ENSINO FUNDAMENTAL 9º ANO_MATEMÁTICA_VOLUME 02 (PROFESSOR)

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Livro do professor
Livro
didático 4
5 Plano cartesiano e 
funções 29
6 Probabilidade 55
Triângulos 2
9o. ano
Volume 2
Matemática
Livro do professor
Pla
fun
Pro
©S
hu
tte
rst
oc
k/B
ian
ca
rdi
4
1. Quais as características da sombra formada pelo gnômon ao longo do dia?
2. Traçando um segmento de reta da extremidade da vara até a extremidade da sombra, qual a figura 
formada?
1 Comentário.
2. Um triângulo retângulo.
©
Sh
ut
te
rs
to
ck
/D
en
is 
La
rk
in
2. Um triângulo retângulo.
©
Sh
ut
te
rs
to
ck
/D
en
is 
La
rk
in
O relógio de sol apresentado na foto tem no gnômon a sua ideia original. Na forma 
mais simples, um gnômon consiste apenas em uma vara fincada no chão. Provavelmente 
foi o mais antigo instrumento astronômico construído pelo homem. A sombra projetada 
era suficiente para “marcar o tempo”, como indicado na figura ao lado. 
Ja
ck
 A
rt.
 2
01
8.
 D
ig
ita
l. 
1. Ao amanhecer e entardecer, a sombra projetada é 
maior. Próximo ao meio-dia, a sombra se torna me-
nor porque o Sol encontra-se mais alto, afastado da 
linha do horizonte. 
2
Triângulos
3
2 Curiosidade sobre o teorema de Pitágoras.
Após o estudo deste capítulo, espera-se que você conheça e obtenha as relações métricas em 
um triângulo retângulo, entre elas o teorema de Pitágoras, e as razões trigonométricas seno, cos-
seno e tangente. Além disso, você deverá resolver situações-problema em contextos variados que 
envolvam essas relações.
Objetivos
Teorema de Pitágoras
Você viu na abertura deste capítulo que o uso de um gnômon e do triângulo retângulo foi fundamental 
na construção de relógios de sol. Na verdade, o conhecimento sobre triângulos e, em especial, propriedades 
do triângulo retângulo auxiliou em várias necessidades da sociedade, desde épocas antigas até os dias atuais. 
Neste capítulo, você conhecerá um pouco mais sobre essa importante figura geométrica. 
Os lados de um triângulo retângulo têm nomes especiais:
• AB e BC são os catetos. São os lados que formam o ângulo reto.
• AC é a hipotenusa. É o lado oposto ao ângulo reto. A hipotenusa é sempre o maior dos lados de um triân-
gulo retângulo.
Agora, você vai estudar um teorema muito útil para a Matemática: o teorema de Pitágoras.
Pitágoras nasceu em Samos, ilha que pertenceu à Grécia, por volta de 572 a.C. Em Crotona, ele fundou a 
Escola Pitagórica, que era um centro de estudos de Filosofia, Ciências da Natureza e Matemática. Pitágoras é 
lembrado até hoje pelo teorema que leva seu nome e que estabelece uma relação entre as medidas dos lados 
de um triângulo retângulo.
• Pitágoras de Samos
©
Sh
ut
te
rs
to
ck
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ve
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Hi
st
or
ic
al
Cateto
Hipotenusa
Cateto
A
C B
BNCC_SPEmatEF92LA_I004
9o. ano – Volume 24
3 Sugestão de encaminhamento.
Vamos descobrir qual é essa relação. Vocês precisarão de lápis, régua, lápis de cor, tesoura e cola. 
a) Na página 1 do material de apoio, observem a figura, formada por um triângulo retângulo e por 
quadrados construídos sobre seus lados. 
b) Utilizando simetria de reflexão, desenhem a imagem do 
quadrado maior, considerando a hipotenusa do triângulo 
como o eixo de simetria. Apaguem as linhas que ficarem 
fora dos quadrados menores. Com isso, o quadrado me-
nor ficará dividido em duas partes, e o quadrado médio, 
em três. Pintem cada uma dessas partes de uma cor. Ve-
jam um modelo de como deve ficar. Vocês podem esco-
lher outras cores, claro!
c) Recortem as cinco partes coloridas e também o quadrado 
maior. Depois, tentem recobrir o quadrado maior usando 
as cinco partes coloridas.
d) Qual a relação entre a área do quadrado maior e as áreas 
dos outros dois quadrados? 
A área do quadrado maior é a soma das áreas dos outros dois quadrados.
e) Chamando a medida da hipotenusa do triângulo retângulo de a, qual é a área do quadrado maior? 
A área do quadrado maior é a2.
f) Chamando as medidas dos catetos de b e c, quais as áreas dos quadrados menores?
As áreas dos quadrados menores são b2 e c2. 
g) Com base nas respostas anteriores, escreva uma relação que envolva a medida da hipotenusa e as 
medidas dos catetos.
a2 = b2 + c2 
Essa relação é conhecida como teorema de Pitágoras.
Em um triângulo retângulo qualquer, o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos 
catetos.
a
c
b
a b c2 2 2� �
 Matemática 5
4 Comentários
Matemática em detalhes
ROSA, Euclides. Mania de Pitágoras. Disponível em: <http://www.rpm.org.br/cdrpm/74/6.html>. Acesso em: 23 jul. 2018.
Elisha Scott Loomis, professor de Matemática em Cleveland, Ohio (Estados Unidos), era 
realmente um apaixonado pelo Teorema de Pitágoras. Durante 20 anos, de 1907 a 1927, colecionou 
demonstrações desse teorema, agrupou-as e as organizou num livro, ao qual chamou The Pythagorean 
Proposition (A Proposição de Pitágoras). A primeira edição, em 1927, continha 230 demonstrações. 
Na segunda edição, publicada em 1940, esse número foi aumentado para 370 demonstrações.
Veja, por exemplo, um triângulo retângulo cujos lados medem 3 cm, 4 cm e 5 cm.
35
4
Note que os quadrados construídos sobre os catetos têm 9 e 16 
quadradinhos de 1 cm2 cada, ou seja, o menor tem área de 9 cm2, e o 
outro, 16 cm2. O quadrado construído sobre a hipotenusa tem área de 
25 cm2. Assim, a área do quadrado construído sobre a hipotenusa é a 
soma das áreas dos quadrados construídos sobre os catetos.
52 = 32 + 42
ac
b
a: medida da hipotenusa
b: medida de um cateto
c: medida do outro cateto
Veja que existem centenas de demonstrações do 
teorema de Pitágoras. Entre essas inúmeras maneiras 
de demonstrá-lo, vamos analisar uma baseada no 
cálculo de áreas de figuras geométricas planas.
Consideremos o triângulo retângulo da figura 
seguinte:
4 Comentários.
Uma demonstração do teorema de Pitágoras
Observe o quadrado ABCD, dividido em quatro 
triângulos retângulos cujos catetos medem b e c e 
em um quadrado cujos lados medem a.
Podemos determinar a área do quadrado ABCD 
somando as áreas dos quatro triângulos retângulos e 
do quadrado.
Área do quadrado MNPQ = a2 
Área de cada triângulo retângulo = 
b c
2
 
Assim:
2 b cÁrea do quadrado ABCD a 4
2
2Área do quadrado ABCD a 2bc
B
A
M
b
c
C
D
P
b
c
Nc b
Qb c
a
a
a
a
9o. ano – Volume 26
Agora, observe o quadrado EFGH, dividido em quatro triângulos retângulos cujos catetos medem b e c 
e em dois quadrados, um com lados de medida b e outro com lados de medida c.
A área do quadrado EFGH é a soma das áreas dos quatro triângulos retângulos e dos dois quadrados.
Área do quadrado FRVU = b2
Área do quadrado VSHT = c2
Área de cada triângulo retângulo = 
b c
2
 
Assim:
2 2 b cÁrea do quadrado EFGH b c 4
2
Área do quadrado EFGH = b2 + c2 + 2bc
Olhe com atenção para os quadrados ABCD e EFGH. Como eles são idênticos, podemos escrever a 
seguinte igualdade:
2 22
Área do quadrado EFGHÁrea do quadrado ABCD
a 2 b 2b c cc b
a b c2 2 2�� ��
Portanto, em um triângulo retângulo qualquer, o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma 
dos quadrados das medidas dos catetos.
 1. Em cada item são apresentadas as medidas dos lados de um triângulo retângulo. Circule a medida da 
hipotenusa.
a) 6 cm
8 cm
10 cm
b) 24 cm
26 cm
10 cm
c) 13 cm 
2 cm
3 cm
Atividades
5 Gabaritos.
RF
E
G
c
U
T H
b c
b b
c
b c
c
S
b
b
cV
 Matemática 7
 3. Com o teorema de Pitágoras, pode-se verificar se um triângulo é retângulo ou não. Por exemplo, um 
triângulo cujos lados medem 5 cm, 12 cm e 13 cm é retângulo, mas um com lados de medidas 3 cm, 
5 cm e 6 cm não é. Veja os cálculos que mostram isso.
13 5 12
169 25 144
169 169
2 2 2� �
� �
� ( )verdadeiro
6 3 5
36 9 25
36 34
2 2 2� �
� �
� ( )falso
Em cada item, são dadas as medidas dos lados de um triângulo. Assinale quais deles são triângulos retân-
gulos.
a) ( X ) 15 cm, 20 cm e 25 cm 
b) ( ) 4 cm, 5 cm e 6 cm Não é um triângulo retângulo. 
c) ( ) 12 cm, 16 cm e 21 cm Não é um triângulo retângulo. 
d) ( X ) 45 cm, 27 cm e 36 cm4. Na figura a seguir, a área do quadrado amarelo é de 64 cm2 e a área do quadrado verde é de 16 cm2. Qual 
é a área do quadrado azul?
Como 252 = 152 + 202, é um triângulo retângulo.
Como 452 = 272 + 362, é um triângulo retângulo.
x
12 cm
9 cm
Como o triângulo é retângulo, as medidas satisfazem o teorema de Pitágoras.
x
x
x
2 2 2
2
2
9 12
81 144
225
� �
� �
�
 
Portanto, x 225 15.
A medida da hipotenusa é 15 cm. 
C
A B
• A área do quadrado construído sobre a 
hipotenusa é a soma das áreas dos qua-
drados construídos sobre os catetos.
 Chamando de A a área do quadrado 
azul, temos:
 64 16 64 16 48� � � � � � �A A A 
• Se a área do quadrado amarelo é 64 cm2, 
a medida do seu lado é 8 cm. Se a área 
do quadrado verde é 16 cm2, a medida 
do seu lado é 4 cm. Então, por Pitágoras, 
a medida do lado do quadrado azul é:
 2. No triângulo retângulo da figura, determine o valor de x.
 5. Em cada item, determine a medida x.
a) 
√—61 cm
6 cm
x
b) 
12 cm
16 cm
x
2 2 2 2
2
8 x 4 x 48 x 48
Logo, sua área é igual a
( 48) 48 
Portanto, vimos de duas maneiras que a 
área do quadrado azul é de 48 cm2.
9o. ano – Volume 28
c)
24 cm18 cm
x
d)
x
√—30 cm
√—5 cm
 6. Analise cada uma das afirmações e assinale V (verdadeira) ou F (falsa).
a) ( F ) Se um dos catetos de um triângulo retângulo mede 100 cm e a hipotenusa mede 250 cm, então 
o outro cateto mede 150 cm. 
b) ( V ) Se a soma dos quadrados das medidas dos catetos de um triângulo retângulo é igual a 100, sua 
hipotenusa mede 10. 
 7. Usando o teorema de Pitágoras, podemos determinar a medida da diagonal de um quadrado qualquer.
a) Determine a expressão que representa a medida d de cada diagonal de um quadrado cujos lados 
medem l.
A
D
B
C
L
L
d
Uma diagonal do quadrado o divide em dois triângulos retângulos congruentes. Usan-
do o teorema de Pitágoras em um desses triângulos, temos:
d
d
d
d
2 2 2
2 2
2
2
2
2
� �
�
�
�
n n
n
n
n
b) Calcule a medida de cada diagonal de um quadrado cujos lados medem 8 cm. Use a aproximação 
2 1 41, . 
d
d cm
n 2
8 2
Usando a aproximação, temos que d cm cm� � �8 1 41 11 28, , . 
 8. Observe o triângulo equilátero a seguir.
B CH
h
A
l
l
l
a) Explique por que a altura AH, relativa ao lado BC, é também a 
mediana relativa a esse mesmo lado. Lembre que uma mediana 
divide um segmento em duas partes iguais.
A altura AH divide o triângulo equilátero ABC em dois triângulos retângulos
congruentes (ΔABH e ΔACH). Assim, BH CH. Dessa forma, BH CH
n
2
. 
 Matemática 9
b) Obtenha uma fórmula para calcular a altura h de um triângulo equilátero cujos lados medem n.
Lh
A
H C
L
2
n
n
n
n
n
n
n
n n
2
2
2
2
2
2
2 2
2
2
2
2
2
4
4
3
4
3
4
3
2
��
�
	
�
� �
� �
� �
�
� �
h
h
h
h
h
Uma altura do triângulo equilátero o divide em dois triângulos retângulos con-
gruentes. Usando o teorema de Pitágoras em um desses triângulos, temos:
c) Calcule a medida dos lados de um triângulo equilátero com altura de 2 3 cm.
h
n
n
n
n
3
2
2 3
3
2
4 3 3
4
Os lados do triângulo medem 4 cm.
 9. Calcule as medidas das diagonais d e D indicadas no paralelepípedo retângulo representado na figura.
Q
D
NM
5 cm 6 cm
8 cm
d
P
Ja
ck
 A
rt.
 2
01
8.
 D
ig
ita
l. 
No triângulo retângulo MNP, temos:
d
d
d
d cm
2 2 2
2
2
8 6
64 36
100
10
� �
� �
�
�
 
No triângulo retângulo PQN, temos:
D
D
D
D cm
2 2 2
2
2
10 5
100 25
125
125
� �
� �
�
�
Podemos escrever 125 25 5� � . Assim:
D
D cm
� �
�
25 5
5 5
 
10. (ENEM)
Na figura ao lado, que representa o projeto de 
uma escada com 5 degraus de mesma altura, o 
comprimento total do corrimão é igual a 
a) 1,8 m.
b) 1,9 m.
c) 2,0 m.
X d) 2,1 m.
e) 2,2 m.
30 cm
24 cm
24 cm
24 cm
24 cm
24 cm
corrimão
30 cm
90
 c
m
90
 c
m
Ja
ck
 A
rt.
 2
01
8.
 D
ig
ita
l. 
9o. ano – Volume 210
 Relações métricas no triângulo retângulo
Você já estudou a semelhança de triângulos. Veremos agora que, em um 
triângulo retângulo, quando traçamos a altura relativa à hipotenusa e obtemos 
outros triângulos retângulos, podem-se estabelecer propriedades interessantes. 
 1. Observe o triângulo ABC, retângulo em A, em que AH é a altura 
relativa ao lado BC, hipotenusa desse triângulo.
Veja que o triângulo retângulo ABC ficou dividido.
B
A
H
C B
A
H
A
H
C
Assim, podemos destacar três triângulos retângulos. 
a) Os triângulos ABC e HBA são semelhantes? Justifique sua resposta.
Os dois triângulos têm um ângulo reto. O ângulo B é comum aos dois triângulos.
Portanto, os triângulos ABC e HBA são semelhantes, pois os ângulos respectivos são congruentes.
b) E os triângulos ABC e HAC são semelhantes? Justifique sua resposta.
Os dois triângulos têm um ângulo reto. O ângulo C é comum aos dois triângulos.
Portanto, os triângulos ABC e HAC são semelhantes, pois os ângulos respectivos são congruentes.
c) E os triângulos HBA e HAC são semelhantes?
Sim, como os triângulos HBA e HAC são semelhantes ao triângulo ABC, então eles são semelhantes entre si.
11. (CEFET – RJ) O professor pediu a João que cal- 
culasse a distância entre os pontos A ( , )2 1 e 
B ( , )6 4 no plano cartesiano. Para isso, João cal-
culou a medida do segmento AB, observando 
um triângulo retângulo que tem AB como hipo-
tenusa. Após realizar o esboço ao lado, João fez a 
seguinte conta: d d2 2 23 4 5� � 
 � .
Com base nessas informações, calcule a distância 
entre os pontos ( , )5 1 e ( , )7 6 .
Sugestão de atividades: questões de 1 a 4 da seção Hora de estudo.
y
5
d 3
4
A
B4
3
2
1
1–1
–1
–2 2 3 4 5 6 7 x
0
0
Ja
ck
 A
rt.
 2
01
8.
 D
ig
ita
l. 
12. Determine o valor de x, y, z e w na figura a seguir. 
x
y
z
w
1
1
1
1
1
• Seguindo o mesmo padrão da figura, considere mais 
dois triângulos retângulos a partir da hipotenusa do 
triângulo amarelo. Quais as medidas das hipotenusas 
desses triângulos? 
B
A
H
C
 Matemática 11
 2. Agora, vamos considerar as medidas dos lados do triângulo retângulo ABC. 
BC é a hipotenusa de medida a.
AB é o cateto de medida c.
AC é o cateto de medida b.
AH é a altura, de medida h, relativa à hipotenusa.
BH, de medida n, e CH, de medida m, são os segmentos que a 
altura determina na hipotenusa.
B
A
H
C
c b
n m
a
h
Como já sabemos que podemos destacar três triângulos retângulos, semelhantes dois a dois, temos:
AB
HA
AC
HC
BC
AC
c
h
b
m
a
b
� � � � � 
c
h
b
m
c m b h
c
h
a
b
b c a h
b
m
a
b
b a m
� � � � �
� � � � �
� � � �2
• Triângulos HBA e HAC
HB
HA
HA
HC
BA
AC
n
h
h
m
c
b
� � � � � 
n
h
h
m
h n m
n
h
c
b
b n c h
h
m
c
b
b h c m
� � � �
� � � � �
� � � � �
2
• Triângulos ABC e HAC
• Triângulos ABC e HBA Podemos escrever várias relações entre as medidas 
dos lados desses triângulos.
AB
HB
AC
HA
BC
BA
c
n
b
h
a
c
� � � � �
c
n
b
h
c h b n
c
n
a
c
c a n
b
h
a
c
b c a h
� � � � �
� � � �
� � � � �
2
A
B C
c b
a
c h
A
B H
n
C
h
A
b
H
m
A
B C
c b
a
c h
A
B H
n
C
h
A
b
H
m
9o. ano – Volume 212
Veja outras relações:
b2 = a · m
c2 = a · n
b · c = a · h
Veja um exemplo em que podemos usar essas relações.
Determine os valores desconhecidos na figura a seguir.
B
A
H
C b
h
15
25
m
n
Não existe apenas uma maneira de resolver esse problema. Podemos começar encontrando o valor de n.
c a n2 �� �
�
15 25 n
225 25 n
n
2 � �
� �
9
Assim, m = 25 – 9 = 16.
Agora, podemos determinar o valor de h.
h n2 � �
� �
�
�
m
h
h
h
2
2
9 16
144
12
Finalmente, calculamos o valor de b.
b = a m2 �
� �
� �
�
b
b
b
2 25 16
5 4
20
Como foi mencionado inicialmente, podemos escolher outros caminhos para determinar as medidas desco-
nhecidas. Por exemplo, poderíamos ter começado usando o teorema de Pitágoras para encontrar o valor de b. 
Depois, com a fórmula b c a h� � � , calcularíamos o valor de h. Poderíamos aplicar novamente o teorema de Pitá-
goras no triângulo retângulo ABH para encontrar o valor de n. Daí ovalor de m é imediato, pois a soma de m e 
n é justamente a medida da hipotenusa. Claro que você ainda pode descobrir outras formas.
Note que foram obtidas seis relações diferentes. Vamos destacar algumas delas, com as quais, juntamente 
com o teorema de Pitágoras, podemos determinar qualquer uma das medidas a, b, c, h, m e n. Veja a primeira 
relação e a frase que explica seu significado.
h2 = n · m
O quadrado da medida da altura relativa à hipotenusa é igual ao produto das medidas dos segmentos que a altura determina 
na hipotenusa.
 Matemática 13
Matemática em detalhes
Você já estudou que existem diversas demonstrações do teorema de Pitágoras. Inclusive mostramos uma 
delas, que usava áreas. Agora, vamos ver uma maneira que aplica algumas das relações que conhecemos. Ob-
serve novamente o triângulo retângulo com as medidas indicadas.
B
A
H
C
c b
n m
a
Já sabemos que:
 1) b a m2 � � 
 2) c a n2 � �
Vamos somar essas duas igualdades. b2 + c2 = a · m + a · n
Você já conhece a propriedade distributiva da multiplicação em rela-
ção à adição. Vamos ver um exemplo:
10 · (2 + 3)
Para resolver essa expressão, podemos efetuar a adição e, em seguida, a multiplicação ou utilizar a proprie-
dade distributiva.
• 10 10( ) = = 502 3 5+ • 10 10 102 3 2 3 20 30 50� � � � � �( )�� �� ��
No segundo membro da igualdade b c a m a n2 2� � � � � , faremos o processo inverso da propriedade distri-
butiva. Dizemos que o fator a é colocado em evidência. Você aprenderá isso com detalhes em breve. 
a a am n m n� � ��� ���� ( )
Assim:
b2 + c2 = a · (m + n)
Como m n a� � , podemos escrever que:
b c a a2 2� � �
b + c = a2 2 2
 1. Em cada triângulo retângulo, determine os valores desconhecidos indicados pelas letras.
a) 
4
5 m
b) 
h5
12
n m
13
c) 4
3
a
2,4
d) 
12
20
h
n
Atividades
6 Gabaritos.
9o. ano – Volume 214
B
A
H
C
n 16 cm
12 cm
bc
h n m
n
n n
2
212 16
144 16 9
� �
� �
� � �
 
Assim, a hipotenusa mede 9 cm + 16 cm = 25 cm. 
c a n
c c c
c cm
b a m
b b b
b
2
2
2
2
25 9 5 3 15
15
25 16 5 4 20
2
� �
� � � � � � �
�
� �
� � � � � � �
� 00 cm
 
Portanto, o perímetro do triângulo é 
igual a 25 cm + 15 cm + 20 cm = 60 cm.
 6. Determine as medidas dos catetos de um triângulo retângulo em que a altura relativa à hipotenusa mede 
6 mm e a hipotenusa mede 13 mm.
Dica: Antes de calcular a medida dos catetos, você pode obter as medidas dos segmentos que a altura 
determina na hipotenusa.
 2. No triângulo retângulo a seguir, calcule o valor de x.
( ) ( )
( ) ( )
x x x
x x x x
x x x x x
x x
x
� � � �
� � � � �
� � � � �
� �
�
2 6
2 2 6
2 2 4 6
4 4 6
2 4
2
2
2 2
xx �2
B
A
H
C
x x + 6
x + 2
 3. Em um triângulo retângulo, a altura relativa à hipotenusa determina nela dois segmentos, um de medida 
1,8 cm e outro de 3,2 cm. Faça um esboço desse triângulo e determine:
a) a medida da hipotenusa;
b) a medida da altura relativa à hipotenusa;
c) as medidas dos catetos.
 4. (SARESP) Um motorista vai da cidade A até a cidade E, passando pela cidade B, conforme mostra a figu-
ra. Ele percorreu:
Sugestão de atividade: questão 5 da seção Hora de estudo.
A
E CB
16 km
25 km
Ja
ck
 A
rt.
 2
01
8.
 D
ig
ita
l. 
a) 41 km
b) 15 km
c) 9 km
X d) 36 km
 5. Calcule o perímetro de um triângulo retângulo, sabendo-se que:
• a altura relativa à hipotenusa mede 12 cm;
• a altura relativa à hipotenusa a divide em dois segmentos, sendo um deles de medida 16 cm.
 Matemática 15
 Razões trigonométricas
A palavra trigonometria tem origem grega e significa “medidas de triângulos”: trigono se refere a triângulo 
e metria, a medida. Trata-se do estudo das relações entre os lados e os ângulos de um triângulo. 
Com a necessidade do cálculo de grandes distâncias, como a medida do raio da Terra ou a distância entre a 
Terra e a Lua, ou seja, medidas que não podiam ser determinadas por meio de instrumentos, surge a Trigonome-
tria na Antiguidade. A necessidade de relacionar distâncias com ângulos levou astrônomos e topógrafos de di-
versos povos e períodos históricos, como os babilônios, gregos, árabes e hindus, a desenvolver a Trigonometria.
Já aprendemos as relações métricas em um triângulo retângulo. Agora, vamos estudar as razões que en-
volvem medidas dos lados de um triângulo retângulo. Vimos que o maior lado, que é oposto ao ângulo reto, é 
chamado de hipotenusa, e os outros dois lados, perpendiculares entre si, são os catetos. 
Observe o triângulo retângulo a seguir.
B
C
Hipotenusa
A
Cateto oposto a 
Cateto adjacente a 
B
C
Hipotenusa
A
Cateto adjacente a 
Cateto oposto a 
B
C
Hipotenusa
A
Cateto
Cateto
Considere a figura a seguir.
E
10 cm
F
D
C
OB A
D
24 cm
12 cm
7,2 cm
7,8 cm
13 cm
26 cm
5 cm
3 cm
• o lado oposto ao ângulo agudo considerado como referência é denominado cateto oposto;
• o cateto que está sobre um dos lados do ângulo agudo considerado é chamado de cateto adjacente;
• o lado oposto ao ângulo reto é a hipotenusa.
Dessa forma, temos que:
a) Os triângulos OAC, OBD e OEF são seme-
lhantes? Justifique sua resposta.
Sim, pois os três triângulos têm os ângulos internos con-
gruentes. Os alunos também podem justificar a resposta
utilizando outros casos de semelhança entre triângulos. 
9o. ano – Volume 216
b) Em cada triângulo, escreva a razão entre a medida do cateto oposto e a do cateto adjacente ao ângulo 
de medida α.
AC
OA
BD
OB
EF
OE
3
7 2
0 41666
5
12
0 41666
10
24
0 41666
,
, ...
, ...
, ....
c) O que você observa em relação às razões determinadas no item anterior?
As razões são todas iguais. Chame a atenção dos alunos para o fato de que, apesar de as medidas dos catetos serem diferentes,
a razão entre elas é constante.
d) Em cada triângulo, escreva a razão entre a medida do cateto oposto e a do cateto adjacente ao ângulo 
de medida β.
OA
AC
OB
BD
OE
EF
7 2
3
2 4
12
5
2 4
24
10
2 4
,
,
,
,
e) O que você observa em relação às razões determinadas no item anterior?
As razões são todas iguais.
Podemos observar que, em todos os triângulos dados, a razão entre a medida do cateto oposto e a me-
dida do cateto adjacente ao ângulo α é a mesma. O mesmo fato ocorre para o ângulo β.
De modo geral, temos: 
A razão entre a medida do cateto oposto e a medida do cateto adjacente 
a um ângulo agudo de um triângulo retângulo depende somente da medi-
da desse ângulo. Essa razão é constante e denominada tangente desse 
ângulo.
Indicamos a tangente de α por tg α. 
tg
medida do cateto oposto a
medida do cateto adjacente a
tg
c
b
�
�
�
�
�
�
C
c
B
a
A
b
 Matemática 17
Além da tangente de um ângulo, destacamos 
outras duas razões. Veja, em cada triângulo, a razão 
entre a medida do cateto oposto e da hipotenusa 
e a razão entre a medida do cateto adjacente e 
da hipotenusa para cada um dos ângulos agudos.
A razão entre a medida do cateto oposto a um ângulo 
agudo e a medida da hipotenusa de um triângulo retân-
gulo é constante e denominada seno desse ângulo.
A razão entre a medida do cateto adjacente a um ângulo 
agudo e a medida da hipotenusa de um triângulo retân-
gulo é constante e denominada cosseno desse ângulo.
C
c
B
a
A
b
Indicamos o seno de α por sen α e o cosseno de α por 
cos α.
sen
medida do cateto oposto a
medida da hipotenusa
sen
c
a
m
�
�
�
�
�
�
�cos
eedida do cateto adjacente a
medida da hipotenusa
b
a
�
�cos �
E
10 cm
F
D
C
OB A
D
24 cm
12 cm
7,2 cm
7,8 cm
13 cm
26 cm
5 cm
3 cm
• Razão entre a medida do cateto oposto e da hipotenusa
Ângulo α
AC
OC
BD
OD
EF
OF
3
7 8
0 38461
5
13
0 38461
10
26
0 38461
,
, ...
, ...
, ....
Ângulo β
OA
OC
OB
OD
OE
OF
7 2
7 8
0 92307
12
13
0 92307
24
26
0 9230
,
,
, ...
, ...
, 77...
• Razão entre a medida do cateto adjacente e da hipotenusa
Ângulo α
OA
OC
OB
OD
OE
OF
7 2
7 8
0 92307
12
13
0 92307
24
26
0 9230
,
,
, ...
, ...
, 77...
Ângulo β
AC
OC
BD
OD
EF
OF
3
7 8
0 38461
5
13
0 38461
10
26
0 38461
,
, ...
, ...
, ....9o. ano – Volume 218
©
Ge
tty
 Im
ag
es
/B
et
tm
an
n/
Co
nt
rib
ut
or
Tabela trigonométrica 
Para cada medida de ângulo, temos um valor correspondente para as 
razões trigonométricas seno, cosseno e tangente. Esses valores (aproximados) 
podem ser obtidos consultando uma tabela trigonométrica. 
Supõe-se que a construção dessas tabelas tenha origem na Matemática 
babilônica. A primeira tabela com os valores do seno de ângulos de 0° a 180° 
foi construída por Hiparco de Niceia (por volta de 180 a.C.-125 a.C.), astrônomo 
grego conhecido como pai da Trigonometria. 
A tabela trigonométrica a seguir contém os valores do seno, do cosse-
no e da tangente de ângulos de 1° a 89°, com aproximação na quarta casa 
decimal. • Hiparco de Niceia (ca. 180 a.C.-125 a.C.)
Ângulo sen cos tg Ângulo sen cos tg
1° 0,0175 0,9998 0,0175 46° 0,7193 0,6947 1,0355
2° 0,0349 0,9994 0,0349 47° 0,7314 0,682 1,0724
3° 0,0523 0,9986 0,0524 48° 0,7431 0,6691 1,1106
4° 0,0698 0,9976 0,0699 49° 0,7547 0,6561 1,1504
5° 0,0872 0,9962 0,0875 50° 0,766 0,6428 1,1918
6° 0,1045 0,9945 0,1051 51° 0,7771 0,6293 1,2349
7° 0,1219 0,9925 0,1228 52° 0,788 0,6157 1,2799
8° 0,1392 0,9903 0,1405 53° 0,7986 0,6018 1,327
9° 0,1564 0,9877 0,1584 54° 0,809 0,5878 1,3764
10° 0,1736 0,9848 0,1763 55° 0,8192 0,5736 1,4281
11° 0,1908 0,9816 0,1944 56° 0,829 0,5592 1,4826
12° 0,2079 0,9781 0,2126 57° 0,8387 0,5446 1,5399
13° 0,225 0,9744 0,2309 58° 0,848 0,5299 1,6003
14° 0,2419 0,9703 0,2493 59° 0,8572 0,515 1,6643
15° 0,2588 0,9659 0,2679 60° 0,866 0,5 1,7321
16° 0,2756 0,9613 0,2867 61° 0,8746 0,4848 1,804
17° 0,2924 0,9563 0,3057 62° 0,8829 0,4695 1,8807
18° 0,309 0,9511 0,3249 63° 0,891 0,454 1,9626
19° 0,3256 0,9455 0,3443 64° 0,8988 0,4384 2,0503
20° 0,342 0,9397 0,364 65° 0,9063 0,4226 2,1445
21° 0,3584 0,9336 0,3839 66° 0,9135 0,4067 2,246
22° 0,3746 0,9272 0,404 67° 0,9205 0,3907 2,3559
23° 0,3907 0,9205 0,4245 68° 0,9272 0,3746 2,4751
24° 0,4067 0,9135 0,4452 69° 0,9336 0,3584 2,6051
25° 0,4226 0,9063 0,4663 70° 0,9397 0,342 2,7475
26° 0,4384 0,8988 0,4877 71° 0,9455 0,3256 2,9042
27° 0,454 0,891 0,5095 72° 0,9511 0,309 3,0777
28° 0,4695 0,8829 0,5317 73° 0,9563 0,2924 3,2709
29° 0,4848 0,8746 0,5543 74° 0,9613 0,2756 3,4874
 Matemática 19
Os alunos podem recortar a tabela trigonométrica disponível no ma-
terial de apoio e colar no caderno ou apenas guardá-la no meio do 
livro para consultar quando forem resolver as atividades.
30° 0,5 0,866 0,5774 75° 0,9659 0,2588 3,7321
31° 0,515 0,8572 0,6009 76° 0,9703 0,2419 4,0108
32° 0,5299 0,848 0,6249 77° 0,9744 0,225 4,3315
33° 0,5446 0,8387 0,6494 78° 0,9781 0,2079 4,7046
34° 0,5592 0,829 0,6745 79° 0,9816 0,1908 5,1446
35° 0,5736 0,8192 0,7002 80° 0,9848 0,1736 5,6713
36° 0,5878 0,809 0,7265 81° 0,9877 0,1564 6,3138
37° 0,6018 0,7986 0,7536 82° 0,9903 0,1392 7,1154
38° 0,6157 0,788 0,7813 83° 0,9925 0,1219 8,1443
39° 0,6293 0,7771 0,8098 84° 0,9945 0,1045 9,5144
40° 0,6428 0,766 0,8391 85° 0,9962 0,0872 11,4301
41° 0,6561 0,7547 0,8693 86° 0,9976 0,0698 14,3007
42° 0,6691 0,7431 0,9004 87° 0,9986 0,0523 19,0811
43° 0,682 0,7314 0,9325 88° 0,9994 0,0349 28,6363
44° 0,6947 0,7193 0,9657 89° 0,9998 0,0175 57,29
45° 0,7071 0,7071 1
Essa tabela trigonométrica está disponível também no material de apoio.
Anderson e Marcelo estão treinando para uma competição de natação e vão atravessar um rio. Anderson 
nadará de A até B e Marcelo, de A até C.
40 m 
C
A
40°
B
Ja
ck
 A
rt.
 2
01
8.
 D
ig
ita
l.
a) De acordo com o problema, que medidas precisamos determinar?
As medidas dos segmentos AB e AC.
b) Sem considerar a correnteza e sabendo que os atletas vão se deslocar em linha reta, conforme indi-
cado na figura, quantos metros cada um terá de nadar? Para resolver esse problema, consulte a tabela 
trigonométrica e utilize os valores com aproximação na segunda casa decimal. 
Anderson terá que nadar aproximadamente 33,6 metros 
e Marcelo aproximadamente 51,9 metros.
tg 40��
� � � � �
��
� �
AB
BC
AB
AB
BC
AC
AC
A
0 84
40
0 84 40 33 6
40
0 77
40
, , ,
cos
, CC �
40
0 77
51 9
,
,
9o. ano – Volume 220
 1. Para calcular os valores do seno, do cosseno e 
da tangente do ângulo de 45°, utilizando régua e 
transferidor, João construiu um triângulo retân-
gulo com um dos ângulos medindo 45°. Depois, 
com o uso de régua, obteve as medidas apro-
ximadas dos lados desse triângulo e calculou o 
valor do seno de 45°.
sen 45° 4,1
5,8
sen 45° 0,07
5,8 cm
4,1 cm
4,1 cm
45°
45°
a) Calcule os valores do cosseno e da tangente 
de 45°. Utilize três casas decimais.
4,1
cos 45°
5,8
cos 45° 0,707
4,1
tg 45°
4 ,1
tg 45° 1
b) Da mesma forma como João desenvolveu 
seus cálculos, determine os valores aproxi-
mados de seno, cosseno e tangente de 75° 
utilizando três casas decimais.
Espera-se que os alunos obtenham valores próxi-
mos aos que constam na tabela trigonométrica.
sen 75° 0,966; cos 75° 0,259; tg 75° 3,732
 2. Em um triângulo retângulo, a hipotenusa mede 
60 cm e o maior cateto, 48 cm.
a) Quanto mede o menor cateto?
Usando o teorema de Pitágoras, temos:
60 48
3600 2304
1 296
1 296 36
2 2 2
2
2
� �
� �
�
� �
c
c
c
c
 
O menor cateto mede 36 cm.
 
b) Determine o seno, o cosseno e a tangente 
do ângulo formado pela hipotenusa e pelo 
maior cateto.
36 cm
48 cm
60 cm
sen
tg
 
 
 
�
�
�
� �
� �
� �
36
60
0 6
48
60
0 8
36
48
0 75
,
cos ,
,
 
c) Quanto mede o ângulo formado pela hi-
potenusa e pelo maior cateto? Consulte a 
tabela para descobrir a medida aproximada 
desse ângulo. 
O ângulo indicado por β mede aproximadamente 37°.
 3. Consulte a tabela para determinar a medida do 
ângulo no triângulo retângulo a seguir.
12
cos
24
cos 0,5
60°
√—312
12
24
Atividades
7 Gabaritos.
©
Sh
ut
te
rs
to
ck
/T
er
ez
a T
sy
au
lo
us
ka
ya
 Matemática 21
 4. Em cada item, calcule a medida de x usando 
os valores dados na tabela trigonométrica com 
aproximação na segunda casa decimal. 
a) 
x
30 cm
50°
x
cos 50°
30
x
0,64
30
x 0,64 30
x 19,2 cm
b) 
x
25 cm
35°
25
cos35°
x
25
0,82
x
0,82x 25
x 30,49 cm
c) 
15 cm
x
60°
15
sen 60°
x
15
0,87
x
0,87x 15
x 17,24 cm
d) 
x
20 cm
70°
20
tg 70°
x
20
2,75
x
2,75x 20
x 7,27 cm
 5. No hotel-fazenda onde Geraldo trabalha está 
sendo construído um teleférico, com inclina-
ção de 50°, que levará os hóspedes da sede 
do hotel ao topo de uma montanha. Qual é 
o comprimento aproximado do cabo desse 
teleférico?
50°
90 m
x
90
sen 50°
x
90
0,766
x
0,766x 90
x 117,5
Portanto, o cabo do teleférico mede aproximada-
mente 117,5 metros.
Ja
ck
 A
rt.
 2
01
8.
 D
ig
ita
l. 
9o. ano – Volume 222
 6. Qual é, aproximadamente, o perímetro do tra-
pézio PQRS? Use os valores da tabela com apro-
ximação na terceira casa decimal.
RS
P Q
T
4,5 cm
4,5 cm
35°
4,5 cm
4,5 cm 
Considere o triângulo QRT. Assim:
QT
sen 35°
QR
4,5
0,574
QR
4,5
QR 7,84
0,574
QT
tg 35°
RT
4,5
0,7
RT
4,5
RT 6,43
0,7
Portanto, o perímetro aproximado do trapézio é 
4,5 cm + 4,5 cm + 4,5 cm + 7,84 cm + 6,43 cm = 27,77 cm
 7. Nesta atividade, vamos determinar os valores do 
seno, do cosseno e da tangente de 30°, 45° e 60° 
na forma exata.
a) Observe o quadrado ABCD.
A B
D C
d
45°
l
l
• Determine a expressão que representa a 
medida d de cada diagonal de um qua-
drado cujos lados medem l. 
Usando o teorema de Pitágoras no triângulo BCD, 
temos que:
d
d
d
d
2 2 2
2 2
2
2
2
2
� �
�
�
�
l l
n
n
n
• Veja como podemos calcular o seno de 
45°. No triângulo retângulo BCD, temos:
sen
BC
BD d
45
2
1
2
� � � � �
m m
m
 
Podemos racionalizar o denominador.
sen45
1
2
2
2
2
2
� � � �
Agora, calcule cos 45° e tg 45°. 
1 1 2 2
cos 45°
d 22 2 2 2
tg 45° 1
n
n n
n
n
b) Observe o triângulo equilátero ABC.
B CH
h
A
l
l
l
60°
30°
• Determine a expressão que representa a 
medida h de uma altura de um triângulo 
equilátero cujos lados medem l. 
Usando o teorema de Pitágoras notriângulo 
ACH, temos que:
n
n
n
n
n
n
n2 2
2
2 2
2
2
2
2
2
4
3
4
3
4
3
2
� ��
�
	
�
�
� �
�
�
�
h
h
h
h
h
 Matemática 23
• Calcule sen 60°, cos 60° e tg 60°. 
3
h 32sen 60°
2
1 12cos 60°
2 2
3
h 3 22tg 60° 3
2
2 2
n
n
n
n n
n
n
n n
n n n
No triângulo retângulo ACH, temos:
• Agora, calcule sen 30°, cos 30° e tg 30°. 
1 12sen 30°
2 2
3
h 32cos 30°
2
2 1 1 3 32 2tg 30°
h 2 33 3 3 3 3
2
n
n n
n
n
n n
n n
n n
n
c) Complete a tabela a seguir.
30° 45° 60°
Seno
1
2
2
2
3
2
Cosseno 3
2
2
2
1
2
Tangente
3
3
1 3
 8. Na figura a seguir, ABCD é um trapézio 
retângulo.
DEA
4 cm
60°
CB
√—3 cm2
 
A área do trapézio é:
a) 5 cm2
b) 10 cm2
c) 20 cm2
X d) 10 3 2cm
e) 20 3 2cm
 9. (USF – SP) As rampas são uma boa forma de 
assegurar a acessibilidade para cadeirantes 
e indivíduos com mobilidade reduzida. A 
acessibilidade a edificações, mobiliário, espaços 
e equipamentos urbanos é assegurada em lei.
A Associação Brasileira de Normas Técnicas 
(ABNT), de acordo com a Lei Brasileira de Inclu-
são da Pessoa com Deficiência (13.146/2015), 
regula a construção e define a inclinação das 
rampas, bem como os cálculos para a sua 
construção. As diretrizes de cálculo da ABNT 
indicam um limite máximo de inclinação de 
8,33% (proporção de 1:12). Isso significa que 
uma rampa, para vencer um desnível de 1 m 
deve ter, no mínimo, 12 m de comprimento e 
isso define que o ângulo de inclinação da ram-
pa, em relação ao plano horizontal, não pode 
ser maior que 7°. 
De acordo com as informações anteriores, 
para que uma rampa, com comprimento 
igual a 14 m e inclinação de 7° em relação ao 
plano, esteja dentro das normas da ABNT, ela 
deve servir para vencer um desnível com al-
tura máxima de
Use: sen 7° = 0,12; cos 7° = 0,99 e tg 7° = 0,12
a) 1,2 m.
b) 1,32 m.
c) 1,4 m.
d) 1,56 m.
X e) 1,68 m.
9o. ano – Volume 224
10. (ENEM) As torres Puerta de Europa são duas torres inclinadas uma contra a outra, 
construídas numa avenida de Madri, na Espanha. A inclinação das torres é de 15° 
com a vertical e elas têm, cada uma, uma altura de 114 m (a altura é indicada na 
figura como o segmento AB). Estas torres são um bom exemplo de um prisma 
oblíquo de base quadrada e uma delas pode ser observada na imagem.
Utilizando 0,26 como valor aproximado para a tangente de 15° e duas casas 
decimais nas operações, descobre-se que a área da base desse prédio ocupa 
na avenida um espaço 
a) menor que 100 m2.
b) entre 100 m2 e 300 m2.
c) entre 300 m2 e 500 m2.
d) entre 500 m2 e 700 m2.
X e) maior que 700 m2.
Topógrafo ou agrimen-
sor é o nome dado ao 
profissional da área de 
Topografia, ciência que 
se ocupa da descrição 
do relevo de uma loca-
lidade. Já o teodolito é 
um instrumento óptico 
utilizado na Topografia 
para realizar medidas de 
ângulos verticais e hori-
zontais com o objetivo 
de facilitar o cálculo de 
distâncias e alturas.
Sugestão de atividades: questões de 6 a 10 da seção 
Hora de estudo.
1,60 m
90 m
30°
Ja
ck
 A
rt.
 2
01
8.
 D
ig
ita
l. 
Assim, a altura aproximada do edifício é H = 51,9 m + 1,60 m = 53,5 m.
1,60 m
90 m
30°
H
h
90 m
tg
h
h
h
h
30
90
3
3 90
3 90 3
90 3
3
90 1 73
3
51 9
��
�
�
�
�
�
,
,
11. Para determinar a altura de um edifício, um topógrafo, usando um 
teodolito de 1,60 m de altura situado a 90 m de distância do prédio, 
verificou que a medida do ângulo de visão é igual a 30°. Utilizando seus 
conhecimentos de trigonometria, calcule a altura aproximada desse 
edifício. Use 1,73 como aproximação para 3 .
tg
BC
AB
BC
BC
BC
15
0 26
114
0 26 114
29 64
��
�
� �
�
,
,
,
A base da torre, que é quadrada, tem área igual a 29,64 m ∙ 29,64 m = 878,5296 m2. Isso signi-
fica que a base desse prédio ocupa um espaço maior do que 700 m2. Lembre aos alunos que 
um prisma pode ser reto ou oblíquo. Prismas oblíquos são aqueles cujas arestas laterais não 
são perpendiculares às bases.
A
15°
C B
114 m
15°
75°
Ja
ck
 A
rt.
 2
01
8.
 D
ig
ita
l.
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ph
ot
o.
co
m
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ad
m
y
 Matemática 25
Organize as ideias 
Neste capítulo, estudamos as relações métricas e as razões trigonométricas no triângulo retângulo 
juntamente com o teorema de Pitágoras. Complete o quadro a seguir.
Relações métricas no triângulo retângulo
B
A
H
C
c b
mn
a
h
Relação entre a medida da altura relativa à hipotenusa e as medidas dos 
segmentos que a altura determina na hipotenusa
m . nh2 =
Relação entre as medidas dos catetos, da hipotenusa e da altura relativa à 
hipotenusa
b · c = a . h
Relações entre a medida de um cateto, da hipotenusa e do correspondente 
segmento determinado pela altura na hipotenusa
c2 = a . n 
b2 = a · m
Teorema de Pitágoras a2 = b2 + c2 
Razões trigonométricas no triângulo retângulo
A
c
B
a
C b
sen α = 
c
a
sen β = b
a
cos α = b
a
cos β = c
a
tg α = c
b
tg β = 
b
c
26
Hora de estudo
 1. (ENEM) Para decorar uma mesa de festa infantil, um chefe de cozinha usará um melão esférico com 
diâmetro medindo 10 cm, o qual servirá de suporte para espetar diversos doces. Ele irá retirar uma calota 
esférica do melão, conforme ilustra a figura, e, para garantir a estabilidade deste suporte, dificultando que 
o melão role sobre a mesa, o chefe fará o corte de modo que o raio r da seção circular de corte seja de 
pelo menos 3 cm. Por outro lado, o chefe desejará dispor da maior área possível da região em que serão 
afixados os doces.
Todas as atividades devem ser resolvidas no caderno.
Para atingir todos os seus objetivos, o chefe de-
verá cortar a calota do melão numa altura, em 
centímetro, igual a 
a) 5
91
2
b) 10 91
 X c) 1
d) 4
e) 5
 2. (ENEM) Quatro estações distribuidoras de energia A, B, C e D estão dispostas como vértices de um qua-
drado de 40 km de lado. Deseja-se construir uma estação central que seja ao mesmo tempo equidistante 
das estações A e B e da estrada (reta) que liga as estações C e D.
A nova estação deve ser localizada 
a) no centro do quadrado. 
b) na perpendicular à estrada que liga C e D passando por seu ponto médio, a 15 km dessa estrada. 
X c) na perpendicular à estrada que liga C e D passando por seu ponto médio, a 25 km dessa estrada. 
d) no vértice de um triângulo equilátero de base AB oposto a essa base. 
e) no ponto médio da estrada que liga as estações A e B.
 3. (CEFET – MG) Duas crianças, cada uma em um prédio diferente, brincam com canetas lasers nas jane-
las de seus apartamentos, apontando para um ponto na quadra situada entre os prédios. A criança do 
prédio A está a uma altura de 10 m, e a do prédio B, a uma altura de 20 m do chão. A distância entre os 
prédios é de 50 m. Em um determinado momento, os lasers das crianças atingem, simultaneamente, um 
ponto P do pátio equidistante das crianças, tal como na ilustração abaixo:
A distância x, em metros, deste ponto até o prédio B é 
X a) 22. b) 23. c) 25. d) 28.
Gabaritos.8
27
 4. (OBMEP) A figura mostra um triângulo retân-
gulo ABC e três triângulos retângulos congruen-
tes sombreados. O lado BC tem comprimento 
1 cm. Qual é o perímetro do triângulo ABC, em 
centímetros?
A
C
1 cm
B
X a) 3 5
b) 2 2 5
c) 5 5
d) 5
e) 6
 5. No triângulo retângulo ABC da figura, a razão 
entre a medida do segmento BD e a medida 
do segmento CD é igual a 3. A hipotenusa BC 
mede 16 cm. 
B
A
D
C
Determine:
a) as medidas dos segmentos determinados 
pela altura na hipotenusa; 
b) a medida da altura relativa à hipotenusa; 
c) as medidas dos catetos.
 6. (IFPE) Um indivíduo encontra-se a 50 metros de 
distância de um edifício e seus olhos estão a 
1,80 metros do chão. Ele avista o topo do edifí-
cio segundo um ângulo de 60° com a horizon-
tal. A altura aproximada do edifício é: (use a 
aproximação decimal 3 1 7, .)
X a) 87 m
b) 85 m
c) 50 m
d) 52 m
e) 30 m
 7. (ENEM) A famosa Torre de Pisa, localizada na 
Itália, assim como muitos outros prédios, por 
motivos adversos, sofrem inclinações durante 
ou após suas construções.
Um prédio, quando construído,dispunha-se 
verticalmente e tinha 60 metros de altura. Ele 
sofreu uma inclinação de um ângulo α, e a pro-
jeção ortogonal de sua fachada lateral sobre o 
solo tem largura medindo 1,80 metro, conforme 
mostra a figura.
O valor do ângulo de inclinação pode ser deter-
minado fazendo-se o uso de uma tabela como 
a apresentada.
1,80 m
Prédio
Ângulo α (Grau) Seno
0,0 0,0
1,0 0,017
1,5 0,026
1,8 0,031
2,0 0,034
3,0 0,052
Uma estimativa para o ângulo de inclinação α, 
quando dado em grau, é tal que:
a) 0 1 0� �� ,
b) 1 0 1 5, ,� ��
X c) 1 5 1 8, ,� ��
d) 1 8 2 0, ,� ��
e) 2 0 3 0, ,� ��
28
 8. (ENEM) Para determinar a distância de um bar-
co até a praia, um navegante utilizou o seguinte 
procedimento: a partir de um ponto A, mediu o 
ângulo visual α fazendo mira em um ponto fixo 
P da praia. Mantendo o barco no mesmo sen-
tido, ele seguiu até um ponto B de modo que 
fosse possível ver o mesmo ponto P da praia, no 
entanto sob um ângulo visual 2α. A figura ilustra 
essa situação:
Trajetória do barco
A B
P
2
Suponha que o navegante tenha medido o 
ângulo α = 30° e, ao chegar ao ponto B, veri-
ficou que o barco havia percorrido a distância 
AB = 2 000 m. Com base nesses dados e man-
tendo a mesma trajetória, a menor distância do 
barco até o ponto fixo P será
a) 1 000 m.
X b) 1 000 3 m.
c) 2 000
3
3
m.
d) 2 000 m.
e) 2 000 3 m.
 9. (ENEM) Uma desenhista projetista deverá dese-
nhar uma tampa de panela em forma circular. Para 
realizar esse desenho, ela dispõe, no momento, 
de apenas um compasso, cujo comprimento das 
hastes é de 10 cm, um transferidor e uma folha 
de papel com um plano cartesiano. Para esboçar 
o desenho dessa tampa, ela afastou as hastes do 
compasso de forma que o ângulo formado por 
elas fosse de 120°. A ponta-seca está representada 
pelo ponto C, a ponta do grafite está representada 
pelo ponto B e a cabeça do compasso está repre-
sentada pelo ponto A conforme a figura.
Após concluir o desenho, ela o encaminha para 
o setor de produção. Ao receber o desenho 
com a indicação do raio da tampa, verificará em 
qual intervalo este se encontra e decidirá o tipo 
de material a ser utilizado na sua fabricação, de 
acordo com os dados.
Tipo de material Intervalo de valores do raio (cm)
I 0 5� �R
II 5 10� �R
III 10 15� �R
IV 15 21� �R
V 21 40� �R
Considere 1,7 como aproximação para 3.
O tipo de material a ser utilizado pelo setor de 
produção será
a) I.
b) II.
c) III.
X d) IV.
e) V.
10. (SARESP) Dois irmãos observam a torre reta TU 
em um terreno plano, conforme esquematizado 
na figura. Os seus ângulos de visão medem α e 
β, sendo tg α = 
1
3
 e tg β = 
1
2
.
O irmão localizado no ponto P está 30 metros 
mais afastado do pé da torre do que o localiza-
do no ponto Q.
P
T
Q
x + 30 xU
Desprezando as alturas dos irmãos, pode-se con-
cluir que a altura da torre, em metros, é igual a:
a) 60
b) 40 
X c) 30
d) 20
e) 10
1. Considere que uma pessoa percorre, de carro, 10 km por dia para ir ao trabalho e 10 km para voltar 
para sua casa e que o preço do litro da gasolina é R$ 4,20. Qual o gasto dessa pessoa, por dia, para ir 
ao trabalho e voltar para sua casa, sabendo que o carro roda 10 km por litro de gasolina? 
2. O gasto mensal com gasolina e a distância percorrida durante o mês são grandezas diretamente ou 
inversamente proporcionais?
5
Plano cartesiano 
e funções
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Sh
ut
te
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ck
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ac
to
ry
_E
as
y
1. Como a pessoa percorre 20 km, utilizará 2 litros de gasolina por dia. Assim, o gasto diário é 2 ∙ 4,20 = 8,40 reais. 
2. São diretamente proporcionais.
Comentários.1
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ck
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ry
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as
y
Uma refinaria tem como função principal a decomposição do petróleo em diferentes produtos, 
como gasolina, diesel e querosene. Para isso, ela recebe o petróleo na forma do chamado óleo cru 
das plataformas de extração e o submete a diversos processos químicos. 
A gasolina é muito utilizada como combustível para automóveis e motocicletas e consome 
uma parte considerável do orçamento de algumas famílias.
29
Plano cartesiano
Você já estudou que o plano cartesiano é um sistema de localização 
de pontos usado em diversos contextos, como na elaboração de gráfi-
cos, no planejamento de construções, em plantas arquitetônicas, como 
base para serviços de GPS, entre outros. 
O plano cartesiano é determinado por duas retas perpendiculares, 
que chamamos de eixos cartesianos. O eixo horizontal é o eixo das abs-
cissas (eixo x) e o vertical é o eixo das ordenadas (eixo y). Os eixos 
dividem o plano em quatro regiões, denominadas quadrantes.
No material de apoio, cons-
ta uma imagem do plano 
cartesiano. Se julgar oportu-
no, forneça as coordenadas 
de outros pontos para que os 
alunos os marquem no plano 
cartesiano. Em seguida, peça 
que recortem o plano carte-
siano e o colem no caderno.
y
–2
–4
4
2
7
9F
C
D
E
A
B
–9
–9
4 6
8–5
x0
G
Ao final do estudo deste capítulo, espera-se que você determine o ponto médio de um seg-
mento de reta e a distância entre dois pontos, dadas as coordenadas desses pontos no plano car-
tesiano. Além disso, você deverá compreender a ideia de função como uma relação entre duas 
variáveis e suas representações numérica, algébrica e gráfica. 
Objetivos
Sugestão de encaminhamento.2
Um ponto do plano cartesiano pode ser indicado por dois números, que 
chamamos de coordenadas.
No plano cartesiano ao lado, o ponto P é indicado por (4, 3). Isso significa que 
a abscissa (coordenada x) do ponto P é 4 e a ordenada (coordenada y) é 3.
• Marque no sistema de coordenadas cartesianas ortogonais os pontos:
A (4, 7), B (8, –9), C (–2, 2), D (–5, –4), E (6, 4), F (–9, 9), G (0, 0)
y
4
3
2
1
1–1
–1
–2
–2
2 3
P
4 x0
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18
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y
4
3
2
1
1–1
–1
–2
–2
–3
–3
–4
–4
2 3 4 x0
1o. quadrante2o. quadrante
4o. quadrante3o. quadrante
9o. ano – Volume 230
Na figura anterior, vemos algumas linhas que ligam os pontos A e B. A linha reta, em verde, é a de menor 
comprimento. Esse comprimento é a distância entre os pontos A e B, que vamos indicar por d(A, B).
Distância entre dois pontos
Em Geometria, a distância entre dois pontos é o comprimento da menor linha que liga esses pontos.
A
B
d(A, B)
A
B
y
A (1, 6)
B (1, 1)
C (3, 5) D (7, 5)
E (6, 2)
F (6, –1)
H (3, –2)G (–2, –2)
x0
É fácil ver que a distância entre os pontos A e B é 5. Repare que, como o segmento AB é vertical, as abscissas 
dos dois pontos são iguais e a distância entre eles pode ser calculada pela diferença entre as ordenadas.
d(A, B) = 6 – 1 = 5
Olhe para os pontos G e H. A distância entre eles também é 5. Como o segmento GH é horizontal, as orde-
nadas dos dois pontos são iguais. A distância entre eles pode ser calculada pela diferença entre as abscissas.
d(G, H) = 3 – (–2) = 3 + 2 = 5
Calcule agora a distância entre os pontos:
• C e D d(C, D) = 7 – 3 = 4 
• E e F d(E, F) = 2 – (–1) = 3 
Assim, a distância entre os pontos A e B, que será indicada por d(A, B) ou simplesmente por AB, é a medida 
do segmento de reta que tem os dois pontos como extremidades. Observe alguns pontos em um plano carte-
siano, identificados por suas coordenadas. 
Ilu
st
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k 
Ar
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20
18
. D
ig
ita
l.
 Matemática 31
Junte-se com alguns colegas e pensem em uma forma de determinar a distância entre os pontos P (1, 5) 
e Q (5, 2). Vocês não podem medi-la diretamente na figura! 
y
4
5
6
7
3
2
1
1 2 3
P (1, 5)
Q (5, 2)
4 5 6 7 x0
3
R
4
Dica: Vocês podem utilizar um triângulo retângulo cuja hipotenusa é o segmento PQ.
Para calcular a distância entre dois pontos do plano cartesiano que não estejam em uma mesma linha horizontal nem 
vertical, podemos formar um triângulo retângulo e utilizar o teorema de Pitágoras.
d(A, B)2 = d(A, C)2 + d(B, C)2
Você pôde perceber como é simples determinar a distância entre dois pontos com a mesma abscissa ou 
com a mesma ordenada: 
• Dois pontos com a mesma abscissa são extremidades deum segmento vertical. A distância entre eles é a 
diferença entre a maior e a menor ordenada.
• Dois pontos com a mesma ordenada são extremidades de um segmento horizontal. A distância entre eles é 
a diferença entre a maior e a menor abscissa.
E quando dois pontos do plano cartesiano não tiverem a mesma abscissa nem a mesma ordenada? Como 
podemos calcular a distância entre eles?
A partir dos dois pontos, podemos traçar segmen-
tos paralelos aos eixos x e y, formando um triângulo 
y
yB
yA
A
B
xxA xB
d(A, C)
C
d(B, C)d(A, B)
0
d
d
d
d
2 2 2
2
2
3 4
9 16
25
25 5
� �
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Ar
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20
18
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ig
ita
l.
retângulo. As coordenadas do vértice R são (1, 2). Assim, a distância entre os 
pontos P e R é 5 – 2 = 3, enquanto a distância 
entre os pontos Q e R é 5 – 1 = 4. Chamando de 
d a distância entre os pontos P e Q e usando o 
teorema de Pitágoras no triângulo PRQ, temos:
9o. ano – Volume 232
Saiba +
a) A e B;
d A B
d A B
d A B
d A B
( , )
( , )
( , )
( , )
2 2 2
2
2
3 1
9 1
10
10
� �
� �
�
�
b) C e D;
d C D
d C D
d C D
d C D
( , )
( , )
( , )
( , )
2 2 2
2
2
3 4
9 16
25
5
� �
� �
�
�
c) A e C.
d A C
d A C
d A C
d A C
( , )
( , )
( , )
( , )
2 2 2
2
2
3 6
9 36
45
45 9 5 3 5
� �
� �
�
� � � �
Geometria do táxi 
Na geometria euclidiana, que é aquela que 
você estudou até hoje, a distância entre dois 
pontos é dada pela medida do segmento de 
reta com extremidades nesses pontos, como 
você acabou de estudar. Porém, há situações em 
que esse tipo de cálculo não é o mais adequado. 
Por exemplo, no trajeto percorrido por 
um táxi, a menor distância de um ponto de partida até o destino final depende das ruas que 
possibilitam a realização desse trajeto e dificilmente ele será uma linha reta. 
Geometria euclidiana é a geometria baseada nos es-
tudos de Euclides de Alexandria. Euclides realizou um 
estudo mais aprofundado dos conteúdos que haviam 
sido estudados até então e os organizou em uma obra 
conhecida como Os elementos.
Marque os pontos A (2, 4), B (5, 5), C (–1, –2) e D (–4, 2) no plano cartesiano e calcule a distância entre:
y
4
5
3
2
1
1–1
–1
–2
–2
–3
–3
–4
–4
2 3 4 5 x0
D
C
A
B
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. 2
01
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3 Comentário.
 Matemática 33
Vamos conhecer agora a chamada geometria do táxi. Observe na figura o plano cartesiano em 
que as linhas horizontais e verticais representam as ruas de uma cidade. 
A
0
y
x
B
O ponto A representa uma casa e o ponto B um mercado. 
Considere que cada quarteirão esteja representado por um 
quadrado e que se chama de “quadra” a distância entre uma es-
quina e outra de uma mesma rua. Perceba que podemos inserir 
um sistema de coordenadas cartesianas nesse mapa. Assim, a 
casa se encontra no ponto A (1, 1) e o mercado no ponto B (4, 5).
Para ir da casa até o mercado percorrendo pelas ruas a menor distância possível, uma pessoa deve 
se deslocar 3 quadras na horizontal e 4 quadras na vertical, em um total de 7 quadras. Repare que exis-
tem diversas maneiras de partir de A e chegar até B. Na figura a seguir são apresentadas duas dessas 
maneiras, uma em verde e outra em azul. Para calcular a distância na geometria do táxi, devemos adi-
cionar o número de quadras percorridas na horizontal ao número de quadras percorridas na vertical. 
A
0
y
x
B
Imagine agora que esse trajeto pudesse ser realizado em 
linha reta. Qual seria a distância percorrida? Observe que, para 
ir da casa até o mercado, seria percorrida a distância d. Podemos 
calcular essa distância utilizando o teorema de Pitágoras.
d = 3 + 4
d = 9+16
d = 25
d = 5
2 2 2
2
2
 
A distância igual a 7 quadras corresponde à distância na geometria do táxi, enquanto a distância 
percorrida em linha reta, igual a 5, corresponde à distância na geometria euclidiana. Perceba que o 
cálculo da distância entre dois pontos na geometria euclidiana é adequado para algumas situações, 
enquanto o cálculo dessa distância na geometria do táxi pode ser utilizado em situações que ne-
cessitem de um enfoque diferente, como no caso de realizar um trajeto pelas ruas de uma cidade.
d
A
0
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x
B
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9o. ano – Volume 234
Atividades
Gabaritos e comentários.4
A (–6, 3)
B (7, 6)
C (5, 0)
D (3, –2)
E (0, –3)
F (–4, –4)
 1. Escreva as coordenadas dos pontos localizados no plano cartesiano.
 2. (ENEM) Observou-se que todas as formigas de um formigueiro trabalham de maneira ordeira e orga-
nizada. Foi feito um experimento com duas formigas e os resultados obtidos foram esboçados em um 
plano cartesiano no qual os eixos estão graduados em quilômetros. As duas formigas partiram juntas do 
ponto O, origem do plano cartesiano xOy. Uma delas caminhou horizontalmente para o lado direito, a 
uma velocidade de 4 km/h. A outra caminhou verticalmente para cima, à velocidade de 3 km/h. Após 
2 horas de movimento, quais as coordenadas cartesianas das posições de cada formiga?
X a) (8; 0) e (0; 6).
b) (4; 0) e (0; 6).
c) (4; 0) e (0; 3).
d) (0; 8) e (6; 0). 
e) (0; 4) e (3; 0). 
Após 2 horas, a formiga que caminhou horizontalmente para o lado direito se deslocou 8 km (velocidade de 4 km/h). Assim, 
suas coordenadas são (8, 0). Após 2 horas, a formiga que caminhou verticalmente para cima se deslocou 6 km (velocidade de 
3 km/h). Assim, suas coordenadas são (0, 6). 
y
4
5
6
7
3
2
1
1–1
–1
–2
–2
–3
–3
–4–5–6–7
–4
–5
–6
–7
2 3 4 5 6 7 8 x0
D
C
A
B
F
E
Ja
ck
 A
rt.
 2
01
8.
 D
ig
ita
l.
 Matemática 35
 3. Calcule a distância entre os pontos dados.
a) A (5, 2) e B (1, 3)
5 1 4
3 2 1
4 1
16 1 17
17
2 2 2
2
� �
� �
� �
� � �
�
d A B
d A B
d A B
( , )
( , )
( , )
 
b) C (–1, 4) e D (–2, –3)
� � � �
� � �
� �
� � �
� � �
1 2 1
4 3 7
1 7
1 49 50
50 25
2 2 2
2
( )
( )
( , )
( , )
( , )
d C D
d C D
d C D 22 5 2�
 
c) E (–4, –3) e F (0, 0)
0 4 4
0 3 3
4 3
16 9 25
25 5
2 2 2
2
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( )
( )
( , )
( , )
( , )
d E F
d E F
d E F
 
d) G (–5, 4) e H (2, –5)
2 5 7
4 5 9
7 9
49 81 130
130
2 2 2
2
� � �
� � �
� �
� � �
�
( )
( )
( , )
( , )
( , )
d G H
d G H
d G H
 
 
 4. Na figura, EFG é um triângulo retângulo. Calcule:
y
4
5
3
2
1
1
–1
–2
–3
–4
2 4 5 6 7 8 x0
E
F G
3
a) as medidas dos lados EF, FG e EG. Utilize 3,6 como aproximação para 13 ;
Considerando E (1, 3), F (1, –3) e G (5, –3), temos:
2 2 2
2
d(F, G) 5 1 4
d(E, F) 3 ( 3) 6
d(E,G) 4 6
d(E,G) 16 36 52
d(E,G) 52 4 13 2 13 2 3,6 7,2
b) o perímetro aproximado do triângulo EFG;
6 + 4 + 7,2 = 17,2
c) a área do triângulo EFG.
b h 4 6
Área 12
2 2
Ja
ck
 A
rt.
 2
01
8.
 D
ig
ita
l.
9o. ano – Volume 236
 5. Na figura, ABCD é um trapézio isósceles. Obtenha:
y
4
5
6
3
2
1
1–1–2–3–4–5–6–7 2 4 5 x0
E
A B
C
3
D
a) as medidas dos lados AB, BC, CD e DA. Utilize 2,24 como aproximação para 5.
Como A (–4, 5), B (1, 5), C (3, 1) e D (–6, 1), temos:
d A B
d C D
d C E
d B E
( , ) ( )
( , ) ( )
( , )
( , )
� � � �
� � � �
� � �
� � �
1 4 5
3 6 9
3 1 2
5 1 4
 
2 2 2
2
d(B, C) 2 4
d(B, C) 4 16 20
d(B, C) 20 4 5 2 5 2 2,24 4,48
d(D, A) d(B, C) 4,48
b) o perímetro aproximado do trapézio ABCD.
5 + 9 + 4,48 + 4,48 = 22,96 
 6. Os vértices de um triângulo são A (2, 2), B (–4, –6) e C (4, –12). 
a) Calcule as medidas dos lados do triângulo ABC. 
b) Indique o tipo de triângulo quanto aos lados (equilátero, isósceles ou escaleno). 
c) Mostre que esse triângulo é retângulo. Dica: Utilize o teorema de Pitágoras. 
d) Calcule o perímetro e a área do triângulo ABC.
 7. O centro de uma circunferência é o ponto C (–1, 3). Sabendo que o pon-
to P (2, 5) pertence a essa circunferência, represente no plano cartesiano 
essa circunferência e determine:
a) o raio da circunferência;
O raio da circunferência é a distância entre os pontos C e P.
2 1 3
5 3 2
3 2
9 4 1313
2 2 2
2
� � �
� �
� �
� � �
�
( )
(C, P)
(C, P)
(C, P)
d
d
d
Portanto, o raio da circunferência é 13.
b) o comprimento aproximado da circunferência. Use 3,14 como aproximação para e 3,61 como apro-
ximação para 13 .
O comprimento de uma circunferência é igual a C = 2πr, em que r é o raio da circunferência. Assim:
C 2 13
C 2 3,14 3,61
C 22,67
 
y
5
3
2 x0
C
P
–1
Sugestão de atividades: questões 1 e 2 da seção Hora de estudo.
Ilu
st
ra
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es
: J
ac
k 
Ar
t. 
20
18
. D
ig
ita
l.
 Matemática 37
y
4
5
3
2
1
1
–1
2 4 5 6 7 8 9 x0
A
M
B
3
b)
Ponto médio de um segmento de reta
Você já estudou que dois pontos determinam um segmento de reta e que a medida desse segmento é a dis-
tância entre esses pontos. Dos infinitos pontos desse segmento, temos um em especial que é o seu ponto médio. 
O ponto médio de um segmento é o ponto que divide o segmento ao meio.
A
M
B
 AM BM
A seguir, são apresentadas algumas questões para que você compreenda como podemos fazer para obter 
as coordenadas do ponto médio de um segmento. 
Observe cada segmento a seguir e responda às questões. 
y
4
3
2
1
1
–1
–1
–2
–2–3–4 2 4 5 x0
C
N
D
3
5
y
4
3
2
1
1
–1
–1–2–3–4 2 4 5 x0
E
P
F
3
5
• Marque na figura o ponto médio M do segmento AB 
e determine suas coordenadas. (5, 4) 
• Determine a média aritmética das abscissas dos pontos 
A e B.
• Determine a média aritmética das ordenadas dos pon-
tos A e B.
• Marque na figura o ponto médio N do segmento CD 
e determine suas coordenadas. (–3, 1) 
• Determine a média aritmética das abscissas dos pon-
tos C e D.
• Determine a média aritmética das ordenadas dos pon-
tos C e D. 
• Marque na figura o ponto médio P do segmento EF e 
determine suas coordenadas. (3, 4) 
• Determine a média aritmética das abscissas dos pon-
tos E e F.
• Determine a média aritmética das ordenadas dos pon-
tos E e F.Ilus
tra
çõ
es
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ac
k 
Ar
t. 
20
18
. D
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ita
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2
5
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p
4 4
2
4
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3 3
2
3
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3 1
2
1
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1 5
2
3
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�
p
3 5
2
4
�
�
a)
9o. ano – Volume 238
d) Analise os resultados obtidos nos itens anteriores. O que você observa?
A média aritmética das abscissas e a média aritmética das ordenadas dos pontos que são extremidades de um segmento são 
as coordenadas do ponto médio desse segmento.
Será que para qualquer segmento é válido o que pudemos observar nos exemplos anteriores? Vamos mos-
trar que sim!
Para isso, considere:
• um segmento com extremidades A x y ( , )1 1 e B x y ( , )2 2 ;
• o ponto M x yM M ( , ), ponto médio do segmento AB.
y
y2
x2
yM
xM
y1
B2
B1
M2
M1
A2
A1
x1 x0
B
M
A
Sabe-se que 
AM
MB
1, pois, como M é o ponto médio do segmento AB, então AM MB. Aplicando o teorema 
de Tales, temos:
AM
MB
A M
M B
x x
x x
x x x x
x x x
x
x x
M
M
M M
M
M
�
�
�
�
� � �
� �
�
�
1 1
1 1
1
2
2 1
1 2
1 2
1
2
2
 
AM
MB
A M
M B
y y
y y
y y y y
y y y
y
y y
M
M
M M
M
M
�
�
�
�
� � �
� �
�
�
2 2
2 2
1
2
2 1
1 2
1 2
1
2
2
Dado um segmento de extremidades A (x1, y1) e B (x2, y2), temos que:
• a abscissa x M do ponto médio é a média aritmética das abscissas dos pontos A e B, ou seja, x
x x
M �
�1 2
2
; 
• a ordenada y M do ponto médio é a média aritmética das ordenadas dos pontos A e B, ou seja, y
y y
M �
�1 2
2
.
Agora é sua vez!
Determine o ponto médio do segmento de extremidades A (1, –7) e B (3, –5).
O ponto médio do segmento AB é M (2, –6).x
x
M
M
�
�
�
1 3
2
2
y
y
M
M
�
� � �
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7 5
2
6
( )
Ja
ck
 A
rt.
 2
01
8.
 D
ig
ita
l.
 Matemática 39
Atividades
 1. Determine o ponto médio do segmento AB em cada item.
a) A (3, 2) e B (4, 5)
b) A (3, –2) e B (–1, –6)
c) A (0, 7) e B (6, 3)
d) A
1
2
1
3
,�
�
	
�
� e B �
�
�
	
�
�1
2
3
, 
 2. Uma das extremidades de um segmento é o ponto A (–2, –2). Sabendo que M (3, –2) é o ponto médio 
desse segmento, calcule as coordenadas do ponto B (x, y), que é a outra extremidade do segmento.
 3. Sabe-se que B (4, 3) é o ponto médio do segmento AC, em que A é um ponto do eixo das abscissas e C 
é um ponto do eixo das ordenadas.
a) Determine as coordenadas dos pontos A e C. 
Como A é um ponto do eixo das abscissas, sua ordenada é igual a 0. Como C é um ponto do eixo das ordenadas, sua abscissa 
é igual a 0. Assim, A (x, 0) e C (0, y). Além disso, o ponto médio do segmento AC é B (4, 3).
x
x
y
y
�
� � �
�
� � �
0
2
4 8
0
2
3 6
 
Portanto, A (8, 0) e C (0, 6).
b) Calcule a distância entre os pontos A e C. 
C
6
O 8 A x
d(A,C)
y d A C
d A C
d A C
( , )
( , )
( , )
2 2 2
2
8 6
64 36 100
100 10
� �
� � �
� �
 
A distância entre os pontos A e C é 10.
 4. Os pontos A (1, 1), B (–1, 6) e C (7, 2) são vértices de um triângulo. Determine o comprimento da mediana 
AM, relativa ao lado BC.
y
x0
A
C
MP
B
 
Observe no plano cartesia-
no que M (3, 4) e A (1, 1). 
O comprimento da media-
na AM é a distância entre 
os pontos A e M. Assim:
d
d
(A, P)
(M, P)
d(A, M)
d(A, M)
d(A, M)
� � �
� � �
� �
� � �
�
4 1 3
3 1 2
3 2
9 4 13
2 2 2
2
113
O comprimento da mediana AM é 13 .
 5. (ENEM) Foi utilizado o plano cartesiano para a representação de um pavimento de lojas. A loja A está 
localizada no ponto A (1; 2). No ponto médio entre a loja A e a loja B está o sanitário S, localizado no 
ponto S (5; 10). Determine as coordenadas do ponto de localização da loja B. 
a) (–3; –6) b) (–6; –3) c) (3; 6) X d) (9; 18) e) (18; 9)
Ja
ck
 A
rt.
 2
01
8.
 D
ig
ita
l.
Sugestão de atividades: questões 3 e 4 da seção Hora de estudo.
Gabaritos.5
9o. ano – Volume 240
A ideia de função
Quando relacionamos grandezas variáveis, esta-
mos tratando, muitas vezes, do conceito de função. 
Uma turma do 9º. ano vai fazer uma viagem de 
ônibus. Para isso, o custo total do transporte será de 
R$ 1.800,00. Esse valor será dividido entre os alunos 
que viajarem. A turma tem 36 alunos e a viagem só 
acontecerá com pelo menos a metade deles.
Se os 36 alunos forem viajar, cada um deles pagará 
R$ 50,00 pelo transporte, pois 
R
R
$ . ,
$ ,
1 800 00
36
50 00.
Complete a tabela ao lado, que mostra os valores 
que cada aluno deverá pagar para algumas quantida-
des de alunos presentes na viagem.
Observe que o valor que cada aluno vai pagar depende do número de alunos. Assim, se o número de alunos 
mudar, o valor do transporte para cada aluno também mudará. A ideia de função está justamente associada à 
dependência entre grandezas. Quando dizemos que uma grandeza está “em função” de outra, isso significa que 
ela depende da outra. Nesse exemplo, o valor que cada aluno deve pagar está em função do número de alunos 
ou, ainda, o valor é função do número de alunos.
Veja mais um exemplo em que uma grandeza depende de outra.
Priscila fez uma viagem para a Itália e precisou deixar seus pertences em um guarda-volumes para apro-
veitar um passeio em Veneza. 
A tabela a seguir mostra os valores em euros cobrados para esse serviço.
Primeiras 5 horas € 6
Da 6ª. à 12ª. hora € 1 por hora
A partir da 13ª. hora € 0,50 por hora
Número de alunos Valor para cada aluno
36 R$ 50,00
30 R$ 60,00
25 R$ 72,00
24 R$ 75,00
20 R$ 90,00
18 R$ 100,00
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ck
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41
 1. Um parque cobra R$ 6,00 por hora pelo aluguel de uma bicicleta. Caso a pessoa permaneça com a bi-
cicleta por 1 hora e 12 minutos, por exemplo, deverá pagar R$ 6,00 pela primeira hora e mais um valor 
proporcional pelos 12 minutos. 
a) Qual é o preço cobrado por minuto para alugar uma bicicleta?
b) Qual é o preço para alugar uma bicicleta por 2 horas e 17 minutos?
c) Uma pessoa que pagou R$ 26,00 pelo aluguel de uma bicicleta ficou por quanto tempo com ela?
a) Quais as grandezas envolvidas nessa situação?
Tempo em que seus pertences permanecem no guarda-volumes e valor cobrado.
b) Se os pertences de Priscila ficarem guardados durante 7 horas, qual valor deverá serpago?
6 euros pelas primeiras 5 horas e 2 euros pela 6ª. e 7ª. horas. Portanto, deverá ser pago um total de 8 euros.
c) Para um período de 50 horas, qual valor deverá ser pago?
6 euros pelas primeiras 5 horas, 7 euros da 6ª. a 12ª. hora e 19 euros pelas 38 horas restantes. Portanto, deverá ser pago um 
total de 32 euros.
O valor cobrado para deixar os pertences no guarda-volumes está em função do tempo em que eles per-
manecem guardados. 
Observe agora as quatro primeiras figuras de uma sequência.
Note que:
A figura 1 tem 3 bolinhas.
A figura 2 tem 5 bolinhas. 
A figura 3 tem 7 bolinhas.
A figura 4 tem 9 bolinhas.
Assim, cada figura tem 2 bolinhas a mais do que a anterior. Podemos escrever uma fórmula que fornece a 
quantidade Q de bolinhas em função do número n da figura. 
Q = 2n + 1
Essa fórmula mostra como as variáveis Q e n estão relacionadas.
Com ela, fica fácil determinar a quantidade de bolinhas de qualquer figura. 
Por exemplo, a figura 10 tem 2 ⋅ 10 + 1 = 21 bolinhas, enquanto a figura 37 tem 2 ⋅ 37 + 1 = 75 bolinhas. 
A quantidade de bolinhas está em função do número da figura. Isso quer dizer que a quantidade de bolinhas 
depende do número da figura. 
Dizemos, portanto, que Q é a variável dependente, enquanto n é a variável independente. A fórmula 
que relaciona Q e n é denominada lei de formação da função. 
Figura 1 Figura 2 Figura 3 Figura 4
Atividades
Gabaritos.6
9o. ano – Volume 242
 2. Marcos trabalha em uma padaria.
a) Levando em consideração a quantidade de quilogramas de pão francês, registre, na tabela, o valor a 
ser pago em cada caso.
Pão francês 
(quilogramas) Preço a pagar (reais)
1 8,50
2 17,00
2,5 21,25
3 25,50
3,8 32,30
b) Podemos dizer que o preço a pagar depende da quantidade de pão. Essas grandezas são diretamente 
proporcionais?
Sim. Note que, por exemplo, se duplicarmos a quantidade de pão, o preço a pagar também dobra; se triplicarmos a quantidade 
de pão, o preço a pagar também triplica; e assim por diante. 
c) Qual é a fórmula que relaciona a quantidade x de pão francês, em quilogramas, e o preço a pagar y, 
em reais?
y x� �8 5, 
d) Em um dia em que o faturamento da padaria com pão francês foi de R$ 474,30, qual foi a quantidade 
vendida?
y x
x
x
� �
� �
� �
8 5
474 3 8 5
474 3
8 5
55 8
,
, ,
,
,
,
Portanto, foram vendidos 55,8 kg, ou seja, 55 kg e 800 g.
 3. Em cada item, descubra uma fórmula que fornece y em função de x.
a) x 1 2 3 4 5
y 4 5 6 7 8
b) x 2 3 4 5 7
y 4 6 8 10 14
c) x 2 3 4 5 7
y 7 9 11 13 17
d) x –6 –3 0 3 6
y –2 –1 0 1 2
y = x + 3
y = 2x
y = 2x + 3
y
x
3
El
ia
s. 
20
13
. D
ig
ita
l.
 Matemática 43
 4. Observe a sequência de figuras a seguir.
Figura 1 Figura 2 Figura 3 Figura 4
...
A quantidade Q de bolinhas em função do número n da figura é Q = n2 + 2n + 1.
Veja agora esta outra sequência:
Figura 1 Figura 2 Figura 3 Figura 4
...
Sobre essa sequência, faça o que se pede.
a) Escreva uma fórmula que relacione a quantidade Q de bolinhas azuis e o número n da figura.
Dica: Use a fórmula da sequência anterior e observe que em cada figura algumas bolinhas não são azuis.
b) Calcule o número de bolinhas azuis da figura 15.
c) Calcule o número de bolinhas amarelas da figura 44. 
d) Escreva o número da figura com exatamente 930 bolinhas azuis. 
 5. Observe na figura um retângulo.
50 – x
x
a) Calcule o perímetro P desse retângulo.
b) O perímetro do retângulo depende do valor de x?
c) Calcule a área A desse retângulo.
d) A área do retângulo depende do valor de x?
e) Calcule a área do retângulo para x = 10.
• Existe outro valor de x para o qual a área do retângulo é a mesma?
9o. ano – Volume 244
 6. Você já conhece as escalas Celsius e Fahrenheit. Uma 
fórmula que relaciona as temperaturas nessas duas 
escalas é:
F C� � �1 8 32,
Nessa fórmula, a variável F é a temperatura em graus 
Fahrenheit; a variável C, a temperatura em graus Celsius.
a) Transforme 10 °C e 30 °C em graus Fahrenheit.
b) As variáveis F e C são diretamente proporcionais?
c) Na imagem ao lado, a temperatura indicada é de 
68 °F. Qual é a temperatura correspondente em 
graus Celsius?
 7. Duas variáveis x e y estão relacionadas por meio da fórmula y a x b� � � , em que a e b são números reais. 
A tabela a seguir mostra dois valores de x e os correspondentes valores de y.
x y
1 7
2 10
a) Calcule os valores de a e b.
b) Calcule o valor de y para x = 7. 
c) Calcule o valor de x para y = 0.
O que é melhor: lavar o carro com mangueira comum ou lavadora de alta 
pressão?
Uma lavadora de alta pressão gasta até 14% da água que gastaria uma mangueira ligada à 
torneira totalmente aberta. A máquina tem um sistema dosador que, aliado à pressão, limita a 
vazão de água, independentemente da abertura da torneira. [...] 
Já a mangueira, mesmo com meia-volta na torneira ligada à rede pública, gasta cerca de 
25 litros por minuto, conforme simulação feita no site da Sabesp (Companhia de Saneamento 
Básico do Estado de São Paulo). [...]
O remédio, no caso de optar pela mangueira, é colocar um gatilho na ponta. Mesmo não 
controlando a vazão como uma lavadora a pressão, ele só funciona ao ser apertado, evitando o 
desperdício enquanto a pessoa estiver esfregando o carro. 
Sugestão de atividades: questões de 5 a 9 da seção Hora de estudo.
Representação gráfica de uma função
Você já aprendeu como marcar pontos em um plano cartesiano e que cada ponto tem duas coordenadas. 
Estudaremos agora que uma função pode ser representada graficamente. Veremos como fazer isso nas situa-
ções a seguir. 
Primeira situação
BONI, Ana P. O que é melhor: lavar o carro com mangueira comum ou lavadora de alta pressão? Disponível em: 
<http://www1.folha.uol.com.br/fsp/vitrine/vi2712200808.htm>. Acesso em: 2 ago. 2018. 
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ck
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M
oa
l
 Matemática 45
Considere que Paulo esteja lavando o carro com uma mangueira que gasta 25 litros por minuto. Complete 
a tabela a seguir em que está representada a quantidade de água, em litros, que sai pela mangueira em função 
do tempo, em minutos. 
Tempo (min) Quantidade de água (L)
0 0
1 25
2 50
3 75
4 100
5 125
Podemos escrever a fórmula y = 25x, que fornece a quantidade de água gasta (y) em função do tempo (x) 
em que a torneira permanece aberta.
Note que podemos usar essa fórmula para obter os mesmos pares de valores da tabela anterior. Veja os 
pontos obtidos marcados no plano cartesiano.
x y = 25x (x, y)
0 y = 25 ⋅ 0 = 0 (0, 0)
1 y = 25 ⋅ 1 = 25 (1, 25)
2 y = 25 ⋅ 2 = 50 (2, 50)
3 y = 25 ⋅ 3 = 75 (3, 75)
4 y = 25 ⋅ 4 = 100 (4, 100)
5 y = 25 ∙ 5 = 125 (5, 125)
Além desses pontos obtidos, existem muitos outros. Na verdade, outros infinitos pontos. O menor valor pos-
sível para x é 0, que indica que a torneira está fechada. Quando a torneira é aberta e começa a passar o tempo, a 
quantidade de água gasta é diretamente proporcional a esse tempo. Caso calculássemos a quantidade de água 
para outros valores de x (0,5 ou 1,2, por exemplo) e marcássemos os pontos no plano cartesiano, veríamos que 
todos os pontos estão alinhados. Desse modo, o gráfico dessa função é uma linha reta.
y
100
125
150
75
50
25
1 2
0,5 1,2
3 4 5 6 x0
y
100
125
150
75
50
25
1 2 3 4 5 6 x0
Explique aos alunos que, nessa representação gráfica, as divisões dos eixos x e 
y não estão na mesma escala.
Ilu
st
ra
 C
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to
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. 2
01
8.
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l.
Ja
ck
 A
rt.
 2
01
8.
 D
ig
ita
l. 
Ja
ck
 A
rt.
 2
01
8.
 D
ig
ita
l. 
Comente com os alunos sobre o 
consumo excessivo de água quan-
do se utiliza uma mangueira para 
lavar o carro. Para poupar água, o 
ideal é realizar a limpeza usando 
um balde, evitando o desperdício. 
É interessante também pensar em 
ideias que envolvem o aproveita-
mento da água da chuva para se 
fazer a lavagem do automóvel.
9o. ano – Volume 246
Segunda situação
Vamos agora construir o gráfico de uma função cuja fórmula é y = x2 – 4. Para isso, escolhemos alguns valo-
res para x e calculamos os valores de y.x y = x2 – 4
–3 y = (–3)2 – 4 = 5
–2 y = (–2)2 – 4 = 0
–1 y = (–1)2 – 4 = –3
0 y = 02 – 4 = –4
1 y = 12 – 4 = –3
2 y = 22 – 4 = 0
3 y = 32 – 4 = 5
Com isso, formamos os seguintes pares ordenados:
(–3, 5), (–2, 0), (–1, –3), (0, –4), (1, –3), (2, 0), (3, 5)
Vamos marcar os pontos correspondentes no plano cartesiano.
y
4
5
3
2
1
1–1
–1
–2
–2
–3
–3
–4
–4
2 3 4 5 x0
Assim como o gráfico anterior, esse tem infinitos pontos. Porém, nesse caso não parece tão simples saber 
como ligar os pontos, pois eles não estão alinhados. Escolhendo outros valores de x, podemos obter quantos 
pontos desejarmos. Veja como fica o gráfico inserindo mais seis pontos.
y
4
5
3
2
1
1–1
–1
–2
–2
–3
–3
–4
–4
2 3 4 5 x0
Ilu
st
ra
çõ
es
: J
ac
k 
Ar
t. 
20
18
. D
ig
ita
l. 
 Matemática 47
 1. Associe cada lei de formação ao gráfico correspondente. 
a) y = 2x – 4 b) y
x
� �
2
c) y = 4x d) y = –2x + 4
( b ) y
3
4
2
1
1–1
–1
–2
–2
–3
–3
2 3 x0
( a ) y
2
1
1–1
–1
–2
–2
–3
–4
–5
2 3 4 x0
 
( d ) y
3
4
5
2
1
1–1
–1
–2
–2
–3 2 3 x0
 
( c ) y
3
4
5
2
1
1–1
–1
–2
–2
–3 2 3 x0
Repare que agora ficou mais fácil imaginar como é esse gráfico. Ainda neste ano, você vai estudar com mais 
detalhes como é esse tipo de gráfico. Por enquanto, vamos dizer apenas que é uma curva chamada de parábo-
la. Veja como é o gráfico considerando mais pontos.
y
4
5
3
2
1
1–1
–1
–2
–2
–3
–3
–4
–4
2 3 4 5 x0
 
Atividades
7 Gabaritos e comentários.
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es
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Ar
t. 
20
18
. D
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l. 
9o. ano – Volume 248
 2. Qual dos gráficos representa a função y = –x2? 
a) 
y
4
5
3
2
1
1–1–2 2 x0
X b) y
1–1
–1
–2
–2
–3
–4
–5
2 x0
 3. O perímetro P de um hexágono regular é dado em função da medida l 
dos seus lados. Por exemplo, o perímetro de um hexágono cujos lados 
medem 1 é igual a 6.
Determine:
a) a lei de formação dessa função;
P = 6l
b) no plano cartesiano ao lado, construa o gráfico dessa função. Repare 
que no ponto (0, 0) existe uma bola “vazia”. Ela indica que esse ponto 
não faz parte do gráfico, pois não existe um hexágono cujos lados 
medem 0.
 4. (ENEM) Deseja-se postar cartas não comerciais, sendo duas de 100 g, três de 200 g e uma de 350 g. O 
gráfico mostra o custo para enviar uma carta não comercial pelos Correios:
Custo (R$)
4,00
4,45
3,55
3,10
2,65
1,70
1,25
0,80
2,15
50 100 150 200 250 300 350 400
Massa (g)
Disponível em: www.correios.com.br. Acesso em: 2 ago. 2012 (adaptado).
O valor total gasto, em reais, para postar essas cartas é de
a) 8,35.
b) 12,50.
c) 14,40.
X d) 15,35.
e) 18,05.
Há comentários nas orientações didáticas. 
y
24
30
18
12
6
1 2 3 4 5 x0
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Ar
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20
18
. D
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 Matemática 49
 5. (ENEM) Num dia de tempestade, a alteração na profundidade de um rio, num determinado local, foi 
registrada durante um período de 4 horas. Os resultados estão indicados no gráfico de linhas. Nele, a 
profundidade h, registrada às 13 horas, não foi anotada e, a partir de h, cada unidade sobre o eixo vertical 
representa um metro.
Registro de profundidade
13 14 15 16 Hora170
Pr
of
un
di
da
de
 (m
)
Foi informado que entre 15 horas e 16 horas, a profundidade do rio diminuiu em 10%. Às 16 horas, qual 
é a profundidade do rio, em metro, no local onde foram feitos os registros? 
X a) 18 b) 20 c) 24 d) 36 e) 40
Entre 15 h e 16 h, a profundidade diminuiu 2 metros, que representa 10% da profundidade às 15 h. Assim, pode-se concluir 
que a profundidade às 15 h era de 20 metros (20 ∙ 10% = 2) e às 16 h era de 18 metros. 
Sugestão de atividades: questões 10 e 11 da seção Hora de estudo.
Organize as ideias 
Neste capítulo, você viu como obter o ponto médio de um segmento e calcular a distância entre dois pontos 
quando conhecemos as coordenadas desses pontos no plano cartesiano. Aprendeu também que uma função 
é uma relação entre duas variáveis. Complete as frases a seguir. 
• O plano cartesiano é determinado por duas retas perpendiculares, que chamamos de eixos 
cartesianos.
• A distância entre dois pontos é a medida do segmento de reta que tem os dois pontos como 
extremidades. 
• O ponto médio de um segmento é aquele que o divide em dois outros segmentos congruentes 
entre si.
• A ideia de função está associada à dependência entre grandezas. Quando dizemos que uma grandeza está 
“em função” de outra, isso significa que ela depende da outra.
9o. ano – Volume 250
Hora de estudo
 1. (ENEM) Um construtor pretende murar um terreno e, para isso, precisa calcular o seu perímetro. O ter-
reno está representado no plano cartesiano, conforme a figura, no qual foi usada a escala 1 : 500. Use 
2,8 como aproximação para 8 .
cm
cm
6
9
1
1
De acordo com essas informações, o perímetro do terreno, em metros, é 
a) 110.
b) 120.
X c) 124.
d) 130.
e) 144.
 2. (UNICAMP – SP) A figura abaixo apresenta parte do mapa de uma cidade, no qual estão identificadas a 
catedral, a prefeitura e a câmara de vereadores. Observe que o quadriculado não representa os quartei-
rões da cidade, servindo apenas para a localização dos pontos e retas no plano cartesiano. Nessa cidade, 
a Avenida Brasil é formada pelos pontos equidistantes da catedral e da prefeitura, enquanto a Avenida 
Juscelino Kubitschek (não mostrada no mapa) é formada pelos pontos equidistantes da prefeitura e da 
câmara de vereadores.
y
4
5
6
7
3
2
1
1 2
catedral
Avenida Brasil
prefeitura
câmara
3 4 5 6 7 x0
Sabendo que a distância real entre a catedral e a prefeitura é de 500 m, podemos concluir que a distância 
real, em linha reta, entre a catedral e a câmara de vereadores é de 
a) 1 500 m.
X b) 500 5 m.
c) 1 000 2 m.
d) 500 + 500 2 m.
 3. (IBMEC – RJ) Considere o triângulo ABC, onde A (2, 3), B (10, 9) e C (10, 3) representam as coorde-
nadas dos seus vértices no plano cartesiano. Se M é o ponto médio do lado AB, então, a medida de 
MC vale: 
a) 2 3
b) 3
X c) 5
d) 3 2
e) 6
Ja
ck
 A
rt.
 2
01
8.
 D
ig
ita
l. 
Ja
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 A
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 2
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8.
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l. 
Gabaritos.8 Todas as atividades devem ser resolvidas no caderno.
51
 4. Observe no plano cartesiano os pontos A (–4, 1), B (4, 5), C (5, 4) e D (3, –2). Sabe-se que M é o ponto 
médio do segmento AB e que N é o ponto médio do segmento CD. 
y
x0
A
B
C
D
A distância entre os pontos M e N é:
a) 6
b) 5
c) 5
X d) 2 5
e) 20
 5. A função y = 2x + 3 pode assumir valores positivos e valores negativos. Perceba que, quando x = 2, o valor 
dessa função é igual a y = 2 ⋅ 2 + 3 = 7, que é um valor positivo. Já quando x = –2, o valor dessa função é 
igual a y = 2 ⋅ (–2) + 3 = –1, que é um valor negativo. 
a) Encontre o valor de x para o qual a função é nula, ou seja, o valor de x tal que y = 0. 
b) Encontre os valores para os quais a função assume valores estritamente positivos.
c) Encontre os valores para os quais a função assume valores estritamente negativos. 
 6. (UEG – GO) No centro de uma cidade, há três estacionamentos que cobram da seguinte maneira:
Estacionamento A Estacionamento B Estacionamento C
R$ 5,00 pela primeira hora, 
R$ 3,00 por cada hora 
subsequente
R$ 4,00 por hora R$ 6,00 pela primeira hora, 
R$ 2,00 por cada hora 
subsequente
Será mais vantajoso, financeiramente, parar 
a) no estacionamento A, desde que o automóvel fique estacionado por quatro horas. 
b) no estacionamento B, desde que o automóvel fique estacionado por três horas. 
c) em qualquer um, desde que o automóvel fique estacionado por uma hora. 
X d) em qualquer um, desde que o automóvel fique estacionado por duas horas. 
e) no estacionamento C, desde que o automóvel fique estacionado por uma hora. 
Ja
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rt.
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01
8.
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52
 7. (ENEM) Os consumidores X, Y, e Z desejam trocar seus planos de internet móvel