calculo I

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AULA 1
Atividade
1. Considere limx→+∞(1+2x−3x5)limx→+∞(1+2x-3x5). A resposta correta é:
a) 0
b) 1
c) +∞+∞
d) −∞-∞
e) – 1
Resposta correta, letra (d).
limx→+∞(1+2x−3x5)=limx→+∞−3x5=−3⋅limx→+∞x5=−∞
2. Considere limx→−∞x−2x2+2x+1limx→-∞x-2x2+2x+1. A resposta correta é:
a) 0
b) +∞+∞
c) −∞-∞
d) 1⁄2
e) -1
Gabarito
Infelizmente, você errou!
Resposta correta, letra (a).
limx→−∞x−2x2+2x+1=limx→−∞xx2=limx→−∞1x=0
3. Considere limt→−∞5−2t3t2+1limt→-∞5-2t3t2+1. A resposta correta é:
a) 0
b) +∞+∞
c) -1
d) −∞-∞
e) +1
Gabarito
Infelizmente, você errou!
Resposta correta, letra (b).
limt→−∞5−2t3t2+1=limt→−∞−2t3t2=limt→−∞−2t=−2⋅limt→−∞t=+∞
4. Considere limx→+∞(x2+3−−−−−√−x)limx→+∞(x2+3-x). A resposta correta é:
a) +∞+∞
b) −∞-∞
c) 3
d) 3√3
e) 0
Gabarito
Parabéns! Você acertou!
Resposta correta, letra (e).
limx→+∞(x2+3−−−−−√−x)=limx→+∞(x2+3−−−−−√−x)⋅(x2+3√+x)(x2+3√+x)=limx→+∞x2+3−x2(x2+3√+x)limx→+∞(x2+3-x)=limx→+∞(x2+3-x)·(x2+3+x)(x2+3+x)=limx→+∞x2+3-x2(x2+3+x)
limx→+∞3(x2+3√+x)=limx→+∞3x1+3x2√+1=02=0
5. Considere limx→+∞ln(2x)limx→+∞ln(2x). A resposta correta é:
a) 0
b) -1
c) −∞-∞
d) +∞+∞
e) +1
Gabarito
Infelizmente, você errou!
Resposta correta, letra (c).
limx→+∞ln(2x) =limx→+∞[ln(2)−ln(x)]=limx→+∞[ln(2) ]−limx→+∞[ln(x) ]=ln(2)−(+∞)=−∞
Teste de conhecimento
	O limte lateral para a função f(x) representado por limx→2−2√x2−4x−2limx→2−x2−42x−2  é corretamente expresso por:
		
	 
	1
	
	−∞−∞
	
	-1
	
	00
	 
	+∞+∞
	Respondido em 29/08/2020 12:02:04
	
Explicação:
Como x → 2+, o aluno deve lembrar x - 2 > 0 e x−2=√(x−2)2x−2=(x−2)2
Além disso, (x2 - 4) = (x+2)(x-2)
	
	
	 
		2
           Questão
	
	
	O limx→23√x3+2x2−5x2+3x−7limx→2x3+2x2−5x2+3x−73 é corretamente expresso por: 
		
	
	1
	
	−∞−∞
	 
	3√1131133
	
	3√113213132
	
	0
	Respondido em 29/08/2020 12:04:55
	
Explicação:
Basta o aluno aplicar os teoremas sobre limites e encontrará o resultado.
	
	
	 
		3
           Questão
	
	
	O limite da função f(x) expresso por
limx→2x4−16x−2limx→2x4−16x−2
é corretamente igual a:
		
	 
	0
	
	2
	
	16
	 
	32
	
	0/0
	Respondido em 29/08/2020 12:09:40
	
Explicação:
O aluno deve decompor o termo (x4−16)(x4−16) em (x+2)(x−2)(x2+4)(x+2)(x−2)(x2+4) e, então, aplicar o limite.
Assim, obterá como resposta 32.
AULA 2
Exemplo 12
Mostre que limx→0x2⋅sin (1x)=0limx→0x2·sin (1x)=0
Solução
Solução
Como – 1 ≤ sin (1x) ≤ 1– 1 ≤ sin (1x) ≤ 1.
Multiplicando por x2 a desigualdade, temos: −x2≤x2⋅sin (1x)≤x2-x2≤x2·sin (1x)≤x2.
Como limx→0−x2=limx→0x2=0limx→0-x2=limx→0x2=0, pelo Teorema do Confronto, temos: limx→0x2⋅sin (1x)=0limx→0x2·sin (1x)=0.
 Função g(x) = - x2 (curva em azul) e função h(x) = x2 (curva em vermelho). Observe que a função f(x)=x2⋅sin (1x)f(x)=x2·sin (1x) (curva em verde) se encontra limitada superiormente por h(x) e inferiormente por g(x). Tal condição valida o Teorema do Confronto.
A função g é:
· Um modelo de comportamento final à direita para f se e somente se: limx→+∞f(x)g(x)=1limx→+∞f(x)g(x)=1
· Um modelo de comportamento final à esquerda para f se e somente se: limx→−∞f(x)g(x)=1limx→-∞f(x)g(x)=1
Modelos de comportamento final de uma função à esquerda e à direita não precisam ser a mesma função.
Exemplo 13
Seja a função f(x)=x+e-x. Demonstre que g(x) = x é um modelo de comportamento final à direita para f, enquanto h(x) = e-x é um modelo de comportamento final à esquerda para f.
Solução
Solução
À direita: limx→+∞f(x)g(x)=limx→+∞(x+e−xx)=limx→+∞(1+e−xx)=1limx→+∞f(x)g(x)=limx→+∞(x+e-xx)=limx→+∞(1+e-xx)=1.
À esquerda: limx→−∞f(x)h(x)=limx→−∞(x+e−xe−x)=limx→+∞(xe−x+1)=1limx→-∞f(x)h(x)=limx→-∞(x+e-xe-x)=limx→+∞(xe-x+1)=1.
 Gráfico da função f(x)=x+e−xf(x)=x+e-x (curva em verde). Observe que o gráfico da função se assemelha à função g(x) = x (reta em azul) à direita do eixo y. Por outro lado, à esquerda, o gráfico da função f(x) se assemelha à função h(x)=e−xh(x)=e-x (curva em vermelho).
Em alguns casos, podemos encontrar modelos de comportamento final para funções racionais. Caso o numerador tenha um grau a mais do que o denominador, o gráfico da função racional f(x) apresenta uma assíntota oblíqua (inclinada).
Encontramos uma equação para a assíntota oblíqua dividindo o numerador pelo denominador para expressar f como uma função linear mais um resto que é igual a zero quando x →±∞x →±∞.
Atividade
1. A prova rigorosa de que limx→−7(2x+5)=−9 limx→-7(2x+5)=-9  conduz à relação:
a) δ=ε2δ=ε2
b) δ=ε3δ=ε3
c) δ=2εδ=2ε
d) δ=3εδ=3ε
e) δ=εδ=ε
Gabarito
Infelizmente, você errou!
Resposta correta: letra (a).
Devemos mostrar que, dado ε>0ε>0, existe um δ>0δ>0 tal que:
|2x+5−(−9)|<ε   se   0<|x−(−7)|<δ   (1)|2x+5-(-9)|<ε   se   0<|x-(-7)|<δ   (1)
|2x+14|<ε   se   0<|x+7|<δ   (2)|2x+14|<ε   se   0<|x+7|<δ   (2)
2⋅|x+7|<ε   se   0<|x+7|<δ   (3)2·|x+7|<ε   se   0<|x+7|<δ   (3)
Deveria ser evidente por si só que (3) é verdadeiro se δ=ε2δ=ε2; e, uma vez que (3) é a reformulação de (2), mostramos que (2) é válida com δ=ε2δ=ε2. Isso prova que limx→−7(2x+5)=−9limx→-7(2x+5)=-9.
2. Para quais valores de x, se houver, a função f(x)=x2−16x2−5x+4f(x)=x2-16x2-5x+4 é descontínua?
a) 0 e - 2
b) – 2 e 2
c) – 1 e 4
d) 1 e 4
e) Não há descontinuidades
Gabarito
Infelizmente, você errou!
Resposta correta: letra (d).
A função f(x) é uma função racional e, portanto, é contínua em toda parte, exceto nos pontos em que o denominador é zero. Resolvendo a equação x2 – 5x + 4, obtêm-se dois pontos de descontinuidade, x = 1 e x = 4.
3. Os valores das constantes k e m, se possível, que façam a função f ficar contínua em toda parte serão:
f⎛⎝⎜x⎞⎠⎟=⎧⎩⎨⎪⎪x2+5,m(x+1)+k,2x3+x+7,x>2−1<x≤2  x≤−1f(x)={x2+5,x>2m(x+1)+k,-1<x≤22x3+x+7,  x≤-1
a) m = 0 e k = 4
b) m = - 3 e k = - 2
c) m = 5/3 e k = 4
d) m = 2 e k = - 2
e) Não há descontinuidades
Gabarito
Parabéns! Você acertou!
Resposta correta: letra (c).
limx→2−x2+5=9   ∴   limx→2[m(x+1)+k]=9  ∴   3m+k=9limx→2-x2+5=9   ∴   limx→2[m(x+1)+k]=9  ∴   3m+k=9
limx→−1(2x3+x+7)=4   ∴   limx→−1+[m(x+1)+k]=4   ∴   k=4limx→-1(2x3+x+7)=4   ∴   limx→-1+[m(x+1)+k]=4   ∴   k=4
Logo: m=53m=53
4. Em qual dos seguintes intervalos f(x)=1x−2√ f(x)=1x-2  é contínua?
a) [2, + ∞)[2, + ∞)
b) (−∞, +∞)(-∞, +∞)
c) (2, +∞)(2, +∞)
d) [1, 2)[1, 2)
e) (−∞, 0](-∞, 0]
Gabarito
Infelizmente, você errou!
Resposta correta: letra (c).
x – 2 > 0   ∴   x > 2⇒ (2, +∞)x – 2 > 0   ∴   x > 2⇒ (2, +∞)
5. Considere a função f(x)=3+cos xx3f(x)=3+cos xx3. O valor do limite limx→+∞f(x)limx→+∞f(x) será:
a) +∞+∞
b) −∞-∞
c) 1
d) -1
e) 0
Gabarito
Infelizmente, você errou!
Resposta correta: letra (e).
Utilize o Teorema do Confronto
−1≤cosx≤1 −1≤cos⁡𝑥≤1 
2≤3+cosx≤4∴2x3 ≤3+cosxx3 ≤4x3 2≤3+cos⁡𝑥≤4∴2𝑥3 ≤3+cos⁡𝑥𝑥3 ≤4𝑥3 
limx → +∞2x3=limx → +∞4x3 =0lim𝑥 → +∞2𝑥3=lim𝑥 → +∞4𝑥3 =0. Logo limx → +∞3 + cosxx3=0
		1
           Questão
	
	
	Determine o intervalo de valores em que a função h(x)=√4−x2h(x)=4−x2 é contínua.
		
	 
	(−2,2)(−2,2)
	
	(−∞,2](−∞,2]
	
	[−2,+∞)[−2,+∞)
	
	∀x∈R∀x∈ℜ
	
	[−2,2][−2,2]
	Respondido em 05/09/2020 11:54:58
	
Explicação:
A função h(x) pode ser entendido como uma função composta f¿g.
f(x)=√xf(x)=x  contínua para todo x positivo
g(x)=4−x2g(x)=4−x2 contínua em toda parte
Consequentemente, h(x) é contínua em todo número x para o qual g(x) > 0, isto é, 4 - x2 > 0.
	
	
	 
		2
           Questão
	
	
	Sobre a função f(x)=1√x2−3x+21x2−3x+2 é  possível afirmar que sua continuidade é garantida em:
		
	
	A função f não é contínua para qualquer x real
	
	(−∞,+∞)(−∞,+∞)
	
	(−1,−2)(−1,−2)
	
	(−∞,−1](−∞,−1] U [2,+∞+∞)
	 
	(−∞,1)(−∞,1) U (2,+∞)(2,+∞)
	Respondido em 05/09/2020 12:02:23
	
Explicação:
O aluno deve estudar a função quanto ao seu domínio considerando:
x2−3x+2x2−3x+2 > 0
	
	
	 
		3
           Questão
	
	
	Determinar o maior intervalo (ou união de intervalos) em que a função a seguir é contínua:
√25−x2x+525−x2x+5
 
		
	
	A função é contínua no intervalo: (-∞∞,5]
	
	A função é contínua ∀x∈R∀x∈ℜ
	
	A função é contínua no intervalo: (-5,+∞)+∞)
	 
	A função é contínua no intervalo (-5,5]
	
	A função é contínua no intervalo:(0,5]
	Respondido em 05/09/2020 12:05:21
	
Explicação:
Primeiro determinamos o domínio de f:
A função é definida em qualquer parte, exceto quando x = - 5 ou 25 - x2 < 0 (isto é, quando x < - 5 ou x > 5).
AULA 3 
Atividade
1. O valor quando x=3 x=3  da derivada da função y=(x2−x)3y=(x2-x)3 é dado por:
a) 108
b) 216
c) 540
d) 0
e) A função não é derivável
Gabarito
Infelizmente, você errou!
Resposta correta: letra (c).
Comentário: Aplique a regra da cadeia para encontrar a derivada
y=(x2−x)3∴y′=3⋅(x2−x)2⋅(2x−1)y=(x2-x)3∴y'=3·(x2-x)2·(2x-1)
Para x=3:y′=3⋅(2⋅3−1)⋅(32−3)2=3⋅(5)⋅(6)2=540x=3:y'=3·(2·3-1)·(32-3)2=3·(5)·(6)2=540
2. Encontre ddx f(x)  ddx f(x)   da função f(x)=2x−3x2f(x)=2x-3x2:
Gabarito
Gabarito
f′(x)=−2x2+6x3f'(x)=-2x2+6x3
3. Encontre ddx f(x)  ddx f(x)   da função f(x)=2x4/3−3x2/3f(x)=2x4⁄3-3x2/3:
Gabarito
Gabarito
f′(x)=83⋅x1/3−2x−1/3f'(x)=83·x1⁄3-2x-1⁄3
4. Encontre ddx f(x)ddx f(x) da função f(x)=a+bx+cx2xf(x)=a+bx+cx2x
Gabarito
Gabarito
f′(x)=c−ax2f'(x)=c-ax2
5. A equação geral da reta tangente à elipse x2a2+y2b2=1x2a2+y2b2=1 no ponto (xo,yo)(xo,yo), yo≠0yo≠0, é dada por:
a) y=−b2xoa2yo⋅(2x+1)−yoy=-b2xoa2yo·(2x+1)-yo
b) y=−b2xoa2yo⋅(x+2)+yoy=-b2xoa2yo·(x+2)+yo
c) y=b2xoa2yo⋅(x−1)+2yoy=b2xoa2yo·(x-1)+2yo
d) y=b2xoa2yo⋅(xo−1)−yoy=b2xoa2yo·(xo-1)-yo
e) y=b2xoa2yo⋅(xo−x)+yoy=b2xoa2yo·(xo-x)+yo
Gabarito
Infelizmente, você errou!
Resposta correta: letra (e).
Obtenha primeiro por derivação implícita dydxdydx
x2a2+y2b2=1x2a2+y2b2=1
1a2⋅2x+1b2⋅2y⋅dydx=0∴1b2⋅2y⋅dydx=−1a2⋅2x∴dydx=−b2xa2y1a2·2x+1b2·2y·dydx=0∴1b2·2y·dydx=-1a2·2x∴dydx=-b2xa2y
No ponto (xo,yo)(xo,yo): dydx=−b2xoa2yodydx=-b2xoa2yo
Assim, teremos que a equação da reta será:
−b2xoa2yo=y−yox−xo∴y=b2xoa2yo⋅(xo−x)+yo-b2xoa2yo=y-yox-xo∴y=b2xoa2yo·(xo-x)+yo
6. Seja f(x)=x2+3xf(x)=x2+3x. Determine a equação da reta tangente à função f(x) f(x)  e que, ao mesmo tempo, seja paralela à reta y=2x+3y=2x+3:
a) y=2x−14y=2x-14
b) y=2x+14y=2x+14
c) y=x−14y=x-14
d) y=x+14y=x+14
e) y=14⋅xy=14·x
Gabarito
Parabéns! Você acertou!
Resposta correta: letra (a).
Vamos determinar a inclinação da reta tangente à função f(x)f(x)
dydx=2x+3∴2x+3dydx=2x+3∴2x+3
A reta paralela tem inclinação: dydx=2dydx=2
Você aprendeu em geometria analítica que a condição de paralelismo implica em: m1=αm2m1=αm2, onde m1 e m2 são os coeficientes angulares (inclinações) das retas 1 e 2 e αα uma constante numérica. Logo, para αα = 1:
(2x+3)=2∴x=−12(2x+3)=2∴x=-12
Consequentemente: f(−12)=(−12)2+3(−12)=−54f(-12)=(-12)2+3(-12)=-54
Assim, a reta procurada será:
y−(−54)x−(−12)=2∴y=2x−14
	A derivada implícita dxdydxdy quando 5y2+sen(y)=x25y2+sen(y)=x2 é  corretamente dada por: 
 
		
	
	dxdy=−10y+cos(y)2xdxdy=−10y+cos(y)2x
	 
	dxdy=2x10y+cos(y)dxdy=2x10y+cos(y)
	
	dxdy=10ysin(x)dxdy=10ysin(x)
	
	dxdy=−2x10y+cos(y)dxdy=−2x10y+cos(y)
	
	dxdy=10y+cos(y)2xdxdy=10y+cos(y)2x
	Respondido em 21/09/2020 13:54:23
	
Explicação:
Após a derivação à esquerda e á direita temos:
10ydydx+cos(y)dydx=2x10ydydx+cos(y)dydx=2x
Arrumando os termos, temos a resposta: a
	
	
	 
		2
           Questão
	
	
	Encontre a derivada de y=x2−1x2+1y=x2−1x2+1
		
	
	f′(x)=f′(x)=−3+x(x2−1)2−3+x(x2−1)2
	
	f′(x)=f′(x)=x(x2+1)2x(x2+1)2
	
	f′(x)=f′(x)=3+x(x2+1)23+x(x2+1)2
	
	f′(x)=f′(x)=4x(x2−1)24x(x2−1)2
	 
	f′(x)=f′(x)=4x(x2+1)24x(x2+1)2
	Respondido em 21/09/2020 13:59:14
	
Explicação:
O aluno deve aplicar a regra do quociente com u=x2−1u=x2−1 e  v=x2+1v=x2+1 
ddxuv=v∗(du/dx)−u∗(dv/dx)v2ddxuv=v∗(du/dx)−u∗(dv/dx)v2
	
	
	 
		3
           Questão
	
	
	Em quais pontos o gráfico da função f(x) = x2−4x−1x2−4x−1 possui tangentes horizontais?
		
	 
	Apenas no ponto (2,-5)
	
	Apenas no ponto (-2,-5)
	
	Apenas no ponto (-3,2)
	
	Apenas no ponto (0,5)
	
	Apenas no ponto (0,0)
	Respondido em 21/09/2020 14:01:18
	
Explicação:
O aluno deve derivar a função f(x).
f′(x)=2x−4f′(x)=2x−4
A qual é zero, quando x = 2. Assim, a tangente horizontal será dada em (2,-5).
AULA 4
Atividade
1. A derivada primeira da função f(x)=x3−2x+5−−−−−−−−−√fx=x3-2x+5 é corretamente escrita como:
a) x2+ 22x3−2x+5√x2+ 22x3-2x+5
b) 3x2−2xx3−2x+5√3x2-2xx3-2x+5
c) 3x2−22x3−2x+5√3x2-22x3-2x+5
d) 3x2+ 23x3−2x+5√3x2+ 23x3-2x+5
e) N.D.A.
Gabarito
Infelizmente, você errou!
Resposta correta: letra (c).
Faça u=x3−2x+5u=x3-2x+5 e, então, aplique a regra da cadeia para encontrar a derivada.
y=u√∴dydx=12⋅u12/−1⋅dudxy=u∴dydx=12·u12-1·dudx
dydx=12⋅1x3−2x+5√⋅(3x2−2)=3x2−22x3−2x+5√dydx=12·1x3-2x+5·3x2-2=3x2-22x3-2x+5
2. A primeira derivada da função f(x)=x3⋅sin2(5x)fx=x3·sin2(5x) é corretamente representada por:
a) x2⋅sin2(5x)+x3⋅cos5xx2·sin25x+x3·cos⁡5x
b) 3x2⋅sin2(5x)−10x3⋅cos5x⋅sin5x3x2·sin25x-10x3·cos⁡5x·sin⁡5x
c) x2⋅sin2(5x)+5x3⋅cos5xx2·sin25x+5x3·cos⁡5x
d) 3x2⋅sin2(5x)+10x3⋅cos5x⋅sin5x3x2·sin25x+10x3·cos⁡5x·sin⁡5x
e) N.D.A.
Gabarito
Parabéns! Você acertou!
Resposta correta: letra (d).
Faça u=sin5xu=sin⁡5x e, então, aplique a regra da cadeia para encontrar a derivada.
y=x3⋅u2y=x3·u2
dydx=u2⋅3x2+x3⋅2u⋅dudxdydx=u2·3x2+x3·2u·dudx
ddx[sin5x]=5.cos(5x)∴dydx=3x2⋅sin2(5x)+10x3⋅cos5x⋅sin5xddxsin⁡5x=5.cos⁡5x∴dydx=3x2·sin25x+10x3·cos⁡5x·sin⁡5x
3. Encontre ddxf(x)ddxfx da função f(x)=cos2(3x√)fx=cos23x:
a) −3⋅cos(3x√)⋅sin(3x√)x√-3·cos⁡3x·sin⁡3xx
b) 3⋅cos(3x√)⋅sin(3x√)x√3·cos⁡3x·sin⁡3xx
c) 3⋅cos(x√)⋅sin(x√)2x√3·cos⁡x·sin⁡x2x
d) −3⋅cos(3x√)⋅sin(3x√)2x√-3·cos⁡3x·sin⁡3x2x
e) −cos(x√)⋅sin(3x√)2x√-cos⁡x·sin⁡3x2x
Gabarito
Parabéns! Você acertou!
Resposta correta: letra (a).
Faça u=3x√u=3x
y=cos2u∴dydx=2⋅cosu⋅(−sinu)⋅dudxy=cos2u∴dydx=2·cos⁡u·-sin⁡u·dudx
dudx=ddx(3x√)=32⋅1x√dudx=ddx3x=32·1x
dydx=2⋅cos(3x√).(−sin(3x√))⋅32⋅1x√=−3⋅cos(3x√)⋅sin(3x√)x√dydx=2·cos⁡3x.-sin⁡3x·32·1x=-3·cos⁡3x·sin⁡3xx
4. Encontre ddxf(x)ddxfx da função f(x)=(x3−5)35fx=x3-535:
Gabarito
Gabarito
f′(x)=35⋅(x3−5)34⋅3x2=105x2(x3−5)34f'(x)=35·(x3-5)34·3x2=105x2(x3-5)34
5. A derivada segunda da função y=1+x1−xy=1+x1-x é:
a) y''=4x3−3x2+3x−1y''=4x3-3x2+3x-1
b) y''=−4x3−3x2+3x−1y''=-4x3-3x2+3x-1
c) y''=−4x3+3x2+3x+1y''=-4x3+3x2+3x+1
d) y''=4x3−3x2−3x−1y''=4x3-3x2-3x-1
e) y''=−42x3−3x2+x+1y''=-42x3-3x2+x+1
Gabarito
Parabéns! Você acertou!
Resposta correta: letra (b).
Obtenha a primeira derivada usando a regra do quociente. Repita o processo, após obter a primeira derivada, para finalmente encontrar a segunda derivada.
y'=2(1−x)2y'=21-x2
y''=4(1−x)3=−4x3−3x2+3x−1y''=41-x3=-4x3-3x2+3x-1
6. Seja f(x)=(3x+1x2)3fx=3x+1x23. Determine por diferenciação logarítmica a derivada primeira
Gabarito
Gabarito
dydx=−81x3+108x2+45x+6x7dydx=-81x3+108x2+45x+6x7
Comentário:
y=(3x+1x2)3∴lny=3⋅[ln(3x+1)−2⋅lnx]y=3x+1x23∴ln⁡y=3·ln⁡3x+1-2·ln⁡x
Você deve prosseguir com o restante do desenvolvimento seguindo os passos apresentados ao longo desta aula.
		1
           Questão
	
	
	A derivada da função exp(−xx2+3x−5)exp⁡(−xx2+3x−5) é dada por:
		
	 
	f′(x)=exp(−xx2+3x−5)∗[x∗(2x+3)(x2+3x−5)2−1x2+3x−5]f′(x)=exp(−xx2+3x−5)∗[x∗(2x+3)(x2+3x−5)2−1x2+3x−5]
	
	f′(x)=exp(−xx2+x−5)∗[x∗(x+3)(x2+3x−5)2−1x2+x−5]f′(x)=exp(−xx2+x−5)∗[x∗(x+3)(x2+3x−5)2−1x2+x−5]
	
	f′(x)=exp(xx3+3−5x)∗[x∗(x+3)(x3+3−5)2−xx2+3x−5]f′(x)=exp(xx3+3−5x)∗[x∗(x+3)(x3+3−5)2−xx2+3x−5]
	
	f′(x)=exp(xx2+x−5)∗[x∗(2x−3)(x2+3x−5)3−xx2+3x−5]f′(x)=exp(xx2+x−5)∗[x∗(2x−3)(x2+3x−5)3−xx2+3x−5]
	
	f′(x)=(−xx2+3x−5)∗[x∗(2x+3)(x2+3x−5)2−1x2+3x−5]f′(x)=(−xx2+3x−5)∗[x∗(2x+3)(x2+3x−5)2−1x2+3x−5]
	Respondido em 18/10/2020 19:39:35
	
Explicação:
O aluno deve fazer: u=−xx2+3x−5u=−xx2+3x−5 e, então:
exp(u)∗dudxexp(u)∗dudx
	
	
	 
		2
           Questão
	
	
	Encontre a derivada da função f(x)=sin(x)(1+sin(x))2f(x)=sin(x)(1+sin(x))2
		
	 
	f′(x)=cos(2x)∗[1−sin(x)][1+sin(x)]2f′(x)=cos(2x)∗[1−sin(x)][1+sin(x)]2
	
	f′(x)=tan(x)∗[1−sin(x)][1+cos(x)]3f′(x)=tan(x)∗[1−sin(x)][1+cos(x)]3
	 
	f′(x)=cos(x)∗[1−sin(x)][1+sin(x)]3f′(x)=cos(x)∗[1−sin(x)][1+sin(x)]3
	
	f′(x)=cos(x)∗sin(x)[1+sin(x)]3f′(x)=cos(x)∗sin(x)[1+sin(x)]3
	
	f′(x)=cos(x)∗[1+sin(2x)][1−sin(x)]2f′(x)=cos(x)∗[1+sin(2x)][1−sin(x)]2
	Respondido em 18/10/2020 19:28:15
	
Explicação:
O aluno deve aplicar a regra do quociente e as derivadas das funçõestrigonométricas correspondentes:
fg′=f′∗g−g′∗fg2fg′=f′∗g−g′∗fg2
	
	
	 
		3
           Questão
	
	
	Derive a função f(x)=1(1+sin(x))2f(x)=1(1+sin(x))2
		
	
	f′(x)=sin(x)[1+sin(x)]3f′(x)=sin(x)[1+sin(x)]3
	
	f′(x)=2∗cos(x)[1+cos(x)]4f′(x)=2∗cos(x)[1+cos(x)]4
	
	f′(x)=cos(x)[1+sin(x)]2f′(x)=cos(x)[1+sin(x)]2
	
	f′(x)=cos(x)[1+sec(x)]2f′(x)=cos(x)[1+sec(x)]2
	 
	f′(x)=−2∗cos(x)[1+sin(x)]3f′(x)=−2∗cos(x)[1+sin(x)]3
	Respondido em 18/10/2020 19:20:07
	
Explicação:
Faça: u=1+sin(x)u=1+sin(x)
f(u)=u−2f(u)=u−2
f′(u)=−2∗1u3f′(u)=−2∗1u3
dudx=cos(x)dudx=cos(x)
d(f(u)dx=dfdu∗dudx
AULA 5
Atividade
1. A aproximação linear local permite que o valor de (3,02)4(3,02)4 seja aproximadamente dado por:
a) 81,15
b) 82,05
c) 83,16
d) 84,55
e) 88,43
Gabarito
Parabéns! Você acertou!
Resposta correta: letra (c).
Seja f(x)=x4fx=x4 e f′(x)=4x3f'x=4x3, a aproximação linear local será dada por...
f(xo+∆x)≈f(xo )+f' (xo).∆x𝑓(𝑥𝑜+∆𝑥)≈𝑓(𝑥𝑜 )+𝑓′ (𝑥𝑜).∆𝑥
Fazendo xo=3xo=3 e ∆x=0,02∆x=0,02, teremos:
f(3+0,02)≈f(3)+f' (3).0,02=81+108.0,02=83,16𝑓(3+0,02)≈𝑓(3)+𝑓′ (3).0,02=81+108.0,02=83,16
2. A função f(x)=5−4x−x2f(x)=5-4x-x2 apresenta a característica de qual alternativa abaixo?
a) Não possui raízes reais.
b) Apresenta a concavidade voltada para cima.
c) Apresenta ponto de inflexão em x=−2x=-2.
d) O ponto x=−2x=-2 será um ponto de máximo relativo.
e) O ponto x=−2x=-2 será um ponto de mínimo relativo.
Gabarito
Parabéns! Você acertou!
Resposta correta: letra (d).
f′(x)=−4−2x=−2(2+x)f'x=−4−2x=−2(2+x) e f''(x)=−2 𝑓′′(𝑥)=−2 
f′(x)=0f'x=0 quando x=−2𝑥=−2
(−∞,−2)−∞,−2, f′(x)>0f'x>0, função crescente em (−∞,−2)(−∞,−2)
(−2,+∞)−2,+∞, f′(x)<0f'x<0, função decrescente em (−2,+∞)(−2,+∞)
f′(−2)=0f'−2=0, então, x=−2x=-2 será um ponto crítico e estacionário da função.
f''(x)=−2f''x=−2, x=−2x=−2 será, portanto, um ponto de máximo relativo e teremos a concavidade da função será sempre para baixo (não há ponto de inflexão).
3. A função f(x)=3x3−92x2−5fx=3x3−92x2−5 apresenta pontos críticos em:
a) -1 e 1
b) -1 e 0
c) 0 e 1
d) 1 e 2
e) −∞-∞ e +∞+∞
Gabarito
Parabéns! Você acertou!
Resposta correta: letra (c).
A função ff, por ser um polinômio, é diferenciável em toda parte. Portanto, seus pontos críticos são todos estacionários.
Para encontrar esses pontos, você precisa resolver a equação f′(x)=0f'x=0.
f' (x)=9x2−9x∴f' (x)=9x.(x−1)𝑓′ (𝑥)=9𝑥2−9𝑥∴𝑓′ (𝑥)=9𝑥.(𝑥−1)
Logo: f′(x)=0f'x=0 para x=0x=0 e x=1x=1.
4. Usando os testes da derivada primeira e da derivada segunda, os extremos relativos de f(x)=1+8x−3x2fx=1+8x−3x2 podem ser encontrados em:
a) Não existem extremos relativos
b) Nos pontos x=0x=0 e x=12/x=12
c) Nos pontos x=−12/x=-12 e x=+12/x=+12
d) Apenas no ponto x=0x=0
e) Apenas no ponto  x=43/ x=43
Gabarito
Infelizmente, você errou!
Resposta correta: letra (e).
f′(x)=8−6x=2(4−3x)f'x=8−6x=2(4−3x)
f''(x)=−6𝑓′′(𝑥)=−6
f'(x)=0 𝑓′(𝑥)=0  para x=43x=43
	Ponto estacionário
	(−6)−6
	f''(x)f''(x)
	Teste da derivada segunda
	x=43/x=43
	−6-6
	−-
	ff tem um máximo relativo
5. Dada a função f(x)=2x − 64 − x fx=2x − 64 − x , é correto afirmar que:
a) Não corta o eixo yy
b) Não corta o eixo xx
c) Possui assíntota vertical em x=−4x=-4
d) Possui um máximo relativo em x=0x=0
e) Possui assíntota horizontal em y=−2y=-2
Gabarito
Parabéns! Você acertou!
Resposta correta: letra (e).
Corte em xx: quando y=0y=0, x=3x=3
Corte em yy: quando x=0x=0, y=−32y=-32
Assíntotas verticais: 4−x=0∴x=44−𝑥=0∴𝑥=4
Assíntotas horizontais: Os limites...
limx→+∞2x − 64 − x =limx→+∞2−6x/4x/−1=−2limx→+∞2x − 64 − x =limx→+∞2−6x4x−1=−2
limx→−∞2x − 64 − x =limx→−∞2−6x/4x/−1=−2
	
	1
           Questão
	
	
	Encontre os intervalos para os quais a função f(x)=x4−3x2+5f(x)=x4−3x2+5 apresenta-se como uma função crescente.
		
	
	A função será crescente em [√32;+∞)[32;+∞)
	
	A função será crescente em [−√32;0][−32;0]
	 
	A função será crescente em [−√32;0][−32;0]e [√32;+∞)[32;+∞)
	
	A função será crescente em [−√32;2][−32;2]e [√152;+∞)[152;+∞)
	
	A função será crescente em [−√12;0][−12;0]e [√52;+∞)[52;+∞)
	Respondido em 02/11/2020 12:06:30
	
Explicação:
A primeira derivada da função f(x) é:
f′(x)=4x3−6xf′(x)=4x3−6x
Quando f'(x) = 0, 
x=0x=0; x=−√32x=−32; x=√32x=32
Todos os pontos críticos estão no domínio da função.
Pela análise dos pontos críticos, a função será crescente em [−√32;0][−32;0]e [√32;+∞)[32;+∞)
	
	
	 
		2
           Questão
	
	
	A função f(x)=x2−2xf(x)=x2−2x  apresenta a seguinte característica:
		
	
	Apresenta um ponto de mínimo global em x = -2
	 
	Apresenta assíntota horizontal definida em y = x
	
	Não cruza o eixo x
	 
	É definida em x = 0
	
	Apresenta um ponto de máximo global em x = 2
	Respondido em 02/11/2020 12:16:27
	
Explicação:
O aluno deve gerar a primeira e a segunda derivada da função e, então, realizar o estudo segundo o conteúdo descrito na aula 05.
	
	
	 
		3
           Questão
	
	
	Sobre a função f(x)=x3−6x2+5x−7f(x)=x3−6x2+5x−7 é correto afirmar que: 
		
	
	Nunca intercepta o eixo x
	 
	Apresenta um ponto de máximo em x = 6−√2136−213
	
	Apresenta concavidade voltada para baixo no intervalo (−∞,+∞)(−∞,+∞)
	
	Apresenta concavidade voltada para cima no intervalo (−∞,0)(−∞,0)
	
	Não é contínua em x = 0
	Respondido em 02/11/2020 12:22:06
	
Explicação:
Primeira derivada: f′(x)=3x2−12x+5f′(x)=3x2−12x+5
Segunda derivada; f′′(x)=6x−12f″(x)=6x−12
Os pontos críticos (f'(x)=0) são: 6−√2136−213e 6+√2136+213
A análise dos sinais das derivadas conduzirá a resposta
AULA 6
Atividade
1. O limite quando t→−5t→-5 para a função f(t)=t2+3t−10t + 5f(t)=t2+3t-10t + 5 é:
a) - 7
b) - 5
c) 0
d) 5
e) 7
Gabarito
Infelizmente, você errou!
Resposta correta: letra (a).
	limt  → −5 f(t) = 00/limt  → -5 f(t) = 00
Aplicando a Regra de l”Hôpital
	limt  → −5 t2 + 3t − 10t + 5 = limt  → −5 2t + 31 = 2 (−5) + 31 = −7limt  → -5 t2 + 3t - 10t + 5 = limt  → -5 2t + 31 = 2 -5 + 31 = -7
2. Superpetroleiros descarregam petróleo em atracadouros a 4 milhas da costa. A refinaria mais próxima está a 9 milhas a leste do ponto da costa mais próximo do atracadouro. Uma tubulação precisa ser construída para conectar a refinaria ao atracadouro. Os dutos subaquáticos custam US$300.000 por mi e o os terrestres, US$200.000 por mi. A distância entre os pontos A e B (veja a figura), para minimizar os custos de construção deve ser de:
a) 813 mi813 mi
b) 13√13 mi1313 mi
c) 13−−√ mi13 mi
d) 813√13 mi81313 mi
e) 8 mi8 mi
Gabarito
Parabéns! Você acertou!
Resposta correta: letra (d).
	42+x2=y2∴y=16+x2−−−−−−√42+x2=y2∴y=16+x2
C(x)=(16+x2−−−−−−√)⋅300000+(9−x)⋅200000C(x)=(16+x2)·300000+(9-x)·200000
C′(x)=x16+x2√⋅300000−200000∴C′(x)=0C'(x)=x16+x2·300000-200000∴C'(x)=0
300000⋅x−20000016+x2√16+x2√ 0∴300000⋅x=20000016+x2−−−−−−√∴3x=216−x2−−−−−−√300000·x-20000016+x216+x2 0∴300000·x=20000016+x2∴3x=216-x2
9x2=4⋅(16−x2)∴13x2=64∴x=813√13 mi9x2=4·(16-x2)∴13x2=64∴x=81313 mi
Teremos, então, y = 4221√13 miy = 422113 mi
Custo total, c (813√13) ≅2.728.492c 81313 ≅2.728.492 dólares.
3. Duas cidades estão localizadas ao sul de um rio. Uma estação bombeadora será instalada para servir às duas cidades. A tubulação seguirá as retas que ligam cada cidade à estação (veja a figura). Defina o ponto P onde a estação bombeadora deve ser instalada para minimizar o custo com a tubulação.
a) O ponto P deve estar situado a 2m do lado esquerdo contados a partir da margem, em frente ao ponto A.
b) O ponto P deve estar situado a 3m do lado esquerdo contados a partir da margem, em frente ao ponto A.
c) O ponto P deve estar situado a 37/37 m do lado esquerdo contados a partir da margem, em frente ao ponto A.
d) O ponto P deve estar situado a 47/47 m do lado esquerdo contados a partir da margem, em frente ao ponto A.
e) O ponto P deve estar situado a 207/207 m do lado esquerdo contados a partir da margem, em frente ao ponto A.
Gabarito
Infelizmente, você errou!
Resposta correta: letra (e).
	D(x)=x2+4−−−−−√+25+(10−x)2−−−−−−−−−−−√=x2+4−−−−−√+x2−20x+125−−−−−−−−−−−−√D(x)=x2+4+25+(10-x)2=x2+4+x2-20x+125
D′(x)= xx2+4√ + (x − 10)x2−20x+125√∴D′(x)=0D'(x)=xx2+4 + x - 10x2-20x+125∴D'(x)=0
xx2−20x+125√ +(x−10)⋅x2+4√x2+4√ ⋅ x2−20x+125√=0∴xx2−20x+125−−−−−−−−−−−−√ =−(x−10)⋅x2+4−−−−−√xx2-20x+125 +(x-10)·x2+4x2+4 · x2-20x+125=0∴xx2-20x+125 =-(x-10)·x2+4
21x2+80x−400=0∴x1=207/ 21x2+80x-400=0∴x1=207  e x2=−203/ x2=-203 
Como a raiz negativa não faz sentido ao problema: x=203/ x=203  m
Assim:
	AP¯¯¯¯¯ + PB¯¯¯¯¯ = 2149√7 + 2149√7 = 149−−−√AP¯ + PB¯ = 21497 + 21497 = 149 m
4. Encontre limx → 0 sin 5xxlimx → 0 sin 5xx :
Gabarito
Gabarito
Utilize a Regra de l’Hôpital
	limx → 0 sin 5xx = limx → 0 5 ⋅ cos 5x1 = 51 = 5limx → 0 sin 5xx = limx → 0 5 · cos 5x1 = 51 = 5
5. Encontre limθ → π2/ 1 −  sin θ1 +  cos 2θ limθ → π2 1 -  sin θ1 +  cos 2θ :
Gabarito
Gabarito
Utilize a Regra de l’Hôpital
	limθ → π2/ 1 −  sin θ1 +  cos 2θ  = limθ → π2/ −cos θ−2⋅sin 2θ  = limθ → π2/ sin θ−4⋅cos 2θ = 14limθ → π2 1 -  sin θ1 +  cos 2θ  = limθ → π2 -cos θ-2·sin 2θ  = limθ → π2 sin θ-4·cos 2θ = 14
6. A regra de l’Hôpital não ajuda a encontrar o limite da função abaixo. Encontre o limite escrevendo de outra forma a função.
limx → ∞ 9x + 1√x + 1√ limx → ∞ 9x + 1x + 1 
Gabarito
Gabarito
Utilize a Regra de l’Hôpital
	9x + 1√x + 1√ = 9x + 1√x√x + 1√x√ = 9x + 1x√x + 1x√ = 9 + 1x√1 + 1x√9x + 1x + 1 = 9x + 1xx + 1x = 9x + 1xx + 1x = 9 + 1x1 + 1x
limx → ∞ 9x + 1√x + 1√ = limx → ∞ 9 +1x√1 +1x√ = 9√1√ = 3
		1.
		O limite dado por limx→0sin(5x)3xlimx→0sin(5x)3x é dado por: 
	
	
	
	1313
	
	
	-1515
	
	
	5353
	
	
	-ππ
	
	
	0
	
Explicação:
O aluno deve aplicar a regra de L'Hôpital:
limx→05∗cos(5x)3=53limx→05∗cos(5x)3=53
	
	
	
	 
		
	
		2.
		O limite limx→0sin(x)xlimx→0sin(x)x é corretamente indicado por:
	
	
	
	0
	
	
	−∞−∞
	
	
	∞∞
	
	
	0000
	
	
	1
	
Explicação:
O aluno deve aplicar a regra de L'Hospital:
limx→0sin(x)x=limx→0cos(x)1=11=1limx→0sin(x)x=limx→0cos(x)1=11=1
	
	
	
	 
		
	
		3.
		O limite dado por limx→1sin(πx)x−1​​limx→1sin(πx)x−1 é dado por:
	
	
	
	−π−π
	
	
	+∞+∞
	
	
	0
	
	
	0000
	
	
	−∞−∞
	
Explicação:
Aplicando a regra de L'Hôpital:
limx→1π∗cos(πx)1=−πlimx→1π∗cos(πx)1=−π
Aula 7
Atividades
1. A antiderivada da função f(x)=1−2x3x3f(x)=1-2x3x3 , ou seja, ∫1−2x3x3 dx∫1-2x3x3 dx pode ser corretamente representada por:
a) − 1x2−2x+C- 1x2-2x+C
b) − 12x2−2x+C- 12x2-2x+C
c) 12x2−2x+C12x2-2x+C
d) 12x2+2x+C12x2+2x+C
e) − 12x2−2x+C- 12x2-2x+C
Gabarito
Infelizmente, você errou!
Resposta correta: letra (e).
	∫1−2x3x3 dx = ∫(1x3 − 3) dx = ∫ 1x3 dx − 2 ∫ dx = x−3+1−3+1−2x+C∫1-2x3x3 dx = ∫1x3 - 3 dx = ∫ 1x3 dx - 2 ∫ dx = x-3+1-3+1-2x+C
∫1−2x3x3 dx = − 12x2−2x+C∫1-2x3x3 dx = - 12x2-2x+C
2. Considere ∫x13/⋅(2−x)2⋅dx∫x13·(2-x)2·dx. A antiderivada é corretamente representada por:
a) 3x43/ − 127x73/ + 310x103/ + C3x43 - 127x73 + 310x103 + C
b) 3x43/ − 127x73/ − 310x103/ − C3x43 - 127x73 - 310x103 - C
c) 3x43/ + 127x73/ − 310x103/ + C3x43 + 127x73 - 310x103 + C
d) 3x43/ + 127x73/ + 310x103/ + C3x43 + 127x73 + 310x103 + C
e) −13x43/ − 127x73/ + 310x103/ + C-13x43 - 127x73 + 310x103 + C
Gabarito
Parabéns! Você acertou!
Resposta correta: letra (a).
	∫x13/⋅(2−x)2⋅dx=∫x13/⋅(4−4x+x2)⋅dx=∫(4x13/ − 4x43/ + x73/) dx∫x13·(2-x)2·dx=∫x13·(4-4x+x2)·dx=∫4x13 - 4x43 + x73 dx
4⋅x1/3+113/ + 1−4⋅x4/3+143/ + 1+x7/3+173/ + 1+c=3x43/−127x73/+310x103/+c4·x1⁄3+113 + 1-4·x4⁄3+143 + 1+x7⁄3+173 + 1+c=3x43-127x73+310x103+c
3. Suponha que um ponto se mova ao longo de uma curva y=f(x)y=f(x) no plano xyxy, de tal forma que, em cada ponto (x,y)(x,y) da curva, a reta tangente tenha inclinação (1+x)2(1+x)2. Qual a equação da curva, sabendo que ela passa pelo ponto (-2,8)?
a) F(x)=[(1+x)3+25]F(x)=[(1+x)3+25]
b) F(x)=1/3⋅[(1+x)3+25]F(x)=1/3·[(1+x)3+25]
c) F(x)=1/3⋅[(1+x)3+253]F(x)=1/3·[(1+x)3+253]
d) F(x)=[(1+x)2+2]F(x)=[(1+x)2+2]
e) F(x)=1/3⋅[(1+x)2−25]F(x)=1/3·[(1+x)2-25]
Gabarito comentado
Infelizmente, você errou!
Resposta correta: letra (b).
	Fazendo u=1+x∴du=dxu=1+x∴du=dx
∫(1+x)2dx=∫u2du=u2+12+1+c=u33+c∫(1+x)2dx=∫u2du=u2+12+1+c=u33+c
Logo: ∫(1+x)2dx=(1+x)33+C∫(1+x)2dx=(1+x)33+C
A função procurada será: f(x)=(1+x)33+cfx=(1+x)33+c
Como ela passa pelo ponto (-2,8), então:
8=(1+(−2))33+C∴C=2538=(1+(-2))33+C∴C=253
Portanto: F(x)=13⋅[(1+x)3+25]F(x)=13·[(1+x)3+25]
4. Qual a integral indefinida para uma função cuja derivada segunda é x√x?
a) x3+C1x2+C2xx3+C1x2+C2x
b) x52/+C1xx52+C1x
c) 415x52/+C1x+C2415x52+C1x+C2
d) F(x)=[(1+x)2+2]F(x)=[(1+x)2+2]
e) 315x52/+C1x2+C2315x52+C1x2+C2
Gabarito
Parabéns! Você acertou!
Resposta correta: letra (c).
	∫x√dx=x12+1/12/+1+C1=23x32/+C1∫xdx=x12+112+1+C1=23x32+C1
∫(23x32/+C1)dx=23∫x32/dx+∫C1 dx= 415x52/+C1x+C2∫23x32+C1dx=23∫x32dx+∫C1 dx= 415x52+C1x+C2
5. A integral indefinida dada por ∫sin2x⋅cosx⋅dx∫sin2x·cosx·dx apresenta como solução a função F(x)F(x) igual a:
a) F(x)=sin2x3+CF(x)=sin2x3+C
b) F(x)=sin x3+CF(x)=sin x3+C
c) F(x)=cos x3+CF(x)=cos x3+C
d) F(x)=sin3x3+CF(x)=sin3x3+C
e) F(x)=sic x3+CF(x)=sic x3+C
Gabarito comentado
Parabéns! Você acertou!
Resposta correta: letra (d).
	Fazendo u=sinx∴du=cosx⋅dxu=sinx∴du=cosx·dx
∫sin2x⋅cosx⋅dx=∫u2⋅du=u33+C∫sin2x·cosx·dx=∫u2·du=u33+C
F(x)=sin3x3+CF(x)=sin3x3+C
6. Utilizando as identidades trigonométricas verificadas ao longo desta aula, encontre uma fórmula geral para a integral indefinida ∫dxa2+x2∫dxa2+x2, onde a≠0a≠0 é uma constante.
Gabarito comentado
Gabarito comentado
A primeira coisa a fazer é dividir numerador e denominador por a2a2
	∫dxa2+x2=1a∫dxa/1+(xa)2∫dxa2+x2=1a∫dxa1+xa2
Fazendo: u=ua/∴du=dxa/u=ua∴du=dxa
∫dxa2+x2=1a∫dxa/1+(xa)2=1a∫du1+u2=1a⋅artg u+C=1a⋅arctg(xa)+c∫dxa2+x2=1a∫dxa1+xa2=1a∫du1+u2=1a·artg u+C=1a·arctgxa+c
Logo, a resposta será: ∫dxa2+x2=1a⋅artg (xa)+c∫dxa2+x2=1a·artg xa+c, para a≠0a≠0
7. Encontre a integral indefinida representada por ∫5x2  (1+x)13/dx∫5x2  (1+x)13dx
Gabarito comentado
Gabarito comentado
	Faça u=1+x∴x=u−1∴dx=duu=1+x∴x=u-1∴dx=du
∫5x2(1+x)13/dx=∫5(u−1)2u13/⋅du=5∫u2−2u+1u13/⋅du∫5x21+x13dx=∫5u-12u13·du=5∫u2-2u+1u13·du
=5⋅(∫u53/du+∫u−13/du)=5⋅(38u83/−2⋅35u53/+32u23/)+C=5·∫u53du+∫u-13du=5·38u83-2·35u53+32u23+C
∫5x2(1+x)13/dx=158⋅(1+x)83/−6⋅(1+x)53/+152⋅(1+x)23/+C
	
	 
		
	
		1.
		Seja a função f(x)=x3−3xf(x)=x3−3x. Encontre a antiderivada de f(x) sendo a condição inicial é F(x) = 10, quando x = 2.
	
	
	
	x44−32x2x44−32x2
	
	
	x44−32x2+8x44−32x2+8
	
	
	x44−32x2−12x44−32x2−12
	
	
	x44−32x2+2x44−32x2+2
	
	
	x44−32x2+12x44−32x2+12
	
	
	 
		
	
		2.
		Em qualquer ponto (x,y) de uma determinada curva,a reta tangente tem uma inclinação igual a 3x−83x−8. Se a curva contém o ponto (-2,7), qual a sua equação?
	
	
	
	A função será:
f(x)=12x2−4x−15f(x)=12x2−4x−15
	
	
	A função será:
f(x)=x2−x−15f(x)=x2−x−15
	
	
	A função será:
f(x)=32x2−8x−15f(x)=32x2−8x−15
	
	
	A função será:
f(x)=x2−8x−15f(x)=x2−8x−15
	
	
	A função será:
f(x)=32x2−8xf(x)=32x2−8x
	
Explicação:
f′(x)=3x−8f′(x)=3x−8
f(x)=∫f′(x)dx=32x2−8x+Cf(x)=∫f′(x)dx=32x2−8x+C
Para x = -2, f(x) = 7, então: C = - 15
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Ache a solução completa da equação diferencial dydx=2x4ydydx=2x4y
	
	
	
	xy22=2xy55+Cxy22=2xy55+C
	
	
	y2=2x55+Cy2=2x55+C
	
	
	y2=x55+Cy2=x55+C
	
	
	y2=2x25+Cy2=2x25+C
	
	
	y22=2x55+Cy22=2x55+C
	
Explicação:
ydy=2x4dxydy=2x4dx
∫ydy=∫2x4dx∫ydy=∫2x4dx
y22=2x55+Cy22=2x55+C
Aula 8
Atividades
1. A integral indefinida ∫x2x3+1dx∫x2x3+1dx pode ser corretamente descrita por:
a) ln ∣∣x2∣∣+Cln x2+C
b) 13⋅ln |x|+C13·ln x+C
c) ln |x|+Cln x+C
d) 13⋅ln ∣∣x3+1∣∣+C13·ln x3+1+C
e) ln ∣∣x3+1∣∣+Cln x3+1+C
Gabarito comentado
Infelizmente, você errou!
Resposta correta: letra (d).
	Para a resolução da integral indefinida é necessário que você faça uma substituição simples.
Assim:
u=x3+1∴du=3x2⋅dxu=x3+1∴du=3x2·dx
∫x2x3+1dx=∫1u⋅du3=13⋅∫1u⋅du=13⋅ln u+C∫x2x3+1dx=∫1u·du3=13·∫1u·du=13·ln u+C
Consequentemente:
∫x2x3+1dx=13⋅ln ∣∣x3+1∣∣+C∫x2x3+1dx=13·ln x3+1+C
2. A integral definida por ∫32ln xxdx∫23ln xxdx representa graficamente uma região cuja área em unidades quadradas é de:
a) (ln 3)22−(ln 2)22ln 322-ln 222
b) (ln 3)32−(ln 2)32ln 332-ln 232
c) ln 32−ln 22ln 32-ln 22d) ln 3−ln 2ln 3-ln 2
e) e3−e2e3-e2
Gabarito comentado
Parabéns! Você acertou!
Resposta correta: letra (a).
	Mais uma vez a resolução da integral exige que se faça uma substituição simples.
Logo:
u=ln x∴du=1xdxu=ln x∴du=1xdx
Quando x=2→u=ln 2x=2→u=ln 2
Quando x=3→u=ln⁡3
∫32ln xxdx=∫ln 3ln 2udu=u22]ln 3ln 2=(ln 3)22−(ln 2)22∫23ln xxdx=∫ln 2ln 3udu=u22ln 2ln 3=ln 322-ln 222
3. A integral indefinida dada por ∫dx3−2x∫dx3-2x pode ser representada corretamente por:
a) −12⋅ln |−3+2x|+C-12·ln -3+2x+C
b) ln |−2x|+Cln -2x+C
c) −12⋅ln |3−2x|+C-12·ln 3-2x+C
d) ln |3−2x|+Cln 3-2x+C
e) −12⋅ln |2x|+C-12·ln 2x+C
Gabarito comentado
Parabéns! Você acertou!
Resposta correta: letra (c).
	Fazendo a substituição simples 3−2x=u∴−2dx=du3-2x=u∴-2dx=du
∫dx3−2x=∫1u⋅−du2=−12∫1udu=−12⋅ln u+C∫dx3-2x=∫1u·-du2=-12∫1udu=-12·ln u+C
Consequentemente:
∫dx3−2x=−12⋅ln |3−2x|+C∫dx3-2x=-12·ln 3-2x+C
4. O valor da integral definida ∫41x5−x3x3dx∫14x5-x3x3dx é corretamente dado por: (Sugestão: divida o numerador pelo denominador).
a) 34/34
b) 103/103
c) 157/157
d) 139/139
e) 274/274
Gabarito
Parabéns! Você acertou!
Resposta correta: letra (e).
	Para continuar, você precisa lembrar, mais uma vez, de como se dividem polinômios. O princípio é:
A(x)=B(x)⋅Q(x)+R(x)Ax=Bx·Qx+R(x)
x5−x=(3x3)⋅(x23−13x2)∴x5−x3x3=13⋅(x2−1x2)x5-x=3x3·x23-13x2∴x5-x3x3=13·x2-1x2
Consequentemente:
∫x5−x3x3dx=13∫(x2−1x2)dx=13∫x2dx−13∫1x2dx=19x3+13⋅1x+C∫x5-x3x3dx=13∫x2-1x2dx=13∫x2dx-13∫1x2dx=19x3+13·1x+C
∫41x5−x3x3dx=19x3+13⋅1x]41=25936−49=274∫14x5-x3x3dx=19x3+13·1x14=25936-49=274
5. Em um circuito elétrico, a força eletromotriz (E)(E) varia com relação ao tempo (t)(t) segundo a equação E=2⋅sin 3tE=2·sin 3t.
Assim sendo, ache o valor médio de EE no intervalo de tempo de t=0 st=0 s a t=π3 s.
Gabarito comentado
Gabarito comentado
	A resposta deve ser encontrada aplicando-se o teorema do valor médio. Desta forma,
V.M=1(π3/−0)⋅∫π3/02⋅sin 3t⋅dtV.M=1π3-0·∫0π32·sin 3t·dt
Fazendo a substituição simples: 3t=u∴3∙dt=du
Quando t=π3/→u=πt=π3→u=π
Quando t=0→u=0t=0→u=0
2∫sin 3t⋅dt=2∫sin u⋅du3=23⋅(−cos u)+C2∫sin 3t·dt=2∫sin u·du3=23·-cos u+C
2∫π3/0sin 3t⋅dt=23⋅∫π0sin u⋅du=−23⋅cos u]π0=−23(cos π−cos 0)=432∫0π3sin 3t·dt=23·∫0πsin u·du=-23·cos u0π=-23cos π-cos 0=43
Consequentemente:
V.M=1π3/⋅43=4π V.M=1π3·43=4π 
6. A integral definida ∫10(y2+2y)y3+3y2+4√3dy∫01y2+2yy3+3y2+43dy corresponde à uma região cuja área em unidades quadradas é:
a) 13/13
b) 2−2√32-23
c) 2
d) 2√2
e) 2−2√2-2
Gabarito
Parabéns! Você acertou!
Resposta correta: letra (b).
	Utilizando a substituição y3+3y2+4=u∴(3y2+6y)dy=duy3+3y2+4=u∴3y2+6ydy=du
(y2+2y)dy=du3y2+2ydy=du3
Quando y=1→u=8y=1→u=8
Quando y=0→u=4y=0→u=4
∫10(y2+2y)y3+3y2+4√3dy=∫841u√3⋅du3=13∫84u−13/du=13⋅32⋅u23/]84=2−2√3∫01y2+2yy3+3y2+43dy=∫481u3·du3=13∫48u-13du=13·32·u2348=2-23
7. A integral indefinida ∫dx1−4x2√∫dx1-4x2 é corretamente expressa por:
a) sin−1 (2x)+Csin-1 2x+C
b) sin−1 (x)+Csin-1 x+C
c) 12⋅sin−1 (x)+C12·sin-1 x+C
d) 12⋅sin−1 (2x)+C12·sin-1 2x+C
e) sin−1 (x2)+Csin-1 x2+C
Gabarito comentado
Parabéns! Você acertou!
Resposta correta: letra (d).
	Você pode escrever 1−4x21-4x2 como 1−(2x)21-2x2. Assim:
∫dx1−4x2√=12∫d(2x)1−(2x)2√=12⋅sin−1 (2x)+C∫dx1-4x2=12∫d(2x)1-2x2=12·sin-1 2x+C
Lembrando que:
∫dua2−u2√=sin−1 (ua)+C∫dua2-u2=sin-1 ua+C
8. A área da região S pode ser calculada pela integral definida ∫ππ2/(cos 2x−sin 2x)dx∫π2πcos 2x-sin 2xdx. Qual o valor em unidades quadradas para a área S?
a) 1
b) 12/12
c) 34/34
d) 2
e) 13/13
Gabarito comentado
Parabéns! Você acertou!
Resposta correta: letra (a).
	Uma das maneiras de se resolver a integral definida será apresentada abaixo. Nessa resolução, usaremos as identidades trigonométricas apresentadas.
cos(2x)−sin (2x)=cos (2x)−cos(π2−2x)=−2⋅sin π4⋅sin (2x−π4)=−2√⋅sin (2x−π4)cos2x-sin 2x=cos 2x-cosπ2-2x=-2·sin π4·sin 2x-π4=-2·sin 2x-π4
∫ππ2/(cos 2x−sin 2x)dx=−2√∫ππ2/sin (2x−π4)dx∫π2πcos 2x-sin 2xdx=-2∫π2πsin 2x-π4dx
Fazendo 2x−π4=u∴dx=du22x-π4=u∴dx=du2
Quando x=π2/x=π2, u=3π4/u=3π4
Quando x=πx=π, u=7π4/u=7π4
−2√∫ππ2/sin (2x−π4)dx=−2√2∫7π4/3π4/sin u⋅du=2√2⋅cos u]7π4/3π4/=1-2∫π2πsin 2x-π4dx=-22∫3π47π4sin u·du=22·cos u3π47π4=1
9. Calcule o valor da integral definida dada por ∫π0cos 2x⋅cos 4x⋅dx∫0πcos 2x·cos 4x·dx
Gabarito
Gabarito
	Novamente podemos utilizar as identidades trigonométricas para começar a resolver a integral.
Lembrando que:
cos p+cos q=2⋅cos (p+q2)⋅cos (p−q2)cos p+cos q=2·cos p+q2·cos p-q2
Temos:
{p+q2=4p−q2=2∴{p+q=8p−q=4∴p=6, q=2p+q2=4p-q2=2∴p+q=8p-q=4∴p=6, q=2
Assim: 2⋅cos 4x⋅cos 2x=cos 6x+cos 2x2·cos 4x·cos 2x=cos 6x+cos 2x
∫π0cos 2x⋅cos 4x⋅dx=∫π0(cos 6x+cos 2x2)⋅dx=12⋅[∫π0cos 6x⋅dx+∫π0cos 2x⋅dx]∫0πcos 2x·cos 4x·dx=∫0πcos 6x+cos 2x2·dx=12·∫0πcos 6x·dx+∫0πcos 2x·dx
6x=u∴dx=du6;2x=t∴dx=dt26x=u∴dx=du6;2x=t∴dx=dt2
Quando x=0→u=0, t=0x=0→u=0, t=0
Quando x=π→u=6π, t=6πx=π→u=6π, t=6π
12⋅[16∫6π0cos u⋅du+12⋅∫6π0cos t⋅dt]=112⋅sin u]6π0+14⋅sin t]6π0=012·16∫06πcos u·du+12·∫06πcos t·dt=112·sin u06π+14·sin t06π=0
Assim:
∫π0cos 2x⋅cos 4x⋅dx=0∫0πcos 2x·cos 4x·dx=0
A região foi preenchida com 1000 retângulos inscritos indicados em azul.
 Figura 5: Região definida pelo o eixo x, as retas x=0 e x=π, e pela função f(x)=cos⁡〖2x∙cos⁡4x 〗.
10. Resolva a integral indefinida dada por ∫1+ln xx⋅ dx ∫1+ln xx· dx 
Gabarito
Gabarito
	Devemos aplicar a substituição simples 1+ln x=u∴1x⋅dx=du1+ln x=u∴1x·dx=du
Consequentemente: ∫1+ln xx⋅dx=∫u⋅du=12u2+C∫1+ln xx·dx=∫u·du=12u2+C
Finalmente: ∫1+ln xx⋅dx=12⋅[1+ln x]2+C
		Encontre a integral indefinida dada por ∫1+ln(x)xdx∫1+ln(x)xdx
	
	
	
	12[1−ln(x)]3+C12[1−ln(x)]3+C
	
	
	13[1−ln(x)]2+C13[1−ln(x)]2+C
	
	
	[1+ln(x)]2+C[1+ln(x)]2+C
	
	
	2∗[1+ln(x)]2+C2∗[1+ln(x)]2+C
	
	
	12[1+ln(x)]2+C12[1+ln(x)]2+C
	
Explicação:
Para resolver, aplique a substuição simples: u = 1 + ln(x), du=1xdxdu=1xdx
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Encontre a integral indefinida dada por ∫√x1+√xdx∫x1+xdx
	
	
	
	3x−√x+4∗ln∣√x+1∣−7+C3x−x+4∗ln∣x+1∣−7+C
	
	
	x+2∗ln∣√x+1∣−3+Cx+2∗ln∣x+1∣−3+C
	
	
	−2√x+ln∣√x∣−3+C−2x+ln∣x∣−3+C
	
	
	x−2√x+2∗ln∣√x+1∣−3+Cx−2x+2∗ln∣x+1∣−3+C
	
	
	x−√x+2∗ln∣√x+3∣+3+Cx−x+2∗ln∣x+3∣+3+C
	
Explicação:
Faça a substituição simples: u=1+√xu=1+x
Depois divida o polinômio e obtenha: u2−2u+1u=u−2+1uu2−2u+1u=u−2+1u
Após a integração, teremos a resposta.
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Encontre a integral indefinida ∫x.sin(4x)dx∫x.sin(4x)dx
	
	
	
	−14x.cos(4x)+116.sin(4x)+C−14x.cos(4x)+116.sin(4x)+C
	
	
	−18x.cos(2x)+18.sin(2x)+C−18x.cos(2x)+18.sin(2x)+C
	
	
	18x.cos(4x)−116.sin(4x)+C18x.cos(4x)−116.sin(4x)+C
	
	
	14x.cos(x)+118.sin(x)+C14x.cos(x)+118.sin(x)+C
	
	
	x.cos(4x)+sin(4x)+Cx.cos(4x)+sin(4x)+C
	
Explicação:
É necessário aplicar o conceito de integração por partes:
Faça: u = x e v' = sin(4x)
∫udv=uv−∫vdu∫udv=uv−∫vdu
	
AULA9
Atividades
1. A integral indefinida ∫dx2x3 + x∫dx2x3 + x é corretamente dada por:
a) ln∣∣x2∣∣−12∙ln∣∣2x2∣∣+Cln⁡x2-12∙ln⁡2x2+C
b) ln∣∣x2∣∣−12∙ln∣∣2x2∣∣+Cln⁡x2-12∙ln⁡2x2+C
c) ln|x|−14∙ln∣∣2x2+1∣∣+Cln⁡x-14∙ln⁡2x2+1+C
d) ln|x|+12∙ln∣∣2x2+1∣∣+Cln⁡x+12∙ln⁡2x2+1+C
e) ln|x|−12∙ln∣∣2x2+1∣∣+Cln⁡x-12∙ln⁡2x2+1+C
Gabarito comentado
Parabéns! Você acertou!
Resposta correta: letra (e).
	∫dx2x3 + x=∫dxx(2x2+1)∫dx2x3 + x=∫dxx2x2+1
1x(2x2+1)≡Ax+Bx+C2x2+1=A∙(2x2+1)+(Bx+C)∙xx∙(2x2+1)1x(2x2+1)≡Ax+Bx+C2x2+1=A∙2x2+1+(Bx+C)∙xx∙2x2+1
⎧⎩⎨⎪⎪2A+B=0C=0A=1∴A=1, B=−2, C=02A+B=0C=0A=1∴A=1, B=-2, C=0
∫dxx(2x2+1)≡∫dxx+∫−2x2x2+1dx=ln|x|−12∙ln∣∣2x2+1∣∣+C∫dxx2x2+1≡∫dxx+∫-2x2x2+1dx=ln⁡x-12∙ln⁡2x2+1+C
Resolvendo a segunda integral:
∫−2x2x2+1dx=−2∫x2x2+1dx=−24∫duu=−12∙ln|u|+C=−12∙ln∣∣2x2+1∣∣+C1∫-2x2x2+1dx=-2∫x2x2+1dx=-24∫duu=-12∙ln⁡u+C=-12∙ln⁡2x2+1+C1
2. Calcule a integral indefinida ∫dx9x2+16∫dx9x2+16
Gabarito
Gabarito
	Aplique a substituição x=4u3/x=4u3
∫dx9x2+16=43∫du16(u2+1)=112∫duu2+1=112∙tg−1(u)+C∫dx9x2+16=43∫du16u2+1)=112∫duu2+1=112∙tg-1⁡u+C
∫dx9x2+16=112∙tg−1(3x4)+C∫dx9x2+16=112∙tg-1⁡3x4+C
3. Calcule a integral definida ∫101 + x1 + x2dx∫011 + x1 + x2dx
Gabarito
Gabarito
	1+x1+x2≡11+x2+x1+x21+x1+x2≡11+x2+x1+x2
∫1+x1+x2dx=∫11+x2dx+∫x1+x2dx=tg−1(x)+12∙ln∣∣1+x2∣∣+C∫1+x1+x2dx=∫11+x2dx+∫x1+x2dx=tg-1⁡x+12∙ln⁡1+x2+C
∫101+ x1 + x2dx=tg−1(x)+12∙ln∣∣1+x2∣∣∣∣10=π4+ln22∫011 + x1 + x2dx=tg-1⁡x+12∙ln⁡1+x201=π4+ln⁡22
4. Calcule a integral indefinida ∫dww2w2−7√∫dww2w2-7
Gabarito
Gabarito
	Aplicar a integração por substituição w=7√∙secuw=7∙sec⁡u
∫dww2w2−7√=∫tgu7√∙secu∙7∙sec2u−7√du∫dww2w2-7=∫tg⁡u7∙sec⁡u∙7∙sec2u-7du
Seja 7∙sec2u−7−−−−−−−−−−√=7√∙sec2u−1−−−−−−−−√7∙sec2u-7=7∙sec2u-1
17√∙∫tgusecu∙7√∙sec2u−1√du17∙∫tg⁡usec⁡u∙7∙sec2u-1du
Usando a identidade: sec2u−tg2u=1sec2u-tg2u=1
17√∙∫tgusecu∙7√∙sec2u−1√du=17√∙∫tgusecu∙7√∙tg2u√du17∙∫tg⁡usec⁡u∙7∙sec2u-1du=17∙∫tg⁡usec⁡u∙7∙tg2udu
Assumindo que tgu≥0tg⁡u≥0, tg2u−−−−√=tg utg2u=tg u.
Simplificando e removendo a constante:
17∙∫1secudu=17∫cosu∙du=17∙sinu+C∴∫dww2w2−7√=17∙sin(sec−1w7√)+C17∙∫1sec⁡udu=17∫cos⁡u∙du=17∙sin⁡u+C∴∫dww2w2-7=17∙sin⁡sec-1⁡w7+C
Para simplificar, utilize a relação sin(sec−1t)=1−1t2−−−−−√sin⁡sec-1⁡t=1-1t2
∫dww2w2−7√=17∙sin(sec−1w7√)+C=17∙1−1(w7)2−−−−−−−√+C=w2−7√7w+C∫dww2w2-7=17∙sin⁡sec-1⁡w7+C=17∙1-1w72+C=w2-77w+C
5. Calcule a integral indefinida ∫3x2 − x + 1x3 − x2dx∫3x2 - x + 1x3 - x2dx
Gabarito
Gabarito
	∫3x2 − x + 1x3 − x2dx=3∙ln|x−1|+1x+C∫3x2 - x + 1x3 - x2dx=3∙ln⁡x-1+1x+C
6. Calcule o valor da integral definida ∫50(x2−3)x3 + 4x2+ 5x + 2dx∫05x2-3x3 + 4x2+ 5x + 2dx
Gabarito
Gabarito
	∫50(x2−3)x3 + 4x2+ 5x + 2dx=ln|x+2|+2x+1∣∣50=ln(72)−53≅−0,4139
		1.
		Encontre a integral indefinida ∫(x2+3x−3)(x−1)dx∫(x2+3x−3)(x−1)dx
	
	
	
	x−ln[x+1]+23∗(x+1)2−5+Cx−ln[x+1]+23∗(x+1)2−5+C
	
	
	x+ln[x+1]+14∗(x−1)3−5+Cx+ln[x+1]+14∗(x−1)3−5+C
	
	
	5+12∗(x−1)2−3+C5+12∗(x−1)2−3+C
	
	
	ln[x−1]+52∗(x−1)3+Cln[x−1]+52∗(x−1)3+C
	
	
	5x+ln[x−1]+12∗(x−1)2−5+C5x+ln[x−1]+12∗(x−1)2−5+C
	
Explicação:
Faça: ∫x2(x−1)dx+∫3x(x−1)dx−∫3(x−1)dx∫x2(x−1)dx+∫3x(x−1)dx−∫3(x−1)dx
Aplique a divisão de polinômios e a técnica de frações parciais
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Encontre a integral indefinida ∫x22x+1dx∫x22x+1dx
	
	
	
	[x2−x+2∗ln[2x+1]−3]+C[x2−x+2∗ln[2x+1]−3]+C
	
	
	116∗[−4x+ln[2x+1]]+C116∗[−4x+ln[2x+1]]+C
	
	
	116∗[4x2+2∗ln[2x+1]]+C116∗[4x2+2∗ln[2x+1]]+C
	
	
	4x2−4x+2∗ln[2x+1]−3+C4x2−4x+2∗ln[2x+1]−3+C
	
	
	116∗[4x2−4x+2∗ln[2x+1]−3]+C116∗[4x2−4x+2∗ln[2x+1]−3]+C
	
Explicação:
A técnica de frações parciais deve ser aplicada ou, mais rapidamente, a substituição:
u=2x+1u=2x+1
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Encontre a integral indefinida ∫x2x+1dx∫x2x+1dx
	
	
	
	(x)22+x+1+ln[x]+C(x)22+x+1+ln[x]+C
	
	
	(x+1)22(x+1)+ln[x]+C(x+1)22(x+1)+ln[x]+C
	
	
	(x+1)2+(x+1)+ln[x]+C(x+1)2+(x+1)+ln[x]+C
	
	
	(x+1)24−2+ln[3x+1]+C(x+1)24−2+ln[3x+1]+C
	
	
	(x+1)22−2(x+1)+ln[x+1]+C(x+1)22−2(x+1)+ln[x+1]+C
	
Explicação:
A técnica de frações parciais pode ser aplicada.
No entanto, a resolução fica mais rápida se a substituição abaixo for considerada:
u=x+1
Atividade
1. Calcule a área compreendida entre as curvas y=x2y=x2 e y=2xy=2x.
Gabarito comentado
Gabarito comentado
Os pontos de intersecção entre a parábola e a reta devem ser encontrados. Assim: x2=2x∴x(x−2)=0x2=2x∴xx-2=0
Pontos de intersecção: (0,0) e (2,4)
Desta forma, a área pode ser calculada por:
	A=∫20[2x−x2]dx=43  u.qA=∫022x-x2dx=43  u.q
2. Determine o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo x, da região limitada por y=x2y=x2, x=2x=2 e x=0
Gabarito
Gabarito
	V=π∫ba[f(x)]2dxV=π∫abf(x)2dx
V=π∫20[x2]2dx=π∫20x4dx=π(x55)]20=325π  u.c.V=π∫02x22dx=π∫02x4dx=πx5502=325π  u.c.
3. Determine o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo xx, da região limitada por y=e−xy=e-x, x=1, x=0x=1, x=0 e y=0y=0.
Gabarito
Gabarito
	V=π∫ba[f(x)]2dxV=π∫abf(x)2dx
V=π∫10[e−x]2dx=π∫10e−2xdx=π2∙[1−1e2]  u.c.V=π∫01e-x2dx=π∫01e-2xdx=π2∙1-1e2  u.c.
Observação:
∫e−2xdx=−12∙e−2x+C∫e-2xdx=-12∙e-2x+C
4. Determine a área da região limitada por f(x)=8−x2fx=8-x2 e g(x)=x2gx=x2.
Gabarito comentado
Gabarito comentado
Os pontos de intersecção entre as funções devem ser determinados. Assim:
	8−x2=x2∴x1=−2   e   x2=28-x2=x2∴x1=-2   e   x2=2
Logo: P1P1(-2,4) e P2P2(2,4).
Um esboço do gráfico fornece a Figura abaixo:
	A=∫2−2[(8−x2)−x2]dx=∫2−2[8−2x2]dxA=∫-228-x2-x2dx=∫-228-2x2dx
A=643 u.qA=643 u.q
5. Calcule o volume gerado pela rotação, em torno do eixo xx, da região limitada pela curva y=x2y=x2, o eixo xx e as retas x = 1 x = 1  e x = 2 x = 2 .
Gabarito comentado
Gabarito comentado
Na figura abaixo há o esboço do gráfico e da superfície de revolução gerada.
	A rotação foi executada em torno do eixo yy. Portanto:
y=x2∴x=y√y=x2∴x=y
Para x = 1 → y = 1x = 1 → y = 1; para x = 2 → y = 4x = 2 → y = 4
V=π∫41[y√]2dy=π∫41y∙dy=π2∙[42−12]=15π2 u.c.
		1.
		O comprimento do arco de parábola y=x2+1y=x2+1,  para 0≤x≤20≤x≤2 terá um valor de:
	
	
	
	171/2+14∗ln[4+171/2]171/2+14∗ln[4+171/2]
	
	
	171/2+14171/2+14
	
	
	14∗ln[4+171/2]14∗ln[4+171/2]
	
	
	17+ln[4+171/2]17+ln[4+171/2]
	
	
	171/2171/2
	
	
	 
		
	
		2.
		Seja f(x)=x2f(x)=x2, com 0≤x≤20≤x≤2
Determine o volume do sólido obtido pela revolução do gráfico de f(x) em torno do eixo x.
	
	
	
	π5π5 unidades cúbicas
	
	
	32π32π unidades cúbicas
	
	
	3π53π5 unidades cúbicas
	
	
	32π532π5 unidades cúbicas
	
	
	2π52π5 unidades cúbicas
	
Explicação:
Para encontrar o volume, o aluno deve resolver a integral:
V = ∫20π(x2)2dx∫02π(x2)2dx
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Dada um função definida como f(x)=3f(x)=3, o volume do sólido de revolução, no intervalo x=0x=0  a  x=5x=5 , obtido pela rotação de f(x) em torno do eixo x, é dado por:
	
	
	
	50π50π  unidades cúbicas
	
	
	90π90π  unidades cúbicas
	
	
	45π45π  unidades cúbicas
	
	
	25π25π  unidades cúbicas
	
	
	9π9π  unidades cúbicas
	
Explicação:
A resposta pode ser facilmente encontrada aplicando-se:
V=∫50π∗32dxV=∫05π∗32dx
	 1.
	Ref.: 3078942
	Pontos: 0,00  / 1,00
	
	O limite da função f(x) expresso por limx→3x2−92√x2+7−4limx→3x2−9x2+72−4 é corretamente dado por:
		
	 
	0
	
	4
	 
	8
	
	0/0
	
	+ ∞∞
	
	
	 2.
	Ref.: 3079474
	Pontos: 0,00  / 1,00
	
	A função f(x) = 5x2+8x−33x2−25x2+8x−33x2−2 é contínua no intervalo:
		
	
	Apenas em [−√6,+∞)[−6,+∞)
	 
	∀x∀x ∈∈ R, exceto x = −√63−63 e x = √6363  
	
	Apenas em (√6,+∞)(6,+∞)
	
	(−∞,+∞)(−∞,+∞)
	 
	A função não é contínua apenas em x = 0
	
	
	 3.
	Ref.: 3079491
	Pontos: 1,00  / 1,00
	
	Encontre as tangentes horizontais no gráfico da função f(x) = x4−2x2+2x4−2x2+2
		
	
	As tangentes horizontais serão encontradas em (0,2), (1,1).
	
	As tangentes horizontais serão encontradas em (0,0), (0,1) e (-1,0).
	
	Não há tangentes horizontais para a função f(x) informada no problema.
	 
	As tangentes horizontais serão encontradas em (0,2), (1,1) e (-1,1).
	
	As tangentes horizontais serão encontradas em (1,1) e (-1,1).
	
	
	 4.
	Ref.: 3085423
	Pontos: 0,00  / 1,00
	
	A derivada da função exp(x2x3−1)exp(x2x3−1) é dada por:
		
	
	f′(x)=exp(x2x−1)∗[2xx−1−x4(x−1)2]f′(x)=exp(x2x−1)∗[2xx−1−x4(x−1)2]
	 
	f′(x)=exp(x2x3−1)∗[2xx3−1−3x4(x3−1)2]f′(x)=exp(x2x3−1)∗[2xx3−1−3x4(x3−1)2]
	 
	f′(x)=exp(xx3−1)∗[xx3−1−x4(x3−1)2]f′(x)=exp(xx3−1)∗[xx3−1−x4(x3−1)2]
	
	f′(x)=exp(1x3−1)∗[2x3−1−x4(x−1)2]f′(x)=exp(1x3−1)∗[2x3−1−x4(x−1)2]
	
	f′(x)=exp(x2x31)∗[2xx3+1−x4(x3−1)2]f′(x)=exp(x2x31)∗[2xx3+1−x4(x3−1)2]
	
	
	 5.
	Ref.: 3087423
	Pontos: 0,00  / 1,00
	
	A função f(x)=√xx+5f(x)=xx+5 apresenta:
		
	 
	É estritamente decrescente quando x → +∞+∞
	
	É definida apenas no intervalo [-5,-1]
	 
	Uma assíntota horizontal em y = 1
	
	Duas assíntotas verticais em x = - 5 e x = 5
	
	É estritamente crescente quando x → −∞−∞
	
	
	 6.
	Ref.: 3084349
	Pontos: 0,00  / 1,00
	
	Uma empresa de embalagens recebeu um pedido de caixas de papelão, onde o solicitante exigiu apenas que as caixas tivessem 15 litros de capacidade e uma altura de 20 centímetros. Quais são as dimensões das caixas para se obter o menor custo com o papelão?
Obs: as caixas devem ser no formato de paralelepípedos retos.
		
	
	As caixas devem ter o fundo quadrado de dimensões aproximadas de 21,386 cm x 21,386 cm
	 
	As caixas devem ter o fundo quadrado de dimensões aproximadas de 20,5cm x 27,386 cm
	
	As caixas devem ter o fundo quadrado de dimensões aproximadas de 7,4 cm x 25,386 cm
	 
	As caixas devem ter o fundo quadrado de dimensões aproximadas de 27,386 cm x 27,386 cm
	
	As caixas devem ter o fundo quadrado de dimensões aproximadas de 17,386 cm x 17,386 cm
	
	
	 7.
	Ref.: 3088751
	Pontos: 1,00  / 1,00
	
	A antiderivada da função x32−5x+7x32−5x+7 é dada por: 
		
	
	25x25+52x2+7x+C25x25+52x2+7x+C
	
	25x52−52x3+7x2+Cx25x52−52x3+7x2+Cx
	
	25x52−5x2+71x+C25x52−5x2+71x+C
	 
	25x52−52x2+7x+C25x52−52x2+7x+C
	
	x52−x2+7x+Cx52−x2+7x+C
	
	
	 8.
	Ref.: 3088799
	Pontos: 1,00  / 1,00
	
	A integral indefinida ∫3x2√x3+1dx∫3x2x3+1dx  é  dada por: 
		
	
	−23(x3+1)72+C−23(x3+1)72+C
	
	13(x3+1)52+C13(x3+1)52+C
	
	(x3+1)32+C(x3+1)32+C
	
	27(x3+1)12+C27(x3+1)12+C
	 
	23(x3+1)32+C23(x3+1)32+C
	
	
	 9.
	Ref.: 3084316
	Pontos: 1,00  / 1,00
	
	Encontre a integral indefinida ∫[cos(x)]3dx∫[cos(x)]3dx
		
	
	−sin(2x)−[sin(x)]33+C−sin(2x)−[sin(x)]33+C
	 
	sin(x)−[sin(x)]33+Csin(x)−[sin(x)]33+C
	
	sin(x)−[sin(x)]24+Csin(x)−[sin(x)]24+C
	
	cos(x)−[cos(x)]33+Ccos(x)−[cos(x)]33+C
	
	cos(x)−[sin(x)]23+Ccos(x)−[sin(x)]23+C
	
	
	 10.
	Ref.: 3083295
	Pontos: 0,00  / 1,00
	
	Calcule a área delimitada pelas funções f(x)=x+1f(x)=x+1 e  g(x)=x2−1g(x)=x2−1.
		
	
	Área = 9494 unidades quadradas
	 
	Área = 9292 unidades quadradas
	
	Área = 1212 unidades quadradas
	
	Área = 7272 unidades quadradas
	 
	Área = 99 unidades quadradas
	
		1a
          Questão
	Acerto: 1,0  / 1,0
	
	O limite da função f(x) expresso por
limx→2x4−16x−2limx→2x4−16x−2
é corretamente igual a:
		
	
	0/0
	
	2
	
	0
	 
	32
	
	16
	Respondido em 13/10/2020 19:05:08
	
	Explicação:
O aluno deve decompor o termo (x4−16)(x4−16) em (x+2)(x−2)(x2+4)(x+2)(x−2)(x2+4) e, então, aplicar o limite.
Assim, obterá como resposta 32.
	
		2a
          Questão
	Acerto: 1,0  / 1,0
	
	Determinar o maior intervalo (ou união de intervalos) em que a função a seguir é contínua:
√25−x2x+525−x2x+5
 
		
	
	A função é contínua no intervalo: (-5,+∞)+∞)
	 
	A função é contínua no intervalo (-5,5]
	
	A função é contínua no intervalo: (-∞∞,5]
	
	A função é contínua no intervalo: (0,5]
	
	A função é contínua ∀x∈R∀x∈ℜ
	Respondido em 13/10/2020 19:08:37
	
	Explicação:
Primeiro determinamos o domínio de f:
A função é definida em qualquer parte, exceto quando x = - 5 ou 25 - x2 < 0 (isto é, quando x < - 5 ou x > 5).
	
		3a
          Questão
	Acerto: 1,0  / 1,0
	
	Encontre a derivada de y=x2−1x2+1y=x2−1x2+1
		
	 
	f′(x)=f′(x)=4x(x2+1)24x(x2+1)2
	
	f′(x)=f′(x)=−3+x(x2−1)2−3+x(x2−1)2
	
	f′(x)=f′(x)=x(x2+1)2x(x2+1)2
	
	f′(x)=f′(x)=3+x(x2+1)23+x(x2+1)2
	
	f′(x)=f′(x)=4x(x2−1)24x(x2−1)2
	Respondido em 13/10/2020 19:17:59
	
	Explicação:
O aluno deve aplicar a regra do quociente com u=x2−1u=x2−1 e  v=x2+1v=x2+1 
ddxuv=v∗(du/dx)−u∗(dv/dx)v2ddxuv=v∗(du/dx)−u∗(dv/dx)v2
	
		4a
          Questão
	Acerto: 0,0  / 1,0
	
	Derive a função f(x)=1(1+sin(x))2f(x)=1(1+sin(x))2
		
	
	f′(x)=cos(x)[1+sin(x)]2f′(x)=cos(x)[1+sin(x)]2
	 
	f′(x)=−2∗cos(x)[1+sin(x)]3f′(x)=−2∗cos(x)[1+sin(x)]3
	
	f′(x)=2∗cos(x)[1+cos(x)]4f′(x)=2∗cos(x)[1+cos(x)]4
	 
	f′(x)=cos(x)[1+sec(x)]2f′(x)=cos(x)[1+sec(x)]2
	
	f′(x)=sin(x)[1+sin(x)]3f′(x)=sin(x)[1+sin(x)]3
	Respondido em 13/10/2020 19:19:13
	
	Explicação:
Faça: u=1+sin(x)u=1+sin(x)
f(u)=u−2f(u)=u−2
f′(u)=−2∗1u3f′(u)=−2∗1u3
dudx=cos(x)dudx=cos(x)
d(f(u)dx=dfdu∗dudxd(f(u)dx=dfdu∗dudx
	
		5a
          Questão
	Acerto: 0,0  / 1,0
	
	A função f(x)=x2−2xf(x)=x2−2x  apresenta a seguinte característica:
		
	 
	Apresenta um ponto de mínimo global em x = -2
	
	Não cruza o eixo x
	
	É definida em x = 0
	
	Apresenta um ponto de máximo global em x = 2
	 
	Apresenta assíntota horizontal definida em y = x
	Respondido em 13/10/2020 19:19:01
	
	Explicação:
O aluno deve gerar a primeira e a segunda derivada da função e, então, realizar o estudo segundo o conteúdo descrito na aula 05.
	
		6a
          Questão
	Acerto: 1,0  / 1,0
	
	O limite dado por limx→0sin(5x)3xlimx→0sin(5x)3x é dado por: 
		
	 
	5353
	
	-1515
	
	0
	
	-ππ
	
	1313
	Respondido em 13/10/2020 19:25:16
	
	Explicação:
O aluno deve aplicar a regra de L'Hôpital:
limx→05∗cos(5x)3=53limx→05∗cos(5x)3=53
	
		7a
          Questão
	Acerto: 1,0  / 1,0
	
	Seja a função f(x)=x3−3xf(x)=x3−3x. Encontre a antiderivada de f(x) sendo a condição inicial é F(x) = 10, quando x = 2.
		
	 
	x44−32x2+12x44−32x2+12
	
	x44−32x2−12x44−32x2−12
	
	x44−32x2+2x44−32x2+2
	
	x44−32x2x44−32x2
	
	x44−32x2+8x44−32x2+8
	Respondido em 13/10/2020 19:37:22
	
	Explicação:
F(x)=x44−32x2+CF(x)=x44−32x2+C
Quando F(2) = 10, então, C = 12
	
		8a
          Questão
	Acerto: 0,0  / 1,0
	
	Encontre a integral indefinida dada por ∫1+ln(x)xdx∫1+ln(x)xdx
		
	
	13[1−ln(x)]2+C13[1−ln(x)]2+C
	
	12[1−ln(x)]3+C12[1−ln(x)]3+C
	
	2∗[1+ln(x)]2+C2∗[1+ln(x)]2+C
	 
	[1+ln(x)]2+C[1+ln(x)]2+C
	 
	12[1+ln(x)]2+C12[1+ln(x)]2+C
	Respondido em 13/10/2020 19:45:34
	
	Explicação:
Para resolver, aplique a substuição simples: u = 1 + ln(x), du=1xdxdu=1xdx
	
		9a
          Questão
	Acerto: 0,0  / 1,0
	
	Encontre a integral indefinida ∫x22x+1dx∫x22x+1dx
		
	 
	116∗[4x2+2∗ln[2x+1]]+C116∗[4x2+2∗ln[2x+1]]+C
	
	116∗[−4x+ln[2x+1]]+C116∗[−4x+ln[2x+1]]+C
	 
	116∗[4x2−4x+2∗ln[2x+1]−3]+C116∗[4x2−4x+2∗ln[2x+1]−3]+C
	
	[x2−x+2∗ln[2x+1]−3]+C[x2−x+2∗ln[2x+1]−3]+C
	
	4x2−4x+2∗ln[2x+1]−3+C4x2−4x+2∗ln[2x+1]−3+C
	Respondido em 13/10/2020 19:50:28
	
	Explicação:
A técnica de frações parciais deve ser aplicada ou, mais rapidamente, a substituição:
u=2x+1u=2x+1
	
		10a
          Questão
	Acerto: 0,0  / 1,0
	
	Seja f(x)=x2f(x)=x2, com 0≤x≤20≤x≤2
Determine o volume do sólido obtido pela revolução do gráfico de f(x) em torno do eixo x.
		
	
	2π52π5 unidades cúbicas
	 
	32π532π5 unidades cúbicas
	 
	32π32π unidades cúbicas
	
	3π53π5 unidades cúbicas
	
	π5π5 unidades cúbicas
	Respondido em 13/10/2020 19:54:37
	
	Explicação:
Para encontrar o volume, o aluno deve resolver a integral:
V = ∫20π(x2)2dx∫02π(x2)2dx
	O limte lateral para a função f(x) representado por limx→2−2√x2−4x−2limx→2−x2−42x−2  é corretamente expresso por:
		
	
	-1
	
	−∞−∞
	
	00
	
	1
	 
	+∞+∞
	Respondido em 16/11/2020 16:43:58
	
	Explicação:
Como x → 2+, o aluno deve lembrar x - 2 > 0 e x−2=√(x−2)2x−2=(x−2)2
Além disso, (x2 - 4) = (x+2)(x-2)
	
		2a
          Questão
	Acerto: 1,0  / 1,0
	
	Determinar o maior intervalo (ou união de intervalos) em que a função a seguir é contínua:
√25−x2x+525−x2x+5
 
		
	
	A função é contínua ∀x∈R∀x∈ℜ
	
	A função é contínua no intervalo: (-5,+∞)+∞)
	
	A função é contínua no intervalo: (-∞∞,5]
	 
	A função é contínua no intervalo (-5,5]
	
	A função é contínua no intervalo: (0,5]
	Respondido em 16/11/2020 16:33:31
	
	Explicação:
Primeiro determinamos o domínio de f:
A função é definida em qualquer parte, exceto quando x = - 5 ou 25 - x2 < 0 (isto é, quando x < - 5 ou x > 5).
	
		3a
          Questão
	Acerto: 1,0  / 1,0
	
	Encontre a derivada de y=x2−1x2+1y=x2−1x2+1
		
	
	f′(x)=f′(x)=−3+x(x2−1)2−3+x(x2−1)2
	
	f′(x)=f′(x)=x(x2+1)2x(x2+1)2
	 
	f′(x)=f′(x)=4x(x2+1)24x(x2+1)2
	
	f′(x)=f′(x)=4x(x2−1)24x(x2−1)2
	
	f′(x)=f′(x)=3+x(x2+1)23+x(x2+1)2
	Respondido em 16/11/2020 16:27:20
	
	Explicação:
O aluno deve aplicar a regra do quociente com u=x2−1u=x2−1 e  v=x2+1v=x2+1 
ddxuv=v∗(du/dx)−u∗(dv/dx)v2ddxuv=v∗(du/dx)−u∗(dv/dx)v2
	
		4a
          Questão
	Acerto: 0,0  / 1,0
	
	A derivada da função exp(−xx2+3x−5)exp⁡(−xx2+3x−5) é dada por:
		
	
	f′(x)=exp(−xx2+x−5)∗[x∗(x+3)(x2+3x−5)2−1x2+x−5]f′(x)=exp(−xx2+x−5)∗[x∗(x+3)(x2+3x−5)2−1x2+x−5]
	
	f′(x)=exp(xx2+x−5)∗[x∗(2x−3)(x2+3x−5)3−xx2+3x−5]f′(x)=exp(xx2+x−5)∗[x∗(2x−3)(x2+3x−5)3−xx2+3x−5]
	 
	f′(x)=(−xx2+3x−5)∗[x∗(2x+3)(x2+3x−5)2−1x2+3x−5]f′(x)=(−xx2+3x−5)∗[x∗(2x+3)(x2+3x−5)2−1x2+3x−5]
	
	f′(x)=exp(xx3+3−5x)∗[x∗(x+3)(x3+3−5)2−xx2+3x−5]f′(x)=exp(xx3+3−5x)∗[x∗(x+3)(x3+3−5)2−xx2+3x−5]f′(x)=exp(−xx2+3x−5)∗[x∗(2x+3)(x2+3x−5)2−1x2+3x−5]f′(x)=exp(−xx2+3x−5)∗[x∗(2x+3)(x2+3x−5)2−1x2+3x−5]
	Respondido em 16/11/2020 16:44:39
	
	Explicação:
O aluno deve fazer: u=−xx2+3x−5u=−xx2+3x−5 e, então:
exp(u)∗dudxexp(u)∗dudx
	
		5a
          Questão
	Acerto: 1,0  / 1,0
	
	A função f(x)=x2−2xf(x)=x2−2x  apresenta a seguinte característica:
		
	
	Apresenta um ponto de máximo global em x = 2
	
	É definida em x = 0
	
	Apresenta um ponto de mínimo global em x = -2
	
	Não cruza o eixo x
	 
	Apresenta assíntota horizontal definida em y = x
	Respondido em 16/11/2020 16:50:35
	
	Explicação:
O aluno deve gerar a primeira e a segunda derivada da função e, então, realizar o estudo segundo o conteúdo descrito na aula 05.
	
		6a
          Questão
	Acerto: 1,0  / 1,0
	
	O limite dado por limx→0sin(5x)3xlimx→0sin(5x)3x é dado por: 
		
	
	1313
	 
	5353
	
	-1515
	
	0
	
	-ππ
	Respondido em 16/11/2020 16:37:46
	
	Explicação:
O aluno deve aplicar a regra de L'Hôpital:
limx→05∗cos(5x)3=53limx→05∗cos(5x)3=53
	
		7a
          Questão
	Acerto: 0,0  / 1,0
	
	Seja a função f(x)=x3−3xf(x)=x3−3x. Encontre a antiderivada de f(x) sendo a condição inicial é F(x) = 10, quando x = 2.
		
	
	x44−32x2+8x44−32x2+8
	
	x44−32x2−12x44−32x2−12
	
	x44−32x2+2x44−32x2+2
	 
	x44−32x2+12x44−32x2+12
	 
	x44−32x2x44−32x2
	Respondido em 16/11/2020 16:38:09
	
	Explicação:
F(x)=x44−32x2+CF(x)=x44−32x2+C
Quando F(2) = 10, então, C = 12
	
		8a
          Questão
	Acerto: 1,0  / 1,0
	
	Encontre a integral indefinida dada por ∫1+ln(x)xdx∫1+ln(x)xdx
		
	
	13[1−ln(x)]2+C13[1−ln(x)]2+C
	
	[1+ln(x)]2+C[1+ln(x)]2+C
	
	12[1−ln(x)]3+C12[1−ln(x)]3+C
	
	2∗[1+ln(x)]2+C2∗[1+ln(x)]2+C
	 
	12[1+ln(x)]2+C12[1+ln(x)]2+C
	Respondido em 16/11/2020 16:51:16
	
	Explicação:
Para resolver, aplique a substuição simples: u = 1 + ln(x), du=1xdxdu=1xdx
	
		9a
          Questão
	Acerto: 1,0  / 1,0
	
	Encontre a integral indefinida ∫(x2+3x−3)(x−1)dx∫(x2+3x−3)(x−1)dx
		
	
	ln[x−1]+52∗(x−1)3+Cln[x−1]+52∗(x−1)3+C
	 
	5x+ln[x−1]+12∗(x−1)2−5+C5x+ln[x−1]+12∗(x−1)2−5+C
	
	5+12∗(x−1)2−3+C5+12∗(x−1)2−3+C
	
	x−ln[x+1]+23∗(x+1)2−5+Cx−ln[x+1]+23∗(x+1)2−5+C
	
	x+ln[x+1]+14∗(x−1)3−5+Cx+ln[x+1]+14∗(x−1)3−5+C
	Respondido em 16/11/2020 16:54:34
	
	Explicação:
Faça: ∫x2(x−1)dx+∫3x(x−1)dx−∫3(x−1)dx∫x2(x−1)dx+∫3x(x−1)dx−∫3(x−1)dx
Aplique a divisão de polinômios e a técnica de frações parciais
	
		10a
          Questão
	Acerto: 0,0  / 1,0
	
	O comprimento do arco de parábola y=x2+1y=x2+1,  para 0≤x≤20≤x≤2 terá um valor de:
		
	
	14∗ln[4+171/2]14∗ln[4+171/2]
	 
	171/2+14∗ln[4+171/2]171/2+14∗ln[4+171/2]
	
	171/2+14171/2+14
	
	17+ln[4+171/2]17+ln[4+171/2]
	 
	171/2171/2
	Respondido em 16/11/2020 16:54:47
	
	Explicação:
Para encontrar o comprimento do arco:
f′(x)=2xf′(x)=2x
L=∫ba(1+[f′(x)]2)1/2dxL=∫ab(1+[f′(x)]2)1/2dx
Onde: a = 0 e b = 2