ad2-me-I-2020.2-gabarito

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MÉTODOS ESTATÍSTICOS I
AVALIAÇÃO À DISTÂNCA 2 - (AD2)
2o Semestre de 2018
Prof. Moisés Lima de Menezes
Gabarito
1. (5,0 pontos) Em um lote de 15 peças, 3 são defeituosas. Deste lote são retiradas duas peças
aleatoriamente. Determine a probabilidade de:
(a) (0,5 pt) Ambas serem defeituosas se as retiradas são feitas sem reposição;
(b) (0,5 pt) Ambas serem defeituosas se as retiradas são feitas com reposição;
(c) (0,5 pt) Pelo menos uma ser defeituosa se as retiradas são feitas sem reposição;
(d) (0,5 pt) Pelo menos uma ser defeituosa se as retiradas são feitas com reposição;
(e) (0,5 pt) Apenas uma ser defeituosa se as retiradas são feitas sem reposição;
(f) (0,5 pt) Apenas uma ser defeituosa se as retiradas são feitas com reposição;
(g) (0,5 pt) Ambas não serem defeituosas se as retiradas são feitas sem reposição;
(h) (0,5 pt) Ambas não serem defeituosas se as retiradas são feitas com reposição;
(i) (0,5 pt) No máximo uma ser defeituosa se as retiradas são feitas sem reposição;
(j) (0,5 pt) No máximo uma ser defeituosa se as retiradas são feitas com reposição.
2. (5,0 pontos) Algumas pessoas foram pesquisadas sobre preferência de filmes de acordo com a
faixa etária. Os resultados estão na tabela abaixo.
Drama (D) Comédia (C) Terror (T) Ação (A) Total
≤ 16 anos (X) 30 15 10 15 70
de 17 a 20 anos (Y) 20 20 10 10 60
de 21 a 35 anos (Z) 10 15 20 10 55
≥ 36 anos (W) 20 10 15 20 65
Total 80 60 55 55 250
(a) (0,5 pt) Determine a probabilidade de uma pessoa selecionada aleatoriamente ter mais de
35 anos;
(b) (0,5 pt) Determine a probabilidade de uma pessoa selecionada aleatoriamente ter de 21 a
35 anos e preferir filme de Terror;
(c) (0,5 pt) Determine a probabilidade de uma pessoa selecionada aleatoriamente preferir
Drama ou Ação;
(d) (0,5 pt) Determine a probabilidade de uma pessoa selecionada aleatoriamente preferir
Comédia ou ter de 17 a 20 anos;
(e) (0,5 pt) Sabendo que uma pessoa selecionada aleatoriamente prefere assistir filme de Terror,
qual a probabilidade de ela ter mais de 35 anos?
(f) (1,0 pt) Determine a probabilidade de uma pessoa selecionada aleatoriamente preferir
Drama ou ter mais de 20 anos;
(g) (0,5 pt) Sabendo que uma pessoa selecionada aleatoriamente tem menos de 17 anos, qual
a probabilidade de ela preferir Comédia?
(h) (1,0 pt) Os eventos “ter de 17 a 20 anos” e “preferir Ação” são independentes? Justifique
com todos os cálculos!!!!
1
Gabarito:
1. Considere:
• D : A peça é defeituosa;
• N : A peça não é defeituosa;
• Nas retiradas sem reposição, o espaço amostral se modifica a cada retirada, uma vez que a
peça retirada não mais conta;
• Nas retiradas com reposição, o espaço amostral permanece o mesmo sempre, pois a peça
será contabilizada em todas as retiradas.
(a)
P (D ∩D) = P (D)P (D|D) = 3
15
× 2
14
=
1
5
× 1
7
=
1
35
= 0,0286
(b)
P (D ∩D) = P (D)P (D) = 3
15
× 3
15
=
1
5
× 1
5
=
1
25
= 0,04
(c)
P (pelo menos uma defeituosa) = 1− P (nenhuma defeituosa)
= 1− (P (N ∩N)) = 1− (P (N)P (N |N))
= 1−
(
12
15
× 11
14
)
= 1− 22
35
=
13
35
= 0,3714
(d)
P (pelo menos uma defeituosa) = 1− P (nenhuma defeituosa)
= 1− (P (N ∩N)) = 1− (P (N)P (N |N))
= 1−
(
12
15
× 12
15
)
= 1−
(
4
5
× 4
5
)
= 1− 16
25
=
9
25
= 0,36
(e)
P [(D ∩N) ∪ (N ∩D)] = [P (D)P (N |D)] + [P (N)P (D|N)] =
(
3
15
× 12
14
)
+
(
12
15
× 3
14
)
=
(
1
5
× 6
7
)
+
(
4
5
× 3
14
)
=
6
35
+
12
70
=
6
35
+
6
35
=
12
35
= 0,3429
2
(f)
P [(D ∩N) ∪ (N ∩D)] = [P (D)P (N |D)] + [P (N)P (D|N)] =
(
3
15
× 12
15
)
+
(
12
15
× 3
15
)
=
(
1
5
× 4
5
)
+
(
4
5
× 1
5
)
=
4
25
+
4
25
=
8
25
= 0,32
(g)
P (N ∩N) = P (N)P (N |N) = 12
15
× 11
14
=
4
5
× 11
14
=
2
5
× 11
7
=
22
35
= 0,6286
(h)
P (N ∩N) = P (N)P (N) = 12
15
× 12
15
=
4
5
× 4
5
=
16
25
= 0,64
(i) P(no máximo uma defeituosa) = P(pelo menos uma não defeituosa)
= 1− P (ambas defeituosas) = 1− 1
35
=
34
35
= 0,9714
(j) P(no máximo uma defeituosa) = P(pelo menos uma não defeituosa)
= 1− P (ambas defeituosas) = 1− 1
25
=
24
35
= 0,96
2. (a)
P (W ) =
65
250
= 0,26
(b)
P (Z ∩ T ) = 20
250
= 0,08
(c)
P (D ∪ A) = 80 + 55
250
=
135
250
= 0,54
(d)
P (C ∪ Y ) = P (C) + P (Y )− P (C ∩ Y )
=
60
250
+
60
250
− 20
250
= 0,08
3
(e)
P (W |T ) = P (W ∩ T )
P (T )
=
15/250
55/250
=
15
55
= 0,2727
(f)
P (D ∪ (Z ∪W )) = P (D) + P (Z ∪W )− P (D ∩ (Z ∪W ))
=
80
250
+
55 + 65
250
− 10 + 20
250
=
80 + 120− 30
250
=
170
250
= 0,68.
(g)
P (C|X) = P (C ∩X)
P (X)
=
15/250
70/250
=
15
70
= 0,2143.
(h) Para identificar se dois eventos são ou não independentes, é necessário verificar se a prob-
abilidade da interseção é igual ou não ao produto das probabilidades:
P (Y ∩ A) = 10
250
= 0,04.
P (Y )P (A) =
60
250
× 55
250
= 0, 24× 0, 22 = 0,0528.
Logo:
NÃO SÃO INDEPENDENTES!!!
4