uma 
variedade de aplicações. Completa o livro 
uma série de aplicações com o MATLAB na 
análise e no projeto de sistemas de controle, 
de modo a ensinar não apenas a resolver os problemas matemati-
camente, mas também a utilizar o software como uma ferramenta 
de auxílio.
1.1.2 Controlabilidade
Considere a forma paralela indicada na figura 02 e o controle da 
localização de um polo do sistema na malha fechada, a partir dis-
so, é possível dizer que o sinal de controle, u, controla cada uma 
das variáveis de estado em x. Assim, se alguma das variáveis de 
estado não puder ser controlada por u, não será possível alocar os 
polos dentro do sistema na posição desejada.
 UNIUBE 17
Esses conceitos, se aplicáveis para a apresentar uma resposta ins-
tável por uma condição inicial não nula, não farão um projeto de 
retroação para estabilizar x1.
Figura 02 - Comparação entre sistemas: a) Controlável b) Não controlável
Fonte: Nise (2002, p. 522).
18 UNIUBE
Com base na discussão anterior temos:
Se todas as variáveis de estado de um sistema forem transferidas 
obtendo-se uma entrada de um valor inicial desejado para um es-
tado final, diz-se que o sistema é controlável, no caso contrário, o 
sistema é não controlável.
Assim, para a alocação de polos ser viável, os sistemas precisam 
ser controláveis. Assim, demonstraremos se a alocação de polos 
em um sistema é viável para o controlador.
1.1.2.1 Controlabilidade por inspeção
Pela própria equação de estado, podemos analisar a controlabili-
dade. Se a matriz de sistema for diagonal, como na forma paralela, 
conseguimos verificar se o sistema é ou não controlável.
Um exemplo é a seguinte matriz:
 (1.2.1.1)
ou 
 (1.2.1.2)
 (1.2.1.3)
 (1.2.1.4)
Conforme podemos verificar em (1.2.1.1) e nas equações (1.2.1.2), 
(1.2.1.3) e (1.2.1.4), x1 não é controlada por u, variável de controle. 
O sistema é não controlável.
 UNIUBE 19
Dessa forma, um sistema é dito controlável se nenhuma linha da 
matriz de acoplamento de entrada B não possuir nenhuma linha 
nula.
1.1.2.2 A Matriz de Controlabilidade
Não conseguimos usar os testes de controlabilidade que estuda-mos até o momento para sistemas que assumam a forma paralela 
ou diagonal com autovalores distintos. Se o sistema possuir polos 
múltiplos, a verificação da controlabilidade fica mais difícil, mesmo 
em forma paralela. A simples existência de caminhos de entrada 
para as variáveis não induzem a uma controlabilidade, pois não há 
desacoplamento dos estados.
Então, somente determinamos a controlabilidade para projetar a 
retroação, se todas as variáveis de estado forem controladas pela 
entrada de processo u, sendo a matriz com uma propriedade des-
sas variáveis e com uma escolha qualquer de variáveis.
A matriz agora receberá forma, nome e propriedade.
Terá controlabilidade se a matriz,
For de posto n, CM é a matriz de controlabilidade. 
EXEMPLO 2:
Dado o sistema da figura 03, representado por um diagrama de 
fluxo de sinal, determinar sua controlabilidade. 
20 UNIUBE
Figura 03: Sistema para o exemplo
Fonte: Nise (2002, p. 524).
Solução:
A equação de estado do sistema será:
 (1.2.1.5)
À primeira vista, parece que o sistema é não controlável por cau-
sa do zero na matriz B. Lembre-se de que essa matriz terá uma 
configuração de não controlabilidade, se os polos forem distintos e 
reais. Nesta temos polos múltiplos em -1.
O posto de CM é igual ao número de linhas ou colunas linearmente 
independentes. O posto pode ser obtido determinando-se a sub-
matriz quadrada de maior ordem que seja não singular. O determi-
nante de CM = -1. Como o determinante é não nulo, a matriz 3 x 3 
é não singular, e o posto de CM é 3. Concluímos que o sistema é 
controlável, uma vez que o posto CM é igual à ordem do sistema. 
Portanto, os polos do sistema podem ser posicionados usando-se 
o projeto de retroação das variáveis de estado.
 UNIUBE 21
Nesse exemplo, vimos que, mesmo se um elemento da matriz de 
acoplamento de entrada for zero, o sistema pode ser controlável. 
Observando a figura 03, vemos que as variáveis de estado são 
todas acionadas por u.
Assim, se desconectarmos alguma das entradas dx1/dt, dx2/dt ou 
dx3/dt, ao menos uma das variáveis seria incontrolável. Dessa for-
ma, para analisarmos esse efeito, vamos desconectar a entrada 
dx2/dt. A matriz B ficará então como sendo:
Agora, o sistema se torna não controlável, pois x1 e x2 não são con-
troladas por u. Conseguimos confirmar essa hipótese pela matriz 
de controlabilidade:
O determinante da matriz é igual a zero e também o determinante 
de qualquer outra 2 x 2. O posto de CM = 1, menor que a ordem 3 
do sistema. O sistema se torna não controlável.
EXEMPLO 3:
Determine se o sistema a seguir é controlável
Resposta: o sistema é controlável 
22 UNIUBE
1.1.3 Considerações Finais
Caro(a) aluno(a), em resumo, o projeto de alocação de polos, com 
a retroação de variáveis de estado, pode ser simplificado utilizan-
do-se a forma de variáveis de fase nas equações de estado do 
processo a controlar. Mas a condição de controlabilidade fica mais 
visível em paralelo, pois a matriz de sistema é diagonal quando as 
raízes são distintas. Dessa forma, a matriz de controlabilidade irá 
informar ao projetista se é ou não viável a construção do projeto 
por retroação.
André Taveira da Silva Scheibel
Introdução
Observabilidade e 
realimentação de estados
Capítulo
2
Para se projetar um controlador é requisito que se possa 
controlar todas as variáveis de estado. Se alguma delas não for 
controlável, os ganhos de retroação não poderão ser projetados. 
Essa condição de não controlabilidade é melhor visualizada em 
sistemas diagonalizados. No capítulo anterior, vimos no diagrama 
de fluxo de sinal que a variável de estado estava desconectada 
de u e, assim, tornava-se incontrolável. 
Outro conceito parecido diz respeito à capacidade de produzir 
projeto como observador do sistema. Nesse caso, estamos usando 
sua saída para encontrar as variáveis. No entanto, se alguma 
delas não tiver efeito sobre a saída, seu cálculo observando a 
saída se torna impossível.
Essa condição de observar uma variável de estado a partir da 
saída é melhor analisada em sistemas diagonais.
• Analisar a observabilidade de um sistema.
• Verificar, por meio da matriz de observabilidade, a sua 
adequação ao projeto.
• Analisar projetos de realimentação de estados.
• Observabilidade
• Matriz de observabilidade
• Realimentação de estados
Objetivos
Esquema
Observabilidade2.1
Quando há a possibilidade da obtenção de um vetor de estado ini-
cial, x (t0), a partir de u(t) e (y) em um intervalo de tempo finito medi-
do de t0, o sistema é observável, por outro lado, se isso não ocorrer, 
o sistema é não observável.
Assim, a observabilidade é a possibilidade de se deduzir as va-
riáveis com base no conhecimento da entrada, u(t), e da saída, 
y(t). Para a alocação de polos para um observador do projeto, o 
sistema necessita ser observável. Dessa forma, trataremos, aqui, 
de demonstrar a técnica de alocação de polos que se torna viável 
para o observador.
Com isso, podemos falar sobre a observabilidade com base na 
equação de saída do sistema diagonalizado, conforme figura 04a
O sistema não observável da figura 04b é:
 UNIUBE 25
Podemos ver que a equação da primeira coluna do sistema não
-observável é igual a zero. Em sistemas na forma em paralelo com 
autovalores distintos, se alguma das colunas da matriz de acopla-
mento é zero, o sistema diagonal se torna não observável.
Figura 04 - Comparação entre sistema observável (a) e não observável (b)
Fonte: Nise (2002, p. 536.)
26 UNIUBE
2.1.1 Matriz de observabilidade
Se os sistemas forem representados de outra forma que não na 
forma diagonalizada, não podem ser avaliados quanto à sua ob-
servabilidade. Conseguimos determinar se um sistema é ou não 
observável, representado de maneira qualquer ou escolhas de va-
riáveis de estados, por meio de uma matriz com uma propriedade 
particular, quando todas as variáveis de estado se tornam observá-
veis na saída. 
Falaremos, então, dos requisitos para a observabilidade e mostra-
remos a forma, o nome e a propriedade dessa matriz.
Seja assim um processo para controle de ordem n, as equações de 
estado de saída serão:
Será observável se a matriz:
for de posto n, em que OM é chamada a matriz de observabilidade.
EXEMPLO 4:
Determinar se o sistema a seguir é observável.
 UNIUBE 27
Figura 05 - Sistema do exemplo
Fonte: Nise (2002, p. 537).
Solução:
Equações de estado e de saída:
Assim, a matriz de observabilidade será:
O determinante de OM é -344, assim, a matriz OM é de posto total 
igual a 3. O sistema é observável.
28 UNIUBE
EXEMPLO 2:
Determinar se o sistema a seguir é observável.
Figura 06 - Sistema do exemplo
Fonte: Nise (2002, p. 537).
Solução:
As equações de estado e de saída para o sistema são:
x
Dessa forma, a matriz de observabilidade se torna:
O determinante dessa matriz é zero, logo, a matriz de observabi-
lidade não têm posto máximo, tonando o sistema não observável.
 UNIUBE 29
DICAS
Leia o artigo a seguir:
ANÁLISE DE OBSERVABILIDADE E CRITICIDADE DE MEDIDAS 
NA ESTIMAÇÃO DE ESTADOS EM SISTEMAS DE POTÊNCIA 
CONSIDERANDO MEDIÇÕES FASORIAIS SINCRONIZADAS
EMANOELLI CIPRIANI, ANTONIO J. A. SIMÕES COSTA
Laboratório de Sistemas de Potência, Departamento de Engenharia 
Elétrica, Universidade Federal de Santa Catarina
Introdução
A Estimação de Estados em Sistemas de Potência (EESP) é respon-
sável por estimar valores confiáveis para as variáveis de estado do 
sistema, isto é, as tensões nodais complexas, sendo de fundamen-
tal importância na monitoração e análise da segurança da operação 
em tempo real. O Estimador de Estados convencional processa um 
conjunto redundante de telemedidas, contaminadas por ruídos di-
versos, obtido por meio do sistema SCADA(Supervisory Control 
and Data Acquisition). O surgimento da tecnologia de Medição 
Fasorial Sincronizada e sua aplicação crescente nos sistemas de 
potência modernos representam uma mudança de paradigma para 
a monitoração e controle da operação do sistema elétrico. Com 
a introdução de medidas fasoriais sincronizadas de tensão e cor-
rente – de alta precisão e taxas de amostragem muito superiores 
ao sistema SCADA – a Estimação de Estados deverá apresentar 
melhorias no que diz respeito à precisão e convergência do método 
(Thorp, Phadke e Karimi, 1985; Zivanovic e Cairns, 1996). O uso 
da EESP foi inicialmente proposto por Schweppe e colaboradores 
30 UNIUBE
com a publicação de um artigo de três partes (Schweppe, Wildes 
e Rom, 1970). A importância e a complexidade do problema de 
observabilidade na EESP foram reconhecidas pelos autores já na 
primeira parte do artigo.
O artigo na íntegra com os resultados está disponível em: <http://
www.eletrica.ufpr.br/anais/cba/2010/Artigos/66185_1.pdfacesso>. 
Acesso em: 24 abr. 2016.
2.1.2 Realimentação de Estados
Existem três técnicas básicas de projeto de sistemas de controle 
por realimentação: 
1. Lugar das raízes. 
2. Resposta em frequência.
3. Realimentação de estados. 
Embora haja muitos pontos de equivalência entre as três técnicas 
de projeto, o emprego de modelos por realimentação de estados 
tem ampliado seu campo de aplicação em virtude da possibilidade 
de tratar sistemas no domínio do tempo, EA721 - Prof. Von Zuben 
DCA/FEEC/Unicamp Tópico 21 – Realimentação de Estados 3, 
além de permitir que o sistema seja, em algum grau, restrito, não 
linear, variante no tempo e MIMO.
Apresentação em 5 etapas:
 UNIUBE 31
1. Projeto do controlador como se todos os estados estivessem 
disponíveis para uso na implementação da lei de controle (reali-
mentação de ordem completa). 
2. Introdução do conceito de observador de ordem completa, que 
fornece estimativas dos estados a partir das variáveis de saída 
monitoradas.
3. Utilização do observador do item (2) na implementação do con-
trolador do item (1), com as estimativas empregadas no lugar dos 
estados. 
4. Introdução do conceito de observadores de ordem reduzida. 
5. Introdução de comandos externos de referência.
Se houver no sistema uma entrada de referência, o sistema resul-
tará em:
Agora, se a lei de controle for representada por: 
Na qual:
r(k) = é uma referência a ser seguida.
k0 = é uma constante para ajustar a resposta controlada do siste-
ma para que não ocorra erro estacionário.
32 UNIUBE
Isso significa que, se a referência a ser seguida for o degrau unitá-
rio, então, a saída deverá ser tal que y(∞)→1.
Então, o ganho k0 precisa ser ajustado.
Assim, no sistema sua conduta é dada por G – HK, a mesma para 
um regulador. Por isso, as mesmas fórmulas para o ganho de K 
podem ser utilizadas.
Figura 07 - Controle por realimentação de estado
Fonte: UFMG.
EXEMPLO 5:
Dado o sistema a seguir, calcule o ganho de K.
 UNIUBE 33
Sendo os polos da malha:
Solução:
Agora, basta encontrar o ganho k0 para que o sistema em malha 
fechada não tenha erro estacionário. Para isso, encontra-se a FT 
do sistema,
Para esse caso, temos:
Potanto,
Dessa forma, para o erro estacionário:
Assim, temos que:
K0 = 0.5
34 UNIUBE
Figura 08 - Resposta ao degrau unitário do sistema sem con-
trole e malha fechada com o controlador
Fonte: UFMG.
DICAS
Alocação robusta de pólos através de realimentação de esta-
dos dependente de parâmetros
Valter Júnior de Souza Leite; Vinícius Foletto Montagner; Pedro 
Luis Dias Peres
Faculdade de Engenharia Elétrica e de Computação, Universidade 
Estadual de Campinas, CP 6101, 13081-970, Campinas - SP 
– Brasil. 
 UNIUBE 35
RESUMO
Uma condição suficiente para a existência de uma realimentação 
de estados robusta dependente de parâmetros é apresentada nes-
te trabalho. A condição é verificada através do teste de factibilidade 
de um conjunto de desigualdades matriciais lineares. A realimenta-
ção obtida garante ainda a alocação robusta dos pólos de malha 
fechada de sistemas lineares incertos em uma região circular do 
plano complexo, através da existência de uma função de Lyapunov 
dependente de parâmetros. Exemplos ilustram os resultados.
Palavras-chave: Alocação robusta de pólos. Realimentação de 
estados dependente de parâmetros. Função de Lyapunov depen-
dente de parâmetros. Desigualdades matriciais lineares, incertezas 
politópicas.
O artigo completo está no disponível em: <http://www.scielo.br/
scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0103-17592004000200002>. 
Acesso em: 24 abr. 2016.
2.1.3 Considerações Finais
Caro(a) aluno(a), neste capítulo, usamos as técnicas do lugar das 
raízes para o projeto de sistemas de controle com uma resposta 
transitória. O projeto em espaço de estados visa verificar as locali-
zações dos polos do sistema e após projetar um controlador elabo-
rado com vista em ganhos de retroação das variáveis atendendo a 
esses requisitos. 
Se as variáveis não forem disponíveis, o projeto baseia-se em imitar 
o processo que seria controlável e resulta em variáveis estimadas.
36 UNIUBE
São visíveis três vantagens neste tipo de projeto, em relação com 
o método de raízes, é possível especificar o posicionamento dos 
polos, assegurando um efeito desprezível dos polos que não domi-
nam o sistema em relação à resposta transitória. 
Assim, com a posição das raízes, especificamos que os polos não 
afetavam de maneira relevante a resposta transitória. Em segundo 
lugar, adotando o uso de um bom observador, podemos não usar 
mais as variáveis reais para realizar a retroação. Com a vantagem 
de que nem sempre é simples acessar as variáveis fisicamente e 
pode-se tornar caro prover o acesso.
Esse método leva à automação com uso de computadores, uma 
desvantagem é de o método não poder projetar a localização 
de polos e zeros à malha fechada, o que pode afetar a resposta 
transitória.
Até o próximo capítulo!
André Taveira da Silva Scheibel
Introdução
Posicionamento de polosCapítulo
3
A controlabilidade está ligada à possibilidade de levar o estado de 
um sistema de um certo ponto para outro no espaço de estado em 
tempo finito, enquanto a observabilidade se refere à possibilidade 
de determinar o estado do sistema a partir do conhecimento da 
resposta e da entrada dele em tempo finito.
Esses conceitos foram introduzidos por Rudolf Kalman no final 
dos anos 50 do último século e produziram um grande impacto na 
ciência e tecnologia de controles. O conceito de controlabilidade 
é fundamental para a solução do posicionamento de polos via 
realimentação do estado, enquanto o de observabilidade o é para 
a solução do problema do observador.
Um dos problemas a ser resolvido com os métodos de projeto 
no domínio de frequência, seja utilizando o lugar das raízes, 
seja utilizando as técnicas de resposta de frequência, é que, 
depois de projetar a localização do par de polos dominantes 
de segunda ordem, cruzamos os dedos torcendo para que os 
polos de ordem superior não afetem a aproximação de segunda 
ordem (NISE, 2002).
• Aprender como projetar um controlador com retração de 
estado usando a alocação de polos, de modo a atender 
especificações de resposta unitária.
• Posicionamento de polos
• Alocação de polos de processos a controlar na forma 
de variáveis de fase
Objetivos
Esquema
Topologia para o posicionamento de polos3.1
Para estabelecer fundamentos para a nossa continuidade, consi-
dere um processo a controlar que seja representado no espaço de 
estados por:
Conforme a figura 09, as linhas mais finas são escalares e as mais 
espessas vetores.
Em um sistema de controle com retroação típico, a saída, y, é en-
viada de volta a junção somadora.É agora que a topologia do pro-
jeto muda. Em vez de retroagir y, que tal utilizar a retroação de 
todas as variáveis de estado? (NISE, 2002).
(Nise, 2002).
Se cada uma das variáveis de estado for empregada de volta no 
controle, u, por meio de um ganho, ki, haverá n ganhos, ki. A variável 
de estado está representada na figura 09 pelo vetor de retroação –K.
 UNIUBE 39
Assim, as equações dos sistemas de malha fechada podem ser:
Figura 09: a. Representação no espaço de estados de um proces-
so a controlar; b. processo a controlar com retração de estados
Fonte: Nise (2002, p. 517).
Devemos ter um bom conhecimento de como o sistema de retroa-
ção é implementado, conforme a figura 09, suponhamos a repre-
sentação em diagrama de fluxo de sinal, variáveis de fase e um 
processo a controlar. Na entrada do sistema u, cada uma das vari-
áveis de estado é novamente utilizada, com um ganho ki.
Para o projeto de retroação com variáveis de estado, temos que 
igualar a equação característica do sistema a malha fechada à 
40 UNIUBE
equação característica desejada e, dessa forma, determinar os va-
lores dos ganhos de retroação.
Figura 10 - a. Representação em variáveis de fase de um proces-
so a controlar; b. processo a controlar com retração de estado
Fonte: Nise (2002, p. 518).
 UNIUBE 41
Se tivermos um processo a controlar de ordem elevada, se não 
estiver representado na forma de variáveis ou na forma canônica 
controlável, a resolução para obter ki torna-se complicada. Assim, 
é recomendável transformar a representação do sistema em forma 
canônica ou na forma de variáveis, projetar os Ki e, depois, retornar 
à sua representação inicial.
3.1.1 Alocação de polos de processos a 
controlar na forma de variáveis de fase
À aplicação da metodologia da alocação de polos, precisamos se-
guir os seguintes passos:
1. Representar o processo a controlar na forma de variáveis de 
fase.
2. Fazer a retroação de cada uma das variáveis de fase para a 
entrada do processo a controlar por meio de um ganho, ki.
3. Determinar a equação característica do sistema a malha fe-
chada e determinar a equação característica equivalente.
4. Decidir a localização de todos os polos a malha fechada e 
determinar a equação característica equivalente.
5. Igualar os coeficientes semelhantes das equações caracterís-
ticas obtidas nos passos 3 e 4 e determinar os valores de ki.
Ao seguir esses passos, a representação em variáveis da fase do 
processo a controlar é dada pela equação:
42 UNIUBE
E escreve-se em função delas que:
O processo a controlar apresenta a seguinte equação;
Em seguida, construímos o sistema de malha fechada, aplicamos 
a retroação de cada uma das variáveis de estado e produzimos u, 
formando:
Em que
Os ki são os ganhos de retroação das variáveis de estado.
Fazendo a equação:
Com as equações:
e
 UNIUBE 43
Temos:
Podemos observar a relação entre as equações:
e
Nos processos que são representados em forma de variáveis de 
fase, podemos deduzir a equação por inspeção, a equação carac-
terística a malha fechada com a equação da malha aberta, adicio-
nando ki adequado a cada coeficiente.
Supondo que a equação desejada à alocação dos polos seja:
Em que os di são os coeficientes desejados. Assim, se igualarmos 
as equações:
e
44 UNIUBE
Obtemos:
Em que:
EXEMPLO 6:
Dado o processo a controlar
Projete os ganhos de retroação das variáveis de fase que levam a 
uma ultrapassagem percentual de 9,5% e a um tempo de assenta-
mento de 0,74s (NISE, 2002).
Solução:
Começamos pelo cálculo da equação característica a malha fechada 
desejada. Usando os requisitos da resposta transitória, os polos a 
malha fechada são -5,4 ± j7,2. Como o sistema é de terceira ordem, 
devemos selecionar um outro polo a malha fechada. Poderíamos es-
colher o terceiro polo a malha fechada para cancelar o zero a malha 
fechada. Contudo, para demonstrar o efeito polo e o procedimento 
de projeto, inclusive a necessidade de simulação, escolhamos -5,1 
como localização do terceiro polo a malha fechada.
Desenha-se, agora, o diagrama de fluxo de sinal do processo a 
controlar.
 UNIUBE 45
Figura 11 - a. Representação em variáveis de fase do proces-
so a controlar; b. processo a controlar com retração de estado
Fonte: Nise (2002, p. 518).
Agora, façamos a retroação de todas as variáveis de estado para o 
controle, u, por meio dos ganhos ki.
Escrevendo as equações de estado, temos:
46 UNIUBE
Ao compararmos as equações:
e
Encontramos a matriz de sistema a malha fechada como sendo:
Para determinar a equação característica do sistema a malha fe-
chada, forme:
Essa equação deve combinar a equação característica desejada:
Formada a partir dos polos -5,4 + j7,2 – 5,4 – j7,2 e -5,1, determi-
nados anteriormente.
Igualando as equações:
Obtemos:
k1 = 413,1; k2 = 132,08; k3 = 10,9
 UNIUBE 47
Finalmente, o termo referente ao zero da função de transferência 
a malha fechada é igual ao termo referente ao zero da função de 
transferência a malha aberta, ou seja, (s + 5).
Usando:
Obtemos a seguinte representação no espaço de estados para o 
sistema a malha fechada:
A função de transferência é
A figura 11 é uma simulação do sistema a malha fechada e mostra 
uma ultrapassagem de 11,5% e um tempo de assentamento de 0,8 
s. Um novo projeto com o terceiro polo cancelando o zero em -5 
levará a um atendimento igual dos requisitos.
48 UNIUBE
Figura 12 - Simulação do sistema a malha fechada do exemplo 6
Fonte: Nise (2002, p. 521).
AMPLIANDO O CONHECIMENTO
MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON PARA POSICIONAMENTO 
PARCIAL SIMULTÂNEO DE MÚLTIPLOS PÓLOS
JÚLIO C. R. FERRAZ, NELSON MARTINS , GLAUCO N. TARANTO, 
SÉRGIO L. VARRICCHIO
Programa de Engenharia Elétrica, COPPE, Universidade Federal 
do Rio de Janeiro Caixa Postal 68564, 21945-970, Rio de Janeiro, 
RJ, Brasil
Resumo; 
Este artigo apresenta uma metodologia para posicionamen-
to parcial simultâneo de múltiplos pólos utilizando o método de 
 UNIUBE 49
Newton-Raphson e a informação fornecida pelos resíduos da fun-
ção de transferência ∆VESP/∆VREF associados a autovalores de 
interesse. É feita uma avaliação, através de um sistema teste, da 
utilização da metodologia de posicionamento parcial de pólos na 
coordenação dos Estabilizadores de Sistema de Potência. 
Introdução
O problema de estabilidade de sistemas elétricos de potência fren-
te pequenas perturbações é resolvido através de análise linear e 
envolve questões relativas à determinação da natureza dos modos 
críticos do sistema e avaliação da localização e do tipo de controle 
mais efetivo, buscando atender determinados critérios de estabili-
dade. Este artigo aborda a utilização da informação fornecida pe-
los resíduos de funções de transferência para o posicionamento 
parcial simultâneo de pólos [CIGRE 2000, Elangovan 1987] atra-
vés do método de Newton-Raphson. É avaliada também a possi-
bilidade de se obter um ajuste coordenado dos ESPs fazendo uso 
dessa metodologia. 2 – Metodologia: o método proposto permite 
posicionar simultaneamente múltiplos pólos em sistemas multimá-
quina utilizando fundamentalmente as informações fornecidas por 
resíduos associados aos pólos de interesse de funções de transfe-
rência relativos à malha de estabilização. Foram instalados ESPs 
em duas máquinas de um sistema teste para melhorar o fator de 
amortecimento de dois modos de oscilação eletromecânica. O pro-
cedimento utilizado no processo de estabilização do sistema in-
clui: determinação dos modos de oscilação eletromecânica críticos 
(com fator de amortecimento baixo ou negativo).
Leia o artigo completo disponível em: <http://www.coep.ufrj.br/~ta-
rang/cba2000_julio.pdf>. Acesso em: 24 abr. 2016.
50 UNIUBE3.1.2 Considerações Finais
Caro(a) aluno(a), neste capítulo, vimos que o projeto do controla-
dor consiste em efetuar a retroação das variáveis de estado para 
a entrada u do sistema por meio de ganhos especificados. Os va-
lores desses ganhos são obtidos igualando-se os coeficientes da 
equação característica do sistema aos coeficientes da equação de-
sejada (NISE, 2002).
Mostramos como induzir parâmetros adicionais a um sistema para 
que possamos controlar a localização dos polos a malha fechada. 
Um sistema de controle de ordem n com retroação possui uma 
equação característica a malha fechada de ordem n.
Sendo assim, o projeto do observador é não efetuar retroação do 
erro entre a resposta real e a desejada. O erro é transformado em 
retroação para as derivadas das variáveis de estado pelos ganhos 
específicos das variáveis de estado.
O projeto é realizado por emulação, um controlador contínuo, usan-
do as técnicas vistas anteriormente, discretizados ou no plano z. 
 UNIUBE 51
André Taveira da Silva Scheibel
Introdução
Equivalentes discretos de 
Sistemas Contínuos
Capítulo
4
Com o desenvolvimento do minicomputador em meados de 
1960 e do microcomputador em 1970, os sistemas físicos não 
precisam mais ser controlados por computadores de grande porte. 
O computador digital pode executar duas funções, supervisão, 
que é externa a malha de retroação e controle, interna à malha de 
retroação (NISE; NORMAN, 2002). 
O sincronismo de tarefas, valores fora da faixa de parâmetros e 
de variáveis são exemplos de funções supervisórias. As funções 
de controle constituem nosso maior interesse, uma vez que um 
computador operando no interior da malha de retroação substitui 
os métodos de compensação discutidos até aqui. 
Veremos a partir deste capítulo as vantagens de controle digital, 
que podem controlar vários sistemas de malhas com menor custo. 
Já as alterações que se necessitem realizar no sistema podem ser 
realizadas no software e não mais no hardware.
O processo a ser controlado é de percurso direto com o 
computador. Para isto, as conversões digital-analógica e analógica-
digital precisam ser implementadas no sistema para garantir que 
rodem. Assim podemos controlar e manipular os sistemas tão 
52 UNIUBE
• Apresentar a estrutura de controladores digitais e 
calcular os controladores discretos pelo método de 
Euler e Tustin.
• Estruturas de controladores
• Controle digital por emulação
• Controle pelo método de Euler
• Controle pelo Método de Tustin
Objetivos
Esquema
facilmente quanto os contínuos, reduzindo os diagramas de blocos, 
portanto os sinais, bem como os sistemas podem ser apresentados 
no domínio z e manipulados algebricamente.
Estruturas de controladores4.1
Análogos aos equivalentes discretos das estruturas de controla-
dores analógicos são as estruturas dos controladores discretos di-
gitais. Desta forma, aqui também podemos ter controladores do 
tipo avanço e atraso de fase, proporcional, proporcional-derivado, 
proporcional-integral e proporcional-integral-derivativo.
A seguir, apresentamos em forma de Tabela um resumo das estru-
turas dos controladores.
São apresentadas a função de transferência e a equação de dife-
rença discreta de cada controlador.
 UNIUBE 53
TIPOS DE CONTROLADORES
Proporcional u(k) = Ke(k), C(z) = K
Derivativo
u(k) = KPTD(e(k) – e(k-1))
Integral
Avanço / Atraso
4.1.1 Controle Digital por Emulação
Considerando que um projeto de um controlador analógico tenha 
sido construído, este projeto segue exatamente o estudado em ca-
pítulos anteriores. Assim todo o método de amostragem e recons-
trução do sinal não é considerado.
Em relação ao método de discretização para o controlador analó-
gico, há vários métodos que podem ser utilizados, mas trataremos 
aqui dos métodos de Euler e Tustin.
54 UNIUBE
4.1.2 Controle pelo método de Euler
Este método consiste em fazer o projeto do controlador analógico 
como nos capítulos anteriores e, em seguida, com o controlador 
analógico aproximar o sinal do controle obtido com C(s) utilizando 
o método de Euler.
Figura 13 - Aproximação de Euler
Fonte: Projeto de controladores discretos – capítulo 12
EXEMPLO 7:
Encontre a equação recursiva correspondente a digitalização do 
controlador analógico:
Solução:
Seja e(t) o sinal de entrada do controlador e u(t) o sinal de saída. 
 UNIUBE 55
Temos:
Aplicando o método, temos:
Logo, teremos a seguinte aproximação:
Temos a equação recursiva:
Obtemos u(k+1) em função de u(k), e(k+1) e e(k) de forma recursi-
va. Esta representação em termos de transferência discreta é obti-
da com o auxílio da transformada Z:
Com as condições iniciais nulas, temos:
56 UNIUBE
Figura 14 - Controle analógico
Fonte: Projeto de controladores discretos – capítulo 12
Figura 15: Controle Digital
Fonte: Projeto de controladores discretos – capítulo 12
Figura 16 - Integral Trapezoidal
Fonte: Projeto de controladores discretos – capítulo 12
 UNIUBE 57
AMPLIANDO O CONHECIMENTO
Baixar link: <http://www.ene.unb.br/adolfo/Monographs/Graduation/
TG07%20Bruno%20B.S.%20Vieira%20e%20Rafael%20S.%20
Wyant.pdf>.
4.1.3 Controle pelo Método de Tustin
Com o método de Euler que obtemos a discretização, que pode ser 
dita como a substituição da derivada pela secante.
Também podemos aproximar a integral pela regra trapezoidal.
58 UNIUBE
Aproximando-se para área do trapézio temos a relação recursiva:
A representação da integral pode ser feita pelo bloco:
Onde e(t) é o sinal cuja área queremos calcular e u(t) é a área 
desejada.
Tomando-se a transformada Z da equação recursiva, temos:
Assim, para o sistema abaixo teremos:
 UNIUBE 59
 C(s) C(z)
Podemos notar que nos dois exemplos acima a relação de C(s) e 
C(z) com a aproximação bilinear é dado por C(s) = C(z), então:
Equação de Tustin:
Que expressa uma transformação bilinear de s para z.
EXEMPLO 7:
Obtenha um controle digital para que o sistema abaixo tenha em 
malha fechada uma frequência natural ωn = 0; 3 rad/seg e um 
amortecimento ξ = 0; 7.
Solução:
Precisamos, primeiramente, determinar um controlador analógico 
C(s) que possa atender as solicitações de projeto. Depois, teremos 
que escolher um método de emulação.
60 UNIUBE
Figura 17 - Implementação Analógica Implementação Digital
Com os métodos de projeto de controladores de avanço 
encontramos:
Polos:
S=0,2±j0,2
Equação característica:
 UNIUBE 61
Assim a implementação digital necessita da frequência de amos-
tragem. Esta frequência de amostragem é geralmente em torno de 
20 vezes a de banda passante pelo sistema de malha fechada, que 
corresponde a ωn.
Assim, a frequência de amostragem para o exemplo é:
ωa = (0.3)(20) = 6 rad/seg = 1Hz
Tendo como período de amostragem:
T=1seg
Fazendo a aproximação linear, temos:
Assim, ficamos com:
Teremos assim a equação recursiva:
62 UNIUBE
Notamos que e(k) = r(k) – y(k) e desta maneira podemos obter o 
esquema digital do controlador C(s) conforme a seguir:
Figura 18 - Sistema Discreto
Fonte: Projeto de controladores discretos – capítulo 12
4.1.4.Considerações Finais
Tratamos neste capítulo o projeto de sistemas digitais pelos méto-
dos clássicos. Vimos as vantagens de sistemas digitais.
Lembre-se que precisamos primeiro do projeto analógico e depois 
o transformamos em sinal digital, para isto utilizamos o método de 
Euler e Tustin. Vimos comparações com os métodos usados na 
análise transitória, cuja comparação é possibilitada pela discretiza-
ção do sistema.
André Taveira da Silva Scheibel
Introdução
Controladores PID DigitaisCapítulo
5
A lei de controle PID (Proporcional + Integral + Derivativa), 
paracontrolarmos uma indústria não é possível usar um mé-
todo de modelagem capaz de controlar os subprocessos, im-
plementando um controle para um. Assim, utilizamos contro-
ladores de estrutura fixa e com parâmetros ajustáveis. Então, 
para este fim o controlador mais utilizado nas últimas déca-
das é o PID, eles são simples e tem propósito geral, podem 
ser otimizados conforme o projeto a ser desenvolvido.
O PID recentemente passou a ser digital, este controlador 
constitui o núcleo da maioria dos softwares que são desen-
volvidos para Controle Digital Direto (CDD), nos processos 
industriais. O ajuste destes operadores é por meio de méto-
dos empíricos ou mediante regras formuladas, mesmo sem 
um alto grau de conhecimento da teoria de controle.
Desta forma, na prática observamos, apesar de uma varie-
dade de técnicas de ajustes dos parâmetros do PID, muitas 
malhas em indústrias são mal ajustadas, ou trabalham em 
modo manual (malha aberta). Isto acontece, pois as caracte-
rísticas inerentes do processo sob controle apresentam não 
linearidades, interação com outros processos, mudança dos 
• Apresentar a estrutura de controladores digitais e 
calcular os controladores discretos pelo método de 
Euler e Tustin.
• Estruturas de controladores
• Controle digital por emulação
• Controle pelo método de Euler
• Controle pelo Método de Tustin
Objetivos
Esquema
parâmetros, ruídos etc. Podem também ocorrer pela falta de 
mão de obra especializada ajustes inadequados dos contro-
ladores, desta forma a malha de controle acaba tendo um de-
sempenho abaixo do projetado. 
Assim, com os motivos acima justificamos o interesse no de-
senvolvimento de controladores PID que, por sua vez, devem 
ter capacidade de se adaptar automaticamente a variações de 
estado do processo controlado, e também se auto ajustar se 
estiver desajustado. Esta ação está sendo viabilizada recente-
mente por meio dos avanços em microeletrônica.
Controladores PID Digitais5.1
Estes sistemas formam a entrada da planta, e trabalham a partir 
do erro, da integral e da derivada deste erro no tempo. A integral 
do erro no tempo nos permite que a saída possa verificar a entrada 
com menor erro.
 UNIUBE 65
Já a derivada do erro trabalha acelerando a saída, e assim diminui 
a lentidão do sistema gerada pela componente integral. Todas as 
considerações para PI e PD podem ser utilizadas para o PID. São 
utilizados na indústria e na robótica, apresentam uma boa relação 
entre precisão, velocidade e custo de implementação. 
São muito utilizados em atuadores de precisão, servomotores, 
plantas térmicas etc., podem ainda ser implementados de maneira 
analógica utilizando amplificadores operacionais.
Podemos ver na Figura 19 um diagrama de blocos PID:
Figura 19 - Controladores PD, PI e PID
Fonte: Sponsor... (s./d.).
Alguns pré-requisitos são necessários para o desenvolvimento de 
projeto de controladores PID: necessitam ter conversor A/D para 
aquisição de set-point e realimentação; saída PWM para alimenta-
ção da planta; sistemas de controle de posição podem utilizar uma 
ponte H para o acionamento. Os cálculos de derivada e integral, 
assim como a utilização dos coeficientes se realizam internamente 
ao microcontrolador, assim também os erros.
66 UNIUBE
O algoritmo básico nos confere a aquisição de entrada e saída, o 
cálculo do erro, cálculo da derivada do erro analisando o valor do 
último erro, o cálculo da integral do erro e acumula o valor do último 
erro calculado, armazena o valor atual do erro como valor passado 
e atualiza a saída seguindo a equação do controlador.
A aquisição da entrada e saída se dá pela leitura de sensores. A 
seguir, os cálculos de erros e suas notificações:
• o cálculo de erro (Erro = Set-point) faz-se a realimentação; 
• para o cálculo da derivada do erro deve-se considerar o valor 
do último erro armazenado dErro = Erro(k-1) – Erro(k);
• cálculo da integral do erro acumulando o último valor de erro 
calculado: IntErro = IntErro + Erro;
• armazenamento do valor atual de erro como valor passado: 
Erro(k-1) = Erro(k);
• atualização da saída seguindo a equação do controlador: 
PWM = Kp*Erro + Ki*IntErro + Kd*dErro;
• se a saída utiliza Ponte H:
Se PWM é positiva:
Sinal = 1
Se a saída é negativa:
Sinal = 0
 UNIUBE 67
SAIBA MAIS
Problemas com a aproximação retangular
Apesar do algoritmo por aproximação retangular do termo integral 
ser versátil e atender uma boa gama de aplicações, alguns proble-
mas começam a surgir à medida que a complexidade do sistema a 
ser controlado aumenta.
O primeiro e grande problema trata-se da convergência da integral 
da função de erro para o valor correto quando o valor prévio dessa 
função erro é igual a zero, ou quando a diferença entre o erro cor-
rente e o anterior passa a ser muito grande, esse problema poderia 
ser corrigido aumentando-se o número de iterações para cálculo do 
termo integral (e não baseado entre dois pontos), porém as custas 
de eficiência de execução.
Uma outra solução seria aproximar a integral apenas acumulando 
seu valor, a cada vez que o PID é computado, isso mantém a efici-
ência da execução de código, e causa o mesmo efeito do aumento 
de iterações, entretanto a acumulação só ocorreria uma única vez 
a cada valor do PID computado, retornando o problema de con-
vergência lenta nos resultados da integral nos primeiros valores 
calculados pelo PID, à medida que o processo avança esse efeito 
vai sendo minimizado.
O outro grande problema desse algoritmo pode ser elucidado com 
um exemplo prático, considerando um sistema onde o ganho pro-
porcional é algo elevado, e o erro acumulado começa a crescer ou 
decrescer por longos períodos de tempo, isso pode levar fatalmen-
te o sistema em controle a ter sobressinal (overshoot) com valores 
elevados, e nos casos mais graves, levar o sistema a uma oscilação 
permanente. Esse fenômeno é conhecido pelo nome de wind-up, 
68 UNIUBE
e pode ser minimizado utilizando valores baixos para o ganho inte-
gral, somadas a técnicas de saturação do integrador (acumulador 
no caso da aproximação integral), mas assim, voltamos ao proble-
ma de demora de convergência, uma vez que a saturação pode ser 
entendida como zerar o integrador (ou acumulador).
Temos então alguns inconvenientes com esse algoritmo, então o 
que pode ser feito para minimizar os efeitos de convergência e win-
d-up? Existem diversas formas de modelar algoritmos de compen-
sadores digitais a partir de circuitos analógicos, ou mesmo a partir 
de expressões numéricas, o algoritmo que iremos descrever aqui 
oferece um compensador tipo PID digital com melhor aproximação.
Fonte: <http://www.embarcados.com.br/controlador-pid-digital-u-
ma-modelagem-pratica-para-microcontroladores-parte-ii/>. Acesso 
em: 24 abr. 2016.
5.1.1 Algoritmo para Controlador PID Digital
A expressão do controlador PID é definida como:
Kp, Ki e Kd – Ganhos porporcional, integral e derivativo.
Para associação mais ismples dos parâmetros PID aos polos e ze-
ros da função de transferência, é mais conveniente que os ganhos 
sejam parametrizados, da forma a seguir:
Ti e Td - tempos integral e derivativo.
 UNIUBE 69
O controlador PID digital tem a sua estrutura como na Figura 20 a 
seguir:
Desta forma, escrevemos:
Figura 20 - Estrutura de um controlador digital
Fonte: Universidade Federal do Rio Grande do Sul -Escola de Engenharia 
- Departamento de Engenharia Elétrica – Notas de aulas 2010
Dependendo da aproximação utilizada para a integral e a derivada, 
Ci(z) e Cd(z) podem assumir várias formas diferentes
Forward differences:
70 UNIUBE
Neste caso, notamos que a função de transferência tem dois zeros 
reais ou complexos e um polo em z =1. Como tem mais zeros finitos 
do que polos, sua utilização é mais difícil. Destaforma, devemos 
utilizar outras aproximações que possam ser mais simplificadas.
Backward differences:
 UNIUBE 71
Função de transferência é caracterizada por apresentar dois zeros 
reais ou complexos, um polo em Z = 0 e um polo em Z = 1.
Aproximação bilinear:
Desta forma, a função de transferência tem dois zeros reais ou 
complexos, um polo em z =1 e um polo em z = -1.
Então, o controlador PID apresenta dois polos e dois zeros. As lo-
calizações do polo no sistema são determinadas por aproximação 
utilizada, para backward differences temos polos em z=0 e z=1, já 
para aproximação bilinear temos polos em z=-1 e z=1. As localiza-
ções dos zeros são determinadas pelos parâmetros do controlador.
72 UNIUBE
5.1.2 Considerações Finais
Prezado(a) aluno(a), vimos neste capítulo como é a estrutura de 
um controlador PID, os cálculos dos algoritmos PID e como são as 
funções de transferência para este controlador.
André Taveira da Silva Scheibel
Introdução
Compensadores 
“LEAD-LAG”
Capítulo
6
Sabemos que a melhora da estabilidade de sistemas de potência 
se dá por um sinal de controle que venha suplementar às malhas 
de controle de regulação. Os circuitos compensadores são 
responsáveis por gerar este sinal de controle, estes circuitos 
compensadores são comumente chamados de Estabilizadores 
de Sistemas de Potência (ESP).
Normalmente, estes Estabilizadores de Sistemas de Potência 
(ESP) têm valores fixos para que seu desempenho seja garantido 
em torno de um ponto de operação do sistema. Se o sistema é 
fixo, a performance do controle pode se perder, se o ponto de 
atuação atual não coincide com o projetado, por causa de sistemas 
não lineares. Já há estabilizadores com parâmetros de auto ajuste 
para melhorar a robustez do ESP’s e superando sua desvantagem.
Desta forma, podemos citar os ESP’s que utilizam o escalonamento 
de ganhos, técnicas de controle adaptativo e inteligência artificial. 
Algumas características que precisam ser introduzidas nos ESP’s 
utilizam-se do uso de lógica nebulosa, com regras fuzzy.
• Conhecer os sistemas de compensadores, apresentar 
os compensadores lead-leg e suas fórmulas.
• Compensadores
• Controlador PI
• Controlador PD
• Controlador PID
• Construção do bloco derivativo puro D
• Implementação prática do bloco derivativo D
• Compensador avanço de fase (Lead)
• Compensador atraso de fase (Lag)
• Compensador atraso-avanço (Lead-lag)
Objetivos
Esquema
Compensadores6.1
Quando o sistema atua em malha fechada, os compensadores po-
dem alterar alguma característica do sistema.
Temos nos compensadores o avanço de fase (lead), estes melho-
ram a estabilidade, aumentam a faixa de passagem, melhoram a 
fase transitória, fica sujeito a ruídos de alta frequência, cai sobre o 
sinal na resposta do degrau. O atraso de fase (lag) minora o ganho 
em altas frequências, sem perder ganho em baixas frequências, 
minora a largura de faixa, há uma certa lentidão no sistema, e com 
a diminuição do ganho em frequências altas o ganho total aumenta, 
o que melhora sua precisão em regime permanente.
 UNIUBE 75
O avanço-atraso de fase (lead-lag) permite ao sistema um ganho 
de frequências baixas que pode ser aumentado, isto nos dá uma 
melhora na precisão em regime permanente, e também podemos 
aumentar a banda e a margem de estabilidade.
O PID é um caso especial de Lead-lag, o PD comporta-se como 
avanço de fase, o que afeta sua frequência alta, aumenta seu ân-
gulo de fase, melhorando a estabilidade, há também um aumento 
da largura de faixa, e o sistema assim fica mais rápido. Tratando do 
PI ele trabalha com atraso de fase, o que afeta a região de frequên-
cia baixa, aumenta seu ganho em baixa frequência, sua precisão é 
melhorada em regime permanente.
6.1.1 Controlador PI
Sua equação vem de:
O Pi adiciona um zero em s = KI = KP em um polo em s = 0.
Desta forma, aumenta a ordem do sistema, e pode ser menos ins-
tável que o original, devemos então escolher um critério para dotar 
KP e KI. Com o aumento do sistema, ocorre o erro em regime para 
uma entrada de grau zero. Ele permite uma resposta transitória com 
baixo ou nenhum sobressinal, e o tanto de subida pode ser grande.
6.1.2 Controlador PD
Sua equação vem de:
O seu controle derivativo equivale a adição de um zero simples em s = 
-KP/Kd. Mostramos em blocos o controlador PD a seguir na Figura 21.
76 UNIUBE
Figura 21 - Compensador PD
Fonte: Controle 1 - DAELN – UTFPR
Exemplificação da atuação da derivativa:
Com o sinal de saída possuindo um observador considerável, mostra-
mos a Figura 22. O seu sinal de erro também aparece na Figura 22.
Figura 22 - Sinal de erro e saída sem compensador
Fonte: Controle 1 - DAELN – UTFPR
 UNIUBE 77
Ocorre o sobressinal e o sinal de erro ser grande no intervalo 0 < t 
< t1 e ser inadequado entre t1 < t < t2. O sinal da derivada do erro é 
mostrado a seguir na Figura 23, também e(t) e c(t).
Figura 23 - Sinal de saída e erro sem compensador e derivada do sinal de erro
Fonte: Controle 1 - DAELN – UTFPR
Assim no compensador PD, os sinais KP, e(t) e Kd de/dt somam-se 
e isto nos leva a uma redução da amplitude do sinal de saída. Este 
fato se deve porque o e(t) e de/dt possuem sinais opostos em al-
guns momentos ocasionando a diminuição do sobressinal.
78 UNIUBE
SAIBA MAIS
Uso de Pré-Compensador Dinâmico no Projeto de Controlador 
Robusto para Sistema MIMO Instável
E. J. Matos, R. N. Souza e J. R. B. Souza 
Resumo - Este artigo aborda o problema do projeto de controlado-
res do tipo LQG/LTR para sistemas multivariáveis instáveis. A pro-
posta principal é projetar um pré-compensador estabilizador para 
estabilizar o sistema antes de se projetar o controlador LQG/LTR 
final. Com esta abordagem, resolvem-se os problemas que o pro-
cedimento convencional não dá conta de superar, mas a ordem do 
controlador completo fica significativamente aumentada. 
Palavras-chave - Controladores LQG/LTR, Compensadores dinâ-
micos, Loopshaping, Sistemas Multivariáveis. 
Introdução 
O método LQG/LTR (Linear Quadratic Gaussian with Loop Transfer 
Recovery) para o projeto de controladores foi introduzido na litera-
tura técnica de controle por Doyle e Stein (1979) como um sucedâ-
neo ao método LQG que visa restabelecer, ao menos em parte, as 
excelentes margens de ganho e de fase que os reguladores LQR 
(Linear Quadratic Regulators) possuem e que os reguladores com 
observadores não garantem, conforme demonstrado por Doyle 
(1978). O método pode ser aplicado tanto no projeto de controla-
dores para sistemas SISO como também para sistemas MIMO, e 
ele possui duas versões alternativas que são escolhidas confor-
me as incertezas multiplicativas associadas ao modelo da planta 
sejam representadas na sua saída ou na sua entrada. O sucesso 
da aplicação do método requer que o sistema a ser controlado (a 
 UNIUBE 79
planta) seja de fase mínima, mas em princípio não existe nenhuma 
exigência de que ele deva ser estável. A importância dos sistemas 
de controle do tipo LQG/LTR dentro de um contexto de aplicações 
envolve os mais variados segmentos da atividade humana. As re-
ferências (Jafar et al. 2006), (Kishor et al. 2004) e (Keller 2005), 
entre outras, mostram que a metodologia LQG/LTR está sendo in-
corporada nos diversos segmentos produtivos e estratégicos das 
sociedades industrializadas.
Confira o artigo completo no link a seguir.
Fonte: <http://www.ewh.ieee.org/reg/9/etrans/ieee/issues/vol06/
vol6issue1March2008/6TLA1_05Matos.pdf>. Acesso em: 27 abr. 
2016.
6.1.3 Controlador PID
Sua função é dada por:
Neste caso de PID podemos trabalhar os elementos isoladamente, 
como:
a. Proporcional: Kp;
b. Proporcional + integral: Kp + Ki/s;
c. Porporcional + derivativo: Kp + Kd.s, 
d. Integral: Ki/s.
80 UNIUBEPodemos representar PID também por outras fórmulas existentes:
A seguir, mostramos uma versão do compensador PID, que indica 
que uma varição do sinal de referência é passada a planta de forma 
ágil devido ao compensador derivativo. Por outro lado, isto pode 
prejudicar algumas plantas industriais.
Figura 24 - Compensador PID
Fonte: Controle 1 - DAELN – UTFPR
Agora na Figura 25, a seguir, indicamos outra sugestão de constru-
ção do PID. Nesta, o compensador trabalha apenas respondendo 
a variações do sinal de saída.
 UNIUBE 81
Figura 25 - Compensador PID
Fonte: Controle 1 - DAELN – UTFPR
6.1.4 Construção do bloco derivativo puro D
Neste caso, o controlador não pode ser utilizado fisicamente com 
elementos do tipo R, L, C, sua função de transferência possui um 
zero e nenhum polo. Por outro lado, pode ser projetado com am-
plificadores operacionais. Ele é um filtro passa-altas, e por isto ele 
fica sensível a ruídos de alta frequência.
6.1.5 Implementação prática do bloco derivativo D
É difícil construir um compensador ideal. Sua magnitude cresce 
quando a frequência tende para o infinito, desta forma ele produ-
ziria uma ampliação indesejável de ruídos em frequências altas, e 
podem estar presentes em malha fechada.
Também aumentando a banda de passagem junto com o compen-
sador derivativo ideal, talvez causaria instabilidades por causa das 
dinâmicas não modeladas de altas frequências.
Desta forma, um compensador real é normalmente construído com 
a colocação de um polo em uma frequência entre três a dez vezes 
maiores que a de canto Kp/Kd, assim temos:
82 UNIUBE
Onde 3 ≤ N ≤ 10. Desta forma, um compensador PD físico é repre-
sentado por uma própria função:
6.1.6 Compensador avanço de fase
Caracteriza-se o lead por possuir também um par de polo-zero 
ajustáveis, muitas vezes instalado distante do eixo real negativo. 
Sua compensação no avanço de fase poderá ser utilizada para al-
terar-se o valor do ganho de malha.
É um filtro passa-altas, no compensador o zero está mais próximo 
à origem que o polo, no semiplano esquerdo: │z│< │p│.
Sua fórmula se dá por:
Com α < 1.
 UNIUBE 83
EXEMPLO:
Figura 26 - Compensador avanço de fase
Fonte: Controle 1 - DAELN – UTFPR
Sendo polo = a e zero = b, o defasamento máximo ocorre na 
frequência:
E o valor do defasamento máximo é:
Na região de baixa frequência, o compensador trabalha diminuindo 
a curva de módulo total, e aumentando a curva ângulo de fase na 
região de baixa a média frequência.
Ele é utilizado para o aumento de ganho ou margem de fase do sis-
tema, ou aumentar a faixa de passagem. Para aumentar a sua es-
tabilidade pode-se tentar cruzar a linha de 0db, com uma inclinação 
de -20db/década. Se utilizarmos o cruzamento com uma inclinação 
de -40db/década, provavelmente resultará de um valor muito baixo 
para a margem de fase.
84 UNIUBE
6.1.7 Compensador atraso de fase
Colocado perto da origem no eixo real negativo, o compensador 
lag, se diferencia por um polo zero ajustável. O valor do ganho de 
malha pode ser alterado pela compensação por atraso de fase.
O Lag é um filtro de passa-baixas e sua fórmula é:
Com α > 1.
Neste caso, o polo está mais próximo da origem do que o zero, no 
semiplano esquerdo: │z│> │p│.
Sua compensação por atraso se caracteriza por colocar um polo e 
um zero próximos da origem. Assim, mais próximo também um do 
outro as contribuições de fase se anulam e a localização das raízes 
originais não se altera. Também por estarem próximos às contribui-
ções de módulo se anulam.
EXEMPLO:
 UNIUBE 85
Figura 27 - Compensador atraso de fase
Fonte: Controle 1 - DAELN – UTFPR
Sendo polo = a e zero = b, o defasamento máximo ocorre na 
frequência:
E o valor do defasamento máximo é de:
6.1.8 Compensador atraso-avanço
É combinação das duas anteriores, sua fórmula geral se dá por:
Com b1 > a1, b2 > a2 e a1b2 = b1a2.
86 UNIUBE
6.1.9 Considerações Finais
Prezado(a) aluno(a), vimos neste capítulo os compensadores, e 
como cada um atua no sistema. É importante sabermos como cada 
um destes dispositivos vai atuar para que possamos utilizá-los cor-
retamente no projeto para que o potencial máximo da planta seja 
atingido sem o aparecimento de problemas de sistema.
As indústrias estão cada vez mais competitivas hoje em dia, e um 
bom projeto que atenda suas necessidades de planta com a maior 
produtividade e menor custo de manutenção e operacionalização é 
hoje o que busca o mercado.
Não dá para imaginar hoje uma planta de uma grande indústria pa-
rada ou lenta por causa do sistema mal dimensionado ou por falhas 
localizadas. Sendo assim, o aprofundamento dos temas estudados 
até aqui, a busca diária por novas tecnologias e novos métodos 
deve ser o diferencial do bom profissional desta área.
Até mais, e boas pesquisas!
André Taveira da Silva Scheibel
Introdução
Algoritmo “Dead-Beat” 
e de Kalman
Capítulo
7
Os sistemas de energias renováveis têm atraído o interesse de 
inúmeros esforços de diversos governos em oposição a outras 
fontes energéticas que aumentam a emissão de CO2 ou causam 
enormes impactos ambientais. Tais redes renováveis transportam 
energia elétrica gerada por fontes eólicas, solares e das marés. 
Recentemente, o conceito de redes inteligentes vem sendo 
largamente aplicado a essas plantas energéticas para viabilizar 
e otimizar esse desafio (BLAU, 2010 apud FILHO; CASELHA; 
CAPOVILLA, 2012).
A aplicação de um sistema de telecomunicações moderno para 
controle e monitoramento dessas redes requer uma complexa 
infraestrutura para um funcionamento eficiente (STRZELECKI; 
BENYSEK, 2008), sendo que sua implantação e operabilidade 
apresentam vários aspectos não triviais em função de envolver 
diferentes áreas de conhecimento e diversos aspectos de projeto. 
Nesse sentido, a transmissão sem fio se apresenta como uma 
solução interessante por oferecer uma série de benefícios, como 
baixo custo de implantação, facilidade de expansão, possibilidade 
do uso das tecnologias atualmente empregadas nos sistemas 
de telefonia móvel, flexibilidade de utilização e gerenciamento 
distribuído (FILHO; CASELHA; CAPOVILLA, 2012).
• Apresentar projeto de controle deadbeat.
• Analisar o algoritmo deadbeat e de Kalman.
• Controle deadbeat
• Algoritmos para controle deadbeat
• Algoritmo de Kalman
Objetivos
Esquema
Projeto de controladores digitais7.1
Seja um sistema discreto com o seguinte diagrama de blocos:
Assim, podemos dizer que
[ ])z(Y)z(R)z(D)z(G)z(Y −=
Se especificarmos
)z(R
)z(Y , temos:
)z(R/)z(Y1
)z(R/)z(Y
)z(G
1)z(D
−
=
 UNIUBE 89
7.1.1 Controladores Deadbeat
Os sistemas discretos de controle apresentam a propriedade de 
poder exibir uma resposta dead beat. Essa propriedade não é ob-
servada nos sistemas contínuos. Uma resposta dead beat é aquela 
obtida quando o sinal de referência é atingido em um mínimo tem-
po com erro zero. Em contraste, um sistema contínuo pode atingir 
o valor de referência, com erro zero, somente para tempo infinito 
(matematicamente). Ou seja, a operação de amostragem dos siste-
mas discretos permite que eles atinjam um valor de regime em um 
tempo que transita no infinito.
O controlador deadbeat é aquele em que: 
a. O tempo de subida deve ser mínimo.
b. O erro de regime deve ser zero.
Para uma planta de ordem n, o tempo mínimo é igual a n.T. 
O problema a ser resolvido é obter D(z), tal que, para uma entrada 
degrau, ou seja, R(z)= (1-z-1)-1, a resposta seja
 y(k) = r(k) = 1 k ≥ n com
 u(k) = u(n) k ≥ n
Aplicando a transformada Z, temos:
{ }...zz1...zyzy)z(Y )1n(n2211 +++++= +−−−−
{ }...zzu...zuzuu)z(U )1n(nN22110 ++++++= +−−−−
{ }[ ]( ) n2221111)1n(n2211 z...zyzyzyz1...zz1...zyzy)z(R
)z(Y −−−−−+−−−− +++−=−+++++=
90 UNIUBEn
1n
2
12
1
1 z)y1(...z)yy(zy)z(R
)z(Y −
−
−− −++−−=
n
n
2
2
1
1 zp...zpzp)z(R
)z(Y −−− +++=
 com ∑ =1pi
Analogamente,
n
n
2
2
1
10 zq...zqzqq)z(R
)z(U −−− ++++=
com 1nnn01100 uuq;uuq;uq −−=−== e ∑ = ni uq
 Então,
)z(P
)z(G)z(D1
)z(G)z(D
)z(R
)z(Y
=
+
=
 (I)
ou
)z(Q
)z(P
)z(U
)z(R
)z(R
)z(Y)z(G
)z(U
)z(Y
===
 (II)
Usando as equações (II) em (I), temos
)z(P1
)z(Q)z(D
−
=
Seja
0
0
n
n
2
2
1
1
n
n
2
2
1
1
q
q
x
za...zaza1
zb...zbzb
)z(G
−−−
−−−
++++
+++
=
 (III)
De (II)
 UNIUBE 91
n
n
2
2
1
10
n
n
2
2
1
1
zq...zqzqq
zp...zpzp
)z(G
−−−
−−−
++++
+++
=
 (IV)
 Comparando (III) e (IV)
onn
011
qbp
qbp
=
=

 onn
011
qbp
qbp
=
=

Como ∑ ∑ == 1bqp i0i ,
∑
=
i
0 b
1q
Exemplo:
Projetar um controlador deadbeat para o seguinte sistema
368.0z368.1z
265.0z368.0)z(G
2 +−
+
=
Solução:
58.1
bb
1q
21
0 =+
=
160.2qaq 011 −== 581.0bqp 101 ==
581.0qaq 022 == 418.0bqp 202 ==
92 UNIUBE
Logo,
21
21
z418.0z58.01
z58.0z16.258.1)z(D
−−
−−
−−
+−
=
As figuras a seguir mostram a saída da planta e o sinal de controle 
com o controlador deadbeat projetado
Resposta Deadbeat
 UNIUBE 93
Sinal de controle Deadbeat
7.1.2. Algoritmo de Kalman
A teoria do Filtro de Kalman é muito extensa para ser aqui demons-
trada, por isso serão apresentadas as equações básicas que des-
crevem a evolução temporal do processo e a relação entre predi-
tores e preditandos. A formulação e a notação foram adaptadas de 
Simonsen (1991), apud Lubonati, Trigo, Camara (2003).
Considere t o parâmetro que queremos prever no instan-
te t , i.e., o preditando, que, no nosso caso, é a diferença en-
tre a observação e a respectiva previsão de temperatura à 2 m 
( ) ( )( )tTtTy ECMWFmOBSmt _2_2 −= .O preditanto está relacionado com os 
preditores por meio da equação de observação:
tttt vmFy += (1)
94 UNIUBE
Em que xntF
1ℜ∈ é a matriz de preditores no instante t e tv é um 
vetor que dá a variação aleatória do instante ( )1−t até t , com mé-
dia zero e variância conhecida dada por ℜ∈tV .
O estado do sistema no instante ( )1−t está relacionado com o instante 
( )1−t por meio da equação do sistema dada por:
ttt wmm += −1 ( ),...2,1=t (2)
Em que 
1nx
tm ℜ∈ é a matriz dos coeficientes dos preditores e tw é 
um vetor que dá a variação aleatória do instante ( )1−t até t , com 
média zero e variância conhecida dada por 
nxn
tW ℜ∈ .
A equação de observação é usada na maioria dos métodos estatís-
ticos e é resolvida por meio de uma regressão linear múltipla que 
ajusta a melhor relação entre preditores e preditandos. A teoria de 
Kalman se diferencia dos outros métodos nomeadamente por meio 
da equação do sistema, que permite que os coeficientes variem ao 
longo do tempo:
1ˆ −= ttt mFy tyˆ é a previsão de 11 nxtm ℜ∈− (3)
1
1
nx
tm ℜ∈− são os coeficientes dos preditores em ( )1−t
ttt yye ˆ−= te é o erro da previsão (4)
ttt WCR += −1 
nxn
tR ℜ∈ é a matriz que atualiza tC (5)
nxn
tC ℜ∈−1 é a variância dos coeficientes 1−tm
tw é a variância do vetor tw
 UNIUBE 95
t
T
tttt VFRFY +=ˆ ℜ∈tYˆ é a variância de ℜ∈tV (6)
ℜ∈tV é a variância do vetor tv
t
T
ttt YFRA ˆ= 
1nx
tA ℜ∈ é a matriz ganho de Kalman (7)
tttt eAmm += −1 
1nx
tm ℜ∈ são os coeficientes dos preditores (8)
nxn
tC ℜ∈ nxntC ℜ∈ é a variância dos coeficientes tm (9)
O algoritmo utilizado é computacionalmente simples e possui a 
vantagem de ser suficiente para atualizar o Filtro de Kalman do 
instante ( )1−t até o instante t .
SAIBA MAIS
Verificação da Previsão de Temperatura A 2 M do ECMWF
A construção de um Filtro de Kalman é motivada pela análise 
da comparação de observações SYNOP, feitas pelo Instituto de 
Meteorologia com as respectivas previsões do modelo do ECMWF.
A diferença entre a topografia considerada no modelo do ECMWF 
e a topografia real das estações pode ser, em alguns casos (tabela 
1), da ordem das centenas de metros, o que tem implicações na 
ocorrência de erros sistemáticos nas previsões. Guarda é a esta-
ção que apresenta a maior discrepância de altitude em relação ao 
ponto mais próximo da grelha do modelo. Ao contrário das restan-
tes que se situam junto ao litoral, Guarda localiza-se em uma re-
gião montanhosa, praticamente inexistente no modelo do ECMWF.
96 UNIUBE
Local Altura (m) - Estação Altura (m) - ECMWF
Coimbra 171 218
Guarda 1020 662
Lisboa 104 81
Porto 93 196
Como exemplo, as observações às 9 UTC e as suas respectivas 
previsões feitas pelo modelo do ECMWF na corrida das 12 UTC 
t+21h para Lisboa, Coimbra, Porto e Guarda durante os meses de 
Janeiro, Fevereiro e Março de 2003 são apresentadas na figura 1. 
Nota-se que, nas três primeiras cidades, o modelo numérico apre-
senta previsões mais frias que as observações durante pratica-
mente todo o período. Por volta do dia 10 de janeiro, quando ocorre 
uma descida brusca na temperatura, o modelo torna-se incapaz de 
prever corretamente temperaturas muito baixas na Guarda, supe-
restimando os valores de temperatura. É justamente nessa cidade 
onde há uma variação evidente no comportamento do modelo, ora 
subestimando, ora superestimando os valores de temperatura.
 
 UNIUBE 97
 
Os valores médios mensais das diferenças entre as previsões de 
temperatura e as observações ( OBSmECMWFm TT _2_2 − ), i.e., o bias, em 
função das horas do dia, são apresentados, respectivamente, nas 
figuras 2 e 3, para as cidades do Porto e da Guarda. Com base nas 
figuras, é possível observar a variação diurna das diferenças en-
tre previsões e observações e, ainda, as variações desse ciclo ao 
longo do ano. No Porto, observa-se que, durante os quatro primei-
ros meses e os últimos três meses do ano (i.e., durante os meses 
mais frios), o modelo subestima os valores de temperatura, com 
as maiores discrepâncias obtidas às 9 UTC. Entretanto, durante 
os meses mais quentes, o modelo gera previsões que ora subesti-
mam a temperatura (no período da manhã), ora superestimam (no 
período da tarde), ou seja, a amplitude diurna é sistematicamente 
superestimada. Ao contrário, na cidade da Guarda, o modelo tende 
a fornecer previsões mais quentes que as observações, como seria 
esperado dada a fraca representação da topografia local no mode-
lo. De uma forma geral, verifica-se que o bias varia ao longo do dia, 
com as estações do ano e de local para local.
98 UNIUBE
 
 
 UNIUBE 99
 
 
100 UNIUBE
 
 
 UNIUBE 101
 
 
Figura 3 - Como na Figura 2, mas para a cidade da Guarda.
102 UNIUBE
APLICAÇÃO DO FILTRO
Como mencionado anteriormente, foi desenhado um Filtro de 
Kalman para corrigir o erro de previsão da temperatura a 2 m na 
estação, definido como a diferença entre o valor observado, OBSmT _2
, e o valor previsto pelo modelo, ECMWFmT _2 . Nesse caso, o nosso 
preditando é dado por:
ECMWFmOBSmt TTy _2_2 −= (10)
Para se iniciar o funcionamento do filtro, é necessário definir a ma-
triz dos preditores. Para tal, considerou-se que o erro de previsão 
das 9 UTC está relacionado com o erro de previsão cometido às 6 
UTC. Isto é, a matriz de preditores tF para a previsão dos erros às 
9 UTC para cada dia t é dada por:
( ) ( )




−
=
tTtT
F
ECMWFmOBSm
t
_2_2
1
 (11)
É também fundamental determinar uma primeira estimativa dos 
coeficientes m e dos demais parâmetros estatísticos. A primeira 
estimativa dos coeficientes ( 0m ) foi