Projeto CDI 1

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Lista de exercícios do projeto CDI I
1 Limites
1.1 Cálculo de limites
1. Calcule
a) lim
x�!2
x2
b) lim
x�!1
(3x� 1)
c) lim
x�!�2
(4x+ 1)
d) lim
x�!5
10
e) lim
x�!�9
50
f) lim
x�!�1
(�x2 � 2x+ 3)
g) lim
x�!4
p
x
h) lim
x�!�3
3
p
x
i) lim
x�!�8
p
5
j) lim
x�!3
x2�9
x�3
l) lim
x�!3
x2�9
x+3
m) lim
x�!�1
x2�9
x�3
n) lim
x�!1=2
4x2�1
2x�1
o) lim
x�!1
p
x�1
x�1
p) lim
x�!�1=3
9x2�1
3x+1
q) lim
x�!3
p
x�
p
3
x�3
r) lim
x�!3
3
p
x� 3
p
3
x�3
s) lim
x�!2
4
p
x� 4
p
2
x�2
t) lim
x�!0
x2+3x�1
x2+2
u) lim
x�!1
p
x�1p
2x+3�
p
5
2. Determine L para que a função dada seja contínua no ponto dado. Jus-
tique.
a)f(x) =
�
x3�8
x�2 se x 6= 2
�x se x = 2
em p = 2
b)f(x) =
( p
x�
p
3
x�3 se x 6= 3
L se x = 3
em p = 3
1
http://cbs.wondershare.com/go.php?pid=3022&m=db
c)f(x) =
( p
x�
p
5p
x+5�
p
10
se x 6= 5
L se x = 5
em p = 5
3. f(x) =
�
x2+x
x+1 se x 6= 1
2 se x = �1
é contínua em �1? E em 0? Por quê?
4. Calcule lim
h!0
f(x+h)�f(x)
h sendo f dada por
a) f(x) = x2
b) f(x) = 2x2 + x
c) f(x) = 5
d) f(x) = �x3 + 2x
e)f(x) = 1x
f) f(x) = 3x+ 1
5. Calcule.
a) lim
x�!�1
x3�1
x2�1
b) lim
x�!0
x3+x2
3x3+x4+x
c) lim
h�!0
(x2 + 3xh)
d) lim
h�!0
(x+h)3�x3
h
e) lim
x�!3
x2�9
x2+9
f) lim
x�!p
3
p
x� 3pp
x�p (p 6= 0)
g) lim
x�!p
4
p
x� 4pp
x�p (p 6= 0)
h) lim
x�!2
x3�5x2+8x�4
x4�5x�6
i) lim
x�!1
x3�1
x4+3x�4
j) lim
x�!7
p
x�
p
7p
x+7�
p
14
l) lim
x�!p
x3�p3
x�p
m) lim
x�!p
x4�p4
x�p
n) lim
x�!p
xn�pn
x�p (n > 0 natural)
o) lim
x�!p
n
p
x� npp
x�p
p) lim
x�!2
1
x�
1
2
x�2
q) lim
x�!p
f(x)�f(p)
x�p onde f(x) =
1
x
r) lim
x�!p
g(x)�g(p)
x�p onde g(x) =
1
x2
s) lim
h�!0
f(x+h)�f(x)
h onde f(x) = x
2 � 3x
1.2 Limites laterais
1. Calcule, caso exista. Se não existir, justi�que.
2
a) lim
x�!1+
jx�1j
x�1
b) lim
x�!1�
jx�1j
x�1
c) lim
x�!1+
f(x)�f(1)
x�1 onde f(x) =
�
x+ 1 se x � 1
2x se x < 1
d) lim
x�!0
p
x
f) lim
x�!1
f(x)�f(1)
x�1 onde f(x) =
�
x+ 1 se x � 1
2x se x < 1
g) lim
x�!2+
x2�2x+1
x�1
h) lim
x�!3
jx�1j
x�1
i) lim
x�!1
f(x)�f(1)
x�1 onde f(x) =
�
x2 se x � 1
2x� 1 se x > 1
j) lim
x�!2�
g(x)�g(2)
x�2 onde g (x) =
�
x se x � 2
x2
2 se x < 2
l) lim
x�!2+
g(x)�g(2)
x�2 sendo g a função do item (j)
m) lim
x�!2�
g(x)�g(2)
x�2 onde g é a função do item (j)
2. A a�rmação
" lim
x�!p+
f(x) = lim
x�!p�
f(x) =) f contínua em p"
é falsa ou verdadeira ?
3. Dada a função f(x) = x
2�3x+2
x�1 , veri�que que lim
x�!1+
f(x) = lim
x�!1�
f(x).
Pergunta-se:f é contínua em 1? Por quê?
4. Dê exemplo de uma função de�nida em R; que não seja contínua em 2,
mas que
lim
x�!2+
f(x) = lim
x�!2�
f (x)
1.3 Limite de funções compostas
1.Calcule
a) lim
x�!�1
3
q
x3+1
x+1
b) lim
x�!1
p
x2+3�2
x2�1
c) lim
x�!1
3
p
x+7�2
x�1
d) lim
x�!1
3
p
3x+5�2
x2�1
2. Seja f de�nida R: Suponha que lim
x�!0
f(x)
x = 1: Calcule
a) lim
x�!0
f(3x)
x
b) lim
x�!0
f(x2)
x
c) lim
x�!0
f(x2�1)
x�1
3
d) lim
x�!0
f(7x)
3x
1.4 Teorema do confronto
1. Seja f uma função de�nida em R tal que para todo x 6= 1; �x2 + 3x �
f(x) � x2�1x�1 : Calcule limx�!1f(x) e justi�que.
2.Seja f de�nida em R e tal que, para todo x, jf (x)� 3j � 2 jx� 1j .
Calcule lim
x�!1
f(x) e justi�que.
3.Suponha que, para todo x, jg(x)j � x4: Calcule lim
x�!0
g(x)
x
4.
a) Veri�que que lim
x�!0
sin 1x não existe.
b) Calcule, caso exista lim
x�!0
x sin 1x e justi�que.
5. Calcule, caso exista lim
x�!0
f(x)�f(0)
x�0 onde f é dada por
a) f(x) =
�
x2 sin 1x se x 6= 0
0 se x = 0
b) f(x) =
�
x sin 1x se x 6= 0
0 se x = 0
6. Sejam f e g duas funções de�nidas em R e tais que, para todo x, [g(x)]4+
[f (x)]
4
= 4. Calcule e justi�que.
a) lim
x�!0
x3g (x)
b) lim
x�!3
�
3
p
x2 � 9
�
f (x)
7. Seja f de�nida em R e suponha que existe M > 0 tal que, para todo x,
jf (x)� f (p)j �M jx� pj2 :
a) Mostre que f é contínua em p:
b) Calcule, caso exista lim
x�!p
f(x)�f(p)
x�p
1.5 Limite fundamental
1. Calcule
a) lim
x�!0
tan x
x
b) lim
x�!0
x
sin x
c) lim
x�!0
sin 3x
x
d) lim
x�!�
sin x
x��
e) lim
x�!0
x2
sin x
f) lim
x�!0
3x2
tan x sin x
g) lim
x�!0
tan 3x
sin 4x
h) lim
x�!0
1�cos x
x
4
i) lim
x�!�2
1�sin x
2x��
j) lim
x�!0
x sin 1x
l) lim
x�!p
tan(x�p)
x2�p2 , p 6= 0
m) lim
x�!p
sin(x2�p2)
x�p
n) lim
x�!0
sin(x2+ 1x )�sin
1
x
x
o) lim
x�!0
x+sin x
x2�sin x
p) lim
x�!0
x�tan x
x+tan x
q) lim
x�!1
sin�x
x�1
2. Calcule
a) lim
x�!p
sin x�sin p
x�p
b) lim
x�!p
cos x�cos p
x�p
c) lim
x�!p
tan x�tan p
x�p
d) lim
x�!p
sec x�sec p
x�p
1.6 Limites no in�nito
1. Calcule
a) lim
x�!+1
1
x2
b) lim
x�!�1
1
x3
c) lim
x�!�1
�
5 + 1x +
3
x2
�
d) lim
x�!+1
�
2� 1x
�
e) lim
x�!+1
2x+1
x+3
f) lim
x�!�1
2x+1
x+3
g) lim
x�!�1
x2�2x+3
3x2+x+1
h) lim
x�!+1
5x4�2x+1
4x4+3x+2
i) lim
x�!+1
x
x2+3x+1
j) lim
x�!�1
2x3+1
x4+2x+3
l) lim
x�!+1
3
q
5 + 2x
m lim
x�!�1
3
q
x
x2+3
n) lim
x�!+1
p
x2+1
3x+2
o) lim
x�!+1
3px3+2x�1p
x2+x+1
p) lim
x�!+1
p
x+ 3
p
x
x2+3
5
q) lim
x�!+1
3p
x
r) lim
x�!+1
�
x�
p
x2 + 1
�
s) lim
x�!+1
�p
x+ 1�
p
x+ 3
�
1.7 Limites in�nitos
1. Calcule
a) lim
x�!+1
�
x4 � 3x+ 2
�
b) lim
x�!+1
�
5� 4 + x2 � x5
�
c) lim
x�!�1
�
3x3 + 2x+ 1
�
d) lim
x�!+1
�
x3 � 2x+ 3
�
e) lim
x�!+1
5x3�6x+1
6x3+2
f) lim
x�!+1
5x3�6x+1
6x2+x+3
g) lim
x�!+1
5x3+7x�3
x4�2x+3
h) lim
x�!�1
2x+3
x+1
i) lim
x�!�1
x4�2x+3
3x4+7x�1
j) lim
x�!�1
5�x
3+2x
l) lim
x�!+1
x+1
x2�2
m) lim
x�!+1
2+x
3+x2
2. Calcule
a) lim
x�!+1
p
x+1
x+3
b) lim
x�!+1
x+
p
x+3
2x�1
c) lim
x�!+1
�
2x�
p
x2 + 3
�
d) lim
x�!+1
�
x�
p
3x3 + 2
�
e) lim
x�!+1
�
x�
p
x2 + 3
�
f) lim
x�!+1
�
x�
p
x+ 3
�
g) lim
x�!+1
�p
x+
p
x�
p
x� 1
�
h) lim
x�!+1
�
x� 3
p
2 + 3x3
�
3. Calcule
a) lim
x�!3+
5
3�x
b) lim
x�!3�
4
x�3
c) lim
x�! 12
+
4
2x�1
d) lim
x�!0�
1
x
6
e) lim
x�!0+
2x+1
x
f) lim
x�!0�
x�3
x2
g) lim
x�!0+
3
x2�x
h) lim
x�!0�
3
x2�x
i) lim
x�! 12
+
3x+1
4x2�1
j) lim
x�!1�
2x+3
x2�1
l) lim
x�!1+
2x+3
x2�1
m) lim
x�!3+
x2�3x
x2�6x+9
n) lim
x�!�1+
2x+3
x2+x
o) lim
x�!0+
2x+1
x2+x
p) lim
x�!1+
3x�5
x2+3x�4
q) lim
x�!2+
x2�4
x2�4x+4
r) lim
x�!�1+
3x2�4
1�x2
s) lim
x�!0+
sin x
x3�x2
7