Equações de Maxwell

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Universidade Federal do Rio Grande do Norte
Departamento de Física Teórica e Experimental
Equações de Maxwell
Universidade Federal do Rio Grande do Norte
Departamento de F́ısica Teórica e Experimental (DFTE)
Eletromagnetismo Clássico I - FIS0619
Equações de Maxwell
Discente: Felipe Menescal Pinto de Medeiros
Matŕıcula: 20180056959
Professores: Márcio Assolin Correa e Felipe Bohn
Dezembro
2020
Introdução
O entusiasta Michael Faraday, contratado como ajudante da Royal Institution (instituição
voltada à pesquisa cient́ıfica situada em Londres fundada em 1799) realizou diversos experi-
mentos e descobertas, incluindo o desenvolvimento de pilhas voltaicas e bicos queimadores.
Porém, seus feitos mais notáveis estão presentes no campo do eletromagnetismo, incluindo
o motor elétrico e o fenômeno de indução eletromagnética. [1].
Todo este trabalho foi baseado quase que integralmente em experiências e observações, sem
muito desenvolvimento matemático. Coube à James Clerk Maxwell desenvolver teoricamente
os fenômenos documentados por Faraday. O trabalho teórico desenvolvido por Maxwell
descrevem como cargas elétricas e correntes alteram o espaço e dão origem a campos elétricos
e magnéticos. O resultado de sua pesquisa consistia em uma série de equações capaz de
explicar todos os fenômenos observados e documentados até então [2].
Dessa forma, Faraday e Maxwell juntamente com outros nomes (como Ampère e Ørsted)
foram responsáveis pela fusão das teorias elétricas em magnéticas numa só, batizada de
eletromagnetismo. Além disso, as equações de Maxwell também foram fundamentais para
a determinação teórica da velocidade da luz e da comprovação de que a mesma é uma onda
eletromagnética. As equações de Maxwell são pilares da F́ısica Moderna e permanecem
inalteradas até a atualidade, sendo responsáveis pelo surgimento de outras áreas e servindo
de inspiração para diversos cientistas, como Feynman e Einstein [3].
As equação de Maxwell escritas na forma integral são
∮
s
~E · ~dA = qin
ε0
(1)∮
s
~B · ~dA = 0 (2)∮
c
~E · ~dl = −∂ΦB
∂t
(3)∮
c
~B · ~dl = µ0iin + µ0ε0
∂ΦE
∂t
(4)
É posśıvel reescrever as equações acima em outra forma aplicando teoremas do cálculo dife-
rencial e integral [4]. Dessa maneira, temos alternativamente a forma diferencial das equações
de Maxwell apresentadas como
∇ · ~E = ρ
ε0
(5)
∇ · ~B = 0 (6)
∇× ~E = −∂
~B
∂t
(7)
∇× ~B = µ0~j + µ0ε0
∂ ~E
∂t
(8)
O objetivo deste trabalho é explorar essas equações bem como suas consequências f́ısicas.
1
Lei de Gauss da Eletricidade
∮
s
~E · ~dA = qin
ε0
(9)
Onde:
s é uma superf́ıcie fechada;
~E é o vetor campo elétrico;
~dA é um vetor de área que é perpendicular a superf́ıcie s em qualquer ponto de s;
qin é a carga envolvida por s;
ε0 é a permissividade elétrica do vácuo.
Descrição: o fluxo elétrico através da superf́ıcie Gaussiana s é proporcional à carga envolvida
pela superf́ıcie, gerando um campo elétrico.
Teorema. Teorema do Divergente.∮
s
~f · ~dA =
∫
V
(~∇ · ~f)dV
A integral da componente normal de qualquer campo vetorial, sobre uma superf́ıcie fechada,
é igual à integral da divergência desse campo através do volume envolvido pela superf́ıcie
fechada [5].
Definição. Carga envolvida.
qin =
∫
ρdV ; ρ : densidade de carga elétrica;
Aplicando o Teorema do Divergente para lei de Gauss, vamos encontrar que∮
s
~E · ~dA =
∫
V
(~∇ · ~E)dV = qin
ε0
(10)
A segunda igualdade na equação (10) pode ser reescrita com a definição de carga envolvida.
ε0
∫
V
(~∇ · ~E)dV = qin =
∫
ρdV (11)
Podemos escrever a equação (11) da forma
ε0
∫
V
(~∇ · ~E)dV −
∫
ρdV = 0 (12)
Como a diferença das integral é igual à integral da diferença, temos∫
V
(ε0~∇ · ~E − ρ)dV = 0 (13)
Para satisfazer a igualdade, o integrando deve ser nulo para qualquer volume, portanto
ε0~∇ · ~E − ρ = 0 (14)
Somando ρ e dividindo por ε0 em seguida a equação (14), chegamos à equação (5).
2
Lei de Gauss do Magnetismo
∮
s
~B · ~dA = 0 (15)
Onde:
s é uma superf́ıcie fechada;
~B é o vetor campo magnético;
~dA é um vetor de área que é perpendicular a superf́ıcie s em qualquer ponto de s;
Descrição: o fluxo magnético é nulo em uma superf́ıcie Gaussiana fechada, mostrando
que “cargas” magnéticas não podem ser separadas, umas vez que a quantidade de linhas de
campo magnético que entra na superf́ıcie fechada é igual à quantidade de linhas que sai.
Formalmente, prova-se que não existe monopolo magnético, sendo imposśıvel dissociar polos
norte e sul.
Aplicando o Teorema do Divergente para lei de Gauss, vamos encontrar que∮
s
~B · ~dA =
∫
V
(~∇ · ~B)dV = 0 (16)
A segunda igualdade na equação (16) pode ser reescrita como∫
V
(~∇ · ~B)dV = 0 (17)
Para satisfazer a igualdade em qualquer volume fechado o integrando deve ser nulo, portanto
~∇ · ~B = 0 (18)
Mostrando que a equação (2) pode ser reescrita como (18).
3
Lei de Faraday
∮
c
~E · ~dl = −∂ΦB
∂t
(19)
Onde:
c é um contorno fechado;
~E é o vetor campo elétrico;
~dl é um vetor tangente a c;
ΦB é o fluxo magnético que atravessa a superf́ıcie limitada por c.
Descrição: a variação temporal do fluxo magnético é capaz de gerar um campo elétrico,
consequentemente gerando uma diferença de potencial elétrico e uma corrente elétrica. Ini-
cialmente, este fenômeno foi observado por Faraday ao mover um imã em uma espira. O
sinal negativo satisfaz a condição de que a corrente induzida gera um campo que se opõe
a variação do fluxo na superf́ıcie da espira. Essa “correção” foi proposta por Heinrich Lenz
(fazendo com que essa equação também seja conhecida como Lei de Faraday-Lenz). Essa
correção faz com que a aproximação do imã através da espira se dê através da realização de
trabalho, preservando assim a lei da conservação de energia.
Teorema. Teorema de Stokes. ∮
c
~V · ~dl =
∫
s
(~∇× ~V ) · ~dA
A integral da componente tangente à superf́ıcie de qualquer campo vetorial, sobre uma linha
fechada, é igual à integral da componente normal do rotacional do campo vetorial sobre a
superf́ıcie [5].
Aplicando o Teorema de Stokes para a lei de Faraday, vamos encontrar que∮
c
~E · ~dl =
∫
s
(~∇× ~E) · ~dA = −∂ΦB
∂t
(20)
O fluxo magnético é dado por
ΦB =
∫
s
~B · ~dA (21)
Portanto, podemos escrever (20) como sendo∫
s
(~∇× ~E) · ~dA = − ∂
∂t
∫
s
~B · ~dA (22)
As integrais em relação à ~dA numa superf́ıcie são iguais, portanto os integrandos também
são iguais. Logo
~∇× ~E = −∂
~B
∂t
(23)
Podemos, portanto, escrever a equação (3) como (23).
4
Lei de Ampère
∮
c
~B · ~dl = µ0iin + µ0ε0
∂ΦE
∂t
(24)
Onde:
c é um contorno fechado;
~B é o vetor campo magnético;
~dl é um vetor tangente a c;
µ0 é a permeabilidade magnética no vácuo;
iin é a corrente elétrica que atravessa c;
ε0 é a permissividade elétrica do vácuo.
ΦE é o fluxo elétrico que atravessa a superf́ıcie limitada por c.
Descrição: a geração de um campo magnético ~B pode ser feita de duas maneiras: pela
circulação de corrente ou pela variação do fluxo elétrico.
Definição. Corrente envolvida.
iin =
∫
s
~j · ~dA ; ~j : densidade de corrente; ; [j]S.I. = A/m2
Sabemos que o fluxo elétrico é dado por
ΦE =
∫
s
~E · ~dA (25)
Aplicando o Teorema de Stokes para lei de Ampère, vamos encontrar que∮
c
~B · ~dl =
∫
s
(~∇× ~B) · ~dA = µ0iin + µ0ε0
∂ΦE
∂t
(26)
Incluindo a definição de densidade de corrente juntamente com a equação (25), podemos
escrever a equação (26) como∫
s
(~∇× ~B) · ~dA = µ0
∫
s
~j · ~dA+ µ0ε0
∂
∂t
[∫
s
~E · ~dA
]
(27)
Agrupando os termos com integrais, temos∫
s
(
~∇× ~B − µ0~j − µ0ε0
∂ ~E
∂t
)
= 0 (28)
Para que esta igualdade seja verdadeira, é necessário que seu integrando seja nulo. Portanto,
temos que
∇× ~B = µ0~j + µ0ε0
∂ ~E
∂t
(29)
Assim, podemos escrever a equação (4) como (29).
5
Consequências
Como dito anteriormente, as equações de Maxwell são capazes de explicaros eventos ele-
tromagnéticos conhecidos, servindo de pilares para a ciência moderna juntamente com a
equação da continuidade (também derivada das equações de Maxwell) [6].
Equação. Equação da continuidade eletromagnética (demonstrada posteriormente).
~∇ ·~j = −∂ρ
∂t
A divergência da densidade de corrente é igual ao negativo da derivada da densidade de carga
respectiva ao tempo [7].
Além das propriedades estabelecidas pelas equações de Maxwell, também foi posśıvel obter
o valor da velocidade da luz teoricamente pela manipulação algébrica e vetorial das equações
e também a determinação de que a luz é uma onda eletromagnética [8].
Definição. Propriedade vetorial.
~∇× (~∇× ~A) = ~∇(~∇ · ~A)− ~∇2 ~A
Aplicando o rotacional na equação (23), obtemos
~∇× (~∇× ~E) = − ∂
∂t
(~∇× ~B) (30)
Utilizando a propriedade vetorial mostrada anteriormente na equação (30), obtemos
~∇(~∇ · ~E)− ~∇2 ~E = − ∂
∂t
(~∇× ~B) (31)
A equações (5) e (29) podem ser inseridas na equação (31), resultando em
~∇
(
ρ
ε0
)
− ~∇2 ~E = − ∂
∂t
(
µ0~j + µ0ε0
∂ ~E
∂t
)
(32)
Para o caso do vácuo, temos que a densidade de carga ρ e a densidade de corrente ~j são
nulos. Fazendo a devida substituição na equação (32), encontramos que
~∇2 ~E − µ0ε0
∂2 ~E
∂t2
= 0 (33)
Definição. Equação da onda em 1D.
∂2u
∂x2
− 1
v2
∂2u
∂t2
= 0
6
Conhecendo a equação de onda e comparando com a equação (33), podemos comparar o
termo que contém a velocidade da onda v de forma
1
v2
= µ0ε0 (34)
O que nos permite escrever
v =
1
√
µ0ε0
≡ c (35)
Onde c é a velocidade da luz no vácuo. Este resultado pode ser obtido analogamente para ~B
como mostrado na equação (33). A consideração da densidade de carga ρ e da densidade de
corrente ~j serem nulos pois a luz se propaga no vácuo nos permitiu chegar à equação (35).
Caso não fizermos estas considerações, a equação de onda muda, bem como a velocidade da
onda no meio material onde a radiação se propaga.
Os valores de µ0 = 4π × 10−7 Tm/A e ε0 = 8.854 × 10−12 C2/Nm2, encontramos que
a velocidade da luz no vácuo c = 2.9979 × 108 m/s. Em 1887, o cientista Heinrich Hertz
elaborou uma série de montagens para obter o valor da velocidade da luz através de uma
abordagem experimental, chegando a um valor próximo ao teórico obtido por Maxwell [9].
A velocidade da luz, derivada das equações de Maxwell, é um dos dois pilares da Rela-
tividade pelo segundo postulado da área: a velocidade da luz no vácuo tem o mesmo valor
quando medida a partir de qualquer referencial inercial [10].
Segundo Einstein, as equações de Maxwell aplicadas a corpos em movimento pareciam
gerar assimetrias que não pertenciam aos fenômenos eletromagnéticos, exemplificando o caso
de uma bobina condutora e um imã. Caso um imã se mova próximo à bobina, gera uma força
eletromotriz em suas extremidades, porém, caso o imã fique em repouso e bobina esteja em
movimento, mesmo que não haja nenhum campo elétrico, ainda existirá a geração de corrente
na bobina [11].
Já em Mecânica, na época que precedeu a Relatividade, as leis de transformação de
coordenadas para dois referenciais inerciais eram dadas pelas Transformações de Galileu.
Porém, para a relatividade, ela viola seu segundo postulado. Para corrigir este problema,
foram apresentadas as Transformações de Lorentz, desenvolvidas por Hendrik Lorentz [12].
t′ = γ
(
t− vx/c2
)
(36)
x′ = γ (x− vt) (37)
y′ = y (38)
z′ = z (39)
Onde γ é o fator Lorentz, que depende da velocidade do observador [13]. Além de violar o
segundo postulado da Relatividade, as Transformações de Galileu fazem com que as equações
de Maxwell não sejam invariantes, ou seja: cada observador teria um conjunto de leis para
o eletromagnetismo se as transformações de Galileu estivessem corretas. Por outro lado,
as equações de Maxwell são invariantes pelas Transformação de Lorentz, o que evidencia o
sucesso das transformações de Lorentz e a universalidade do eletromagnetismo. [14].
7
Continuidade eletromagnética
Na seção anterior, mostramos a Equação da Continuidade como uma das consequências das
equações de Maxwell e, por questão de completeza, deixaremos essa demonstração expĺıcita.
Temos como ponto de partida a Lei de Ampère-Maxwell na forma diferencial, mostrada na
equação (8) [15]. Aplicando o divergente em ambos os lados temos que
~∇ · (~∇× ~B) = ~∇ ·
(
µ0~j + µ0ε0
∂ ~E
∂t
)
(40)
Definição. Propriedade vetorial.
~∇ · (~∇× ~A) = 0
A propriedade apresentada acima nos permite igualar a equação (40) a zero.
~∇ ·
(
µ0~j + µ0ε0
∂ ~E
∂t
)
= 0 (41)
Aplicando o divergente na equação, obtemos
µ0~∇ ·~j + µ0ε0
∂(~∇ · ~E)
∂t
= 0 (42)
Conhecemos o resultado do divergente do vetor campo elétrico a partir da equação (5).
µ0~∇ ·~j + µ0ε0
∂(ρ/ε0)
∂t
= 0 (43)
Os termos ε0 são anulados no segundo termo da equação.
µ0~∇ ·~j + µ0
∂ρ
∂t
= 0 (44)
Podemos evidenciar o termo em comum µ0.
µ0
(
~∇ ·~j + ∂ρ
∂t
)
= 0 (45)
Desta forma, obtemos finalmente a equação da continuidade eletromagnética, dada por
~∇ ·~j + ∂ρ
∂t
= 0 (46)
A equação da continuidade eletromagnética preserva um dos prinćıpios fundamentais da
F́ısica: o prinćıpio da conservação das cargas elétricas, basicamente estabelecendo que não
existem criadouros ou sumidouros de cargas no Universo. Esta equação se apresenta de outra
forma para circuitos elétricos como a primeira lei de Kirchhoff (também conhecida como lei
dos nós) [16].
8
Referências
[1] Silvanus Phillips Thompson. ... Michael Faraday, His Life and Work. Cassell, limited,
1901.
[2] Michael Faraday. The Correspondence of Michael Faraday. Iet, 1991.
[3] Ana Paula Bertoldi Oberziner et al. As equações de maxwell e aplicações. 2008.
[4] Hugh D Young and Roger A Freedman. F́ısica iii: eletromagnetismo. São Paulo: Person
Education do Brasil, 2009.
[5] James Stewart. Calculus ii. 2011.
[6] Marcelo Costa de Lima. Sobre o surgimento das equações de maxwell. Revista Brasileira
de Ensino de F́ısica, 41(4), 2019.
[7] ZEMANSKY SEARS. F́ısica–eletromagnetismo. 10a edição, vol. 3, 2003.
[8] J Clerk Maxwell. A dynamical theory of the electromagnetic field. Phil. Trans. R. Soc.
Lond, 155:459–512, 1865.
[9] D. J. Cichon and W. Wiesbeck. The heinrich hertz wireless experiments at karlsruhe in
the view of modern communication. In Proceedings of the 1995 International Conference
on 100 Years of Radio, pages 1–6, 1995.
[10] Ray A d’Inverno. Introducing Einstein’s relativity. Clarendon Press, 1992.
[11] Albert Einstein et al. On the electrodynamics of moving bodies. Annalen der physik,
17(10):891–921, 1905.
[12] Valerio Faraoni. Special relativity. Springer, 2013.
[13] Anthony R Lee and Tomas M Kalotas. Lorentz transformations from the first postulate.
American Journal of Physics, 43(5):434–437, 1975.
[14] Helcimar Moura de Jesus. Análise sobre a equivalência entre as eletrodinâmicas de
lorentz e de einstein.
[15] David J Griffiths. Introduction to electrodynamics. Prentice Hall New Jersey, 1962.
[16] Paul Horowitz and Winfield Hill. The art of electronics. Cambridge Univ. Press, 1989.
9