apol1 varias variaveis

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Questão 1/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis
Leia o texto a seguir: 
No espaço tridimensional, estabelecemos três relações representadas por valores do conjunto domínio Dm(f), expresso por (x,y,z), com respectiva imagem Im(f) expressa pela função f(x,y,z).
Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão. 
Considere o texto acima, os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral de várias variáveis e a função f(x,y,z)=x2+y2|√z−1|f(x,y,z)=x2+y2|z−1| com domínio Dom(f)={(x,y,z)∈R3/z>1}Dom(f)={(x,y,z)∈R3/z>1}. Agora, assinale a alternativa correta que apresenta o valor de f(x,y,z)f(x,y,z) no ponto (2,3,5)(2,3,5): 
Nota: 10.0
	
	A
	132132
Você acertou!
Comentário: Esta é a alternativa correta, conforme a seguinte solução: substituindo os valores de x, y e z em f(x,y,z) temos:
f(2,3,5)=22+32|√5−1|=4+9|√4|=132.f(2,3,5)=22+32|5−1|=4+9|4|=132.
(livro-base, p. 77). 
	
	B
	145145
	
	C
	133133
	
	D
	115115
	
	E
	154154
Questão 2/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis
Leia o excerto de texto a seguir: 
"Se considerarmos C uma curva da equação y=f(x)y=f(x), em que a função ff é contínua e derivável no intervalo fechado [a,b][a,b], isso nos permite determinar o comprimento do arco da curva C, de aa até bb. [Para calcular tal comprimento utiliza-se a fórmula ∫ba√1+[f′(x)]2dx∫ab1+[f′(x)]2dx. ]". 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em:  RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, p. 21.
 
Considere o excerto de texto acima, os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral a várias variáveis, a equação f′(x)=x3/2−4f′(x)=x3/2−4  e o intervalo [a,b]=[1,4][a,b]=[1,4]. Agora, assinale a alternativa correta que apresenta o comprimento do arco de f(x)f(x) no intervalo [a,b][a,b]: 
Nota: 10.0
	
	A
	80√10−√1388010−138
	
	B
	80278027
	
	C
	80√10−13√13278010−131327
Você acertou!
Comentário: Esta é a alternativa correta, pois para calcularmos o comprimento da curva, devemos ter a derivada da função f,
Se f(x)=x3/2−4f(x)=x3/2−4 então f′(x)=3x1/22f′(x)=3x1/22.
Aplicando a fórmula a ∫ba√1+[f′(x)]2dx∫ab1+[f′(x)]2dx. teremos:
a ∫ba√1+[f′(x)]2dx∫41√1+[3x1/22]2dx∫41√1+9x4dx∫ab1+[f′(x)]2dx∫141+[3x1/22]2dx∫141+9x4dx
Agora, para podermos integrar esta raiz, o que está fora dela deve ser a derivada do que está dentro dela.
Como a derivada de 1+9x41+9x4 é 9/4, inserimos esta fração e tiramos fora da integral. Assim fica fácil a integração.
C=49∫41√1+9x494dxC=49∣∣
∣
∣
∣
∣∣(1+9x4)3/232∣∣
∣
∣
∣
∣∣41=827(1+9x4)3/2∣∣
∣∣41827[(1+9⋅44)3/2−(1+9⋅14)3/2]=827[(1+9)3/2−(1+94)3/2]=827[(10)3/2−(134)3/2]=827[10√10−134√134]=827[10√10−138√13]=827[80√10−13√138]=80√10−13√1327C=49∫141+9x494dxC=49|(1+9x4)3/232|14=827(1+9x4)3/2|14827[(1+9⋅44)3/2−(1+9⋅14)3/2]=827[(1+9)3/2−(1+94)3/2]=827[(10)3/2−(134)3/2]=827[1010−134134]=827[1010−13813]=827[8010−13138]=8010−131327
(Livro-base p. 24). 
	
	D
	√1021610216
	
	E
	827(80√10−√13)827(8010−13)
Questão 3/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis
Leia o trecho de texto a seguir: 
"[Em integrais repetidas] na intenção de calcular ∫dc∫h(x)g(x)f(x,y)dydx∫cd∫g(x)h(x)f(x,y)dydx, inicialmente integramos f(x,y)f(x,y) em relação a yy, mantendo xx fixo. Os limites de integração g(x)g(x) e h(x)h(x) dependerão desse valor fixo de xx, o que resultará na quantidade ∫h(x)g(x)f(x,y)dy∫g(x)h(x)f(x,y)dy. E, então, integraremos a quantidade posterior em relação a xx, considerando este uma variável entre os limites constantes de integração cc e dd".
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em:  RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, p. 46.
Considerando o trecho de texto acima e os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral a várias variáveis, assinale a alternativa correta que apresenta o valor da integral repetida  ∫21∫21xydydx∫12∫12xydydx: 
Nota: 0.0
	
	A
	9494
Comentário: Esta é a alternativa correta, pois para calcular a integral repetida, primeiro considera uma das variáveis constante. Em nosso caso, consideraremos a variável x. Então,
∫21∫21xydydx=∫21x[∫21ydy]dx=∫21x[y22]21dx=∫21x[222−122]dx=∫21x32dx=32∫21xdx=32x22∣∣∣21=32[222−122]=32⋅32=94∫12∫12xydydx=∫12x[∫12ydy]dx=∫12x[y22]12dx=∫12x[222−122]dx=∫12x32dx=32∫12xdx=32x22|12=32[222−122]=32⋅32=94
(Livro-base p. 43-47). 
	
	B
	1212
	
	C
	7474
	
	D
	3434
	
	E
	7272
Questão 4/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis
Leia o trecho de texto a seguir: 
"A função da derivada parcial em relação a um valor xi é a derivada de f em relação a xi uma vez que admitamos todas as outras variáveis constantes". 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em:  RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, p. 80.
Considerando o trecho de texto acima e os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral de várias variáveis, assinale a alternativa correta que apresenta o valor das derivadas parciais, ao calcular a função f(x,y,z)=3x+5y−6zf(x,y,z)=3x+5y−6z:
Nota: 10.0
	
	A
	fx=3;fy=5;fz=−6fx=3;fy=5;fz=−6
Você acertou!
Comentário: Esta é a alternativa correta, pois calculamos a derivada separadamente em relação a cada variável. Então as derivadas parciais de f(x,y,z)=3x+5y−6zf(x,y,z)=3x+5y−6z são:
fx=3fx=3 pois a derivada dos outros termos é zero por não ter o termo xx.
fy=5fy=5 pois a derivada dos outros termos é zero por não ter o termo yy.
fz=−6fz=−6 pois a derivada dos outros termos é zero por não ter o termo zz.
(livro-base, p. 80). 
	
	B
	fx=−3;fy=−5;fz=−5fx=−3;fy=−5;fz=−5
	
	C
	fx=5;fy=3;fz=−6fx=5;fy=3;fz=−6
	
	D
	fx=6;fy=5;fz=−3fx=6;fy=5;fz=−3
	
	E
	fx=−6;fy=5;fz=3fx=−6;fy=5;fz=3
Questão 5/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis
Leia o texto a seguir: 
Uma indústria produz três tipos de objetos eletrônicos, sendo representados por x1,x2x1,x2 e x3x3, respectivamente. O custo de produção destes objetos é dado pela função C(x1,x2,x3)=50+2x1+2x2+3x3C(x1,x2,x3)=50+2x1+2x2+3x3. 
Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão. 
Considerando o texto acima e os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral a várias variáveis, suponha que a empresa fabrica, por mês, 30 unidades do produto x1x1, dez unidades do produto x2x2 e 50 unidades do produto x3x3. Agora, assinale a alternativa correta que apresenta o custo dessa produção: 
Nota: 10.0
	
	A
	120
	
	B
	150
	
	C
	180
	
	D
	280
Você acertou!
Comentário: Esta é a alternativa correta, pois para calcular o custo de produção basta substituir as variáveis pelos valores determinados de x_1,x_2 e x_3 . Assim teremos:
C(30,10,50) = 50+2.30+2.10+3.50 = 280
(Livro-base p. 75-76). 
	
	E
	350
Questão 6/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis
Leia o trecho de texto a seguir:
"Podemos provar que se a função derivável, dada por f′(x)f′(x), é contínua no intervalo fechado [a,b][a,b], o limite existe. Logo, pela definição de integral definida, temos:
C=∫ba√1+[f′(x)]2dxC=∫ab1+[f′(x)]2dx. ". 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em:  RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, p. 23.
Considerando o trecho de texto acima e os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral de várias variáveis, identifique a alternativa correta que apresenta o comprimento do arco da curva dada por y=3x+5y=3x+5 no intervalo fechado [0,2][0,2]: 
Nota: 10.0
	
	A
	2√10210 u.c.
Você acertou!
A=∫ba√1+[f′(x)]2dx=∫20√1+32dx=∫20√10dx=2√10u.c.A=∫ab1+[f′(x)]2dx=∫021+32dx=∫0210dx=210u.c.
(livro-base, p. 23). 
	
	B
	√1010 u. a.
	
	C
	4√545 u.c.
	
	D
	5√555 u.c.
	
	E
	6√10610 u.c.
Questão 7/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis
Leia o trecho de texto a seguir: 
"Na equação da curva, em que y=f(x)y=f(x), considerando-se f e sua derivada(f') contínuas num trecho de intervalo fechado [a,b][a,b] e sendo a função f(x)f(x) maior que e igual a zero, com xx sendo um elemento que pertence ao intervalo [a,b][a,b], a área na superfície S gerada pelo giro da curva C ao redor do eixo das abscissas x será definida por: A=2π∫baf(x)√1+[f′(x)]2dxA=2π∫abf(x)1+[f′(x)]2dx ". 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em:  RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, p. 18. 
Considerando o trecho de texto acima e os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral de várias variáveis, calcule o valor da área de uma superfície cônica gerada pela revolução do segmento de reta dado pela equação y=3x+2y=3x+2 , no intervalo fechado [0,2][0,2] em torno do eixo das abscissas. Em seguida, assinale a alternativa correta que corresponde a esse valor: 
Nota: 10.0
	
	A
	25π√2025π20 u.a.
	
	B
	20π√1020π10 u.a.
Você acertou!
Comentário: Esta é a alternativa correta, conforme solução: 
A=2π∫20y(x)√1+[y′(x)]2dx=2π∫20(3x+2)√1+32dx=2π√10∫20(3x+2)dxA=2π√103(3x+22)2∣∣∣20=π√103[(3⋅2+2)2−4]=60π√103=20π√10u.a.A=2π∫02y(x)1+[y′(x)]2dx=2π∫02(3x+2)1+32dx=2π10∫02(3x+2)dxA=2π103(3x+22)2|02=π103[(3⋅2+2)2−4]=60π103=20π10u.a. 
(livro-base, p. 15-20). 
	
	C
	22π√1222π12 u.a 
	
	D
	23π√1323π13 u.a.
	
	E
	21π√1521π15 u.a.
Questão 8/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis
Leia o extrato de texto a seguir: 
"[Em integrais repetidas] na intenção de calcular ∫dc∫h(x)g(x)f(x,y)dydx∫cd∫g(x)h(x)f(x,y)dydx, inicialmente integramos f(x,y)f(x,y) em relação a yy, mantendo xx fixo. Os limites de integração g(x)g(x) e h(x)h(x) dependerão desse valor fixo de xx, o que resultará na quantidade ∫h(x)g(x)f(x,y)dy∫g(x)h(x)f(x,y)dy. E, então, integraremos a quantidade posterior em relação a xx, considerando este uma variável entre os limites constantes de integração cc e dd". 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em:  RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, p. 46..
Considerando o extrato de texto acima e os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral a várias variáveis, assinale a alternativa correta que apresenta o valor da integral repetida  ∫21∫102xydydx∫12∫012xydydx: 
Nota: 0.0
	
	A
	11
	
	B
	3232
Comentário: Esta é a alternativa correta, pois para calcular a integral repetida, primeiro considera uma das variáveis constante. Em nosso caso, consideraremos a variável x. Então,
∫21∫102xydydx=2∫21x[∫10ydy]dx=2∫21x[y22]10dx=2∫21x[122−022]dx=2∫21x12dx=∫21xdx=x22∣∣∣21222−12242−12=32∫12∫012xydydx=2∫12x[∫01ydy]dx=2∫12x[y22]01dx=2∫12x[122−022]dx=2∫12x12dx=∫12xdx=x22|12222−12242−12=32
(Livro-base p. 43-47). 
	
	C
	1212
	
	D
	5252
	
	E
	7272
Questão 9/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis
Leia o trecho de texto a seguir: 
"[Em integrais repetidas] na intenção de calcular ∫dc∫h(x)g(x)f(x,y)dydx∫cd∫g(x)h(x)f(x,y)dydx, inicialmente integramos f(x,y)f(x,y) em relação a yy, mantendo xx fixo. Os limites de integração g(x)g(x) e h(x)h(x) dependerão desse valor fixo de xx, o que resultará na quantidade ∫h(x)g(x)f(x,y)dy∫g(x)h(x)f(x,y)dy. E, então, integraremos a quantidade posterior em relação a xx, considerando este uma variável entre os limites constantes de integração cc e dd". 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em:  RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, p. 46.
Considerando o trecho de texto acima e os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral a várias variáveis, identifique a alternativa correta que apresenta o valor da integral repetida  ∫1−1∫1−1dydx∫−11∫−11dydx é:
Nota: 10.0
	
	A
	2
	
	B
	1
	
	C
	zero
	
	D
	4
Você acertou!
Comentário: Esta é a alternativa correta, pois para calcular a integral repetida, primeiro considera uma das variáveis constante. Em nosso caso, consideraremos a variável x. Então,
∫1−1∫1−1dydx=∫1−1[y]1−1dx=∫1−1[1−(−1)]dx=∫1−12dx=2∫1−1dx=2[y]1−1=2[1−(−1)]=4∫−11∫−11dydx=∫−11[y]−11dx=∫−11[1−(−1)]dx=∫−112dx=2∫−11dx=2[y]−11=2[1−(−1)]=4
(Livro-base p. 43-47).
	
	E
	10
Questão 10/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis
Leia o texto a seguir: 
Se uma função f é contínua e derivável no intervalo fechado [a,b], é possível determinar o comprimento do arco da curva C, de a até b. Lembrando que a fórmula utilizada é C=∫ba√1+[f′(x)]2dxC=∫ab1+[f′(x)]2dx.
Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão. 
Considerando o texto acima, os conteúdos do livro-base Cálculo Diferencial e Integral a Várias Variáveis e a função f(x)=2x−8f(x)=2x−8, identifique a alternativa correta que apresenta o comprimento do arco da curva dada por ff  no intervalo fechado [0,2][0,2]: 
Nota: 10.0
	
	A
	2√5u.c.25u.c.
Você acertou!
Comentário: Esta é a alternativa correta, pois aplicando a fórmula para calcular o comprimento da curva, teremos:
A=∫ba√1+[f′(x)]2dx=∫20√1+22dx=∫20√5dx=2√5u.c.A=∫ab1+[f′(x)]2dx=∫021+22dx=∫025dx=25u.c.
(Livro-base, p. 21-24). 
	
	B
	3√5u.c.35u.c.
	
	C
	4√u.c.4u.c.
	
	D
	5√8u.c.58u.c.
	
	E
	6√u.c.