Lista Int Definida

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1 x dx 
-I o x2 ± 1 —
2 du/2 	1 2 du 	1— 	 ln I u I
2 1 u	 2
2
1
Introdução à integração 	 375
Então,
= —1 (ln 2 — ln 1) = —1 ln 2 .
2 
(v) 12 x e -X.2 +1 dx .
1
2
Calculamos primeiro a integral indefinida 1= x e x + 1
Fazendo u = —x2 + 1, temos du = —2x dx ou x dx = --du • Assim,2 
= S eu — du —— 2 
1 s 	 — 1 eu du 	
2
eu + c
2 
1 c_x2 + + c .
2
Logo,
2 	 —
x e-x + 1 dx — 1 x2 + 1
.1 	 2
2
—1 	4 + 1	 1 - 1 + 1 	 — 1 e 3 +C 	 + 	 —2 	 2 	 2 	 2
6.10 EXERCÍCIOS
2 	 2 	 2
1. 	 Calculando as integrais / 1 = f x2 dx , 12 = 	 x dx e 13 = 	 dx ,
obtemos // = 7/3, /2 = 3/2 e I3 = 1. Usando estes resultados, encontrar o valor de:
376 	 Cálculo A- Funções, Limite, Derivação, Integração
a) 12 c-1) dx b) 2x (x + 1) dx 
2c) 	 (x - 1) (x - 2) dx d) 52 (3x + 2)2 dx
1 
2. 	 Sem calcular a integral, verificar as seguintes desigualdades:
a) f3 	 3(3X2 + 4) dx $ (2x2 + 5) dx
1 	 1 	
b) 	
-1 dx <
-2 X 	 -2 2
c)	 sen x dx O 	
s3rc✓2
- cos x dx O .
o 	 ni2
1 	 5,---
3. Se f Nx2 dx = 	 calcular r 	 dt.
O 	 7
2
4. Se 
r./
9 cos2 t dt = 9 71 calcular
	
o 	 4 '
- cos2 O dO.
5. Verificar se o resultado das seguintes integrais é positivo, negativo ou zero, sem calculá-las.
a) fo dx
	$2. n
b) 	 sen t dt0 x + 2 	 o
c) 	
2
 (2x + 1) dx 	
3
(X2 — 2x - 3) dx1
6. Determinar as seguintes derivadas:
a) dx r "\it 4 dt 	 I L.2 
m d 	 2x A_
dy J 3 x2 + 9 `4-4
d 
d 8 s 1 t sen t dtc)
2x + , — 1 x < O
; em [-1, 1]
5 	 , 0 � x<1
a) f(x) =
Introdução à integração 	 377
7.	 Em cada um dos itens abaixo, calcular a integral da função no intervalo dado e esboçar seu
gráfico.
c)
-n
-n
-n
b) f(x)= I sen x 1 ; em [— ic , ir ] 	 c) 	 flx) = 21x 1 ; em [ — 1, 1]
x 1
d) f(x) = x — 
I
2 
; em [ —1,1] 	 e) f(x) = sen x + 1 sen x 1 ; em [— ir , 7r]
f) f(x)= sen x + I cos x 1; em [ — TC , rc].
8.	 Mostrar que:
a) jn sen 2x cos 5x dX = 0 	 b) S cos 2x cos 3x dx = O
sen 5x cos 2x dx = 0
(Sugestão: Usar as fórmulas
sen mx sen nx
sen mx cos nx
cos mx cos nx
1
— 2
_ 1
— 2
1
2
[cos (m n) x — cos (m + n) x] ,
[sen (m + n) x + sen (m — n) x] e
[cos (m + n) x + cos (m — n) x] ,
onde m e n são dois inteiros quaisquer.)
9.	 Se f(x) é contínua e f(x) M para todo x em [a, b], provar que
fb flx) dx M (b — a) . Ilustrar graficamente, supondo f(x) O.a
24. _ 'NI2x - 1 dx 25. dx 
,(,,,+,)3
10. Se f(x) é contínua e m 5f(x) para todo x em [a, b], provar que
m (b - a) fb f(x) dx . Ilustrar graficamente, supondo m > 0.
a
11. Aplicar os resultados dos exercícios 9 e 10, para encontrar o menor e o maior valor possível
das integrais dadas a seguir:
4
a) r 5x dx 	 b) 1 2x2 dX
3 	 -2
c) .14 I x - 11 dx 	 14 (x4 - 8,12 + 16) dx
-1
Nos exercícios de 12 a 34, calcular as integrais.
12. x(1,_ x3) dx 	 13. r (x2_ 4x + 7) dx
-1 	 - 3
14. s2 dx61 x 15. r 2t 	 dt4
1 021c
I sen xl dx
23. JJ o 	 v2 dv - 2 (v3 — 2)2r.,Ix2+ 922. 	 4 	dx
dy
17.7.
o '13y + 1
f1 	 x2 dx
19.
- 1 	 ,1x3 + 9
$
5
	12t - 4 I dt 21.
-2
16.
18.
20.
r/4
sen x cos x dx
n/4
1x2 - 3x + 2 dx
378 	 Cálculo A - Funções, Limite, Derivação, Integração