AV Cálculo III Novembro de 2020

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CÁLCULO III (OLD) 
 
 
 1. Ref.: 2912215 Pontos: 1,00 / 1,00 
 
Determine a parametrização da hélice circular sabendo que é a curva descrita por um ponto 
P = (x,y,z) que se move em torno do eixo z mantendo uma distância constante a > 0 desse 
eixo. Sabemos também que simultaneamente ela se move paralelamente ao eixo z de modo 
que sua terceira componente é proporcional ao ângulo de rotação com constante de 
proporcionalidade b≠ 0. Considerando o início do movimento em P = (0,0,0). 
 
 (t) = (r/q sen , r/q sen , b) , ∈ . 
 (t) = (r cos , r sen , b) , ∈ . 
 (t) = (cos , sen , b) , ∈ . 
 (t) = (r sen , r cos , b) , ∈ . 
 (t) = (r cos , cos ,sen b) , ∈ . 
 
 
 2. Ref.: 123949 Pontos: 1,00 / 1,00 
 
Determine o comprimento do caminho percorrido por um carro que se move ao longo de uma 
estrada cuja equação vetorial é (et cos t, et sen t) durante o tempo t1 = 0 a t2 = 3. 
 
 
 2(e3 -1) 
 
e 
 
e-1 
 
Nenhuma das respostas anteriores 
 (2)1/2(e3 -1) 
 
 
 3. Ref.: 3543365 Pontos: 1,00 / 1,00 
 
Sabendo que a curvatura é a medida da taxa de variação de uma direção, tomando esta variação em 
relação ao comprimento do arco, e não em relação ao parâmetro.Determine a curvatura e o raio da 
circunferência definida pela parametrização σ(t)=(acost,asent)onde t varia entre 0 e 2π 
 
 
k(t) = 2a, mostrando que a circunferencia tem curvatura constante. O raio da 
circunferência ρ(t)=1k(t)=aρ(t)=1k(t)=a 
 
k(t) = 6a, mostrando que a circunferencia tem curvatura constante. O raio da 
circunferência ρ(t)=1k(t)=6aρ(t)=1k(t)=6a 
 
k(t) = (1/2) a, mostrando que a circunferencia tem curvatura constante. O raio da 
circunferência ρ(t)=1k(t)=2aρ(t)=1k(t)=2a 
 
k(t) = a, mostrando que a circunferencia tem curvatura constante. O raio da 
circunferência ρ(t)=k(t)=aρ(t)=k(t)=a 
 k(t) = 1/a, mostrando que a circunferencia tem curvatura constante. O inverso da 
curvatura é o raio da circunferência 𝜌(𝑡) =
( )
= 𝑎 
 
 
 4. Ref.: 123961 Pontos: 1,00 / 1,00 
 
Seja 4y + 2z - 12 = 0. Esta equação define 
 
 Um plano paralelo ao eixo x, interceptando o eixo y em (0,3,0) e z em (0,0,6). 
 
É um cilindro reto 
 
Nenhuma das respostas anteriores 
 
Um plano paralelo ao eixo x, interceptando o eixo y em (0,0,0) e z em (0,0,6). 
 
É uma esfera 
 
 
 5. Ref.: 201957 Pontos: 1,00 / 1,00 
 
Qual das equações abaixo representa um hiperbolóide elíptico de uma 
folha? 
 
 4x2 + 9y2 + z2 = 36 
 x2 + 16z2 = 4y2 - 16 
 9x2 - 4z2 - 36y = 0 
 x2 = y2 - z2 
 9x2 - 4y2 + 36z2 = 36 
 
 
 6. Ref.: 619795 Pontos: 1,00 / 1,00 
 
Seja f(x,y) = 5xy + 3 x2 . Verifique o limite da função f(x,y) quando (x,y) tende a (1,1). 
 
 
O limite será 5. 
 O limite será 8. 
 
O limite será 5x 
 
O limite será 8xy. 
 
O limite será 0. 
 
 
 7. Ref.: 3543388 Pontos: 1,00 / 1,00 
 
Para a função f(x,y) = x y - ex cos y determine todas as derivadas de segunda ordem da 
função f(x,y). Podemos afirmar que fxy =fyx ? 
 
 
Sim podemos afirmar que fxy = fyx pois fxx = cos y , fyy = sen y , fxy= sen y , fyx 
= sen y 
 
Sim podemos afirmar que fxy = fyx pois fxx = - ex sen y , fyy = ex sen y , fxy= 1 
+ ex sen y , fyx = 1 + ex sen y 
 
Sim podemos afirmar que fxy = fyx pois fxx = ex cos y , fyy = - ex cos y , 
fxy= ex sen y , fyx = ex sen y 
 Sim podemos afirmar que fxy = fyx pois fxx = - ex cos y , fyy = ex cos y , fxy= 1 
+ ex sen y , fyx = 1 + ex sen y 
 
Nao podemos afirmar que fxy = fyx pois fxx = - ex cos y , fyy = ex cos y , 
fxy= ex sen y , fyx = 0 
 
 
 8. Ref.: 3543387 Pontos: 1,00 / 1,00 
 
Sabendo que a função que satisfaz a equação de Laplace é dita harmônica. Com base nessa 
definição analise a função f(x,y) = ln (x2 + y2) e conclua se f(x,y) é harmônica. 
 
 
A função não é harmonica pois satisfaz a equacao de Laplace 
 
A função é harmonica pois não satisfaz a equação de Laplace 
 
A função não é harmonica pois não satisfaz a equacao de Laplace 
 A função é harmonica pois satisfaz a equacao de Laplace 
 
A função não é harmônica. 
 
 
 9. Ref.: 619812 Pontos: 1,00 / 1,00 
 
Dada a função f(x,y) = 1/(xy) que representa uma superfície S no R 3. Determine os pontos 
dessa superfície S mais próximos de (0,0,0). 
 
 Os pontos são: (1,-1,-1), (1,1,1), (-1,1,-1) e (-1,-1,1) 
 
Os pontos são: (1,1,1), (-1,1,-1) e (-1,-1,1) 
 
Os pontos são: (1,-1,-1), (1,1,1) e (-1,1,-1) 
 
Os pontos são: (1,-1,-1), (1,1,1) e (-1,-1,1) 
 
Os pontos são: (1,-1,-1), (-1,1,-1) e (-1,-1,1) 
 
 
 10. Ref.: 3543436 Pontos: 1,00 / 1,00 
 
Encontre as dimensões máximas e o volume máximo de um paralelepípedo inscrito no 
elipsoide: 
𝑔 (𝑥, 𝑦, 𝑧) : 𝑥 2 / 9 + 𝑦 2 /4 + 𝑧 2 /1 = 1 
 
 
 𝑽𝒎𝒂𝒙 = √3/ 3 
 𝑽𝒎𝒂𝒙 = (𝟔√3)/ 7 
 𝑽𝒎𝒂𝒙 = (𝟏𝟔√3)/ 3 
 𝑽𝒎𝒂𝒙 = (√3)/5 
 
𝑽𝒎𝒂𝒙 = (𝟏𝟔)/3