calculo I

AULA 1
Atividade
1. Considere limx→+∞(1+2x−3x5)limx→+∞(1+2x-3x5). A resposta correta é:
a) 0
b) 1
c) +∞+∞
d) −∞-∞
e) – 1
Resposta correta, letra (d).
limx→+∞(1+2x−3x5)=limx→+∞−3x5=−3⋅limx→+∞x5=−∞
2. Considere limx→−∞x−2x2+2x+1limx→-∞x-2x2+2x+1. A resposta correta é:
a) 0
b) +∞+∞
c) −∞-∞
d) 1⁄2
e) -1
Gabarito
Infelizmente, você errou!
Resposta correta, letra (a).
limx→−∞x−2x2+2x+1=limx→−∞xx2=limx→−∞1x=0
3. Considere limt→−∞5−2t3t2+1limt→-∞5-2t3t2+1. A resposta correta é:
a) 0
b) +∞+∞
c) -1
d) −∞-∞
e) +1
Gabarito
Infelizmente, você errou!
Resposta correta, letra (b).
limt→−∞5−2t3t2+1=limt→−∞−2t3t2=limt→−∞−2t=−2⋅limt→−∞t=+∞
4. Considere limx→+∞(x2+3−−−−−√−x)limx→+∞(x2+3-x). A resposta correta é:
a) +∞+∞
b) −∞-∞
c) 3
d) 3√3
e) 0
Gabarito
Parabéns! Você acertou!
Resposta correta, letra (e).
limx→+∞(x2+3−−−−−√−x)=limx→+∞(x2+3−−−−−√−x)⋅(x2+3√+x)(x2+3√+x)=limx→+∞x2+3−x2(x2+3√+x)limx→+∞(x2+3-x)=limx→+∞(x2+3-x)·(x2+3+x)(x2+3+x)=limx→+∞x2+3-x2(x2+3+x)
limx→+∞3(x2+3√+x)=limx→+∞3x1+3x2√+1=02=0
5. Considere limx→+∞ln(2x)limx→+∞ln(2x). A resposta correta é:
a) 0
b) -1
c) −∞-∞
d) +∞+∞
e) +1
Gabarito
Infelizmente, você errou!
Resposta correta, letra (c).
limx→+∞ln(2x) =limx→+∞[ln(2)−ln(x)]=limx→+∞[ln(2) ]−limx→+∞[ln(x) ]=ln(2)−(+∞)=−∞
Teste de conhecimento
	O limte lateral para a função f(x) representado por limx→2−2√x2−4x−2limx→2−x2−42x−2  é corretamente expresso por:
		
	 
	1
	
	−∞−∞
	
	-1
	
	00
	 
	+∞+∞
	Respondido em 29/08/2020 12:02:04
	
Explicação:
Como x → 2+, o aluno deve lembrar x - 2 > 0 e x−2=√(x−2)2x−2=(x−2)2
Além disso, (x2 - 4) = (x+2)(x-2)
	
	
	 
		2
           Questão
	
	
	O limx→23√x3+2x2−5x2+3x−7limx→2x3+2x2−5x2+3x−73 é corretamente expresso por: 
		
	
	1
	
	−∞−∞
	 
	3√1131133
	
	3√113213132
	
	0
	Respondido em 29/08/2020 12:04:55
	
Explicação:
Basta o aluno aplicar os teoremas sobre limites e encontrará o resultado.
	
	
	 
		3
           Questão
	
	
	O limite da função f(x) expresso por
limx→2x4−16x−2limx→2x4−16x−2
é corretamente igual a:
		
	 
	0
	
	2
	
	16
	 
	32
	
	0/0
	Respondido em 29/08/2020 12:09:40
	
Explicação:
O aluno deve decompor o termo (x4−16)(x4−16) em (x+2)(x−2)(x2+4)(x+2)(x−2)(x2+4) e, então, aplicar o limite.
Assim, obterá como resposta 32.
AULA 2
Exemplo 12
Mostre que limx→0x2⋅sin (1x)=0limx→0x2·sin (1x)=0
Solução
Solução
Como – 1 ≤ sin (1x) ≤ 1– 1 ≤ sin (1x) ≤ 1.
Multiplicando por x2 a desigualdade, temos: −x2≤x2⋅sin (1x)≤x2-x2≤x2·sin (1x)≤x2.
Como limx→0−x2=limx→0x2=0limx→0-x2=limx→0x2=0, pelo Teorema do Confronto, temos: limx→0x2⋅sin (1x)=0limx→0x2·sin (1x)=0.
 Função g(x) = - x2 (curva em azul) e função h(x) = x2 (curva em vermelho). Observe que a função f(x)=x2⋅sin (1x)f(x)=x2·sin (1x) (curva em verde) se encontra limitada superiormente por h(x) e inferiormente por g(x). Tal condição valida o Teorema do Confronto.
A função g é:
· Um modelo de comportamento final à direita para f se e somente se: limx→+∞f(x)g(x)=1limx→+∞f(x)g(x)=1
· Um modelo de comportamento final à esquerda para f se e somente se: limx→−∞f(x)g(x)=1limx→-∞f(x)g(x)=1
Modelos de comportamento final de uma função à esquerda e à direita não precisam ser a mesma função.
Exemplo 13
Seja a função f(x)=x+e-x. Demonstre que g(x) = x é um modelo de comportamento final à direita para f, enquanto h(x) = e-x é um modelo de comportamento final à esquerda para f.
Solução
Solução
À direita: limx→+∞f(x)g(x)=limx→+∞(x+e−xx)=limx→+∞(1+e−xx)=1limx→+∞f(x)g(x)=limx→+∞(x+e-xx)=limx→+∞(1+e-xx)=1.
À esquerda: limx→−∞f(x)h(x)=limx→−∞(x+e−xe−x)=limx→+∞(xe−x+1)=1limx→-∞f(x)h(x)=limx→-∞(x+e-xe-x)=limx→+∞(xe-x+1)=1.
 Gráfico da função f(x)=x+e−xf(x)=x+e-x (curva em verde). Observe que o gráfico da função se assemelha à função g(x) = x (reta em azul) à direita do eixo y. Por outro lado, à esquerda, o gráfico da função f(x) se assemelha à função h(x)=e−xh(x)=e-x (curva em vermelho).
Em alguns casos, podemos encontrar modelos de comportamento final para funções racionais. Caso o numerador tenha um grau a mais do que o denominador, o gráfico da função racional f(x) apresenta uma assíntota oblíqua (inclinada).
Encontramos uma equação para a assíntota oblíqua dividindo o numerador pelo denominador para expressar f como uma função linear mais um resto que é igual a zero quando x →±∞x →±∞.
Atividade
1. A prova rigorosa de que limx→−7(2x+5)=−9 limx→-7(2x+5)=-9  conduz à relação:
a) δ=ε2δ=ε2
b) δ=ε3δ=ε3
c) δ=2εδ=2ε
d) δ=3εδ=3ε
e) δ=εδ=ε
Gabarito
Infelizmente, você errou!
Resposta correta: letra (a).
Devemos mostrar que, dado ε>0ε>0, existe um δ>0δ>0 tal que:
|2x+5−(−9)|<ε   se   0<|x−(−7)|<δ   (1)|2x+5-(-9)|<ε   se   0<|x-(-7)|<δ   (1)
|2x+14|<ε   se   0<|x+7|<δ   (2)|2x+14|<ε   se   0<|x+7|<δ   (2)
2⋅|x+7|<ε   se   0<|x+7|<δ   (3)2·|x+7|<ε   se   0<|x+7|<δ   (3)
Deveria ser evidente por si só que (3) é verdadeiro se δ=ε2δ=ε2; e, uma vez que (3) é a reformulação de (2), mostramos que (2) é válida com δ=ε2δ=ε2. Isso prova que limx→−7(2x+5)=−9limx→-7(2x+5)=-9.
2. Para quais valores de x, se houver, a função f(x)=x2−16x2−5x+4f(x)=x2-16x2-5x+4 é descontínua?
a) 0 e - 2
b) – 2 e 2
c) – 1 e 4
d) 1 e 4
e) Não há descontinuidades
Gabarito
Infelizmente, você errou!
Resposta correta: letra (d).
A função f(x) é uma função racional e, portanto, é contínua em toda parte, exceto nos pontos em que o denominador é zero. Resolvendo a equação x2 – 5x + 4, obtêm-se dois pontos de descontinuidade, x = 1 e x = 4.
3. Os valores das constantes k e m, se possível, que façam a função f ficar contínua em toda parte serão:
f⎛⎝⎜x⎞⎠⎟=⎧⎩⎨⎪⎪x2+5,m(x+1)+k,2x3+x+7,x>2−1<x≤2  x≤−1f(x)={x2+5,x>2m(x+1)+k,-1<x≤22x3+x+7,  x≤-1
a) m = 0 e k = 4
b) m = - 3 e k = - 2
c) m = 5/3 e k = 4
d) m = 2 e k = - 2
e) Não há descontinuidades
Gabarito
Parabéns! Você acertou!
Resposta correta: letra (c).
limx→2−x2+5=9   ∴   limx→2[m(x+1)+k]=9  ∴   3m+k=9limx→2-x2+5=9   ∴   limx→2[m(x+1)+k]=9  ∴   3m+k=9
limx→−1(2x3+x+7)=4   ∴   limx→−1+[m(x+1)+k]=4   ∴   k=4limx→-1(2x3+x+7)=4   ∴   limx→-1+[m(x+1)+k]=4   ∴   k=4
Logo: m=53m=53
4. Em qual dos seguintes intervalos f(x)=1x−2√ f(x)=1x-2  é contínua?
a) [2, + ∞)[2, + ∞)
b) (−∞, +∞)(-∞, +∞)
c) (2, +∞)(2, +∞)
d) [1, 2)[1, 2)
e) (−∞, 0](-∞, 0]
Gabarito
Infelizmente, você errou!
Resposta correta: letra (c).
x – 2 > 0   ∴   x > 2⇒ (2, +∞)x – 2 > 0   ∴   x > 2⇒ (2, +∞)
5. Considere a função f(x)=3+cos xx3f(x)=3+cos xx3. O valor do limite limx→+∞f(x)limx→+∞f(x) será:
a) +∞+∞
b) −∞-∞
c) 1
d) -1
e) 0
Gabarito
Infelizmente, você errou!
Resposta correta: letra (e).
Utilize o Teorema do Confronto
−1≤cosx≤1 −1≤cos⁡𝑥≤1 
2≤3+cosx≤4∴2x3 ≤3+cosxx3 ≤4x3 2≤3+cos⁡𝑥≤4∴2𝑥3 ≤3+cos⁡𝑥𝑥3 ≤4𝑥3 
limx → +∞2x3=limx → +∞4x3 =0lim𝑥 → +∞2𝑥3=lim𝑥 → +∞4𝑥3 =0. Logo limx → +∞3 + cosxx3=0
		1
           Questão
	
	
	Determine o intervalo de valores em que a função h(x)=√4−x2h(x)=4−x2 é contínua.
		
	 
	(−2,2)(−2,2)
	
	(−∞,2](−∞,2]
	
	[−2,+∞)[−2,+∞)
	
	∀x∈R∀x∈ℜ
	
	[−2,2][−2,2]
	Respondido em 05/09/2020 11:54:58
	
Explicação:
A função h(x) pode ser entendido como uma função composta f¿g.
f(x)=√xf(x)=x  contínua para todo x positivo
g(x)=4−x2g(x)=4−x2 contínua em toda parte
Consequentemente, h(x) é contínua em todo número x para o qual g(x) > 0, isto é, 4 - x2 > 0.
	
	
	 
		2
           Questão
	
	
	Sobre a função f(x)=1√x2−3x+21x2−3x+2 é  possível afirmar que sua continuidade é garantida em:
		
	
	A função f não é contínua para qualquer x real
	
	(−∞,+∞)(−∞,+∞)
	
	(−1,−2)(−1,−2)
	
	(−∞,−1](−∞,−1] U [2,+∞+∞)
	 
	(−∞,1)(−∞,1) U (2,+∞)(2,+∞)
	Respondido em 05/09/2020 12:02:23
	
Explicação:
O aluno deve estudar a função quanto ao seu domínio considerando:
x2−3x+2x2−3x+2 > 0
	
	
	 
		3
           Questão
	
	
	Determinar o maior intervalo (ou união de intervalos) em que a função a seguir é contínua:
√25−x2x+525−x2x+5
 
		
	
	A função é contínua no intervalo: (-∞∞,5]
	
	A função é contínua ∀x∈R∀x∈ℜ
	
	A função é contínua no intervalo: (-5,+∞)+∞)
	 
	A função é contínua no intervalo (-5,5]
	
	A função é contínua no intervalo: