Calculo I- (Derivação Implícita, Derivadas de ordem superior)

Universidade Estadual do Rio de Janeiro
Faculdade de Formação de Professores
Departamento de Matemática
Cálculo I 2020.1 (Peŕıodo Acadêmico Emergencial) Profa Fernanda
Lista 8 (Derivação Impĺıcita, Derivadas de ordem superior)
1. Considere y = y(x) definida implicitamente por x4 − xy + y4 = 1. Calcule y′(0), sabendo que y(x) > 0,
∀x ∈ R.
2. Considere a curva cuja equação é (2− x)y2 = x3. Obtenha a equação da reta tangente ao gráfico da curva
em (1, 1).
3. Calcule a derivada segunda:
(a) f(x) = cos(4t)
(b) f(x) =
x2
x− 1
(c) f(x) = e−3x
(d) f(x) = ln(x2 + 1)
(e) f(x) = x lnx
(f) f(x) = xe−2x
4. Seja y = tet. Verifique que y′′ − 2y′ + y = 0.
5. Seja y = e2t. Verifique que y′′ − 4y = 0.
6. Seja f : R→ R função duas vezes diferenciável, com f(0) = −1 e f ′(0) = f ′′(0) = 2. Considere a função g
definida por g(x) = (f(x))2. cosx. Calcule g′′(0).
Respostas:
1. 1/4
2. y = 2x− 1
3. (a) −16 cos(4t) ; (b) 2
(x− 1)3
; (c) 9e−3x
(d)
2(1− x2)
(x2 + 1)2
; (e)
1
x
; (f) 4e−2x(x− 1)
6. 3