Aula 02 - Análise Dimensional e Vetores

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Lição 02
Análise 
Dimensional e 
Vetores
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Análise Dimensional
Grandezas Fundamentais da Física
Comprimento - L
Massa (kg)
Tempo - T
Temperatura (K)
Corrente Elétrica (A)
Intensidade Luminosa (cd)
Número de mols
Sistema MLT
Comprimento (m)
Massa - M
Tempo (s)
Análise Dimensional
Área:
Volume:
Velocidade:
Aceleração:
2L L L  0 2 0M LT
3L L L L  
0 3 0M LT
1L LT
T

𝐸𝑠𝑝𝑎ç𝑜
𝑇𝑒𝑚𝑝𝑜
0 1 1M LT 
𝑉𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒
𝑇𝑒𝑚𝑝𝑜
1
2LT LT
T



0 1 2M LT 
Análise Dimensional
Força:
Trabalho:
Energia Cinética:
Potência:
𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎 × 𝑎𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎çã𝑜 2M LT 
1 1 2M LT 
𝐹𝑜𝑟ç𝑎 × 𝑑𝑒𝑠𝑙𝑜𝑐𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 2MLT L 
1 2 2M LT 
2
2
C
mv
E 
1 2( )M LT  1 2 2M LT 
* O valor numérico 2 não é levado em conta na análise dimensional
𝑇𝑟𝑎𝑏𝑎𝑙ℎ𝑜
𝑇𝑒𝑚𝑝𝑜
2 2MLT
T

1 2 3M LT 
Análise Dimensional
Encontre a forma da constante gravitacional G. Tal constante aparece na expressão
da Lei Universal de Gravitação 𝐹 =
𝐺𝑚1𝑚2
𝑑2
. Onde F é a força de atração, m1 e m2 é
a massa de cada corpo e d é a distância que separa os corpos.
1 2
2
G m m
F
d
 

Substitua pelos termos do
sistema MLT
2
2
G M M
MLT
L
  

m M
d L
2F MLT 
Isole G
2 2
2
MLT L
G
M



Simplifique
1 3 2G M LT 
Análise Dimensional
Encontre a forma de representar a unidade de Campo Magnético (T) tesla, em
termos de unidades do sistema MLT.
Vamos utilizar a equação da força
magnética sobre um fio condutor.
F B i L sen   
2F MLT 
Substitua pelos termos do sistema
MLT
i I
L L
A corrente elétrica é
grandeza fundamental
F B i L sen   
2MLT B I L   
* Funções trigonométricas não são
levadas em conta na análise dimensional
2MLT
B
IL


2 1B MT I 
Análise Dimensional
A força que atua sobre um móvel de massa m, quando o mesmo descreve, com
velocidade v constante, uma trajetória circular de raio R, é dada por
𝐹 = 𝑚𝑔𝑣2/𝑎𝑅
onde g representa a aceleração da gravidade. Para que haja homogeneidade, a
unidade de a no Sistema Internacional de Unidades é:
a) m . s-1
b) m . s-2
c) m . s
d) m . s2
e) m2 . s
2F MLT 
Substitua pelos termos do
sistema MLT
2g LT 
m M
1v LT 
R L
2mgv
F
aR

2 1 2
2 ( )MLT LTMLT
aL
 


2 2LT
a
L


2a LT  2m s 
Vetores
Grandezas escalares: só precisam apresentar um módulo.
Grandezas vetoriais: além do módulo precisam apresentar uma direção e um sentido.
Vetor: é um segmento de reta orientado.
 𝐹
 𝑣
𝐵
 𝑎
 𝐹 = 10𝑁
𝐵 = 0,92𝑇
 𝑣 = 5𝑚/𝑠
 𝑎 = 10𝑚/𝑠2
Direção: horizontal
Sentido: para a direita
Direção: vertical
Sentido: para baixo
Direção: oblíquo
Sentido: nordeste
Direção: horizontal
Sentido: sai do plano
Operações com Vetores
Soma de vetores
 𝑎
𝑏 𝑐
R a b 
 𝑎
Sejam os vetores:
𝑏
R
R a b c  
 𝑎
𝑏
 𝑐
R
Regra do polígono
* Na Regra do polígono a extremidade de um vetor é ligado na origem do outro.
Operações com Vetores
Subtração de vetores
 𝑎
𝑏
S a b 
 𝑎
𝑏
S
* Na subtração os vetores são
ligados pela origem
Note que ( )S a b  
Onde −𝑏 é o vetor oposto de 𝑏, ou seja um vetor
com mesma direção e mesmo módulo, porém
sentido oposto.
 𝑎
−𝑏
S
OU
Sejam os vetores:
Operações com Vetores
Produto entre escalar e vetor
 𝑎
𝑏
2S a
 𝑎 𝑎
S
Note que 2 𝑎 = 𝑎 + 𝑎
2S a b 
 𝑎
Sejam os vetores:
𝑏
𝑏S
Operações com Vetores
Módulo resultante da soma de 2 vetores
 𝑎 𝑏
 𝑐
Sejam os vetores:
HORIZONTAL VERTICAL HORIZONTAL
 𝑎
S
S a c 
Módulo:
S a c 
 𝑐
 𝑎
S a c 
Módulo:
S a c 
 𝑐
S
 𝑎
𝑏
S
S a c 
Módulo:
2 2 2S a c 
Operações com Vetores
Regra do paralelogramo
 𝑎
 𝑐

 𝑆
LINHA 2
LINHA 1
Liga-se os vetores pela origem e traçam-se 2 linhas auxiliares paralelas a cada um dos vetores
passando pela extremidade do outro. A resultante tem origem na mesma origem dos vetores
somados e extremidade no encontro das linhas auxiliares.
Módulo
2 2 2 2 cosS a b a b      
Decomposição de um vetor
Seja o vetor 𝑣
As componentes do vetor 𝑣, são projeções desse vetor sobre os eixos horizontal x, e, vertical y.
y
x
v
vyv
xv

cosxv v  
yv v sen 
2 2 2
x yv v v 
Notação de Vetores Unitários
A notação de vetores unitários é usada para indicar a direção da componente quando
usamos o sistema cartesiano de coordenadas.
y
x
z
ĵ
î
k̂
Características:
 Vetores na direção do eixo x são identificados pelo vetor unitário 𝑖.
 Vetores na direção do eixo y são identificados pelo vetor unitário 𝑗.
 Vetores na direção do eixo z são identificados pelo vetor unitário 𝑘.
* Vetores unitários têm modulo igual a 1.
Exemplo 1:
Seja o vetor 𝑣 e suas componentes 𝑣𝑥 e 𝑣𝑦
v
x
y
vyv
xv

cosxv v  
yv v sen 
Na notação de vetores unitários esse vetor é escrito como:
ˆ ˆ( cos ) ( )v v i v sen j    
Exemplo 2:
Represente a soma de vetores abaixo em vetores unitários.
x
y
v
Na notação de vetores unitários a soma ( 𝑆)é escrita como:
ˆ ˆ ˆ ˆS ui ri vj ti   
u
t
r
ˆ ˆ( ) ( )S u r i v t j   OU