7-Lugar das Raizes_Plano Z_01

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MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO E DO DESPORTO 
CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA DO PARANÁ 
DEPARTAMENTO ACADÊMICO DE ELETRÔNICA 
Resumo do Método do Lugar das Raízes 
Introdução 
O método do lugar das raízes é uma forma gráfica de se obter as raízes da 
equação característica (que equivale aos pólos em malha fechada), quando K varia 
de 0 a  (pode-se desenhar o lugar das raízes em função da variação de qualquer 
parâmetro). 
Este método é bastante útil, pois permite fazer a análise de estabilidade de um 
sistema realimentado, de forma gráfica. 
 
O lugar Geométrico das Raízes 
O método do Lugar das Raízes é uma forma de se representar graficamente a 
localização dos pólos do sistema em malha fechada, quando se altera o valor de um 
parâmetro específico, normalmente o ganho. O método foi introduzido por W. R. 
Evans, em 1948, e tem sido utilizado largamente no projeto da Engenharia de 
Controle e Automação. 
O lugar geométrico das raízes é um gráfico construído a partir dos dados do 
sistema em malha aberta. Tomando o ganho como parâmetro, o lugar geométrico 
das raízes é o conjunto dos pontos do plano complexo que corresponde aos pólos do 
sistema em malha fechada. A técnica é um método gráfico de esboçar, no plano s, o 
lugar geométrico das raízes à medida que um parâmetro é variado. 
Considere o sistema em malha fechada representado pelo diagrama de blocos 
da figura 1. A função de transferência em malha fechada é dada por: 
 
E, portanto, os polos do sistema em malha fechada (que, naturalmente, 
determinam as características da resposta do sistema) são as raízes da equação: 1+ 
KG(z)H(z)= 0 Ou seja: K G(z)H(z)= -1+ j0. 
A forma complexa foi usada para enfatizar que se trata de uma igualdade de 
números complexos. Por esta razão a equação desdobra-se em: 
1) Condição de fase (critério de ângulo): G(z)H(z) = ± (1+ 2L)180o para L= 0, 1, 2,... 
2) Condição de módulo (ou critério de ganho): |K G(z)H(z)| = 1. 
Explicação: 
Critério de ângulo: para um ponto pertencer ao lugar das raízes (isto é, ser solução 
da equação característica), o ângulo da função G(z)H(z) naquele ponto deve ser 
±(1+2L)180o. 
+ 
 
 - 
R(z) C(z) K G(z) 
 H(z) 
 
F(z) = C(z) = K G(z) 
 R(z) 1+ K G(z).H(z) 
Critério de módulo: escolhido um ponto no lugar das raízes, o módulo vale |K| = 1/| 
G(z)H(z)|. 
A localização das raízes, isto é, os seus valores, definem ainda algumas 
especificações do sistema como, por exemplo, overshoot, tempo de pico, tempo de 
acomodação, etc. O método do lugar das raízes permite que se escolham os valores 
dos parâmetros da função de transferência, que satisfaçam às especificações do 
sistema. 
Com o uso deste método, podem-se prever os efeitos sobre a localização dos 
pólos de malha fechada, quando houver variação do valor do ganho de malha aberta 
ou forem acrescidos pólos e/ou zeros na função de transferência de malha aberta. 
 
Regras de Construção de um lugar Geométrico das Raízes (LGR) 
O procedimento de Evans para construir o LGR consiste de uma coleção de 
regras para determinar se o ponto de teste, z, no plano complexo é um pólo de 
malha-fechada do sistema para algum valor de K. 
Regra 1: Os pólos de malha aberta, são todos pontos do lugar das raízes 
correspondentes ao ganho K = 0. 
Regra 2: O lugar das raízes começa nos pólos em malha-aberta e termina nos zeros 
em malha-aberta. Se não houver zeros suficientes os ramos terminam no infinito 
segundo assíntotas. 
Regra 3: Para K > 0, qualquer ponto do eixo real que ficar a esquerda de um número 
ímpar de singularidades (pólos ou zeros) localizadas também no eixo real é um ponto 
do lugar das raízes. 
Regra 4: O LGR é simétrico em relação ao eixo real. 
Regra 5: Se G(z)H(z) tem n pólos e m zeros finitos (m ≤ n), então exatamente m 
ramos terminam em zeros finitos, quando K tende ao infinito. Os ramos 
remanescentes (n-m) tendem assintoticamente, quando K tende ao infinito para uma 
reta que intercepta o eixo real no ponto  e que forma um ângulo  com o mesmo 
eixo real (assíntotas), onde 
 
Regra 6: O cálculo dos pontos de entrada e de saída do Lugar Geométrico das 
Raízes no eixo real do plano z é realizado com base na equação d(G(z)H(z))/dz=0. 
Isto é, considerando G(z)H(z)=A(z)/B(z), obtém-se A'(z)B(z)-A(z)B'(z)=0, onde 
A'(z)=dA/dz e B'(z)=dB/dz. 
 
 =  180(2N +1) [ N = 0,1,2,..... ] 
 n - m 
 = (p1 + p2 +p3 .....+ pn) - (z1 + z2 + .....zm) 
 n - m