Fluidos em escoamento

Prévia do material em texto

MECÂNICA DOS FLUIDOS
Hidrodinâmica: Fluidos em escoamento e a 
Equação da Continuidade
Prof. Isaías Soares
REGIME PERMANENTE
• Quando a água escoa de uma torneira para a pia, podemos perceber o nível de líquido aumentando nela, especialmente se
tampamos a saída de água. No entanto, obviamente, podemos manter a torneira aberta sem encher a pia, bastando retirar
a tampa de saída. Se conseguirmos ajustar a vazão da torneira de forma que o nível de líquido na pia fique constante,
atingimos então o regime estacionário ou permanente. O regime permanente é caracterizado pelo fato das propriedades
do fluido serem as mesmas em todos os pontos com o passar do tempo.
• Como a quantidade de líquido por unidade de tempo que entra é igual á quantidade que sai, a massa específica,
velocidade, pressão são invariáveis em cada ponto no fluido. Porém, entre os diferentes pontos, a lei de Stevin, por
exemplo, continua válida. Quando o regime não é permanente, isto é, quando as propriedades de um fluido em
determinado ponto variam, dizemos que ele é transiente ou variado.
Fonte: Brunetti,F. Mecânica dos Fluidos. 2ª Edição - Pearson
Prof. Isaías Soares
REGIME PERMANENTE
• Um reservatório de grandes dimensões (a) é dito como aquele em que, apesar de haver fluido escoando ou
descarregando, o nível do líquido nele não varia sensivelmente com o passar do tempo e se pode considerar seu
escoamento como permanente.
• No caso da figura b, como o seção transversal é relativamente pequena frente à descarga do fluido, dizemos que ele é um
reservatório de regime transiente ou variado, pois o nível de líquido varia sensivelmente com o passar do tempo.
Fonte: Brunetti,F. Mecânica dos Fluidos. 2ª Edição - Pearson
Prof. Isaías Soares
REGIME DE ESCOAMENTO
• Seja um reservatório contendo água, no qual se liga a ele um tubo transparente contendo um fluido colorido. No fim do
reservatório, há uma válvula que permite a saída de água. Entre a válvula de saída e o fundo do reservatório, há um trecho
transparente no qual há a mistura da água com o fluido colorido. Para analisar o comportamento do escoamento da água,
obsevra-se o comportamento de escoamento do fluido colorido.
• Observa-se na figura, a formação de um filete colorido reto e contínuo, logo que a válvula de saída é pouco aberta . No
entanto, se a válvula continuar se abrindo gradativamente, haverá ondulações desse filete, até que ele se mistura
totalmente com a água e desaparece.
Fonte: Brunetti,F. Mecânica dos Fluidos. 2ª Edição - Pearson
Prof. Isaías Soares
REGIME DE ESCOAMENTO
• Podemos classificar o regime de escoamento, nesse contexto, dessa maneira:
• Em (a) vemos o filete reto e contínuo, causado pela pouca abertura da válvula. Esse regime de escoamento é denominado
Laminar, pois vemos o fluido colorido na forma de uma lâmina. Esse regime é caracterizado por uma baixa velocidade de
escoamento, em que as partículas viajam sem agitações transversais. Ao abrirmos gradativamente a válvula, as
ondulações (b) caracterizam uma transição de regime de escoamento para um regime mais agitado (c). Esse regime
agitado, caracterizado por uma alta velocidade de fluido com alta agitação macroscópica, é chamado de Turbulento.
https://storage.googleapis.com/blog2015/2016/10/escoamento-turbulento-12.jpg
Prof. Isaías Soares
https://storage.googleapis.com/blog2015/2016/10/escoamento-turbulento-12.jpg
REGIME DE ESCOAMENTO
• Para caracterizar o regime de escoamento na prática, usa-se uma equação empírica desenvolvida por Stokes em 1851 ,
mas popularizada por Osborne Reynolds em 1883 (ambos irlandeses). Essa equação fornece o número de Reynolds
(adimensional):
𝑅𝑒 =
𝜌𝑣𝐷
𝜇
Em que: 𝜌 é a massa específica do fluido, v é a velocidade do fluido, D é o diâmetro de escoamento (não necessariamente o
diâmetro de um tubo por onde o fluido escoa) e μ é a viscosidade dinâmica do fluido. Como 𝜈 =
𝜇
𝜌
, que é a viscosidade
cinemática, a equação do número de Reynolds pode ser escrita também por:
𝑅𝑒 =
𝑣𝐷
𝜈
Não confundir a velocidade no numerador com a viscosidade cinemática (denominador). O número de Reynolds é uma razão
entre a força inercial do fluido (ρ.v) e sua força viscosa (D/μ).
Prof. Isaías Soares
REGIME DE ESCOAMENTO
• Temos as seguintes faixas:
Re < 2000 (Escoamento laminar)
2000 < Re < 2300 (Escoamento de transição) 
Re > 2300 (Escoamento turbulento)
Dessa maneira, quanto maior o velocidade do fluido ou menor sua viscosidade, maior a tendência do regime de escoamento 
ser turbulento. Para esse escoamento em específico, existem flutuações da velocidade em cada ponto, porém, pode-se 
considera-lo como permanente para uma grande maioria dos casos, adotando em cada ponto a média das velocidades. 
Aparelhos que medem a velocidade de um fluido indicam um valor permanente em cada flutuação que corresponde à média 
das velocidades em relação ao tempo.
Fonte: Brunetti,F. Mecânica dos Fluidos. 2ª Edição - Pearson
Prof. Isaías Soares
EXERCÍCIO 1
Água a 20°C escoa através de uma tubulação de 8 cm de diâmetro a uma velocidade de 0,32 m/s. Qual o
regime de escoamento? Dado: viscosidade dinâmica da água a 20°C : 0,001 kg/m.s
Solução: Aplicando a equação do número de Reynolds, vem:
𝑅𝑒 =
𝜌𝑣𝐷
𝜇
=
1000
𝑘𝑔
𝑚3
×
0,32𝑚
𝑠
× 0,08 𝑚
0,001
𝑘𝑔
𝑚. 𝑠
= 2,56 × 104
Regime turbulento. 
Prof. Isaías Soares
EXERCÍCIO 2
Glicerina escoa com uma velocidade de 3 m/s com um diâmetro de escoamento de 60 cm. Qual a o regime de
escoamento da glicerina? Dados: viscosidade dinâmica da glicerina: 1,485 Pa.s e massa específica: 1,26g/mL.
Solução: Aplicando a equação do número de Reynolds, vem (lembre-se Pa.s = kg/(m.s):
𝑅𝑒 =
𝜌𝑣𝐷
𝜇
=
1260
𝑘𝑔
𝑚3
×
3𝑚
𝑠
× 0,60 𝑚
1,485
𝑘𝑔
𝑚. 𝑠
= 1527
Regime laminar. 
Prof. Isaías Soares
A EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE
A Equação da continuidade em Mecânica dos Fluidos é a equação do balanço de massa para um escoamento.
Sua dedução requer a observação do volume de controle do sistema, ao qual escoa.
Fox –Introduction to Fluid Mechanic- 8th Edition
Prof. Isaías Soares
A EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE
Para que exista conservação de massa M escoando no sistema, devemos fazer:
𝑑𝑀
𝑑𝑡 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎
= 0
Onde
𝑀𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 = න𝑑𝑚
𝑀(𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎)
= න𝜌𝑑𝑉
𝑉(𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎)
Em que dm é a massa de um elemento de massa do sistema e dV o elemento de volume. Após uma longa
manipulação matemática e deduções envolvendo álgebra em cima das superfícies das regiões I e III da
figura anterior (que não serão levadas em consideração aqui), chegamos em:
𝑑𝑀
𝑑𝑡 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎
=
𝜕
𝜕𝑡
න𝜌𝑑𝑉
𝑉𝐶(𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎)
+ න𝜌. Ԧ𝑣. 𝑑 Ԧ𝐴
𝑆𝐶(𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎)
Prof. Isaías Soares
A EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE
Em que VC é o volume de controle, SC é a superfície de controle v é a velocidade (vetor velocidade) e A é a
área de escoamento. Como o primeiro membro da equação é igual a zero (dM/dt = 0), temos, finalmente:
Que é a equação da continuidade para um fluido escoando. O primeiro termo representa a taxa de variação de
massa dentro do volume de controle e o segundo termo representa a taxa líquida de massa através da
superfície de controle. De forma que:
𝜕
𝜕𝑡
න𝜌𝑑𝑉
𝑉𝐶(𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎)
= − න𝜌. Ԧ𝑣. 𝑑 Ԧ𝐴
𝑆𝐶(𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎)
O que significa que a taxa de aumento de massa é devido à passagem de massa pela superfície de controle
do sistema.
𝜕
𝜕𝑡
න𝜌𝑑𝑉
𝑉𝐶(𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎)
+ න𝜌. Ԧ𝑣. 𝑑 Ԧ𝐴
𝑆𝐶(𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎)
= 0
Prof. Isaías Soares
A EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE
Considerando escoamento incompressível, ou seja, aquele que ocorre com líquidos, podemos colocar a massa
específica pra fora da integral, uma vez que ela é constante nesses casos. Isso dá:
𝜌
𝜕
𝜕𝑡
න𝑑𝑉
𝑉𝐶(𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎)
+ න𝜌. Ԧ𝑣. 𝑑 Ԧ𝐴
𝑆𝐶(𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎)
= 0
A primeira integral é simplesmente V, o volume de controle do sistema, o que dá:
𝜕𝑉
𝜕𝑡
+ න Ԧ𝑣. 𝑑 Ԧ𝐴
𝑆𝐶(𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎)
= 0
Considerando que o sistema não muda de forma durante o escoamento, V é constantecom o tempo, e
chegamos finalmente a:
න Ԧ𝑣. 𝑑 Ԧ𝐴
𝑆𝐶(𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎)
= 0
Equação da continuidade para 
um sistema incompressível e 
não deformável
Prof. Isaías Soares
A EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE
As unidade de medida da grandeza dentro da integral é um produto da velocidade de escoamento (m/s, no SI)
pela área de escoamento (no SI m2), que resulta em m3/s no SI. Essa grandeza é chamada de vazão
volumétrica, a qual representamos por Q.
Então, a equação da continuidade para sistemas incompressíveis e indeformáveis com o tempo diz que a
soma de todas as vazões volumétricas de correntes passando pela superfície de controle são iguais a zero.
Então, para uma vazão volumétrica entrando num volume de controle fixo, seu valor deve ser o mesmo na
saída.
Então, podemos escrever a definição de vazão volumétrica como sendo:
𝑄 = න
𝐴
Ԧ𝑣. 𝑑 Ԧ𝐴
Prof. Isaías Soares
EXERCÍCIO 3
Uma mangueira com água corrente a uma velocidade de 0,80 m/s possui diâmetro de 5 cm. Qual a 
vazão volumétrica de escoamento? Você pressiona a saída da mangueira com o dedo polegar de 
forma que o escoamento de saída tenha diâmetro de 2 cm. Qual a velocidade com que a água sai? 
Solução: Como a área de escoamento e a velocidade da mangueira não mudam, a equação da 
continuidade se torna, simplesmente:
Q = v.A
Substituindo os dados, vem: Q = v
𝜋𝐷2
4
= 0,80m
s
.
𝜋(0,05 𝑚)2
4
=1,57 x 10-3 m3/s = 1,57 L/s
Como a vazão de entrada é igual á vazão de saída, podemos fazer:
A1v1 = A2.v2 → 𝑣1
𝜋𝐷1
2
4
= 𝑣2
𝜋𝐷2
2
4
→
0,8 𝑚
𝑠
× 52 = 𝑣2 × 2
2 → 𝑣2 = 𝟓𝒎/𝒔
Prof. Isaías Soares
EXERCÍCIO 4
• Considere um fluxo estacionário de água numa junção de tubulação, como na
figura abaixo. As áreas são A1 = A2 = 0,2 m
2 e A3 = 0,15 m
2. Fluido é perdido por
um buraco, com uma vazão de 0,1 m3/s. As velocidades médias nas seções 1 e
3, são, respectivamente 5 e 12 m/s. Qual a velocidade do fluido na seção 2? Ela
é uma entrada ou uma saída de água?
Solução: Água é tida nesse contexto como um fluido incompressível e sem
deformação. Então, podemos usar a equação da continuidade para esse caso.
Logo:
න Ԧ𝑣. 𝑑 Ԧ𝐴
𝑆𝐶(𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎)
= 0
Então: Ԧ𝑣1 Ԧ𝐴1 + Ԧ𝑣2 Ԧ𝐴2 + Ԧ𝑣3 Ԧ𝐴3 + 𝑄4 = 0
Precisamos analisar primeiro as entradas e saídas para ver o sinal do vetor.
Faremos a velocidade ser positiva na região que entra e negativa na que sai.
Assim:
(5m/s). 0,2 m2 + Ԧ𝑣2 Ԧ𝐴2 – (12 m/s) . 0,15 m
2 – 0,1 m3/s = 0
Ԧ𝑣2=
0,9 𝑚3/𝑠
0,2 𝑚2
= 𝟒, 𝟓
𝒎
𝒔
(o fluxo é de entrada)
Fox –Introduction to Fluid
Mechanic- 8th Edition
Prof. Isaías Soares
EXERCÍCIO 5
• Um gás de massa específica 0,5 kg/m3 escoa em regime permanente com uma vazão mássica de 5kg/s pela seção de
um tubo de área 1 m x 0,5 m (seção 1). O gás atravessa para uma seção (2) em que sua massa específica aumenta para
1 kg/m3, de mesma área. Qual a velocidade do gás na seção 1? e na seção 2?
Solução: Como o gás varia sua massa específica durante o escoamento e o regime é permanente, temos:
න𝜌. Ԧ𝑣. 𝑑 Ԧ𝐴
𝑆𝐶(𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎)
= 0
Ou
ρ1v1A1 = ρ2v2A2
A quantidade da esquerda e da direita são iguais à vazão mássica (massa por unidade de tempo), então temos:
ρ1v1A1 = 5 kg/s → 0,5 (kg/m
3) x v1 x (1m x 0,5m) = 5 kg/s → v1 = 20 m/s.
E na seção 2, como A2 = A1, temos v2 = ρ1v1/ρ2 = 0,5 (kg/m
3) x 20 m/s /1 (kg/m3) = 10 m/s
Prof. Isaías Soares
EXERCÍCIO 6
• Na Figura, os reservatórios são cúbicos. Se o reservatório 1 leva
100 s para ser enchido e o reservatório 2 leva 500 s. Determine a
velocidade de escoamento na seção A.
Solução: Como o fluido é líquido, admitimos vazões volumétricas de
entrada e saída como sendo iguais. A equação da continuidade diz
que a vazão de água na seção A é igual á soma das vazões dos
reservatórios 1 e 2. Então:
QA = Q1 + Q2
As Vazões Q1 e Q2, são:
Q1 = (5m)
3/100 s = 1,25 m3/s
Q2 = (10m)
3/500 s = 2 m3/s
Logo: QA = vA.AA = 1,25 m
3/s + 2 m3/s = 3,25 m3/s
Finalmente: vA = 3,25 (m
3/s)/(𝜋1𝑚2/4)= 4,14 m/s
Prof. Isaías Soares