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Conceitos Aerodinamica

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Conceitos de 
Aerodinâmica
SEST – Serviço Social do Transporte
SENAT – Serviço Nacional de Aprendizagem do Transporte
ead.sestsenat.org.br 
CDU 629.7
45 p. :il. – (EaD)
Curso on-line – Conceitos de Aerodinâmica – Brasília: 
SEST/SENAT, 2016.
1. Engenharia aeronáutica. 2. Aeronave. I. Serviço 
Social do Transporte. II. Serviço Nacional de 
Aprendizagem do Transporte. III. Título.
3
Sumário
Apresentação 5
Unidade 1 | Notas Sobre a Atmosfera 7
1 Introdução 8
2 A Atmosfera Padrão Internacional – International Standard Atmosphere (ISA) 8
3 Troposfera 10
4 Estratosfera 11
Glossário 13
Atividades 14
Referências 15
Unidade 2 | Aerodinâmica Básica 16
1 Introdução 17
2.2 Forças Aerodinâmicas 17
3 Geometria da Asa 22
3.1 O Perfil Alar 22
3.2 Planta da Asa 23
3.4 Torção Geométrica da Asa 25
4 Sustentação 26
4.1 Sustentação Gerada pelo Perfil Alar 26
4.2 A Sustentação Gerada pela Asa Finita 30
4.3 Estol 35
5.1 Arrasto de Atrito 38
5.2 Arrasto de Pressão 38
5.3 Arrasto Induzido 38
5.4 Arrasto de Onda 39
Glossário 40
4
Atividades 42
Referências 43
Gabarito 44
5
Apresentação
Prezado(a) aluno(a),
Seja bem-vindo(a) ao curso Conceitos de Aerodinâmica! 
As peculiaridades do voo dos aviões na atmosfera, assim como as principais manobras 
que ocorrem durante uma missão, são de suma importância para complementar 
o entendimento sobre mecânica de aeronaves. Para tanto, faz-se necessário 
compreender os princípios físico-matemáticos do voo de um veículo, os efeitos das 
forças aerodinâmicas sobre ele, a relação entre os comandos do piloto e o veículo em 
diferentes situações. 
Serão identificadas na primeira unidade as características principais da atmosfera 
para, posteriormente, aprender sobre a aerodinâmica básica e as características 
aerodinâmicas dos aviões, com a finalidade de entender as ações que caracterizam o 
voo de um avião.
Serão descritas também as fases do voo de um avião e as manobras principais, para 
melhor identificar os efeitos das forças aerodinâmicas que incidem sobre o veículo em 
cada uma delas. 
Na segunda e última unidade, serão apresentadas notas sobre estabilidade, respostas 
do avião às perturbações e piloto automático. 
O curso possui carga horária total de 10 horas e foi organizado em 2 unidades, conforme 
a tabela a seguir.
Unidades Carga Horária
Unidade 1 | Notas Sobre a Atmosfera 3 h
Unidade 2 | Aerodinâmica Básica 7 h
6
Fique atento! Para concluir o curso, você precisa:
a) navegar por todos os conteúdos e realizar todas as atividades previstas nas 
“Aulas Interativas”;
b) responder à “Avaliação final” e obter nota mínima igual ou superior a 60; 
c) responder à “Avaliação de Reação”; e
d) acessar o “Ambiente do Aluno” e emitir o seu certificado.
Este curso é autoinstrucional, ou seja, sem acompanhamento de tutor. Em caso de 
dúvidas, entre em contato por e-mail no endereço eletrônico suporteead@sestsenat.
org.br.
Bons estudos!
 
7
UNIDADE 1 | NOTAS SOBRE A 
ATMOSFERA
8
1 Introdução
Pode ser intimidante mergulhar em águas desconhecidas sem saber o quanto a água 
está limpa, o quanto é profunda e qual é a sua temperatura. Estas condições podem 
influenciar o desempenho na natação, ou mesmo, a decisão de mergulhar ou não. 
Similarmente, para estudar o desempenho de um veículo se deslocando no ar, é preciso 
saber algo sobre as propriedades do próprio ar, ou seja, da atmosfera.
A atmosfera é uma mistura gasosa, não homogênea, de diferentes substâncias aeriformes 
- principalmente nitrogênio, oxigênio, argônio, dióxido de carbono e vapor de agua - e pó 
de variáveis densidade e concentração, não só com a altitude, mas também com as estações 
do ano, com o tempo, com as horas do dia e, especialmente, com a latitude. Ela envolve a 
superfície terrestre e é arrastada pelos movimentos de rotação e translação da Terra.
2 A Atmosfera Padrão Internacional – International Standard 
Atmosphere (ISA)
A atmosfera pode ser dividida em cinco camadas: Troposfera, Estratosfera, Mesosfera, 
Termosfera e Exosfera. Somente as duas primeiras dessas camadas serão descritas 
aqui, porque é somente nessas que os aviões voam.
A atmosfera é também o meio em que a aeronave se desloca. Qualquer aeronave 
durante o movimento desenvolve forças aerodinâmicas devido à interação entre as 
suas superfícies e a atmosfera circundante. Essas forças são responsáveis por conduzir 
a aeronave no ar e um conhecimento profundo delas permite uma correta avaliação do 
desempenho da aeronave. Portanto, é necessário o conhecimento das características 
da atmosfera para realizar o cálculo das prestações e movimentos da aeronave. 
Nos cálculos, emprega-se tipicamente um modelo de atmosfera unificado, que 
fornece todas as quantidades necessárias para a descrição física do ar em função da 
altitude, a partir de uma variação da temperatura com a altitude, definida com base 
em resultados experimentais, como descrito em Anderson (2012). De acordo com uma 
9
versão simplificada desse modelo, a atmosfera é dividida em três regiões e assume 
o comportamento de um gás ideal, com o peso molecular médio da mistura dos 
elementos componentes, sujeito à ação da força de gravidade.
Sobre a estrutura da atmosfera, e com base na Figura 1, pode-se dizer que:
• A troposfera é a região da atmosfera entre 0 e 11 km de altitude, em que a 
temperatura diminui linearmente com a altitude.
• A estratosfera é a região da atmosfera entre 11 e 50 km de altitude, onde a 
temperatura do ar permanece constante em primeiro lugar, até 25 km, e depois 
aumenta novamente).
 Figura 1: Variação da temperatura com a altitude na atmosfera padrão
10
• A atmosfera superior é a região que se estende acima de 50 km de 
altitude. Na figura é mostrada somente até 100 km. Neste modelo 
simplificado não se fala em mesosfera, termosfera e exosfera. 
Para efeitos do estudo da dinâmica do voo atmosférico, a troposfera e a 
estratosfera serão abordadas em uma altura de até 25 km, pois é somente nestas 
regiões que ocorre o voo atmosférico de aeronaves a hélice e a jato.
3 Troposfera
A troposfera é a camada da atmosfera do planeta Terra que está 
em contato com a superfície terrestre. É a camada mais baixa da 
atmosfera. 
Com base nas propriedades físicas do ar, são deduzidas as variações das quantidades 
físicas fundamentais em função da altitude na troposfera. O comportamento de gás 
perfeito estabelece a relação entre a densidade ρ, a temperaturaT e a pressão p por 
meio da equação de estado:
A constante dos gases específica para o ar é representada por R, enquanto que os 
efeitos da gravidade na atmosfera se manifestam por variações da pressão hidrostática 
com a altitude (Lei de Stevin).
 
A variação da temperatura T com a altitude h é linear e igual a:
 
Logo, é possível combinar as equações precedentes para determinar a variação com 
a quota de pressão, densidade e temperatura, onde T e h são medidas em K e m 
respectivamente:
 
p = ρ RT
dp = ─ ρgdh
T (z) = T0 + a1h = 288,16 ─ 0,0065h
dp 
= p 
gdh
RT(h)
11
Integrando essa equação entre a altitude zero e uma altitude genérica h, obtém-se a 
variação da pressão em função da altitude, onde g é a aceleração de gravidade (g = 
9,81 m/s2 ao nível do mar).
 
A equação acima pode ser escrita como:
As variações da densidade com a altitude são obtidas por intermédio dessa equação e 
da equação de estado dos gases
 Onde
po = 101.325 N/m
2, po = 1,225 kg/m
3, T0 = 288, 16 K
4 Estratosfera
A estratosfera é a região da atmosfera terrestre situada entre 11 e 50 Km de altitude 
e fica acima da troposfera.
Para calcular as leis de variação das quantidades físicasna estratosfera, leva-se em 
conta o fato de que a temperatura permanece constante com a altitude até 25 km.
As variações de pressão com a altitude, nesse caso, também são descritas pela lei de 
Stevin, mas agora a temperatura permanece constante:
In Inp g
Rp0
dh
T (h)
g
RTh
=─ ʃ
h
0
Th h 
T0 
1 +( )
p = p0 
Th -g/RTh h 1 +( )T0 
ρ = ρ0 [1+ (Th/T0)h]- (1+g/RTh)
p 
RT
Po [1 + (Th/T0)h)
-g/RTh
[1 + (Th/T0)h]RT0
= =
T (h) = Te = cost, 11 km < h < 25km
dp 
= p 
gdh
RTe
12
Assim, a pressão à genérica altitude h > 11 km é calculada integrando essa equação 
entre a altitude 11 km e uma altitude genérica h:
 Portanto,
 
Finalmente, a densidade pode ser determinada usando a equação de estado dos gases:
As equações acima fornecem as leis de variação das quantidades físicas com a altitude 
na troposfera e na estratosfera até 25 km. Por conveniência, essas grandezas físicas 
são geralmente tabeladas, com a denominação de Atmosfera Padrão Internacional – 
International Standard Atmosphere (ISA).
Resumindo 
 
Foram expostos, nesta unidade, os principais conceitos sobre a atmosfera, 
em particular a troposfera e a estratosfera. Aprendeu-se que a atmosfera 
é constituída de cinco camadas, a saber, troposfera, estratosfera, mesosfera, 
termosfera e exosfera. Destacou-se a importância de saber as características 
da atmosfera para um voo tranquilo e seguro. 
 
Por fim, foram realizadas equações que demonstraram as leis de variação 
das quantidades físicas com a altitude na troposfera e na estratosfera até 
25 km.
In p g (h – 11.000)
RTep11.000
=─
g
p (h – 11.000)RTe
= 11.000ep
g
(h – 11.000)
RTep
RTe
=ρ = ρ11.000e 
13
Glossário
Lei de Stevin: Simon Stevin foi um físico e matemático belga que concentrou suas 
pesquisas nos campos da estática e da hidrostática. Ele demonstrou que a pressão 
exercida por um fluido depende exclusivamente da sua altura. A Lei de Stevin está 
relacionada a verificações que podem ser feitas sobre a pressão atmosférica e a 
pressão nos líquidos.
14
 a
1) Assinale a Alternativa correta. A troposfera termina em 
uma altitude de_______KM: 
 
a. ( ) 100 km. 
 
b. ( ) 50 km. 
 
c. ( ) 11 km. 
 
d. ( ) 8 km. 
 
2) Assinale a Alternativa correta. Na troposfera a temperatura: 
 
a. ( ) Aumenta com a altitude. 
 
b. ( ) Diminui com a altitude. 
 
c. ( ) Permanece constante. 
 
d. ( ) No começo aumenta e depois diminui. 
Atividades
15
Referências
ANDERSON, J. D. Jr. Introduction to flight. Singapore: McGraw-Hill International 
Edition, 2012.
ETKIN, B.; Reid, L. D. Dynamics of flight: stability and control. New York: Wiley,1996.
HULL, D. G. Fundamentals of airplane flight mechanics. Heidelberg: Springer, 2007.
NELSON, R. C. Stability and automatic control. New York: WCB/McGraw Hill, 1998.
ROSKAM, J. Airplane flight dynamics and automatic flight controls. Lawrence, 
Kansas: DARcorporation,1995.
 
16
UNIDADE 2 | AERODINÂMICA 
BÁSICA
17
1 Introdução
A aerodinâmica pode ser definida como o estudo do movimento de fluidos gasosos, 
das suas propriedades e características, e das forças que exercem sobre corpos sólidos 
neles imersos.
Pode-se afirmar que esta ciência só passou a ganhar importância prática no começo do 
século XX, com o desenvolvimento dos aviões e dos automóveis, pois estes precisavam 
se locomover tendo o menor atrito possível com o ar, tornando-se, assim, mais rápidos 
e eficientes. 
A compreensão dos fenômenos que envolvem a aerodinâmica é essencial para o 
projeto global de uma aeronave, pois muitos aspectos são estudados para definir a 
melhor configuração aerodinâmica, analisar seu desempenho e estabilidade, assim 
como realizar o cálculo estrutural das suas partes e da aeronave como um todo.
2.2 Forças Aerodinâmicas
A aeronave é um veículo que se move no ar e, portanto, troca com esse meio ações que 
devem ser avaliadas pelos diferentes métodos da aerodinâmica.
A Figura 2 faz referência a uma aeronave, tendo xBzB como plano de simetria, em 
movimento de translação, com velocidade (v) relativa ao ar. Durante este movimento, 
o fluido exerce uma força aerodinâmica (F) na aeronave, com magnitude e direção que 
dependem de quantidades ligadas às condições de voo. 
A força aerodinâmica é a resultante das pressões normais (p) e das tensões de 
cisalhamento exercidas em função do movimento relativo do ar sobre a superfície (S) 
da aeronave.
As tensões de cisalhamento, ou tensões tangenciais, são um tipo de tensão (força por 
unidade de superfície) gerado por forças, aplicadas em sentidos iguais ou opostos, em 
direções semelhantes, mas com intensidades diferentes no material analisado. 
18
 
É importante observar na Figura 2 a presença de dois sistemas de coordenadas de 
referência: 
• o primeiro com o eixo xB, coincidente com o eixo longitudinal da aeronave (onde 
B, do inglês body, significa corpo), e o eixo yB positivo, à direita do piloto;
• o segundo com o eixo xW, coincidente com a direção e a orientação da velocidade 
relativa v, oposta ao vento relativo ao veículo (onde W, do inglês wind, significa 
vento) e o eixo zW, no plano de simetria xBzB da aeronave, apontando embaixo 
dela. 
O primeiro é chamado de sistema de referência corpo e o segundo de sistema de 
referência vento. Estes sistemas de coordenadas são usados na descrição de diferentes 
aspectos da aeronave e do seu desempenho.
L
v /2
Xw
X
S
D
B /2
Zw ZB
yB
yw
Figura 2: As forças aerodinâmicas
19
Para definir a orientação do sistema de referência vento, em relação ao sistema 
de referência corpo, são introduzidos dois ângulos, conhecidos como ângulos 
aerodinâmicos, e chamados de ângulo de ataque (α ) e ângulo de derrapagem (β ). 
Na Figura 3, é possível notar que:
• o ângulo de derrapagem (β ) é formado pela velocidade relativa (v) com o plano 
de simetria xBzB da aeronave;
• o ângulo de ataque (ɑ ) é formado pela projeção da velocidade relativa (v) no 
plano de simetria xBzB, com o eixo longitudinal da aeronave (xB ). 
 De uma maneira geral, a (F) pode também ser escrita como:
 
v
Xw
yB
yw
Zw ZB
XB
r
p
q
Figura 3: Os ângulos aerodinâmicos
1 F = 
2 
ρV 2 SC 
20
No sistema de referência vento, no caso da aeronave da Figura 3, tendo xBzB como 
plano de simetria, essa expressão pode ser escrita como:
 Onde:
• (p ) é a densidade do fluido, ou seja, a razão entre a massa do fluido e o volume 
ocupado por ele.;
• (S) é uma superfície de referência;. Nesse sentido, é a superfície tomada 
como referência para cálculos ou medições. Um exemplo fundamental em 
aerodinâmica é a área da projeção do corpo em um plano perpendicular à direção 
do escoamento (cross-sectional area).
• (V) é o módulo da velocidade. A velocidade é considerada uma grandeza vetorial, 
ou seja, tem um módulo (valor numérico), uma direção (por exemplo: vertical, 
horizontal) e um sentido (por exemplo: para frente, para cima).
• CF é um vetor paralelo a (F), onde as componentes são os coeficientes 
aerodinâmicos (coeficiente de sustentação e o coeficiente de arrasto) que 
dependem dos ângulos aerodi- nâmicos (ângulo de ataque e ângulo de 
derrapagem), da velocidade angular da aeronave (velocidade que descreve a taxa 
com que a sua orientação muda), do número de Reynolds (Re) e do número de 
Mach (M).cujas componentes são os coeficientes aerodinâmicos, que dependem 
dos ângulos aerodinâmicos, da velocidade angular da aeronave, do número de 
Reynolds Re e do número de Mach M.
Re e M são parâmetros adimensionais muito usados em mecânica dos fluidos para o 
cálculo do regime de escoamento deum fluido.
O número de Reynolds Re é definido como:
Re=pVl/μ
Onde:
• (p) é a densidade do fluido;
• (V) a velocidade média;
• (l) uma dimensão linear caraterística;
• (μ) é a viscosidade dinâmica. Neste sentido, a viscosidade deve ser pensada como 
a me- dida do atrito do fluido. Assim, a água é fina, tendo uma baixa viscosidade, 
enquanto o óleo vegetal é mais espesso, tendo uma alta viscosidade.
1 F = = 2 ρV 2 S 
D
S
L 
C
C
C
S
L
21
Como significado físico, (Re) é o quociente entre as forças de inércia e as forças de 
viscosidade. Nesse sentido: 
• valores baixos de (Re) indicam que as forças viscosas predominam e o escoamento 
acontece por camadas paralelas, de maneira regular e estável (escoamento 
laminar); 
• valores altos de (Re) indicam que as forças de inercia predominam e o escoamento 
é caraterizado por vórtices caóticos e instabilidades (escoamento turbulento).
O número de Mach é definido como:
Onde
• (v) é a velocidade; 
• (a) é a velocidade do som no local. v é a velocidade e a é a velocidade do som no 
local. 
Os efeitos de compressibilidade aumentam, ao aumento de M, e as caraterísticas dos 
escoamentos subsônicos (M<1) e supersônicos (M>1) são essencialmente diferentes. 
A compressibilidade de um fluido é a medida de quanto o volume relativo diminui em 
função de um aumento de pressão.
A força aerodinâmica pode ser decomposta de diferentes maneiras, dependendo do 
sistema de coordenadas de referência escolhido. 
A escolha mostrada na Figura 2 é adotada no estudo do desempenho das aeronaves 
e consiste em projetar a força aerodinâmica ao longo dos eixos do sistema de 
coordenadas de referência vento. 
Isso, implicitamente, fornece a definição das componentes D, S e L da força 
aerodinâmica, chamadas de arrasto (do inglês drag), de força lateral (do inglês side 
force) e de sustentação (do inglês lift), respectivamente. 
A sustentação (L) e o arrasto (D) desenvolvem um papel fundamental no cálculo do 
desempenho da aeronave, uma vez que as caraterísticas aerodinâmicas da aeronave 
dependem principalmente deles. A força lateral (S), geralmente diferente de zero em 
derrapagem (β ≠ 0), afeta significativamente a eficiência aerodinâmica da aeronave. 
vM = 
a 
22
Em geral, a presença de da força lateral (S) produz uma redução de CL / CD, razão entre 
o coeficiente de sustentação (CL) e o coeficiente de arrasto (CD), e uma consequente 
deterioração do desempenho da aeronave. O arrasto é paralelo e oposto a (v), por isso 
tem um caráter de força essencialmente dissipativa, enquanto a sustentação e a força 
lateral, perpendiculares à v, têm trabalho nulo. 
Os relativos coeficientes de força, chamados coeficiente de arrasto (CD), coeficiente de 
sustentação (CL) e coeficiente de força lateral (CS), são as componentes do vetor (CF) 
nos eixos aerodinâmicos do sistema de referência vento.
3 Geometria da Asa
Antes de explicitar as características da força aerodinâmica desenvolvida pela aeronave, 
é adequado introduzir os elementos geométricos que determinam as superfícies mais 
relevantes para a sustentação da aeronave: as asas.
A maior parte da sustentação desenvolvida por um avião é produzida pelas asas, que 
possuem formas na planta e perfis alares cuidadosamente estudados para obter, em 
certas condições, a máxima eficiência aerodinâmica. As características aerodinâmicas 
de uma asa dependem da sua configuração geométrica, definida pelos perfis alares 
que a compõem e pelos parâmetros geométricos da sua planta.
3.1 O Perfil Alar
O perfil alar, ou aerofólio, é a secção bidimensional da asa em um plano paralelo ao 
plano de simetria XBZB da aeronave, como mostrado na Figura 4. 
r LE
I LE
y
y
X
X
c
c
t
c
y
Figura 4: O perfil alar
23
Para definir univocamente um perfil alar, as seguintes quantidades devem ser 
atribuídas:
• à lei da linha de arqueamento média do perfil: yc ( x );
• à lei da distribuição da espessura de acordo com a normal à linha de arqueamento 
média: y( x ).
Embora do ponto de vista geométrico yc(x) e y(x) sejam suficientes para definir a 
geometria do perfil, juntamente com eles são atribuídas as seguintes grandezas:
• (rLE) - (leading edge): o raio de curvatura no bordo de ataque 
• (ΦTE) - (trailing edge): o ângulo do bordo de fuga.
Tanto o raio no bordo de ataque quanto o ângulo do bordo de fuga influenciam de forma 
significativa as características aerodinâmicas do perfil, em particular a distribuição de 
pressão ao longo da corda da asa. 
Outros parâmetros que afetam as características aerodinâmicas do perfil são:
• máxima curvatura, o valor máximo de (yc) dividido para o comprimento da corda 
da asa: (yc)max/c;
• coordenadas da máxima espessura percentual, o dobro do valor máximo de (y) 
dividido para o comprimento da corda da asa: t/c = 2ymax/c.
O valor do ângulo de ataque, para o qual a sustentação é igual a zero, e o coeficiente 
de momento focal do perfil dependem da curvatura máxima. Ressalta-se que o foco 
do perfil é um ponto, muito perto de 25% da corda, com respeito ao bordo de ataque, 
no qual o coeficiente de momento permanece, praticamente, constante ao variar do 
ângulo de ataque. As coordenadas da espessura máxima percentual influenciam as 
variações das velocidades do perfil ao longo da corda.
24
3.2 Planta da Asa
A forma em planta da asa tem grande importância, pois dela depende a distribuição 
da sustentação ao longo da envergadura. Um caso particularmente interessante é o 
da asa com planta elíptica, que gera uma distribuição de sustentação elíptica também.
A Figura 5 mostra como a forma em planta da asa é definida por parâmetros geométricos.
O alongamento da asa (A) é determinado como a razão entre o quadrado da envergadura 
(b) e a superfície em planta da asa (S). Pode ser definido, equivalentemente, como a 
razão entre b e a corda média (c):
 
Define-se relação de afilamento (λ) de uma asa como a razão entre a corda na ponta 
(tip) da asa ct e a corda na raiz (root) (cr), conforme a equação a seguir:
 
A corda média aerodinâmica (c) é definida como a corda que passa através do centroide 
(centro geométrico) da semiasa, e no caso de asas com planta em forma de trapézio 
(asas trapezoidais), é:
 
A superfície em planta, no mesmo caso, é definida como:
C
LE
1/4
b
r
CT
bordo d
e ataqu
e
bordo de fuga
Λ
Λ
Figura 5: Geometria da planta da asa
b2 A = = 
s 
b 
c 
= cc λ
t
r
crc 23
2 + λ + λ2
1 + λ =
cr (1+λ)bS 2=
25
 O ângulo de enflechamento (ʌ) é o ângulo que a linha reta, lócus dos pontos a 25% da 
corda em relação ao bordo de ataque (focos dos perfis alares), forma com a direção 
(yB). Os ângulos de enflechamento também são definidos quando correspondem à 
direção do bordo de ataque e à direção do bordo de fuga da asa, como mostrado na 
Figura 5. 
3.4 Torção Geométrica da Asa
A fim de ter uma variável de projeto a mais para o controle da distribuição da 
sustentação ao longo da envergadura, as cordas dos aerofólios de uma asa não são 
localizadas, em geral, no mesmo plano, mas apresentam um ângulo de incidência 
variável com a distância do plano de simetria XBZB da aeronave. Cabe lembrar que o 
ângulo de incidência, apesar das ambiguidades presentes em alguns textos, é algo 
completamente diferente do ângulo de ataque. 
O ângulo de incidência é o ângulo entre a corda da asa e o eixo longitudinal da aeronave 
e, portanto, é uma caraterística construtiva. O ângulo de ataque, por outro lado, é o 
ângulo entre a velocidade relativa e o eixo longitudinal, dependendo das condições de 
voo. 
Quando o ângulo de incidência diminui ao longo da envergadura, sendo maior nas 
seções da asa próximas à raiz e menor nas seçõespróximas à ponta, fala-se em washout. 
Uma torção geométrica contrária, com o ângulo de incidência aumentando ao longo da 
envergadura, é chamada de washin. 
A torção geométrica, juntamente com a forma em planta da asa, permite a obtenção 
de uma distribuição da sustentação conveniente em relação às características 
aerodinâmicas desejadas.
26
4 Sustentação
A sustentação é a componente da força aerodinâmica perpendicular à velocidade 
relativa (v), e pode ser escrita como:
Onde o coeficiente de sustentação (CL) dependerá de diversas variáveis, tais como o 
ângulo de ataque (ɑ), o ângulo de derrapagem (β) e as três componentes da velocidade 
angular no sistema de referência corpo. 
Para os fins do presente estudo, é interessante calcular o coeficiente de sustentação 
(CL) em relação ao ângulo de ataque (ɑ) e com base nos dados do perfil alar e nos 
parâmetros geométricos da planta da asa.
4.1 Sustentação Gerada pelo Perfil Alar
A força de sustentação define a habilidade de um avião se manter em voo. Basicamente, 
a força de sustentação é utilizada como forma de vencer o peso da aeronave. Alguns 
princípios físicos fundamentais podem ser aplicados para se compreender como a 
força de sustentação é criada.
Um desses princípios é a terceira lei de Newton, que diz que para qualquer força de 
ação aplicada, existe uma reação de mesma intensidade, direção e sentido oposto.
O princípio de Bernoulli também se aplica quando afirma que, se a velocidade de uma 
partícula de um fluido aumenta enquanto ela escoa ao longo de uma linha de corrente, 
a pressão estática do fluido deve diminuir e vice-versa. (ANDERSON, 2012)
Quando uma asa se desloca através do ar, o escoamento se divide em uma parcela 
direcionada para a parte superior e uma para a parte inferior da asa. Estas duas regiões 
são separadas por um ponto, no qual a velocidade é nula, denominado ponto de 
estagnação, como mostrado na Figura 6 (ponto 4).
1L=
2
ρ V2 SCL
27
 
 
Se existir um ângulo de ataque positivo entre a asa e a direção do escoamento [no caso 
de um perfil alar, ɑ é definido como o ângulo entre a corda do perfil e a velocidade 
relativa (v)], ou se o perfil apresentar uma curvatura (a linha de arqueamento média 
não é reta, não coincide com a corda) o ar é forçado a mudar de direção. 
Em particular, o ar é forçado para baixo e em reação a essa mudança de direção do 
escoamento, a asa é forçada para cima, ou seja, a asa aplica uma força para baixo no 
ar e o ar aplica na asa uma força de mesma magnitude no sentido de empurrar a asa 
para cima. Essa criação da força de sustentação pode ser explicada pela Terceira Lei de 
Newton. O ângulo pelo qual o escoamento é defletido por uma superfície geradora de 
sustentação é chamado de ângulo de ataque induzido (downwash angle).
A criação da força de sustentação também pode ser explicada por meio da circulação do 
escoamento ao redor do aerofólio. Para entender esta definição, deve-se compreender 
o Princípio de Bernoulli. Durante um voo, o ar escoa com mais velocidade no extradorso 
(a superfície superior) da asa do que no intradorso (a superfície inferior) em virtude 
da curvatura mais acentuada que as linhas de corrente possuem. Com o aumento 
da velocidade, ocorre a redução da pressão estática, de acordo com o Princípio de 
Bernoulli. O resultado é uma pressão menor no extradorso que no intradorso e uma 
força que empurra a asa para cima e para trás.
Esta força é a força aerodinâmica (F), análoga aquela já definida para a aeronave, que 
está aplicada num ponto do aerofólio denominado centro de pressão, como mostra a 
figura 7, e pode ser dividida em duas componentes: sustentação e arrasto.
V1
V2
V3
V1
V3 V1
4
V1
V1
V2 V4 = 0> >
Figura 6: Velocidades ao redor de um aerofólio
28
A sustentação é a componente perpendicular ao vento relativo e além de ser a força 
útil do aerofólio. O arrasto é a componente paralela à direção do vento relativo. 
Geralmente é nocivo, pois se opõe ao movimento da aeronave, e deve ser reduzido ao 
mínimo possível.
O princípio de Bernoulli pode ser matematicamente expresso pela equação:
 
Onde:
• (p) representa a pressão estática que o ar exerce sobre a superfície da asa;
• (ρ) é a densidade do ar;
• (v) a velocidade do escoamento;
• (g) a constante de gravidade;
• (z) a altitude. 
O termo ½pv2 tem as dimensões de uma pressão e é chamado de pressão dinâmica, 
pois existe somente quando o fluido está em movimento, diferentemente da pressão 
estática. Desta forma, o princípio de Bernoulli é válido quando se podem desprezar os 
efeitos da compressibilidade e da viscosidade. 
Figura 7: Decomposição da força aerodinâmica em sustentação e arrasto
1p +
 
ρv2 +ρgz= const
2
29
Os efeitos da compressibilidade podem ser desprezados quando o número de Mach 
for muito menor que a unidade, ou seja, quando a velocidade do escoamento for 
muito menor do que a velocidade do som no local. Nestes casos, pode-se considerar a 
densidade p como constante. 
Os efeitos da viscosidade podem ser desprezados, ao redor dos corpos imersos no 
fluido, fora das regiões sutis muito próximas aos corpos, chamadas de camadas limites, 
onde os gradientes de velocidade são grandes. 
No caso do escoamento ao redor de uma asa de aeronave, as variações de altitude z 
são desprezíveis e o princípio de Bernoulli pode ser escrito de uma forma ainda mais 
simples:
Logo, a soma da pressão estática e da pressão dinâmica, chamada de pressão total, fica 
constante ao longo de uma linha de corrente. Assim, onde a velocidade é maior, como 
na superfície superior de um perfil alar, a pressão estática será menor, e vice-versa.
A variação do coeficiente de sustentação (cl) (minúsculo, no caso de um perfil alar) em 
relação a (ɑ), é praticamente linear em uma determinada região. A inclinação 
(coeficiente angular) dessa região linear da curva é chamada de gradiente de 
sustentação (clɑ) sendo: 
 
 
O gradiente de sustentação Clɑ≈2π depende pouco da curvatura e da espessura 
percentual, por perfis bastante sutis. O ângulo (ɑ0) para o qual o perfil não gera 
sustentação, chamado de ângulo de ataque para sustentação nula, depende da linha 
de arqueamento media do perfil. 
1p +
2
ρv2 = const
dc
da
cla
c
e
la
c
l=
=l (a – a )0
30
4.2 A Sustentação Gerada pela Asa Finita
No caso das asas com alongamento finito (asas reais), o gradiente de sustentação (C
Lɑ
) 
é menor do gradiente de sustentação (C
lɑ
) do perfil alar correspondente, em função 
das velocidades induzidas pelos vórtices de esteira. 
Para entender fisicamente esse fenômeno, deve-se lembrar que a pressão na parte 
superior da asa é menor que a pressão na parte inferior. Numa asa de envergadura 
finita, esta diferença de pressão causa um escoamento ao redor da ponta da asa, que 
se combina com a velocidade do escoamento não perturbado que investe a asa. Surge, 
assim, um vórtex em forma de espiral, que perturba todo o campo de escoamento 
sobre a asa. Este fenômeno é representado esquematicamente nas figuras 8 e 9. Esses 
vórtices, saindo das duas pontas da asa, são reais e podem ser visualizados, como 
mostrado nas fotos das figuras 10 e 11.
 
Figura 8: Vórtices de ponta da asa
8v
(b)
31
Figura 9: Geração dos vórtices das pontas da asa a partir da diferença de 
pressão entre a parte superior e a parte inferior da asa
Figura 10: Vórtex na ponta da asa de um avião agrícola, 
visualizado com fumaça colorida
Figura 11: Vórtices nas pontas das asas de um Boeing-727 
visualizados com geradores de fumaça
32
Os vórtices de ponta da asa (wing-tip) produzem uma velocidade normal induzida para 
baixo (downwash), que reduz o ângulo de ataque localmente. Ressalta-seque, embora 
o mesmo nome seja usado (downwash), este fenômeno é diferente daquele observado 
na asa infinita (perfil alar).
O ângulo de ataque efetivo, agora, é dado pela diferença entre o ângulo de ataque 
geométrico (entre a velocidade relativa imperturbada e a corda do perfil) e o ângulo 
de ataque induzido. Uma consequência imediata desta diminuição do ângulo de ataque 
efetivo é que o gradiente de sustentação de uma asa finita é sempre inferior àquele do 
perfil alar correspondente.
Existem várias teorias aerodinâmicas que permitem calcular o coeficiente de 
sustentação da asa em função do alongamento. Uma das mais usadas, a teoria da linha 
sustentadora de Prandtl, substitui a asa em um esquema de vórtices com eixos na linha 
dos focos da asa que, de maneira contínua, se dobra na direção do escoamento. 
Sem detalhar toda a teoria, na prática, um sistema de vórtices em ferradura (horseshoe 
vórtices) estende-se até o infinito à jusante da asa, enrolando-se com os vórtices de 
ponta da asa (wing-tip vórtices), como apresentado nas figuras 12 e 13.
Na Figura 12 tem-se uma linha sustentadora de Prandtl, usando muitos vórtices em 
ferradura, gerando uma distribuição de circulação e sustentação contínua ao longo da 
envergadura da asa. 
 
Figura 12: Linha sustentadora de Prandtl 
33
Na Figura 13, tem-se o sistema de vórtices saindo do bordo de fuga da asa e se 
enrolando com os vórtices das pontas da asa.
 
O emprego de um elevado número de vórtices (no limite, um número infinito), na 
aproximação da linha sustentadora de Prandtl, gera uma distribuição contínua de 
circulação, e de sustentação proporcional à circulação, ao longo da envergadura da asa.
A teoria da linha sustentadora permite calcular o efeito do alongamento da asa, ou 
seja, o quanto o desempenho de uma asa finita (caso tridimensional) é diferente do 
perfil alar (asa infinita, caso bidimensional) correspondente. É oportuno lembrar que 
esta teoria é aplicável às asas com baixo ângulo de enflechamento (asas retas).
Como explicado anteriormente, no caso da asa finita, os efeitos tridimensionais do 
escoamento causam uma diminuição do gradiente de sustentação com relação ao caso 
bidimensional da asa infinita (perfil alar), como mostrado pela equação a seguir:
 
Figura 13: Sistema de vórtices
dC
da
c = =<La cLaL
dC
da
L
34
No caso da asa elíptica, com distribuição elíptica de sustentação ao longo da 
envergadura, a velocidade normal induzida wi é constante ao longo da envergadura, 
ou seja:
 
Desta maneira, o ângulo de ataque local é diminuído de uma quantidade constante 
chamada de ângulo de ataque induzido (ɑi). Assim tem-se um ângulo de ataque efetivo 
expressado pela equação:
 
O coeficiente de sustentação (CL) da asa finita pode ser escrito como o produto do 
gradiente de sustentação da asa infinita (perfil alar) multiplicado pelo ângulo de 
ataque efetivo, como demonstrado a seguir:
 
CL=clɑɑ/(1+clɑ/πA)
Assim, o gradiente de sustentação da asa finita é definido pela expressão:
 
Num caso mais geral, de uma asa com planta não elíptica de forma trapezoidal, por 
exemplo, a distribuição de sustentação não será mais elíptica e a velocidade normal 
induzida não será mais uniforme ao longo da envergadura. Assim, o ângulo de ataque 
induzido também será variável ao longo da envergadura. É possível definir um ângulo 
de ataque induzido médio pela equação:
 
Onde o coeficiente τ>1 é função da distribuição de sustentação ao longo da envergadura 
que, no caso das asas trapezoidais, depende do alongamento (A) e do afilamento 
(λ). Claramente, a asa elíptica (τ=0) é aquela que, das asas finitas, produz a mínima 
velocidade normal induzida e o mínimo ângulo de ataque induzido.
Concluindo, no caso geral de asa finita, com forma em planta e distribuição de 
sustentação qualquer, pode-se escrever o gradiente de sustentação como:
 
C
A
Vw =i L
C
A
La = a – a = a –eff i
c = cL
C
A
L
effla claa a= ( (–
A
cLa
cla
cla
= = dC
da
1 +
L
A
a =i CL ( 1+ )τ
A
cLa cla= 
C
1+ (1+ )
la
τ
35
4.3 Estol
Estol pode ser definido como a separação do escoamento da parte superior do perfil 
alar. 
Para valores elevados do ângulo de ataque, a lei de variação do coeficiente de 
sustentação desvia-se cada vez mais da dependência linear, descrita no subtópico 
2.3.1, até chegar a um valor (ângulo de ataque de estol ou de ataque crítico) acima do 
qual o coeficiente de sustentação diminui. 
Esta dependência não linear deve-se ao estol. A Figura 14 mostra com clareza como, 
ao se aumentar o ângulo de ataque, o escoamento regular em volta de um perfil alar 
chega a entrar em colapso, com a separação da camada limite, e um forte aumento da 
esteira de vórtices. Esse fenômeno provoca uma queda da sustentação gerada pelo 
perfil alar.
Assim, a variação real do coeficiente de sustentação com a incidência apresenta 
um máximo (Clmax) que aumenta com o crescimento da curvatura e é fortemente 
influenciado por vários parâmetros, principalmente o número de Reynolds (Re).
Em geral, ao aumentar do número de Reynolds 
(Re), pode-se observar um aumento do (Clmax) 
e, com isso, o fenômeno do estol se torna mais 
gradual. No caso da asa finita, com forma em 
planta e distribuição de sustentação qualquer, 
o ângulo de ataque induzido será, em geral, 
variável ao longo da envergadura, assim como o 
gráfico do coeficiente de sustentação em função 
do angulo de ataque. Logo, o ângulo de ataque 
crítico também será diferente em diferentes 
seções da asa e o fenômeno do estol acontecerá 
em algumas posições antes do que em outras, ao 
aumentar o ângulo de ataque. 
Pode-se concluir que o estudo da asa finita não 
deve ser limitado à determinação de parâmetros 
globais, como um coeficiente de sustentação 
médio, mas é importante conhecer as leis de Figura 14: Escoamento em volta de um 
aerofólio, visualizado com fumaça
36
variação dos parâmetros ao longo da envergadura. Um exemplo onde este conceito 
pode ser aplicado é prever o desenvolvimento do fenômeno do estol, em que posição 
ele começará e como se espalhará nas diferentes seções da asa.
A Figura 15 mostra o coeficiente de sustentação em função do ângulo de ataque. 
Observa-se, claramente, a perda de sustentação quando um aerofólio (asa infinita) é 
usado em uma asa de envergadura finita (mesmo perfil, mesma corda), assim como o 
fenômeno do estol ao aumentar do ângulo de ataque, com rápida queda da sustentação. 
Em particular, é evidente como o gradiente de sustentação, na parte linear da curva, 
diminui no caso da asa finita. Isso acontece porque o coeficiente de sustentação da 
asa finita, por um determinado valor do ângulo de ataque geométrico, corresponde ao 
mesmo valor do perfil alar a um ângulo de ataque efetivo, igual ao ângulo de ataque 
geométrico, diminuído do ângulo de ataque induzido.
5 Arrasto
O arrasto, às vezes chamado de resistência aerodinâmica, é a componente da força 
aerodinâmica paralela e oposta à velocidade relativa (v), e pode ser escrito como:
 
Onde o coeficiente de arrasto (CD) depende de diversos fatores, como o número de 
Reynolds (Re) e, em geral, a forma do corpo; a superfície de referência (S) é a área 
da projeção do corpo em um plano perpendicular à direção do escoamento (cross-
sectional area). 
1D=
2
ρ V2 SCD
aeff
C
a a aaeff
LCI
Figura 15: O coeficiente de sustentação em função do ângulo de ataque por um perfil alar (cl) e uma asa 
finita (CL)
37
Cabe reiterar que esta força tem caráter essencialmente dissipativo. Portanto, 
para que o avião possa avançar sem perder energia mecânica, o arrasto tem de ser 
contrabalançado por uma força gerada mediante um sistema de propulsão apropriado.Assim, ao contrário da sustentação, que é benéfica por contrabalançar o peso da 
aeronave, o arrasto deve ser minimizado, pois contrasta o movimento do veículo. 
O arrasto de um corpo pode ser decomposto em várias contribuições, dependentes das 
forças elementares que o geram. Embora estas classificações sejam de certa maneira 
arbitrárias, são úteis, pois permitem uma melhor compreensão dos fenômenos que 
geram o arrasto.
5.1 Arrasto de Atrito
Este tipo de arrasto ocorre em razão das ações tangenciais trocadas entre o fluido e 
a superfície do corpo, sendo uma consequência direta dos efeitos de viscosidade do 
ar. O arrasto de atrito manifesta-se de maneira significativa sobre os corpos finos ou 
afunilados, para os quais é grande a superfície banhada pelo fluido (wetted area). Já 
para os corpos atarracados, proporciona uma modesta contribuição para a resistência 
total.
5.2 Arrasto de Pressão
Este tipo de arrasto, ligado à ação das pressões normais exercidas pelo fluido sobre 
a superfície da aeronave, é produzido pela recuperação parcial da pressão na parte 
traseira em função dos efeitos da separação do escoamento. O arrasto de pressão 
é relevante nos corpos atarracados, para os quais constitui a maior parte do arrasto 
total. Nos corpos sutis ou afunilados, é proporcionada uma contribuição de modesta 
entidade e pode ser modelizado como uma percentagem conhecida do arrasto de 
atrito.
38
5.3 Arrasto Induzido
Este tipo de arrasto é o resultado da geração de sustentação. O arrasto induzido é 
causado pela distribuição de velocidade induzida pelos vórtices de esteira que se 
destacam das regiões traseiras da aeronave. A sustentação, além de ser reduzida com 
respeito àquela da asa infinita (aerofólio), fica inclinada por trás do mesmo ângulo de 
ataque induzido, com respeito à direção normal à velocidade não perturbada, pois é 
normal a velocidade perturbada pela velocidade induzida. Assim, a força aerodinâmica 
possui uma componente paralela e oposta à velocidade, denominada de arrasto 
induzido.
5.4 Arrasto de Onda
Este tipo de arrasto ocorre em condições de alta velocidade de voo, quando os efeitos 
de compressibilidade do ar se tornam consideráveis. Embora a velocidade de voo 
permaneça menor do que a velocidade do som àquela altitude, em alguns pontos da 
superfície da aeronave a velocidade do fluido pode ser maior que a velocidade do 
som no local (M>1). A extensão das regiões supersônicas (M>1) em volta da aeronave 
depende do número de Mach de voo e do ângulo de ataque.
A soma destes tipos de arrasto proporciona a resistência total da aeronave. Além 
disso, o arrasto parasita é definido como a diferença entre o arrasto total da aeronave 
e o arrasto induzido, ou seja, a soma dos arrastos de atrito, de pressão e de onda. Esta 
quantidade, muito importante para fins de projeto, proporciona o arrasto da aeronave 
na ausência de sustentação e pode ser também definido como o arrasto provocado em 
todas as partes do avião que não produzem sustentação. 
Resumindo 
 
Neste curso foram mostrados os elementos básicos da aerodinâmica, no 
nível necessário à compreensão elementar dos fenômenos relacionados ao 
voo de aeronaves. Os sistemas de referência corpo e vento foram 
introduzidos, juntamente com os ângulos aerodinâmicos. A força 
aerodinâmica foi decomposta, projetando-a ao longo dos eixos do sistema 
de referência vento. 
39
Os elementos da geometria dos aerofólios e das asas finitas foram 
ilustrados. Os princípios da geração de sustentação, inclusive o fenômeno 
do estol, e os tipos de arrasto foram detalhados nos casos de asas infinitas 
(perfis) e finitas, ressaltando similaridades e diferenças.
Glossário
Ângulo de ataque: ângulo entre o eixo longitudinal da aeronave e a projeção da 
velocidade relativa no plano de simetria vertical da aeronave.
Ângulo de derrapagem: ângulo entre a velocidade relativa e o plano de simetria 
vertical da aeronave.
Arrasto: componente da força aerodinâmica paralela à direção do fluxo de ar.
Atarracado: um homem baixo e grosso, um corpo curto e grosso. É o contrário de fino, 
afinado.
Corda da asa: linha reta que liga o bordo de ataque ao bordo de fuga.
Dissipativo: uma força dissipativa transforma energia mecânica em outras formas, 
como calor. Uma força conservativa não altera a energia mecânica de um sistema.
Estabilidade: propriedade de um sistema de poder voltar em uma condição de 
equilíbrio após uma perturbação ocorrer.
Fluidos gasosos: substâncias que se deformam continuamente quando submetidas a 
uma tensão de cisalhamento, não importando quanto possa ser pequena essa tensão.
Jusante: denomina-se a uma área que fica abaixo da outra, ao se considerar a corrente 
fluvial pela qual é banhada. Costuma-se também empregar a expressão relevo de 
jusante ao se descrever uma região que está numa posição mais baixa em relação ao 
ponto considerado. O oposto de jusante é montante.
Linha de arqueamento média: chamada também de linha de camber, é a linha média 
entre o lado superior e o lado inferior de um aerofólio.
40
Lócus: em matemática ou geometria, um lócus, ou lugar geométrico, consiste 
no conjunto de pontos que possuem uma determinada propriedade. Os lugares 
geométricos podem ser dados por retas, curvas e superfícies.
Momento focal: momento que ocorre em função da transposição da força aerodinâmica 
do centro de pressão ao foco do perfil. O centro de pressão é o ponto no qual age a 
resultante das forças aerodinâmicas e o momento de arfagem (em volta do eixo yB) é 
nulo. O foco do perfil é um ponto, muito perto de 25% da corda com respeito ao bordo 
de ataque, no qual o coeficiente de momento permanece praticamente constante ao 
variar do ângulo de ataque.
Parâmetros adimensionais: quantidades sem dimensões físicas ou, mais comumente, 
grupos de quantidades nas quais as dimensões se cancelam, formando um grupo, 
ou parâmetro, adimensional (como Re ou M). De grande importância no estudo da 
mecânica dos fluidos.
Ponto de estagnação: em um escoamento fluido, é o ponto onde a velocidade é 
nula. Em um perfil aerodinâmico, fica em geral próximo do bordo de ataque e, em 
consequência do Princípio de Bernouilli, a pressão é máxima nesse ponto.
Sustentação: componente da força aerodinâmica perpendicular à direção do fluxo de 
ar.
Sutil: Fino, delgado, quase imperceptível.
Tangente: em geometria, tangente é a reta que toca uma curva sem cortá-la, 
compartilhando um único ponto com a curva. É também o nome alternativo usado para 
o coeficiente angular de uma curva.
Tensão de cisalhamento: tensão de cisalhamento, ou tensão tangencial, é um tipo 
de tensão (força por unidade de superfície) gerado por forças, aplicadas em sentidos 
iguais ou opostos, em direções semelhantes, mas com intensidades diferentes no 
material analisado.
Univocamente: relativo a unívoco, que tem somente um significado ou interpretação.
Vetor: em geometria analítica, um vetor é uma classe de equipolência de segmentos de 
reta orientados, que possuem a mesma intensidade (denominada norma ou módulo), 
mesma direção e mesmo sentido. Neste contexto, um vetor pode ser representado por 
qualquer segmento de reta orientado que seja membro da classe deste vetor.
41
 a
 1) Assinale a alternativa correta. Um ângulo de ataque é 
aquele que: 
 
a. ( ) Permanece constante sempre. 
 
b) É irrelevante para o desempenho da aeronave. 
 
c) Em geral, varia durante o voo. 
 
d) Não pode ser maior que 10˚. 
 
2) Assinale a alternativa correta. Ao longo de uma linha de 
corrente é correto dizer que: 
 
a. ( ) A pressão permanece constante. 
 
b. ( ) Se a pressão diminui, a velocidade aumenta. 
 
c. ( ) A velocidade permanece constante. 
 
d. ( ) Se a pressão aumenta,a velocidade aumenta.
Atividades
42
Referências
ANDERSON, J. D. Jr. Introduction to flight. Singapore: McGraw-Hill International 
Edition, 2012.
ETKIN, B.; Reid, L. D. Dynamics of flight: stability and control. New York: Wiley,1996.
HULL, D. G. Fundamentals of airplane flight mechanics. Heidelberg: Springer, 2007.
NELSON, R. C. Stability and automatic control. New York: WCB/McGraw Hill, 1998.
ROSKAM, J. Airplane flight dynamics and automatic flight controls. Lawrence, 
Kansas: DARcorporation,1995.
43
Gabarito
Questão 1 Questão 2
Unidade 1 E - E - C - E E - C -E - E
Unidade 2 E - C - E - E E - C -E - E

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