A05 - Questionário A05_ avaliação da tentativa

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Questão 1
Não respondido Vale 1,00 ponto(s).
Rascunhe o seguinte sinal: 
 
 
(t− 4)
  
equação
[u(t− 2) −u(t− 4)]
  
degrau
Para determinar o instante das ocorrências do sinal fazemos: 
 
 
 
Observando as equações antes de teremos uma reta que muda conforme o multiplicador. 
 
Sabemos que é o momento que substituindo na equação ou seja,
para o valor da equação será fazendo o mesmo para na equação 
, o valor da equação será quando . 
O grá�co será:
 
t− 2 = 0 ⇒ t = 2 s
t− 4 = 0 ⇒ t = 4 s
t− 4
u(t− 2) t = 2 s t− 4 ⇒ 2 − 4 ⇒ −2
t = 2 s −2 t− 4 = 0 ⇒ t = 4 s
t− 4 = 0 ⇒ 4 − 4 = 0 0 t = 4 s
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Questão 2
Não respondido Vale 1,00 ponto(s).
Rascunhe as questões de impulso: 
 
a) 
 
b) 
x(t) = [2 cos (120π ⋅ t+ ) + 3 sen(240π. t+ )] ⋅ δ(t)π
6
π
2
x(t) = [ (t− 4n)] ⋅ δ(t− ) dt∫
+∞
−∞
∑
−∞
+∞
62
1
2
a)
O impulso só tem valor em então qualquer função só terá valor no momento .
Assim 
b)
Por se tratar de impulso, ele só tem valor .
Como tem-se que identi�car o momento do impulso ou .
O impulso está deslocando . para direita:
 
x(t) = [2 cos (120π ⋅ 0 + ) + 3 sen(240π.0 + )] ⋅ δ(t)π
6
π
2
x(t) = [2 cos  + 3 sen ] ⋅ δ(t)π
6
π
2
x(t) = [2 ⋅ + 3 ⋅ 1] ⋅ δ(t)3√2
x(t) = ( + 3) ⋅ δ(t)3
–√
t = 0 t = 0
ϕ(t) ⋅ δ(t) = ϕ(0) ⋅ δ(t)
x(t) = [2 cos (120π ⋅ 0 + ) + 3 sen(240π.0 + )] ⋅ δ(t)π
6
π
2
x(t) = [2 cos  + 3 sen ] ⋅ δ(t)π6
π
2
x(t) = [2 ⋅ + 3 ⋅ 1] ⋅ δ(t)3√
2
x(t) = ( + 3) ⋅ δ(t)3–√
ϕ(t) ⋅ δ(t) = ϕ(0) ⋅ δ(t)
t− = 01
2
t = 1
2
 s12
x(t) = ⋅ δ(t− ) dt∫
+∞
−∞
⎡
⎣
⎢⎢∑
−∞
+∞
(t− 4n)G2  
Tudo é constante
⎤
⎦
⎥⎥
1
2
x(t) = [ (t− 4n)] ⋅  dt∫
+∞
−∞
∑
−∞
+∞
G2 δ(t− )
1
2  
Isto é o impulso e é igual a 1
x(t) = [ (t− 4n)]∫
+∞
−∞
∑
−∞
+∞
G2
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Questão 3
Não respondido Vale 1,00 ponto(s).
Calcular o sinal de saída de um sistema linear com função de resposta ao impulso: 
 
quando o sinal de entrada é: 
 
 
h(t) = u(t+ 1) − 2u(t− 1) +u(t− 3)
x(t) = 2[u(t− 1) −u(t− 3)]
Quando e o sinal é:
Através de convolução temos gra�camente:
t = 1 t = 3
y(t) = x(t) ⋅h(t)
y(t) = x(τ) ⋅h(t− τ) dτ∫
∞
−∞
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Determinando a função de saída tem-se e através da convolução.
Observando os grá�cos juntos:
Os dois grá�cos para não coexistem, então seu produto será nulo, por consequência a integral.
No intervalo entre e seu produto será 
Deslocando o produto para direita temos que considerar os intervalos:
y(t) y(t) = x(t) ⋅h(t)
y(t) = x(τ) ⋅h(t− τ) dτ∫
∞
−∞
τ < 1 W (τ)
(τ) dτ = 0∫
∞
−∞
Wt
1 < τ < 3 2 (τ) = 2Wt
(τ) = 2 ⇒ 2dτ = 2tWt ∫
t+1
1
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e agora 
Gra�camente:
 
O próximo intervalo a considerar é e , o produto das duas funções será :
Para as duas funções não coexistem sendo seu produto e integral também .
Assim para todos os intervalos teremos:
Assim sera igual a:
t+ 1 < 1 ⇒ (τ) dτ = 0∫
∞
−∞
Wt
1 < t+ 1 < 3 ⇒ 2 dτ = 2t∫
t+1
1
−2dτ + 2dτ ⇐ {∫
t−1
1
∫
3
t−1
t+ 1 ≥ 3
t− 1 < 3
= −4t+ 12
t− 1 ≥ 3 t− 3 < 3 −2
−2dτ = 2t− 12 ⇐ {∫
3
t−3
t− 3 < 3
t− 1 ≥ 3
t− 3 > 3 = 0 = 0
y(t) = x(t) ⋅h(t)
y(t) = x(τ) ⋅h(t− τ)dτ∫
∞
−∞
Intervalo Resultado
t+ 1 < 1 → t < 0 → (τ)dτ = 0∫
∞
−∞
Wt
1 < t+ 1 < 3 → 0 ≤ t < 2 → 2dτ = 2t∫
t+1
t
2 ≤ t < 4 → −2dτ + 2dτ = −4t+ 12 ⇐ {∫
t+1
t
∫
3
t−1
t+ 1 ≥ 3
t− 1 < 3
4 ≤ t < 6 → −2dτ = 2t− 12 ⇐ {∫
3
t−3
t− 3 < 3
t− 1 ≥ 3
t− 3 > 3 → t ≥ 6 → (τ)dτ = 0∫
∞
−∞
Wt
y(t) = x(t) ⋅h(t)
2t
−4t+ 12
2t− 12
 para intervalo 0 ≤ t < 2
 para intervalo 2 ≤ t < 4
 para intervalo 4 ≤ t < 6
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O para intervalos fora os acima gra�camente a convolução será:
 
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Questão 4
Não respondido Vale 1,00 ponto(s).
Expresse o sinal por uma única função para todo : 
 
t
Temos duas equações de reta no grá�co: 
 
 e 
assim 
 
 
Considerando o degrau a equação será: 
 
 
Para o intervalo e a equação será . 
 e 
 
 
Intervalo . 
Para todo intervalo será o soma das duas: 
 
x(t) = y = ax+ b
y(−1) = 0 y(0) = 4
y = ax+ b ⇒ 4 = 0 + b ⇒ b = 4
y = ax+ b ⇒ 0 = −a+ 4 ⇒ a = 4
y = 4t+ 4
x(t) = ⋅ [u − (t)](4t+ 4)
  
Intervalo
(t+ 1)
  
t=−1
u 
t=0
t > 0 < 2 x(t) = y = ax+ b
y(0) = 4 y(2) = 0
y = ax+ b ⇒ 4 = 0 + b ⇒ b = 4
y = ax+ b ⇒ 0 = 2a+ 4 ⇒ a = −2
y = −2t+ 4
x(t) = (−2t+ 4) ⋅ [ −u ]u(t)
 
t=0
(t− 2)
  
t=2
2 > t > 0
⇒ x(t) = (4t+ 4) ⋅ [u(t+ 1) −u(t)] + (−2t+ 4)[u(t) −u(t− 2)]
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Questão 5
Não respondido Vale 1,00 ponto(s).
A resposta a um impulso unitário de um sistema LIT é . Determine através da convolução, a resposta 
 se a entrada for . 
h(t) = ⋅u(t)e−t
y(t) x(t) = u(t)
Gra�camente: 
 
 
Rebatendo a função para temos: 
 
Concluindo temos: 
 
Sobrepondo os dois grá�cos:
x(t) x(−t)
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Para o produto será zero pois não se encontram. 
Para o produto das equações será: 
 
 
t < 0 ⋅u(t)e−t
t ≥ 0
y(t) = dτ = − + 1∫
t
0
e−τ e−t
y(t) = (1 − ) ⋅u(t)e−t
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Questão 6
Não respondido Vale 1,00 ponto(s).
Determine , a componente de entrada nula da resposta (resposta natural RN) de um sistema LIT descrito pela seguinte
equação difernecial: 
 
a) com as condições iniciais e . 
 
b) 
com e 
y(t)
( + 3D+ 2)y(t) = (t)D2 Dx y ∈ 0) = 0 (0) = −5ẏ
( + 4D+ 40) y(t) = (D+ 2) ⋅ (t)D2
y(0) = 2 (0) = 16,78y′
a) 
 e são derivadas segunda e primeira que também podem ser escritos e ou e 
 
Ambas, podem considerar pelo maior grau, e consequentemente . 
Assim: e é um polinômio com raízes e . 
 
A resposta natural é dada por: 
 
 
Então 
 
 
 
Onde: 
 
b) 
Substituindo por 
 
 
Resposta natural (RN) 
 
 
Substituindo as condições iniciais: 
 
 
Resulta: 
D2 D y” y′ xd
2
dt2
dx
dt
= λD2 D = λ
+ 3λ+ 2 = 0λ2 = −1λ1 = −2λ2
y(t) =   +  C1 e
−t C2 e
−2t
y(0) = 0 ⇒ y(0) = + = 0C1 C2
(0) = 5 ⇒  derivada de y(t) = −   − 2   ẏ C1 e−t C2 e−2t
(0) = − − 2  = −5ẏ C1 C2
+C1 C2
− − 2 C1 C2
 
−C2
C2
 
+C1 C2
+ 5C1
C1
= 0
= −5
= −5
= 5
= 0
= 0
= −5
y(y) = −5  + 5 e−t e−2t
D λ
+ 4λ+ 40 = 0 ⇒ = = −2 + 6 iλ2 λ1
−4±12 i
2
 
Δ = 16 − 160
Δ = −144
 
= −2 − 6 iλ2
=   ⋅ (t) = C  ⋅ cos(βt+ θ)yn eα t
α =  porte natural  ⇒ −2
β =  porte complexa  ⇒ −6
(t) = C  ⋅ cos(6t+ θ)yn e
−2 t
y(t) = C  ⋅ cos(6t+ θ)e−2 t
(t) = −2 C  cos(6t+ θ) − 6 C  sen(6t+ θ)y′ e−2t e−2t
y(0) = 2 ⇒
(0) = 16,78 ⇒y′
 C  cos(0 + θ) =C  cosθ = C cosθ = 2e−2t e−2⋅0
− 2 C  cos(0 + θ) − 6 C  sen(6 + θ)e−2t e−2t
− 2 C  cosθ− 6 C sen θ = 16,78e−2⋅0
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Dividindo as equações por temos a tangente:
 
onde é o 
 
Assim a resposta natural (RV) será: 
 
 
C cosθ
−2 C cosθ− 6 C sen θ
−2 ⋅ 2 − 6C sen θ
−4 − 6C sen θ
−6C sen θ
C sen θ
= 2
= 16,78
= 16,78
= 16,78
= 20,78
= −3,463
Elevando tudo ao quadrado e somando ⇐ { C cosθ = 2
C sen θ = −3,463
θ = 4C 2 cos2
 se  θ = 11,99C 2 n2
(se  θ+ θ) = 16C 2 n2 cos2
 
⋅ 1 = 16C 2
C = 4
 sen θ = −3,463C 2 C cosθ = 2
tang θ = =
C sen θ
C cosθ
−3,463
2
θ arco tg− 1,7315 =
π
3
(t) = C  cos(6t+ θ)yn e
−2t
(t) = 4  cos(6t+ )yn e
−2t π
3
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Questão 7
Não respondido Vale 1,00 ponto(s).
Encontre a resposta de estado nulo (forçada) da seguinte EDO.
com e condições iniciais 
 
 
( + 7D+ 12) ⋅ y ⋅ (t) = (D+ 2) ⋅x ⋅ (t)D2
x(t) = 10cos(3t+ 30º)
y(0) = 0
(0) = 1y′
Para de�nição de resposta natural, a parte era igualada a zero.
Agora, na resposta forçada ela é considerada.
O sinal de saída será dada por:
O sinal de saída chamado de é dada por   e o sinal de entrada é dada por ou seja 
.
Colocando em função de temos:
Na função temos a parte imaginária como sendo:
Agora
Convertendo o número complexo para polar tem-se
A resposta forçada considera-se o seguinte:
A parte que tem um , é a parte real e será multiplicado pela parte real do sinal de
saída que é .
E a parte angular que é se somará com a parte angular de que é Então teremos:
Se necessário calcular a resposta total, está incluirá a resposta forçada + natural.
Para calcular a resposta natural .
Faz-se , encontra as raizes, soma com a resposta forçada e aplica as condições iniciais.
A resposta natural é 
A resposta total seria:
Faz-se ainda necessário calcular as constantes e para então aplicar as condições iniciais. 
(D+ 2) ⋅x(t)
H(s)
H(s) = sinal de saída
sinal de entrada
P (s) (D+ 2) Q(s)
+ 7D+ 12D2
s
H(s) = s+2
+7s+12s2
x(t)
x(t) = 10 cos( + 30º)3t 
J3
H(s = j3) = =
2 + j3
(j3 + 7(j3) + 12)2
2 + j3
3 + j21
H(s = j3) = =
2 + j3
9 + 21j+ 12j2
2 + j3
3 + j21
H(s = j3) = = 0,17∠ − 25,56º
3,6∠56,30º
21,21∠81,86º
(t)yF
x(t) = 10cos(3t+ 30º) 10
H(s) 0,17
30º H(s) −25,26º
(t) = 10 ⋅ (0,17) ⋅ cos(3t+ 30 − 25,56º)YF
(t) = 1,7 ⋅ cos(3t+ 4,44º)YF
Yn
+ 7D+ 12 = 0D2
(t) =   +  yn C1 e−3t C2 e−4t
(t) =   +   + 1,7cos(3t+ 4,44º)yn C1 e−3t C2 e−4t
C1 C2
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Questão 8
Não respondido Vale 1,00 ponto(s).
Convolução:
Dado um sistema LIT cuja resposta ao impulso valo , calcule , por intermédio da convolução, a
uma entrada 
 
 
h(t) = 2  ⋅u(t)e−2t y(t)
x(t) = 3  ⋅u(t− 1)e−(τ−1)
Para integrar em função de , vamos substituir por na equação
e na equação de substituímos por 
para podermos calcular a saída
Para convolucionar deve-se lembrar que a função esta deslocada um valor ( ) para a direita então não se
pode iniciar a convolução a partir de e sim a partir de .
Tudo que não por vai para fora da integral.
 
t t τ
x(τ) = 3  ⋅u(τ − 1)e−(τ−1)
h(t) t t− τ
h(t− τ) = 2  ⋅u(t− τ)e−2(t−τ)
y(t) = x(t) ⋅h(t)
x(τ) 1
0 1
3  ⋅ 2   dt∫
t
1
e−(τ−1) e−2(t−τ)
τ
6    ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ dτ∫
t
1
e−τ e1 e−2t e2τ
6 e ⋅     dτe−2t ∫
t
1
eτ
6 e ⋅  ( − )e−2t et e1
⇒ y(t) = [6 e ⋅ − 6  ⋅ ] ⋅u(t− 1)e−t e2 e−2t
y(t) = [6  − 6  ] u(t− 1)e(−t+1) e(−2t+2)
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