EF 8º ANO_MATEMÁTICA_LIVRO DE ATIVIDADES_VOLUME 2 (PROFESSOR)

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Livro do professor
Livro de
atividades
Triângulos e 
quadriláteros 205
4 Estatística 2
8o. ano
Volume 2
Matemática
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ar
ia
nn
a 
Ka
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ny
k
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k/
M
ss
a
2 Livro de atividades 
4
Estatística
Medidas de tendência central
Média aritmética
Dados os números a a an1 2, , , ... , a média aritmética é obtida adicionando esses números e dividindo o 
resultado por n.
Média aritmética = a a a
n
n1 2
Média aritmética ponderada
Dados os números a a an1 2, , , ... , aos quais atribuímos, respectivamente, os pesos p p pn1 2, , , ... , a média 
aritmética ponderada é obtida adicionando os produtos dos números pelos respectivos pesos e dividindo o 
resultado pela soma dos pesos.
Média aritmética ponderada = 
a p a p a p
p p p
n n
n
1 1 2 2
1 2
� � � � � �
� � �
É importante observar que os pesos são números reais não negativos cuja soma é, portanto, um número 
positivo.
Mediana
A mediana é um número que se encontra no centro de um conjunto de valores dispostos em ordem cres-
cente ou decrescente.
• Quando a quantidade de dados é ímpar, a mediana é o termo central.
(2, 3, 4, 7, 9, 10, 11): número ímpar de termos A mediana é o termo central, que é 7 .
• Quando a quantidade é par, existem dois termos centrais e, nesse caso, a mediana é a média aritmética 
desses dois valores.
(2, 3, 4, 7, 9, 10, 11, 14): número par de termos A mediana é a média aritmética dos dois termos cen-
trais, ou seja, 7 9
2
16
2
8
�
� � .
3 Matemática – 8o. ano – Volume 2
Moda
Em um conjunto de dados, a moda é aquele que aparece com maior frequência. Quando ocorrem dois 
valores com maior frequência, dizemos que o conjunto é bimodal; quando não existe moda, dizemos que o 
conjunto é amodal.
Amplitude
A amplitude de um conjunto de dados numéricos é a diferença entre o maior e o menor valor desse con-
junto. Essa informação ajuda a compreender como os dados estão distribuídos em torno da média: quanto 
maior a amplitude, mais afastados da média estão; quanto menor a amplitude, mais próximos da média estão.
Acompanhe um exemplo que envolve o conceito de moda e amplitude. Considere as idades dos alunos que 
participam das aulas de música em uma escola.
12 13 14 15 17 16 13 10 11 12 12 13 15
Para determinar a moda, verificamos a idade com a maior frequência. Nesse caso, são 12 e 13, pois ambas 
aparecem três vezes. Assim, o conjunto das idades é bimodal: 
Moda = 12 e Moda = 13
Agora, calculamos a amplitude, que é a diferença entre a maior idade e a menor.
 Maior idade = 17 Assim:
 Menor idade = 10 Amplitude = 17 – 10 = 7
Planejamento de uma pesquisa, leitura e 
interpretação de gráficos
Muitas vezes, as informações apresentadas por meio de gráficos ou tabelas são mais fáceis de serem com-
preendidas e analisadas. A Estatística é fundamental para o estudo de dados coletados em pesquisas. Dois 
elementos importantes da pesquisa são a população e a amostra.
População: conjunto formado por todos os elementos com os quais se deseja fazer uma pesquisa.
Amostra: conjunto formado por parte da população no qual efetivamente vamos buscar as informações.
Em uma pesquisa, geralmente não utilizamos toda a população, mas, sim, uma parte dela, denominada 
amostra. É fundamental que a amostra selecionada seja representativa, ou seja, apresente as mesmas caracte-
rísticas da população. 
Tipos de variáveis
Uma variável é dita quantitativa quando é expressa por números (quantidade de filhos ou renda familiar, 
por exemplo); uma variável é dita qualitativa se expressa um atributo ou uma qualidade (grau de escolaridade, 
preferência musical ou cidade natal, por exemplo).
4 Livro de atividades 
Tipos de gráfico
Gráfico de barras verticais ou de colunas
SUDESTE − População estimada
50 000 000
Minas 
Gerais
0
45 000 000
40 000 000
35 000 000
30 000 000
25 000 000
20 000 000
15 000 000
10 000 000
5 000 000
Espírito 
Santo
Rio de 
Janeiro
São Paulo
21 119 536
4 016 356
16 718 956
45 094 866
Fonte: ESTIMATIVAS da população residente no Brasil e 
unidades da federação com data de referência em 1º. de julho 
de 2017. Disponível em: <ftp://ftp.ibge.gov.br/Estimativas_de_
Populacao/Estimativas_2017>. Acesso em: 19 set. 2018.
Nesse tipo de gráfico, os valores são representa-
dos no eixo vertical. No exemplo acima, temos a po-
pulação estimada em cada um dos estados da Região 
Sudeste (a data de referência é julho de 2017).
Gráfico de barras horizontais
8 000 000
CENTRO-OESTE − População estimada
4 000 000
Distrito Federal
Goiás
Mato Grosso
Mato Grosso do Sul
0
3 039 444
6 778 772
3 344 544
2 713 147
Fonte: ESTIMATIVAS da população residente 
no Brasil e unidades da federação com data de 
referência em 1º. de julho de 2017. Disponível em: 
<ftp://ftp.ibge.gov.br/Estimativas_de_Populacao/
Estimativas_2017>. Acesso em: 19 set. 2018.
Nesse tipo de gráfico, os valores são representa-
dos no eixo horizontal. No exemplo acima, temos a 
população estimada no Distrito Federal e em cada 
um dos estados da Região Centro-Oeste (a data de 
referência é julho de 2017).
Gráfico de setores
População no Brasil por região
Norte
Nordeste Sudeste
Sul Centro-Oeste
9%8%
27%
42%
14%
Fonte: ESTIMATIVAS da população residente no Brasil e unidades 
da federação com data de referência em 1º. de julho de 2017. 
Disponível em: <ftp://ftp.ibge.gov.br/Estimativas_de_Populacao/
Estimativas_2017>. Acesso em: 19 set. 2018.
Nesse tipo de gráfico, os valores são facilmente 
comparáveis entre si e o todo. No exemplo acima, 
temos a porcentagem aproximada da população por 
região em relação à população total do Brasil (a data 
de referência é julho de 2017).
Gráfico de linhas
Fonte: RETROPROJEÇÃO da população. Disponível em: <https://
www.ibge.gov.br/estatisticas-novoportal/sociais/populacao/9114-
retroprojecao-da-populacao.html?=&t=downloads>. Acesso em: 11 
set. 2018. 
Com 90 anos ou + Recém-nascidos 
(com menos de 1 ano)
Evolução da população mais velha e 
mais jovem no Brasil
4 000 000
3 000 000
2 000 000
1 000 000
Nú
m
er
o 
de
 p
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0
20
00
20
01
20
02
20
03
20
04
20
05
20
06
20
07
20
08
20
09
20
10
Esse tipo de gráfico é muito útil para avaliar a 
flutuação de variáveis em determinado período. No 
gráfico acima, é retratada a evolução da população 
brasileira mais velha (90 anos ou mais) e da mais jo-
vem (recém-nascidos com menos de 1 ano) entre os 
anos de 2000 e 2010.
5 Matemática – 8o. ano – Volume 2
Pictograma
Gols dos 4 primeiros colocados da 
Copa do Mundo de 2018
1o. lugar: França
2o. lugar: Croácia
3o. lugar: Bélgica
4o. lugar: Inglaterra
2 gols feitos
2 gols levados
Em um pictograma, utilizam-se figuras para repre-
sentar quantidades. No pictograma acima, são infor-
madas as quantidades de gols feitos e sofridos pelas 
seleções mais bem classificadas na Copa do Mundo 
de 2018.
Dados agrupados em classes
Quando os dados estão espalhados em diversos 
valores, pode ser conveniente agrupá-los em classes. 
Como é importante que as classes tenham a mesma 
amplitude, é preferível utilizar um histograma para 
representar os dados.
Idade dos funcionários de uma fábrica
25
20
15
10No . 
 d
e 
fu
nc
io
ná
rio
s
5
0
18
30
24 30 36 42 48 54 60
0
Idade (em anos)
Histograma é um gráfico formado por retângulos jus-
tapostos (unidos). A largura é igual à amplitude de cada 
classe e a altura corresponde à frequência da classe. No 
histograma acima, informa-se o número de funcionários 
de uma fábrica de acordo com sua faixa etária. 
Medidas de tendência central
1. A tabela a seguir mostra a altitude, em metros, de sete pontos culminantes do Brasil.
Ponto culminante Altitude (m)
Pico da Neblina 2 995,30
Pico 31 de Março 2 974,18
Pico da Bandeira 2 891,32
Pico Pedra da Mina 2 798,06
Pico das Agulhas Negras 2 790,94
Pico do Cristal 2 769,05
Monte Roraima 2 734,05
Fonte: GEOCIÊNCIAS: IBGE revê as altitudes de sete pontos culminantes. Disponível em: <http://www.inde.gov.br/noticias-inde/8530-geociencias-ibge-reve-as-altitudes-de-sete-pontos-culminantes.html>. Acesso em: 12 set. 2018.
a) Qual é a mediana das altitudes de todos os pontos culminantes apresentados na tabela?
Os dados na tabela já estão elencados em ordem decrescente. É possível observar que o termo central é 2 798,06, que é, portanto,
o valor da mediana. 
Atividades
6 Livro de atividades 
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 A
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x
b) Qual é a altitude média dos cinco picos mais altos do país?
2 995 30 2 974 18 2 891 32 2 798 06 2 790 94
5
14 449 8
5
2
 
 
, , , , , ,� � � �
� � 8889 96,
Dessa maneira, a altitude média dos cinco picos mais altos do Brasil é 2 889,96 m.
c) Se calculássemos a altitude média dos sete pontos culminantes apresentados na tabela, o valor 
obtido seria maior ou menor do que a média obtida no item anterior? Justifique sua resposta 
sem fazer cálculos.
A média seria menor, pois estamos acrescentando dois valores menores do que a média obtida anteriormente e dividindo o valor
por 7 (e não por 5, como no item anterior).
2. Uma transportadora recebeu a incumbência de entregar 4 caixas, das quais uma pesa 142 kg, a se-
gunda, 136 kg, e a terceira, 122 kg. Sabendo que o peso médio das 4 caixas é 127 kg, determine o peso 
da 4ª. caixa.
Sendo x o peso da 4.ª caixa, temos:
142 136 122
4
127
400 508
108
� � �
�
� �
�
x
x
x
Logo, o peso da 4 .ª caixa é 108 kg.
3. (ENEM) Os alunos da 3 .ª série do ensino médio da escola Z fizeram dois simulados de matemática, 
cada um com 8 questões de múltipla escolha, no valor de 0,5 ponto cada. Há apenas uma alternativa 
correta por questão.
O quadro mostra o percentual de alunos que acertaram cada questão, em cada um dos simulados.
Q1 Q2 Q3 Q4 Q5 Q6 Q7 Q8
Simulado A 60% 50% 80% 30% 20% 60% 30% 10%
Simulado B 80% 30% 60% 30% 40% 90% 10% 10%
• Monte Roraima visto da Venezuela
7 Matemática – 8o. ano – Volume 2
Sabendo-se que o número de alunos que fizeram os simulados foi o mesmo, a média geral da turma, 
considerando as notas dos dois simulados, mais aproximada, é de,
a) 7,4. b) 3,7. c) 3,4. d) 1,9. X e) 1,7.
Simulado A: ( , , , , , , , , ) , ,0 6 0 5 0 8 0 3 0 2 0 6 0 3 0 1 0 5 1 7� � � � � � � � �
Simulado B: ( , , , , , , , , ) , ,0 8 0 3 0 6 0 3 0 4 0 9 0 1 0 1 0 5 1 75� � � � � � � � � 
Dessa maneira, a média geral da turma é 
1 7 1 75
2
1 725
, ,
,
�
� , ou seja, aproximadamente 1,7. 
4. Observe, na tabela ao lado, as alturas e os pesos 
(massas) de 5 adultos e resolva as questões. 
a) Qual a altura média dos homens? E das 
mulheres?
Altura (cm) Peso (kg)
André 175 87
Beatriz 182 80
Carlos 156 75
Daniela 150 58
Eduardo 170 96
Altura média dos homens: 
175 156 170
3
167
� �
�
Altura média das mulheres: 
182 150
2
166
�
�
Assim, as alturas médias dos homens e das mulheres 
são, respectivamente, 167 cm e 166 cm.
b) Qual o peso médio dos homens? E das mulheres?
c) Calcule a altura média e o peso médio das 5 pessoas. 
Peso médio dos homens: 
87 75 96
3
86
� �
�
Peso médio das mulheres: 
80 58
2
69
�
�
Assim, os pesos médios dos homens e das mulheres são, respectivamente, 86 kg e 69 kg.
d) Para encontrar as médias descritas no item anterior, basta calcular as médias aritméticas (simples) 
das médias encontradas nos itens a e b? Justifique sua resposta.
Altura média: 
175 182 156 150 170
5
166 6
� � � �
� ,
Peso médio: 
87 80 75 58 96
5
79 2
� � � �
� ,
Assim, a altura média e o peso médio dos 5 adultos são, respectivamente, 166,6 cm e 79,2 kg.
Não. Para usar as médias encontradas nos itens a e b, deveríamos utilizar médias ponderadas com peso igual à quantidade de 
pessoas em cada grupo (3 homens e 2 mulheres). Observe: 
Altura média: 
3 167 2 166
3 2
166 6
� � �
�
�
cm cm
cm, , que é diferente da média aritmética das alturas encontradas no item a 
167 166
2
166 5
cm cm
cm
�
��
	
�
�

, .
Peso médio: 
3 86 2 69
3 2
79 2
� � �
�
�
kg kg
kg, , que é diferente da média aritmética dos pesos encontrados no item b 
86 69
2
77 5
 
 
kg kg
kg
�
��
	
�
�

, .
8 Livro de atividades 
5. Veja os números de gols marcados nas Copas do Mundo de Futebol de 1930 a 2018.
Edição Partidas Gols Edição Partidas Gols Edição Partidas Gols
1930 18 70 1966 32 89 1994 52 141
1934 17 70 1970 32 95 1998 64 171
1938 18 84 1974 38 97 2002 64 161
1950 22 88 1978 38 102 2006 64 147
1954 26 140 1982 52 146 2010 64 145
1958 35 126 1986 52 132 2014 64 171
1962 32 89 1990 52 115 2018 64 169
Determine a média aritmética, a mediana, a moda e a amplitude do conjunto formado pelos nú-
meros de gols marcados nas copas a partir de 1998, quando passaram a ser disputadas 64 partidas.
171 161 147 145 171 169 964
Média 160,7
6 6
De 1998 a 2018, foram marcados em média 160,7 gols por partida. 
Para determinar a mediana, colocamos os valores em ordem crescente: 145, 147, 161, 169, 171, 171. Calculando a média aritmética 
dos valores centrais, obtemos 
161 169
2
165
�
� . Assim, a mediana é 165 gols.
Nessa situação, a moda é 171 gols, pois é o valor mais frequente.
Finalmente, calculamos a amplitude, que é a diferença entre o maior número de gols e o menor.
Amplitude = 171 – 145 = 26
6. (ENEM) O responsável por realizar uma avaliação em uma escola convocou alguns professores 
para elaborar questões e estipulou uma meta mínima. Cada professor deveria elaborar, em média, 
13 questões por dia durante uma semana. Nos seis primeiros dias, as quantidades de questões elabo-
radas por um professor foram 15, 12, 11, 12, 13, 14.
Para cumprir a meta mínima, a quantidade mínima de questões que o professor deverá elaborar no 
último dia é
a) 11. b) 12. c) 13. X d) 14. e) 15.
Sendo x o número mínimo de questões a 
serem elaboradas no último dia, temos:
15 12 11 12 13 14
7
13
77 91
14
� � � � � �
�
� �
�
x
x
x
7. (ENEM) Ao final de uma competição de ciências em uma escola, restaram apenas três candidatos. 
De acordo com as regras, o vencedor será o candidato que obtiver a maior média ponderada entre 
as notas das provas finais nas disciplinas química e física, considerando, respectivamente, os pesos 
4 e 6 para elas. As notas são sempre números inteiros. 
Por questões médicas, o candidato II ainda não fez a 
prova final de química. No dia em que sua avaliação 
for aplicada, as notas dos outros dois candidatos, em 
ambas as disciplinas, já terão sido divulgadas.
O quadro apresenta as notas obtidas pelos finalistas 
nas provas finais.
Candidato Química Física
I 20 23
II X 25
III 21 18
9 Matemática – 8o. ano – Volume 2
A menor nota que o candidato II deverá obter na prova final de química para vencer a competição é
X a) 18. b) 19. c) 22. d) 25. e) 26.
8. (ENEM) A avaliação de rendimento de alunos de um curso universitário baseia-se na média ponde-
rada das notas obtidas nas disciplinas pelos respectivos números de créditos, como mostra o quadro:
Avaliação Média de notas (M)
Excelente 9 10� �M
Bom 7 M 9
Regular 5 7� �M
Ruim 3 5� �M
Péssimo M 3
Quanto melhor a avaliação de um aluno em determinado período letivo, maior prioridade na esco-
lha de disciplinas para o período seguinte.
Determinado aluno sabe que se obtiver avaliação “Bom” ou “Excelente” conseguirá matrícula nas 
disciplinas que deseja. Ele já realizou as provas de 4 das 5 disciplinas em que está matriculado, mas 
não realizou a prova da disciplina I, conforme o quadro.
Disciplina Notas Número de créditos
I 12
II 8,00 4
III 6,00 8
IV 5,00 8
V 7,50 10
Para que atinja seu objetivo, a nota mínima que ele deve conseguir na disciplina I é
a) 7,00. b) 7,38. c) 7,50. X d) 8,25. e) 9,00.
Sendo x a nota mínima a ser atingida na disciplina I, temos:
x
x
x
x
� � � � � � � � �
� � � �
�
� �
�
�
12 8 4 6 8 5 8 7 5 10
12 4 8 8 10
7
12 195 294
99
12
8 2
,
, 55
Logo, a nota deve ser, no mínimo, 8,25. 
Média do candidato I: 
20 4 23 6
4 6
21 8
� � �
�
� ,
Média do candidato III: 
21 4 18 6
4 6
19 2
� � �
�
� ,
Média do candidato II: 
X
X X
� � �
�
� � � � � � �
4 25 6
4 6
21 8 4 150 218
68
4
17,Dessa maneira, o candidato II deverá obter pelo menos a nota 18 na prova final de Química para vencer a competição. 
10 Livro de atividades 
9. (ENEM) Um empresário pretende fazer a propaganda de seus produtos em um canal de televisão. 
Para isso, decidiu consultar o quadro com a pontuação de audiência, nos últimos três meses, de cin-
co emissoras de televisão em determinado horário e calcular a média aritmética para escolher aquela 
com a maior média de audiência nesse período.
Emissora Mês I Mês II Mês III
I 11 19 13
II 12 16 17
III 14 14 18
IV 15 11 15
V 14 14 14
De acordo com o critério do empresário, que emissora deve ser escolhida?
a) I b) II X c) III d) IV e) V
Emissora I: 11 19 13
3
43
3
14 33
� �
� ,
Emissora II: 12 16 17
3
45
3
15
� �
� � 
Emissora III: 14 14 18
3
46
3
15 3
� �
� ,
Emissora IV: 15 11 15
3
41
3
13 67
� �
� , 
Emissora V: 14 14 14
3
42
3
14
� �
� �
Dessa forma, deve ser escolhida a emissora III, que tem a maior média.
10. Na atividade anterior, quais são a moda e a mediana de todas as audiências levantadas nos três meses 
pelas cinco emissoras?
Dispondo todos os valores em ordem crescente, temos:
11 < 11 < 12 < 13 < 14 < 14 < 14 < 14 < 14 < 15 < 15 < 16 < 17 < 18 < 19
O valor central é 14, assim como o valor que mais aparece. Dessa forma, tanto a moda quanto a mediana são 14. 
11. (ENEM) Cinco regiões de um país estão buscando recursos no Governo Federal para diminuir a 
taxa de desemprego de sua população. Para decidir qual região receberia o recurso, foram colhidas 
as taxas de desemprego, em porcentagem, dos últimos três anos. Os dados estão apresentados na 
tabela.
TAXA DE DESEMPREGO (%)
Região A Região B Região C Região D Região E
Ano I 12,1 12,5 11,9 11,6 8,2
Ano II 11,7 10,5 12,7 9,5 12,6
Ano III 12,0 11,6 10,9 12,8 12,7
Ficou decidido que a região contemplada com a maior parte do recurso seria aquela com a maior 
mediana das taxas de desemprego dos últimos três anos.
11 Matemática – 8o. ano – Volume 2
A região que deve receber a maior parte do recurso é a
a) A. b) B. c) C. d) D. X e) E.
Região A: 11,7 < 12,0 < 12,1 → mediana: 12,0;
Região B: 10,5 < 11,6 < 12,5 → mediana: 11,6;
Região C: 10,9 < 11,9 < 12,7 → mediana: 11,9; 
Região D: 9,5 < 11,6 < 12,8 → mediana: 11,6;
Região E: 8,2 < 12,6 < 12,7 → mediana: 12,6.
Como a maior mediana é 12,6, a região que deve receber a maior parte do recurso é a E. 
12. (ENEM) Os candidatos K, L, M, N e P estão disputando uma única vaga de emprego em uma em-
presa e fizeram provas de português, matemática, direito e informática. A tabela apresenta as notas 
obtidas pelos cinco candidatos.
Candidatos Português Matemática Direito Informática
K 33 33 33 34
L 32 39 33 34
M 35 35 36 34
N 24 37 40 35
P 36 16 26 41
Segundo o edital de seleção, o candidato aprovado será aquele para o qual a mediana das notas 
obtidas por ele nas quatro disciplinas for a maior.
O candidato aprovado será
a) K. b) L. c) M. X d) N. e) P. 
Candidato K: 33, 33, 33, 34; mediana: 
33 33
2
33
�
� Candidato N: 24, 35, 37, 40; mediana: 
35 37
2
36
�
�
Candidato L: 32, 33, 34, 39; mediana: 
33 34
2
33 5
�
� , Candidato P: 16, 26, 36, 41; mediana: 
26 36
2
31
�
�
Candidato M: 34, 35, 35, 36; mediana: 
35 35
2
35
�
�
13. (ENEM) Uma loja que vende sapatos recebeu diversas reclamações de seus clientes relacionadas à 
venda de sapatos de cor branca ou preta. Os donos da loja anotaram as numerações dos sapatos 
com defeito e fizeram um estudo estatístico com intuito de reclamar com o fabricante.
A tabela contém a média, a mediana e a moda desses dados anotados pelos donos.
Estatísticas sobre as numerações dos sapatos com defeito
Média Mediana Moda
Numeração dos sapatos 
com defeito
36 37 38
Para quantificar os sapatos pela cor, os donos representaram a cor branca com o número 0 e a cor 
preta pelo número 1. Sabe-se que a média da distribuição desses zeros e uns é igual a 0,45.
Os donos da loja decidiram que a numeração dos sapatos com maior número de reclamações e a 
cor com maior número de reclamações não serão mais vendidas.
12 Livro de atividades 
A loja encaminhou um ofício ao fornecedor dos sapatos, explicando que não serão mais encomen-
dados os sapatos de cor
X a) branca e os de número 38. 
b) branca e os de número 37.
c) branca e os de número 36. 
d) preta e os de número 38.
e) preta e os de número 37. 
14. (ENEM) Um concurso é composto por cinco etapas. Cada etapa vale 100 pontos. A pontuação final de 
cada candidato é a média de suas notas nas cinco etapas. A classificação obedece à ordem decrescente 
das pontuações finais. O critério de desempate baseia-se na maior pontuação na quinta etapa.
Candidato Média nas quatro primeiras etapas Pontuação na quinta etapa
A 90 60
B 85 85
C 80 95
D 60 90
E 60 100
A ordem de classificação desse concurso é
a) A, B, C, E, D.
X b) B, A, C, E, D. 
c) C, B, E, A, D. 
d) C, B, E, D, A. 
e) E, C, D, B, A.
Candidato A: 
90 4 60
5
84
� �
� Candidato C: 
80 4 95
5
83
� �
� Candidato E: 
60 4 100
5
68
� �
�
Candidato B: 
85 4 85
5
85
� �
� Candidato D: 
60 4 90
5
66
� �
�
Assim, dispondo os resultados obtidos em ordem decrescente, temos 85 > 84 > 83 > 68 > 66, ou seja, a classificação desse 
concurso é B, A, C, E, D.
15. (ENEM) Na tabela, são apresentados dados da cotação mensal do ovo extra branco vendido no 
atacado, em Brasília, em reais, por caixa de 30 dúzias de ovos, em alguns meses dos anos 2007 e 2008.
Mês Cotação Ano
Outubro R$ 83,00 2007
Novembro R$ 73,10 2007
Dezembro R$ 81,60 2007
Janeiro R$ 82,00 2008
Fevereiro R$ 85,30 2008
Março R$ 84,00 2008
Abril R$ 84,60 2008
Como a média ficou mais próxima de 0 do que de 1, há mais reclamações dos 
sapatos brancos do que dos sapatos pretos. Como a moda é 38, houve mais recla-
mações dos sapatos desse número.
13 Matemática – 8o. ano – Volume 2
 De acordo com esses dados, o valor da mediana das cotações mensais do ovo extra branco nesse 
período era igual a
a) R$ 73,10.
b) R$ 81,50.
c) R$ 82,00.
X d) R$ 83,00.
e) R$ 85,30.
Dispondo as cotações, em reais, em ordem crescente, temos:
73 10 81 60 82 00 83 00 84 00 84 60 85 30, , , , , , ,
Dessa maneira, o valor da mediana é igual a R$ 83,00, pois é o valor central. 
16. (ENEM) O gráfico apresenta o comportamento de emprego formal surgido, segundo o CAGED, no 
período de janeiro de 2010 a outubro de 2010.
BRASIL – Comportamento do Emprego Formal no período de janeiro a outubro de 2010 – CAGED
400 000
300 000
200 000
100 000
0
JAN
2010
FEV
2010
MAR
2010
ABR
2010
MAIO
2010
JUN
2010
JUL
2010
AGO
2010
SET
2010
OUT
2010
181 419
209 425
305 068 298 041
212 952
181 796
299 415
246 875
204 804
266 415
Disponível em: www.mte.gov.br. Acesso em: 28 fev. 2012 (adaptado). 
 Com base no gráfico, o valor da parte inteira da mediana dos empregos formais surgidos no período é
a) 212 952. X b) 229 913. c) 240 621. d) 255 496. e) 298 041.
Dispondo os dados em ordem crescente, temos:
181 419 < 181 796 < 204 804 < 209 425 < 212 952 < 246 875 < 266 415 < 298 041 < 299 415 < 305 068
Como há dois valores centrais (212 952 e 246 875), a mediana é igual à média aritmética desses valores. Assim: 
212 952 246 875
2
229 913 5
�
� ,
17. (ENEM) O gráfico mostra a média de produção diária de petróleo no Brasil, em milhão de barris, no 
período de 2004 a 2010.
2,5
2,0
1,5
1,0
0,5
2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010
0
Ano
1,49
1,68
1,97 2,00
Ba
rr
is
 (m
ilh
ão
)
1,78 1,79
1,85
Disponível em: http://blogs.estadao.com.br. Acesso em: 2 ago. 2012.
14 Livro de atividades 
Estimativas feitas naquela época indicavam que a média de produção diária de petróleo no Brasil, em 
2012, seria 10% superior à média dos três últimos anos apresentados no gráfico.
Se essas estimativas tivessem sido confirmadas, a média de produção diária de petróleo no Brasil, em 
milhão de barris, em 2012, teria sido igual a
a) 1,940. X b) 2,134. c) 2,167. d) 2,420. e) 6,402.
A média dos3 últimos anos é 
1 85 1 97 2 00
3
1 94
, , ,
,
� �
� (em milhão de barris). Com aumento de 10%, o valor deve ser igual a 
1,94 + 0,1 · 1,94 = 1,94 + 0,194 = 2,134 (em milhões de barris). 
18. (ENEM) O quadro seguinte mostra o desempenho de um time de futebol no último campeonato. 
A coluna da esquerda mostra o número de gols marcados e a coluna da direita informa em quantos 
jogos o time marcou aquele número de gols.
Gols marcados Quantidade de partidas
0 5
1 3
2 4
3 3
4 2
5 2
7 1
 Se X, Y e Z são, respectivamente, a média, a mediana e a moda desta distribuição, então
a) X = Y < Z.
b) Z < X = Y.
c) Y < Z < X.
d) Z < X < Y.
X e) Z < Y < X.
19. (OBMEP) O Professor Márcio aplicou uma prova de Matemática valendo 10 pontos. Para ter uma 
ideia do desempenho da turma, ele organizou a tabela abaixo.
Notas Alunos
Menores ou iguais a 4 6
Maiores do que 4 e menores ou iguais a 7 18
Maiores do que 7 16
Cálculo da média:
X �
� � � � � � � � � � � � �
� � � � � �
� �
5 0 3 1 4 2 3 3 2 4 2 5 1 7
5 3 4 3 2 2 1
45
20
2 25,
Cálculo da mediana: como ocorreram 20 partidas, em ordem crescente, temos que a 10 .ª e 11 .ª partidas 
estão na classe dos 2 gols por partida e, por isso, a mediana é Y = 2. 
Cálculo da moda: a moda é 0, uma vez que nenhum gol foi marcado no maior número de partidas. 
Dessa forma, como 0 < 2 < 2,25, tem-se que Z < Y < X.
15 Matemática – 8o. ano – Volume 2
 Qual é a única alternativa que mostra um possível valor para a média aritmética das notas da 
turma?
a) 3,9 b) 4,1 c) 4,5 X d) 4,9 e) 7,9
Pior resultado (os alunos tiraram as menores notas possíveis): 
0 6 4 1 18 7 1 16
6 18 16
4 685
� � � � �
� �
�
, ,
,
Melhor resultado (os alunos tiraram as maiores notas possíveis): 
4 6 7 18 10 16
6 18 16
7 75
� � � � �
� �
� ,
Portanto, como a média tem que estar entre esses dois valores, o único valor possível é 4,9. 
20. (OBMEP) Um aluno compara as notas das 6 provas de Português que fez em 2004 e de outras 6, da 
mesma matéria, que fez em 2005. Ele repara que em 5 provas ele obteve as mesmas notas nos dois 
anos. Na outra prova a nota foi 86 em 2004 e 68 em 2005. Em 2004 a média aritmética das seis notas 
foi 84. Qual foi a média em 2005?
a) 78 X b) 81 c) 82 d) 83 e) 87
Sendo a, b, c, d e e as notas das 5 provas 
em que o aluno obteve as mesmas no-
tas nos dois anos e X a média aritmética 
das seis notas em 2005, temos:
Em 2004: 
a b c d e
a b c d e
a b c d e
� � � � �
�
� � � �
� �
� � � �
� �
86
6
84
6
84
86
6
6
84
43
3
Em 2005:
 
X
a b c d e
X
a b c d e
X
X
�
� � � � �
�
� � � �
�
� ��
	
�
�

�
� � �
68
6
6
68
6
84
43
3
34
3
84
9
3
844 3 81� �
Outra resolução é observar que uma 
diminuição de 18 pontos (86 – 68 = 18) 
será distribuída pelas 6 provas, reduzin-
do a média em 
18
6
3 pontos. Se em 
2004 a média era 84, em 2005 ela passou 
a ser 84 – 3 = 81.
Planejamento de uma pesquisa, leitura e interpretação 
de gráficos
21. Um dado foi lançado 16 vezes. Observe na imagem ao lado os resul-
tados. 
a) Calcule a média e a moda dos resultados dos lançamentos desse 
dado.
Face 1 2 3 4 5 6
Frequência 2 3 5 2 3 1
A moda é 3, pois é o valor que mais aparece. 
Média = 1 2 2 3 3 5 4 2 5 3 6 1
16
52
16
3 25
� � � � � � � � � � �
� � ,
Para o pior resultado, escolhemos o zero por ser a menor nota do primeiro intervalo. Imaginando que as notas tenham uma 
casa decimal, escolhemos 4,1 por ser a menor nota válida no segundo intervalo; e 7,1, por ser a menor nota válida no terceiro 
intervalo. Os alunos poderiam pensar também em notas com até duas casas decimais e, nesse caso, teriam que usar 4,01 como 
a pior nota do segundo intervalo e 7,01 para o outro intervalo.
16 Livro de atividades 
b) Construa um gráfico de colunas com os resultados dos lançamentos desse dado.
Resultados dos 16 lançamentos
de um dado
6
5
4
3
Fr
eq
uê
nc
ia
 d
e 
fa
ce
s
2
1
0
654321
Número na face do dado 
22. (ENEM) O resultado de uma pesquisa eleitoral, sobre a preferência dos eleitores em relação a dois 
candidatos, foi representado por meio do Gráfico 1.
70
60
50
40
El
ei
to
re
s 
(%
)
30
20
10
0
A B
Candidato
Gráfico 1
 Ao ser divulgado esse resultado em jornal, o Gráfico 1 foi cortado durante a diagramação, como 
mostra o Gráfico 2.
70
60
50
40El
ei
to
re
s 
(%
)
30
20
A B
Candidato
Gráfico 2
 Apesar de os valores apresentados estarem corretos e a largura das colunas ser a mesma, muitos lei-
tores criticaram o formato do Gráfico 2 impresso no jornal, alegando que houve prejuízo visual para 
o candidato B.
17 Matemática – 8o. ano – Volume 2
 A diferença entre as razões da altura da coluna B pela coluna A nos gráficos 1 e 2 é
a) 0 b) 
1
2
c) 
1
5
d) 
2
15
X e) 
8
35
No primeiro gráfico, temos uma relação de 30 para 70, enquanto no segundo temos uma relação de 10 para 50. Dessa forma, 
a resposta procurada é 30
70
10
50
8
35
� � . 
23. (OBMEP) Para testar a qualidade de um combustível composto apenas de gasolina e álcool, uma 
empresa recolheu oito amostras em vários postos de gasolina. Para cada amostra foi determinado 
o percentual de álcool e o resultado é mostrado no gráfico abaixo. Em quantas dessas amostras o 
percentual de álcool é maior que o percentual de gasolina?
amostra 8
amostra 7
amostra 6
amostra 5
amostra 4
amostra 3
amostra 2
amostra 1
10 20 30 40 50 60 70 80 90 % álcool
a) 1 
b) 2 
X c) 3
d) 4 
e) 5
Pela análise do gráfico, podemos obser-
var que o percentual de álcool é maior 
do que o percentual de gasolina nas 
amostras 1 (na qual o percentual de ál-
cool é maior do que 80%), 2 (na qual o 
percentual de álcool é de 70%) e 3 (na 
qual o percentual de álcool é de 60%). 
24. (ENEM) Um estudo sobre o problema do desemprego na Grande São Paulo, no período 1985-1996, 
realizado pelo SEADE-DIEESE, apresentou o seguinte gráfico sobre taxa de desemprego.
Médias Anuais da Taxa de Desemprego Total
Grande São Paulo 
1985-1996
16,0%
14,0%
12,0%
10,0%
8,0%
6,0%
85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96
Fonte: SEP, Convênio SEADE-DIEESE.
18 Livro de atividades 
 Pela análise do gráfico, é correto afirmar que, no período considerado,
a) a maior taxa de desemprego foi de 14%.
b) a taxa de desemprego no ano de 1995 foi a menor do período.
c) a partir de 1992, a taxa de desemprego foi decrescente.
X d) no período 1985-1996, a taxa de desemprego esteve entre 8% e 16%.
e) a taxa de desemprego foi crescente no período compreendido entre 1988 e 1991.
25. (OBMEP) No gráfico estão representadas as populações das cidades I, II, III, IV e V em 1990 e 2000, 
em milhares de habitantes. Por exemplo, em 1990 a população da cidade II era de 60 000 habitantes 
e em 2000 a cidade IV tinha 150 000 habitantes.
Qual cidade teve o maior aumento percen-
tual de população de 1990 a 2000?
X a) I
b) II
c) III
d) IV
e) V
Podemos usar regra de três relacionando a população (em milhares de habitantes) de 1990 com 100% e a diferença entre o 
número de habitantes com o aumento (ou a queda) percentual que deve ser determinado(a).
Cidade I
30 100
20
30 20 100
2000
30
66 67
%
%
, %
x
x
x
� �
�
O aumento percentual foi de, 
aproximadamente, 66,67%.
Cidade II
60 100
10
60 10 100
1000
60
16 67
%
%
, %
x
x
x
� �
�
A queda percentual foi de, 
aproximadamente, 16,67%.
Cidade III
Como o número de habitantes foi man-
tido, não houve aumento nem queda 
percentual de população de 1990 a 
2000.
Cidade IV
100 100
50
100 50 100
5000
100
50
%
%
%
x
x
x
� �
� �
O aumento percentual foi de 50%
Cidade V
120 100
10
120 10 100
1 000
120
8 33
%
%
, %
x
x
x
� �
�
O aumento percentual foi de, 
aproximadamente, 8,33%.
Pela análise do gráfico, podemos 
perceber que, no período de 1985 
a 1996, a taxa de desemprego não 
foi menor do que 8% e não foi 
maior do que 16%. Dessa manei-
ra, no período 1985-1996, a taxa 
de desemprego esteve entre 8% 
e 16%.
50
40
30
20
10
0
I II III IV V
110
100
90
80
70
60
160
150
140
130120
1990
2000
19 Matemática – 8o. ano – Volume 2
26. (OBMEP) O gráfico mostra a tempera-
tura média e a precipitação de chuva 
em Quixajuba em cada um dos meses 
de 2009.
 Qual das afirmativas abaixo está cor-
reta?
a) O mês mais chuvoso foi também o 
mais quente.
b) O mês menos chuvoso foi também 
o mais frio.
c) De outubro para novembro au-
mentaram tanto a precipitação 
quanto a temperatura.
d) Os dois meses mais quentes foram 
também os de maior precipitação.
X e) Os dois meses mais frios foram também os de menor precipitação.
27. (OBMEP) A turma do Carlos organizou uma rifa. O 
gráfico mostra quantos alunos compraram um mes-
mo número de bilhetes; por exemplo, sete alunos 
compraram três bilhetes cada um.
 Quantos bilhetes foram comprados?
a) 56
b) 68
c) 71
X d) 89
e) 100
De acordo com os dados do gráfico, temos que o número de 
bilhetes comprados é 5 0 20 1 16 2 7 3 4 4 89� � � � � � � � � � . 
28. Com os dados da questão anterior, encontre a média e a moda da quantidade de bilhetes compra-
dos. Em seguida, construa um pictograma para representar os dados do gráfico anterior. 
Moda: 1
Média: 
5 0 20 1 16 2 7 3 4 4
5 20 16 7 4
89
52
1 71
� � � � � � � � �
� � � �
� ,
Veja ao lado uma sugestão de pictograma.
Nenhum
bilhete
1 bilhete
2 bilhetes
Número de pessoas que compraram a mesma quantidade de bilhetes
3 bilhetes
4 bilhetes
Corresponde 
a 2 pessoas
Os meses mais frios são os meses de agosto e setembro. Esses dois meses são também os meses de menor precipitação. 
Esclareça aos alunos que a unidade de medida usada para indicar a quantidade de chuva é o milímetro (mm).
22
18
16
Al
un
os
14
12
0
Bilhetes
1 2 3 4
10
8
6
4
2
0
20
Jan
mm
100
Fev Mar Abr Mai Jun Jul Ago Set Out Nov Dez
200
300
˚C
10
20
30
20 Livro de atividades 
5
Triângulos e 
quadriláteros
Triângulos
Congruência de triângulos
Dois polígonos são congruentes quando os lados correspondentes são congruentes e os ângulos corres-
pondentes também são congruentes. 
Para que os triângulos ABC e DEF sejam congruentes (indicado por ABC ≡ DEF), é preciso associar os 
vértices A com D; B com E e C com F, de modo que os lados correspondentes sejam congruentes 
(AB DE BC EF CA FD; ; ), bem como os ângulos (A D B E C F; ; ).
F
E
D
A
B
C
Para verificar de forma simplificada se dois triângulos são congruentes, podemos utilizar 
os casos de congruência. 
1.º caso: lado, lado, lado (LLL) 
Quando dois triângulos têm os três lados respectivamente congruentes, eles são congruentes. Além disso, 
os ângulos correspondentes também são congruentes.
A
5
CB
2
6
F
E
D
6
5
2
Veja que:
AB DE
AC DF
BC EF
Assim, ABC DEF.
21 Matemática – 8o. ano – Volume 2
2.º caso: lado, ângulo, lado (LAL)
Quando dois triângulos têm dois lados e o ângulo formado por esses lados respectivamente congruentes, 
eles são congruentes. Além disso, fica garantida a congruência dos dois outros lados e dos dois outros pares de 
ângulos correspondentes.
Y
X
Z
R
P
Q
5
5
60˚
8
8
60˚
PR XY
R Y
RQ YZ
Assim, PRQ XYZ.
3.º caso: ângulo, lado, ângulo (ALA)
Quando dois triângulos têm um lado e os dois ângulos adjacentes a esse lado respectivamente congruentes, 
eles são congruentes. Além disso, fica garantida a congruência dos dois outros ângulos e dos dois outros pares 
de lados correspondentes.
Assim, JKL OMN.
O
45˚
60˚
60˚45˚
M
N
4
L
KJ
4
J O
JK OM
K M
4.º caso: lado, ângulo, ângulo oposto (LAAo)
Quando dois triângulos têm um lado, um ângulo oposto a esse lado e outro ângulo respectivamente con-
gruentes, eles são congruentes. Além disso, fica garantida a congruência dos dois outros ângulos e dos dois 
outros pares de lados correspondentes.
Assim, RST HQF.
R
S T
75˚
40˚
75˚
40˚
H Q
F
5
5
ST QF
T F
R H
Triângulo equilátero e triângulo isósceles
Um triângulo que tem 2 lados congruentes é denominado isósceles. Se os 3 lados são congruentes, ele é 
dito equilátero. 
22 Livro de atividades 
Propriedades dos paralelogramos
1.ª propriedade: os ângulos opostos do paralelogramo são congruentes.
2.ª propriedade: os lados opostos do paralelogramo são congruentes.
3.ª propriedade: as diagonais do paralelogramo se cruzam nos pontos médios.
Alguns paralelogramos recebem nomes especiais dependendo de propriedades que envolvem seus lados ou seus 
ângulos. 
• Retângulo: paralelogramo com os 4 ângulos congruentes. Como a soma das medidas dos ângulos internos de 
um quadrilátero é 360°, tem-se que a medida de cada um dos ângulos do retângulo é igual a 90°.
• Losango: paralelogramo com os 4 lados congruentes entre si.
• Quadrado: paralelogramo com os 4 lados congruentes entre si e os 4 ângulos 
retos (o quadrado é simultaneamente retângulo e losango).
Além das propriedades usuais, temos que:
• no retângulo, as diagonais são congruentes; 
• no losango, as diagonais são perpendiculares entre si. 
Como o quadrado é, ao mesmo tempo, retângulo e losango, suas diagonais são 
congruentes e perpendiculares entre si, como mostra a figura ao lado.
Perceba que:
• num triângulo equilátero, os 3 ângulos internos são congruentes e medem 60°;
• num triângulo isósceles, os ângulos da base são congruentes; 
• todo triângulo equilátero é isósceles, mas nem todo triângulo isósceles é equilátero. 
Quadriláteros
Quadriláteros são polígonos com quatro lados. Os quadriláteros têm 4 vértices, 4 ângulos internos, 4 ân-
gulos externos e 2 diagonais. 
• vértices: A, B, C e D; 
• lados: AB, BC, CD e DA; 
• ângulos internos: A, B, C e D; 
• ângulos externos: a, b, c e d;
• diagonais: AC e BD.
Como a soma das medidas dos ângulos internos de qualquer triângulo é 180°, é possível provar que a soma das 
medidas dos ângulos internos de um quadrilátero é 360°.
Quanto à quantidade de lados paralelos, destacamos duas classes de quadriláteros: paralelogramo e trapézio.
Paralelogramos
Os paralelogramos são quadriláteros que têm dois pares de lados paralelos.
A
D C
B
Ĉ ĉ
B̂
Â
D̂
b̂
â
d̂
A
D C
B
23 Matemática – 8o. ano – Volume 2
Triângulos
1. Os ângulos correspondentes das figuras ao lado têm a mesma medida, mas as medidas 
de seus lados correspondentes são distintas. Podemos afirmar que os triângulos são con-
gruentes? Justifique sua resposta. 
Trapézios
Os trapézios são quadriláteros que têm apenas um par de lados paralelos. Esses lados são denominados 
bases do trapézio.
Veja os tipos de trapézio.
• Trapézio isósceles: os lados não paralelos são congruentes.
CD
BA
Em um trapézio isósceles, os ângulos da base são congruentes e as diagonais têm o mesmo comprimento.
CD
BA
CD
BA 
• Trapézio escaleno: os lados não paralelos não são congruentes. 
CD
BA
• Trapézio retângulo: um dos lados é perpendicular às bases.
CD
BA
Atividades
65˚
25˚
25˚
65˚
Os triângulos não são congruentes, pois não têm os lados correspondentes com a 
mesma medida. Além disso, como estudado, existem quatro casos de congruência e 
o caso ângulo, ângulo, ângulo (AAA) não representa um caso de congruência. Todos os casos de congruência 
envolvem a congruência de pelo menos um dos lados correspondentes. 
24 Livro de atividades 
2. Determine os valores das incógnitas em cada um dos itens a seguir, observando os triângulos 
congruentes.
a)
40˚
110˚
C
5 cm
x
D A
B
ABC ADC
α = 110° 
β = 30° 
σ = 40° 
x = 5 cm 
b)
C
3 cm
x
D
A
8 cm
20,7˚
50˚
y
B
ABC DBC
α = 50° 
β = 20,7° 
x = 8 cm 
y = 3 cm 
c)
C
4 cm
x
D
A
B 5 cm
22,3˚
108,2˚
y
E
2 cm
ABC DEB
α = 22,3° 
β = 108,2° 
x = 5 cm 
θ = 49,5° 
σ = 49,5° 
y = 2 cm 
3. Na figura a seguir, os segmentos AB e CD se encontram no ponto médio M. Verifique se os triângulos 
AMC e BMD são congruentes. 
C
A
M
B
D
Observe a imagem ao lado. Se M é o 
ponto médio dos segmentos AB e CD, 
temos que as medidas dos segmentos 
CM e DM são iguais, assim como as me-
didas dos segmentosAM e BM. Perceba 
também que AMC BMD, pois são ân-
gulos opostos pelo vértice. Dessa for-
ma, os triângulos AMC e BMD são 
congruentes pelo caso lado, ângulo, 
lado (LAL).
CC
A
B
D
M
Como a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é 180°, o valor de 
σ é 180° – 108,2° – 22,3° = 49,5°. Como a medida do segmento CD é igual a 2 cm 
e a medida do segmento BD é igual a 4 cm, a medida do segmento BC é 2 cm e, 
portanto, y = 2 cm. 
25 Matemática – 8o. ano – Volume 2
4. Analise cada triângulo e, em seguida, determine o valor de x (em graus).
a) 
3x – 15˚
2x + 3˚ x + 12˚
 2x + 3° + 3x – 15° + x + 12° = 180°
6x = 180°
x = 30°
b) 
3x
5x + 35˚
40˚ – x
 3x + 5x + 35° + 40° – x = 180°
7x = 105°
x = 15°
c) 
2x
5x 5x
 5x + 5x + 2x = 180°
12x = 180°
x = 15°
d) 
x – 5˚ x 
2
 + 5˚
 
x
x 5 5 90 180
2
3x
90
2
x 60
° ° ° °
°
°
5. Qual a soma das medidas dos ângulos internos de um pentágono convexo? (Sugestão: divida o pen-
tágono em triângulos.)
c
f i
a
b
d
e g
h
Podemos dividir o pentágono em três triângulos, como o da figura ao lado, cuja soma das medi-
das dos ângulos internos de cada um é igual a 180°. 
Dessa maneira, podemos afirmar que: a b c 180
d e f 180
g h i 180
°
°
°
Note que a soma das medidas de todos os ângulos indicados na figura é igual à soma das medidas 
dos cinco ângulos internos do pentágono. Dessa forma, a soma das medidas dos ângulos internos 
de um pentágono é a b c d e f g h i 180 180 180 540° ° ° °. 
26 Livro de atividades 
6. Utilizando a mesma ideia da atividade anterior, encontre a soma das medidas dos ângulos internos 
de um hexágono convexo. 
a
b d
e
g
h
j
k
l
i
f
c
Podemos dividir o hexágono em quatro triân-
gulos, como o da figura ao lado, cuja soma das 
medidas dos ângulos internos de cada um é 
igual a 180°. 
Dessa maneira, podemos afirmar que: 
a + b + c = 180º
d + e + f = 180º
g + h + i = 180º
j + k + l = 180º
Note que a soma das medidas de todos os 
ângulos indicados na figura é igual à soma das 
medidas dos seis ângulos internos do hexágo-
no. Dessa forma, a soma das medidas dos ân-
gulos internos de um hexágono é 
a b c d e f g h i j k l
180 180 180 180 720 .° ° ° ° °
7. Utilizando os dados obtidos nas atividades 5 e 6, escreva uma expressão que representa a soma das 
medidas dos ângulos internos de um polígono convexo de n lados.
A soma das medidas dos ângulos internos de um polígono convexo de n lados é 180° · (n – 2). 
8. (OBMEP) Uma tira de papel retangular é dobrada ao longo da linha tracejada, conforme indicado, 
formando a figura plana da direita. Qual a medida do ângulo x?
a) 30°
b) 50°
X c) 80°
d) 100°
e) 130°
Após a dobradura, temos que x + 50° + 50° = 180°, ou seja, x + 100° = 180°, de onde x = 80°. 
9. (UNIFESP) Pentágonos regulares congruentes podem ser conecta-
dos, lado a lado, formando uma estrela de cinco pontas, conforme 
destacado na figura. Nestas condições, o ângulo θ mede
a) 108°. b) 72°. c) 54°. X d) 36°. e) 18°.
Como obtido na atividade 5, tem-se que a soma das medidas dos ângulos internos 
de um pentágono convexo é igual a 540°. Dessa maneira, a medida de um ângulo 
interno do pentágono regular é 
540
108
5
°
° . Como uma volta completa corres-
ponde a 360°, temos 108° + 108° + 108° + θ = 360°, ou seja, θ = 360° – 324° = 36°. 
10. Um polígono é formado por 10 triângulos isósceles congruentes, como mostra a figura.
Assinale as afirmativas corretas.
X a) O polígono formado por esses triângulos é regular.
X b) O valor de α é 36º. 
X c) Os ângulos da base de cada triângulo isósceles medem 72º.
d) Os ângulos da base de cada triângulo isósceles medem 144º.
X e) Os ângulos internos do polígono formado medem 144º.
27 Matemática – 8o. ano – Volume 2
11. (OBMEP) Na figura, os pontos A, B e C estão alinhados. Qual é a soma dos ângulos marcados em 
cinza? 
a) 120°
b) 180°
c) 270°
X d) 360°
e) 540°
Como a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é 180°, temos que a soma das medidas de todos os ângulos 
da figura, incluindo os não indicados em cinza, é 3 · 180° = 540°. Dessa maneira, devemos “descontar” a soma das medidas dos 
ângulos não marcados em cinza, que é igual a 180°. Dessa forma, a resposta procurada é 540° – 180° = 360°.
12. Em um triângulo equilátero XYZ, marcam-se três pontos U, V e W, tais 
que XU YV ZW. Observe a figura ao lado.
a) Mostre que XUW, YVU e ZWV são congruentes.
Pelo enunciado do problema, temos que XU YV ZW. Como o triângulo XYZ é 
equilátero, concluímos que XW YU ZV. Além disso, como os ângulos internos de 
um triângulo equilátero medem 60°, concluímos pelo caso lado, ângulo, lado (LAL) que 
os triângulos XUW, YVU e ZWV são congruentes.
b) Conclua que o triângulo UVW é equilátero.
Como os triângulos XUW, YVU e ZWV são congruentes, temos que UW VU WV. Dessa forma, pelo caso lado, 
lado, lado (LLL), temos que o triângulo UVW é equilátero.
13. Um artista plástico desejava utilizar 8 triângulos isósceles (4 cinza e 
4 rosa) com dois tamanhos distintos, mas com os mesmos ângulos in-
ternos para fazer uma composição. Em razão dos erros em seus cálculos, 
o último triângulo rosa não pôde ser usado. Ele verificou que o ângulo 
que restou (31°) não era suficiente para que um quarto triângulo rosa 
fosse “encaixado” na sua composição. O resultado está indicado ao lado.
a) Qual o valor de θ?
Chamando de θ a medida dos ângulos da base de cada triângulo isósceles e de α a 
medida do ângulo oposto à base de cada triângulo isósceles, tem-se que:
7α + 31° = 360°
α = 47°
Como a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180°, tem-se 
que: 
2θ + α = 180°
2θ + 47° = 180°
θ = 66,5°
A B C
Y 
U 
V 
WX Z 
60°
60° 60°
31°
 
 
 
28 Livro de atividades 
b) Qual deveria ser o valor de θ para que o artista conseguisse realizar a tarefa desejada?
Nesse caso, é necessário que cada um dos ângulos opostos à base seja α = 45° (obtido por meio da resolução de 8α = 360°). 
Assim: 
2θ + α = 180°
2θ + 45° = 180°
2θ = 135°
θ = 67,5°
Dessa maneira, o valor de θ deveria ser 67,5º.
14. Com três triângulos equiláteros idênticos, construiu-se um trapézio, como representado na figura a 
seguir. Determine as medidas dos ângulos formados pelas diagonais e a medida do ângulo ACB .
F
D C
EA B
O triângulo AEC é isósceles, em que AC é a base. Como a medida dos ângulos AÊD e CÊD é 60°, temos que a medida do ângulo 
AÊC é 60° + 60° = 120°. Logo, os ângulos da base do AEC têm medidas iguais a 30°. Portanto, concluímos que o ângulo ACB é reto 
(90° = 60° + 30°). O triângulo CBF é retângulo, com um dos ângulos medindo 30°. Logo, a medida do ângulo CFB é 60° e a medida 
do ângulo CFD é 180° – 60° = 120°. 
15. (OBMEP) O triângulo ABC é isósceles de base BC e o ângulo BAC mede 30°. O 
triângulo BCD é isósceles de base BD. Determine a medida do ângulo DCA . 
X a) 45° 
b) 50°
c) 60°
d) 75°
e) 90°
O ângulo da base do triângulo ABC é 75° (metade de 180° – 30°), que é o mesmo ângulo da base 
do triângulo isósceles BCD. Dessa maneira, a medida do ângulo ADC é 180° – 75° = 105°. Como a 
soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é 180°, temos que a medida do ângulo 
DCA é dada por 180° – 30° – 105° = 45°. 
16. Na figura ao lado, o segmento QR foi dividido em 3 partes iguais pe-
los pontos S e U. Sabendo que os segmentos PS e PU são congruen-
tes, mostre que o triângulo PQR é isósceles.
Como o triângulo PSU é isósceles, os ângulos da base são congruentes, bem como seus 
ângulos externos RUP e QSP. Do enunciado, sabemos que UP SP e UR SQ. Dessa 
forma, pelo caso lado, ângulo, lado (LAL) de congruência de triângulos, temos que PUR e 
PSQ são congruentes. Em particular, RP QP, o que prova que o triângulo PQR é 
isósceles.
B C
D
A
P
Q
S
U
R
29 Matemática – 8o. ano – Volume 2
17. (OBMEP) No triângulo ABC temos AB = AC e os cinco segmentos marcados têm todos a mesma 
medida. Qual é a medida do ângulo BAC?
C
B A
a) 10° b) 15° X c) 20° d) 25° e) 30°
Vamos nomear cada um dos ângulos da figura.Podemos concluir que:
2a + b = 180° e b + c = 180°. Portanto, c = 2a.
2c + d = 180° e a + d + e = 180°. Portanto, e = 4a – a = 3a. 
2e + f = 180° e c + f + g = 180°. Portanto, g = 6a – 2a = 4a.
Como o triângulo ABC é isósceles, h + e = g e, portanto, 
2g + a = 180°, ou seja, 2 · 4a + a = 180°, onde a = 20°.
18. Considere o triângulo isósceles ABC, em que BC é a base. Sabendo que os 
ângulos destacados na figura medem 47°, mostre que os triângulos BEC e 
CDB são congruentes. Considerando que BD CE, faça o mesmo com os 
triângulos BFD e CFE.
Temos o lado BC comum aos dois triângulos, a igualdade da medida dos ângulos ABC e ACB 
(ângulos da base do triângulo isósceles) e a igualdade da medida dos ângulos EBC e DCB (medem 
47°). Dessa maneira, pelo caso ângulo, lado, ângulo (ALA), concluímos a congruência dos triângulos 
BEC e CDB. Em particular, como BD CE e BDC CEB, utilizando o fato de que os ângulos da 
base são congruentes, concluímos que DBF ECF� � . Dessa forma, pelo caso ângulo, lado, ângulo 
(ALA) de congruência de triângulos, temos que os triângulos BFD e CFE são congruentes.
19. No desenho ao lado,
• a reta t é bissetriz do menor ângulo formado pelas retas r e s;
• P é um ponto da bissetriz t; 
• o OAP é retângulo;
• o OBP é retângulo.
 Nessas condições, mostre que os triângulos OAP e OBP são con-
gruentes e conclua que P está à mesma distância das retas r e s 
( ).AP BP
Comparando os triângulos OBP e OAP, observamos que eles têm um lado em comum ( )OP e ângulos correspondentes 
congruentes, pois existem dois ângulos retos (OAP e OBP), e que a reta t é bissetriz (AOP BOP). Dessa forma, pelo caso lado, 
ângulo, ângulo oposto (LAAo), concluímos a congruência dos triângulos OAP ≡ OBP e, em particular, que AP BP.
C
B A
eh
g f
e
d
c c
a
g b
a
B C
D
A
E
F
B
P
A
O
r
t
s
30 Livro de atividades 
Quadriláteros
20. Complete cada lacuna com o nome de um dos quadriláteros (losango, retângulo, quadrado ou tra-
pézio), de modo que as sentenças se tornem verdadeiras.
a) O quadrado tem os quatro lados congruentes e os quatro ângulos internos retos.
b) O losango tem os quatro lados congruentes e nem sempre seus ângulos internos 
têm 90°.
c) O trapézio tem apenas dois lados paralelos. Os lados paralelos são chamados de 
bases (maior e menor) e a distância entre elas denomina-se altura.
d) Todo retângulo tem os quatro ângulos retos, e os lados não paralelos não precisam 
ser, necessariamente, congruentes.
21. A soma das medidas dos ângulos agudos de um paralelogramo é 96°. Qual é a medida dos ângulos 
internos desse paralelogramo?
Medida do ângulo agudo: 96 48
2
°
°
Medida do ângulo obtuso: 180° – 48° = 132°
Dessa forma, os ângulos internos desse paralelogramo medem 48°, 132°, 48° e 132°.
22. Em um paralelogramo, dois ângulos consecutivos medem 3x – 8° e 2x + 8°. Calcule o valor de x e 
determine a medida de cada ângulo interno desse quadrilátero.
Em um paralelogramo, dois ângulos consecutivos são suplementares. Dessa forma, 3x 8 2x 8 180
5x 180
x 36
° ° °
°
°
Logo, os dois ângulos consecutivos medem 3 · 36° – 8° = 100° e 2 · 36° + 8° = 80°.
Assim, as medidas dos ângulos internos desse paralelogramo são 80°, 100°, 80° e 100°.
23. (CESGRANRIO – RJ) Em um trapézio retângulo, o menor ângulo mede 35°. O maior ângulo desse 
polígono mede:
a) 140° X b) 145° c) 135° d) 155°
Em um trapézio retângulo, há dois ângulos retos. Dessa maneira, como a soma das medidas dos ângulos internos de um trapézio é 
igual a 360°, chamando de x a medida do maior ângulo desse polígono, temos x + 35° + 90° + 90° = 360°, onde x = 145°.
24. (VUNESP – SP) Considere as seguintes proposições:
• Todo quadrado é um losango.
• Todo quadrado é um retângulo.
• Todo retângulo é um paralelogramo.
• Todo triângulo equilátero é isósceles. 
Pode-se afirmar que:
a) só uma é verdadeira.
b) só uma é falsa.
X c) todas são verdadeiras.
d) duas são verdadeiras e duas são falsas. 
Ao verificar as definições dadas, conseguimos concluir que todas as 
afirmações são verdadeiras.
31 Matemática – 8o. ano – Volume 2
25. Determine os valores desconhecidos em cada um dos itens a seguir.
a) y
x
87°
63°
 
y = 180° – 87° – 63° = 30°
x + y + 90° + 90° = 360°
x + 30° = 180° 
x = 150°
b) 
x
119°
93°
y − 3°
131° y
y
x
 
x + y – 3° + 93° + 119° = 360°
x + y = 151°
x = 151° – y
y + y + 131° + x = 360°
x + 2y = 229°
Assim, 151° – y + 2y = 229°, onde tem-se que y = 78°. Logo, x = 151° – 78° = 73°. 
26. Relacione as medidas dos ângulos destacados em verde nos dois casos que seguem.
a) Retângulo e quadrado.
x y
a
b
 
Chamando de a o ângulo suplementar a y e de b o ângulo suplementar a 
x, temos x + a + 90° + 90° = 360°, ou seja, x + a = 180°. Mas note que y + a 
também é igual a 180°. Dessa forma, x = y.
b) Triângulo equilátero e quadrado.
x
y a
b
60°
 
Chamando de a o ângulo suplementar a y e de b o ângulo suplementar a x, te-
mos x + b = 180° e y + a = 180°. Além disso, b + y + 90° + 60° = 360°. Dessa forma, 
b + y = 210°, ou seja, b = 210° – y. Logo, como x + b = 180°, temos que x + 210° – y = 180°, 
ou seja, y = x + 30°.
32 Livro de atividades 
27. Para cada um dos paralelogramos a seguir, determine os valores dos ângulos solicitados.
a)
47°
B C
A D
med ABC( ) 180° – 47° = 133° 
med BCD( ) 47° 
b)
70°
B C
A D
85°
med ABD( ) 85° 
med ADB( ) 180° – 70° – 85° = 25° 
med BCD( ) 70° 
c)
2x
B C
A D
2x
x
E
med ECD( ) 36°, pois 5x = 180°, ou seja, x = 36° 
med CDE( ) 72° 
med CAB( ) 36° 
28. Mostre que a diagonal AC divide o losango ABCD em dois triângulos isósceles 
congruentes. Conclua também que essa diagonal é a bissetriz de  e Ĉ. 
Como no losango os quatro lados têm o mesmo comprimento, podemos concluir pelo caso lado, 
lado, lado (LLL) que ABC e ADC são congruentes. Como pelo menos duas das medidas dos la-
dos são iguais, os triângulos são também isósceles. Ainda temos que BAC DAC e BCA DCA. Des-
sa maneira, a diagonal AC é bissetriz dos ângulos opostos DAB e BCD.
29. Em cada item, temos um desenho representando o trapézio ABCD e sua base média ( )MN . Conside-
rando que algumas medidas estão representadas e outras não, encontre o valor de x, y e z em cada item.
a)
A 13 D
x
NM
3,5
z 4
B C5
y
x = 4 
y = 
z = 3,5 
13 5
2
9
�
�
B
D
CA
33 Matemática – 8o. ano – Volume 2
b)
A y
D
NM
z
4,4 2x − 7
B C6,25
11,25
x − 1
x = 
y = 
z = 4,4 
c)
A 3x
D
NM
1,3
y − z x
2
B Cx
x + 3
y − 1
x = 
y = 
z = 
30. Dois triângulos equiláteros ABC e DEF determinam um losango, 
como indicado na figura ao lado. Encontre os ângulos do losango 
AGDH e responda à questão: qual é a relação entre a medida dos 
lados do losango e a medida dos lados dos triângulos ABC e DEF?
Veja que HAG é um ângulo interno do triângulo equilátero ABC e, por isso, mede 60°. 
De forma similar, HDG também mede 60°. Como a soma das medidas dos ângulos 
internos de um losango é 360°, temos que a medida dos dois outros ângulos é igual a 120° 
cada. Podemos verificar que os triângulos menores, por exemplo, CDH, são equiláteros. 
Logo, a medida dos lados do losango é igual à medida dos lados dos triângulos equiláteros 
pequenos e, consequentemente, igual à metade da medida dos lados dos triângulos 
equiláteros ABC e DEF.
31. Na figura ao lado, formada pelo quadrado BCED e pelo triângulo 
equilátero ADE, destacamos o triângulo ABC. Determine cada um 
dos ângulos internos desse triângulo.
O triângulo ADB é isósceles (pois as medidas dos lados do triângulo ADE e do 
quadrado são iguais). Além disso, o ângulo no vértice D mede 90° + 60° = 150° (pois é 
formado por um ângulo reto do quadrado e um ângulo de 60° do triângulo ADE). 
Logo, os ângulos da base desse triângulo medem 
180 150 30
15
2 2
° ° °
° . Dessa 
forma, concluímos que os ângulos da base do triângulo isósceles ABC medem 
90° – 15° = 75° e o ângulo no vértice A mede 180° – 75° – 75° = 30°.
2 7 1 6x x x� � � � �
y
y
�
� � � � �
6 25
211 25 22 5 6 25 16 25
,
, , , ,
x x
x x
�
� � � �
3
2
3 3
x
y y y
2
1
3
2
1
5
2
� � � � � � �
y z z z� � � � � � �1 3
5
2
1 3 1 2, , ,
C
H
E
D A
G
B F
C
E D
A
B
34 Livro de atividades 
32. Na figura ao lado, formada por dois quadrados e um triângulo 
equilátero, destacamos o trapézio ABCD. Determine cada um 
dos ângulos internos desse trapézio.
Os ângulos da base menor medem 90° + 60° = 150°, pois são compostos de 
um ângulo reto do quadrado e um ângulo de 60° do triângulo equilátero. 
Dessa forma, como a soma das medidas dos ângulos internos de um tra-
pézio é igual a 360°, temos que a medida de cada ângulo da base maior é 
360 150 150
30
2
° ° °
°.
33. Mostre que as diagonais do trapézio isósceles o dividem em dois triângulos congruentes e dois triân-
gulos isósceles. Dica: verifique que os triângulos ABE e DCE são congruentes e que os triângulos 
AED e BEC são isósceles. 
C
DA
B
E
 
Como as diagonais do trapézio isósceles são congruentes, podemos afir-
mar, pelo caso lado, lado, lado (LLL), que os triângulos ACD e DBA 
são congruentes. Diante disso, podemos afirmar que ABD DCA. Ainda 
podemos afirmar que BEA CED, pois são ângulos opostos pelo vérti-
ce. Dessa maneira, pelo caso lado, ângulo, ângulo oposto (LAAo), temos 
que ABE e DCE são congruentes. Sendo congruentes, podemos afir-
mar que as medidas dos segmentos AE e ED são iguais, provando que 
AED é isósceles. O mesmo raciocínio demonstra que BEC é isósceles. 
34. Analise as afirmações e assinale V para as verdadeiras e F para as falsas.
a) ( F ) As diagonais de um retângulo são bissetrizes dos ângulos internos.
b) ( V ) As diagonais de um quadrado são bissetrizes dos ângulos internos. 
c) ( V ) As diagonais de um losango são bissetrizes dos ângulos internos.
d) ( V ) As diagonais de um losango são perpendiculares.
e) ( F ) As diagonais de um trapézio isósceles são bissetrizes dos seus ângulos internos.
f) ( F ) As diagonais de um trapézio se intersectam em seu ponto médio. 
35. No trapézio ABCD, traçaram-se as bissetrizes dos quatro ângulos internos, formando o quadrilátero 
FGEH.
CD
A B
E
F
G H
C
D
A
B
35 Matemática – 8o. ano – Volume 2
a) Mostre que o quadrilátero FGEH tem dois ângulos retos.
Como as bases do trapézio (AB e DC) são paralelas, os ângulos DAB e ADC são suplementares. Além disso, como foram traçadas 
as bissetrizes dos ângulos internos do trapézio, obtemos med(DAG) med(ADG) 90° . Dessa maneira, o triângulo ADG é 
retângulo em G, logo, EGF também é um ângulo reto, pois é oposto pelo vértice ao ângulo reto AGD. De forma similar, podemos 
concluir que o ângulo cujo vértice é H também é reto.
b) Com a informação adicional de que °DAB 70 e °ABC 50 , determine as medidas dos outros 
ângulos do quadrilátero FGEH.
Como o segmento AE é bissetriz, temos que 
med(DAB)
med(EAB) 35
2
° . Da mesma forma, como o segmento BE é bissetriz, 
temos que med EBA
med CBA
( )
( )
� � �
2
25 . Analisando o triângulo ΔAEB, é possível encontrar a medida do ângulo relativo ao 
vértice E, que é dada por med(E) 180 (35 25 ) 120 .° ° ° °
Para achar a medida do ângulo relativo ao vértice F, devemos levar em consideração que a soma das medidas dos ângulos inter-
nos de um quadrilátero é 360°. Dessa maneira, a medida procurada é dada por med(F) 360 90 90 120 60° ° ° ° .
36. As medidas das diagonais de um trapézio isósceles são representadas pelas expressões 5a – 18 e 3a + 64 
e estão em centímetros. Com base nessas informações, determine
a) o valor de a; 
As diagonais de um trapézio isósceles são congruentes. Dessa maneira: 
5 18 3 64
5 3 64 18
2 82
41
a a
a a
a
a
� � �
� � �
�
�
b) a medida de cada diagonal. 
5 18 5 41 18 205 18 187a� � � � � � �
As diagonais têm o mesmo comprimento e cada uma mede 187 centímetros. 
37. Observe a imagem a seguir e calcule as medidas de a, b e m.
m
d a
b b
m + 25˚ 72˚
58˚
28˚
a = 180° – 90° – 28° = 62°
b = 180° – 72° – 58° = 50°
m + 25° + m + a + b = 360°
m + 25° + m + 62° + 50° = 360°
2m = 360° – 137°
m = 111,5°
36 Livro de atividades 
38. Determine as medidas dos quatro ângulos internos do trapézio escaleno a seguir.
D
43˚
y
32˚
x
C
BA
∙ x + 32° + 90° = 180°
 x = 180° – 32° – 90°
 x = 58°
∙ 90° + 43° + y = 180°
 y = 180° – 43° – 90°
 y = 47°
∙ d = 32° + 90° = 122°
∙ c = 90° + 43° = 133°
Logo, os ângulos internos do trapézio escaleno têm medidas iguais a 58°, 47°, 122° e 133°. Perceba que a soma desses valores é igual a 360°.
39. Vamos construir quadriláteros juntando dois triângulos congruentes?
a) Com dois triângulos retângulos isósceles congruentes, quantos quadriláteros diferentes você 
pode formar? Desenhe e classifique os quadriláteros que você construir.
Dois quadriláteros. 
45º
45º
45º
45º
45º
45º
45º
Quadrado: Paralelogramo: 
b) Com dois triângulos isósceles, não equiláteros e não retângulos, quantos quadriláteros diferentes 
você pode formar? Desenhe e classifique os quadriláteros que você construir. 
Paralelogramo: Losango: Quadrilátero (sem lados paralelos):
Três quadriláteros.
Os desenhos ao lado são de dois triângulos 
isósceles congruentes em que os ângulos da 
base medem 75° e o ângulo oposto à base mede 
30°. Os quadriláteros obtidos seriam os mesmos 
para quaisquer outros dois triângulos isósceles 
congruentes, não equiláteros e não retângulos.
c) Com dois triângulos equiláteros, quantos quadriláteros diferentes você pode formar? Desenhe e 
classifique os quadriláteros que você construir.
Oriente os alunos a desenhar em uma folha qualquer os triângulos congruentes 
solicitados em cada item, bem como recortar e manipular essas montagens 
para observarem com mais facilidade cada construção de equilátero.
Um quadrilátero, o losango.
60º
60º
60º
60º
60º 60º