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ORRIGE SERIE 1 MECANIQUE DES SOLS : CONTRAINTES DANS LES SOLS 
 
 
1) 
 
a) Calculer la contrainte (normale) verticale effective en A dans le dépôt de sable donné 
dans la figure ci-dessous, la nappe étant affleurante? 
b) Si, à la suite de pompage, la nappe est abaissée de 3m et le sable au-dessus de la nappe 
a un poids volumique de 18.1 kN/m3, calculer la nouvelle contrainte verticale effective 
en A ? 
c) Que devient cette contrainte si la nappe d’eau est abaissée à une profondeur de 15m 
sous la surface, A ? 
d) Que devient cette contrainte si la nappe d’eau est à une hauteur h au-dessus du terrain 
naturel ? 
 
 
 
 
 
 
 
 
Correction 
 
a) Pour cette question, la nappe est affleurante (et non comme représentée sur la figure), tout 
le sol est saturé. On commence par calculer la contrainte normale verticale : 
σv = γsat z où z est l’épaisseur du sol au dessus de A (profondeur de A) et γsat = 19.6 x 13= 
254,8 kPa 
la pression interstitielle u= γw H où H=z est la hauteur d’eau au dessus de A : u= 
10x13=130 kPa 
Par le principe de Terzaghi, la contrainte verticale effective : σv’=σv -u= 124.8 kPa 
 
Remarque :σv’ = γsat z -γw z = (γsat -γw ) z = γ’ z= 9.6 x13= 124,8 kPa ce qui montre l’intérêt 
du poids volumique déjaugé pour calculer rapidement les contraintes effectives 
 
b) Au-dessus de A, on a 3 m de sol (sec ou humide mais non saturé) avec γ = 18.1 kN/m3 et 
10 m de sol saturé avec γsat = 19.6 kN/m
3 : σv = 18.1 x 3 +19.6 x10 = 250,3 kPa 
 
u= γw H = 10 x10 = 100 kPa 
σv’ = 250,3-100= 150,3 kPa 
 
Remarque : en utilisant le poids volumique déjaugé pour les 10 m de sable dans la nappe : 
σv’ = 18.1x3+9.6x10= 150.3 kPa 
 
c) Au-dessus de A, on a h m d’eau et 13 m de sable saturé donc σv = γw h + γsat z= 
10h+19.6x13= 10h+254.8 
 
u= 10 (h+13)= 10h+130 donc σv’ = σv -u = 124.8 kPa. On retrouve la même valeur trouvée 
en a) et ceci quelque soit la hauteur h d’eau au-dessus du terrain naturel 
 
 
2) La construction d’une zone industrielle nécessite le remblaiement général d’un terrain 
situé sous le niveau de la mer. Les situations avant et après le remblaiement sont représentées 
sur la figure ci-dessous. 
 
 Coupe des terrains avant et après le remblaiement 
 
Les propriétés des sols sont les suivantes : 
 
 Où K0 = σ’h /σ’v désigne le coefficient des terres au repos 
 
Calculer les contraintes totales et effectives verticales et horizontales aux points A, B, C, D 
et F avant et après le remblaiement. On admet que l’eau de mer a pour poids volumique 10 
kN/m3. 
 
Correction 
 
Avant remblaiement 
 
 σv u σ’v σ’h =K0 σv’ σh = σh’ +u 
A 0 0 0 0 0 
B 20 20 0 0 20 
C 20+17x5=105 10x7=70 35 17.5 ou 21 87.5 ou 91 
D 105+19x4=181 10x11=110 71 42.6 ou 58.8 152.6 ou 168.8 
F 181+20x5=281 10x16=160 121 96.8 256.8 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Après remblaiement 
(3m de remblai non saturé et 2 m de remblai saturé, on confond leurs poids volumiques) 
 
 σv u σ’v σ’h =K0 σv’ σh = σh’ +u 
A 19x3= 57 0 57 34.2 34.2 
B 19x5=95 10x2=20 75 45 ou 37.5 65 ou 57.5 
C 95+17x5=180 70 110 55 ou 66 125 ou 136 
D 180+19x4=256 110 146 87.5 ou 116.8 197.5 ou 226.8 
F 256+20x5=356 160 196 156.8 316.8 
 
 
 
 
3) Calculer la contrainte verticale induite à une profondeur de 3 m à l’aplomb du point X de 
la fondation en forme de L montrée à la figure ci-dessous, lorsque cette fondation subit une 
pression uniforme de 125 kPa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
On décompose comme indiqué sur la figure la surface chargée en des rectangles 
passant par le point en un de leurs sommets. Par superposition on a 
 
Δσ = Δσ1 +Δσ2 - Δσ3 = (I1 +I2 -I3)q 
 
Pour Δσ1, m= B/z=7/3= 2.33 , n= L/z=2/3= 0.67, (ou m=0.67 et n=2.33) donc I1 =0.165 
Pour Δσ2, on a m=B/z=3/3=1 = , n=L/z= 5/3= 1.67, donc I2 =0.205 
Pour Δσ3, on a B/z=3/3 = 1, L/z= 2/3=0.67, donc I3 = 0.165 
 
D’où Δσ = (0.165+0.205-0.165)= 25.6 kPa 
 
 
 
X 
3m 4m 
3m 
2m 
4) Déterminer la contrainte verticale induite à une profondeur de 8 m à l’aplomb du point X de 
la fondation couronne, avec rayon intérieur, r1 = 8 m, et rayon extérieur r2 = 12 m, montrée à la 
figure ci-dessous, lorsque cette fondation subit une pression uniforme de 225 kPa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Par superposition, on peut considérer que la surface chargée est la différence de deux 
surfaces circulaires entièrement chargées de rayons respectifs r1 et r2 : 
 
Δσ = Δσ2 – Δσ1= (I2 -I1)q 
 
On utilise l’abaque de la charge circulaire uniforme pour calculer I2 et I1 
 
Pour I2 : r/R=r1/r2 = 8/12=0.67 ; z/R= z/r2 = 8/12=0.67 donc I2 =70 %= 0.7 
 
Pour I1 : r/R=r1/r1 = 1; z/R= z/r1 = 8/8/=1 donc I1 = 33%= 0.33 
 
D’où Δσ = (I2 -I1)q = 83.25 kPa 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
X 
r1 
5) Deux silos à grains, ayant le même diamètre 30 m, appliquent une contrainte uniforme de 150 
kPa sur le terrain naturel. La distance entre les centres des deux silos est de 45 m, comme indiqué 
dans la figure ci-dessous. Au point X, situé à mi-distance entre les deux silos, estimer 
i) La profondeur à laquelle se produit la contrainte verticale induite maximale 
ii) La valeur de cette contrainte maximale. 
 
 X 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
i) Le point X étant situé à mi-distance, la contrainte induite par les silos est le double de la 
contrainte par l’un des cercles par exemple le cercle 1 de gauche : Δσ = 2Δσ1= 2 I q 
 
On utilise évidemment l’abaque de la charge circulaire uniforme avec R= 15 m, r= 22.5 et 
z est inconnue à déterminer pour avoir une contrainte induite Δσ maximale donc I maximal 
 
r/R= 22.5/15= 1.5 , on note alors que la courbe correspondante présente un maximum pour 
z/R= 1.5 soit z= 1.5x15= 22.5 m 
 
ii)La valeur correspondante de I est 17% = 0.17 donc Δσ = 2x0.17x150 = 51 kPa 
 
 
6) La figure ci-dessous montre une vue en plan d’une fondation rectangulaire flexible ABCD sur 
le terrain naturel. A une profondeur de 4m à l’aplomb d’un point X estimer la contrainte verticale 
induite lorsque la fondation est soumise à une pression de 250 kPa. (36 kPa) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
X 
5m 
4m 
2m 
3m 
A 
B C 
D 
45 m 
 
 
 
On crée quatre charges rectangulaires passant par X en leur coin. On a alors Δσ= Δσ1- 
Δσ2 + Δσ3- Δσ4 avec évidemment Δσ1=Δσ2 et Δσ3=Δσ4. Donc Δσ= 2(Δσ1- Δσ2) 
 
Pour Δσ1, on a B/z= 2/4= 0.5, L/z= 8/4=2, donc I1= 0.135 donc Δσ1= 0.135x250= 33.75 kPa 
 
Pour Δσ2, on a B/z= 2/4= 0.5, L/z= 3/4=0.75, donc I1= 0.105 donc Δσ1= 0.105x 
250= 15.75kPa 
 
D’où Δσ =2(33.75-15.75)= 36 kPa. 
 
 
7) La figure ci-dessous montre une vue en plan de deux fondations adjacentes flexibles circulaires 
construits sur le terrain naturel. Les deux fondations ont 10 m de diamètre. Calculer l’incrément 
de contrainte verticale à 10 m de profondeur à l’aplomb du point X, situé au centre de l’une des 
deux fondations, lorsque ces deux fondations sont soumises à une pression de 150 kPa. (55.6 
kPa) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 1 2 
 
 
On a évidemment, par superposition, Δσ= Δσ1 + Δσ2 avec Δσ1 dû à la fondation de gauche 
et Δσ2 dû à la fondation de gauche 
 
Pour Δσ1 on a r=0 et R = 5 donc r/R=0 et z/R= 10/5=2 donc I1 = 41 donc Δσ1 = 61.5 kPa 
Pour Δσ2 on a r=10 et R = 5 donc r/R=2 et z/R= 10/5=2 donc I2= 7 donc Δσ2 = 10.5 kPa 
 
D’où Δσ = 72 kPa 
 
 
8) Une fondation en forme de L montrée à la figure 2 est soumise à une contrainte uniforme 
de100 kPa. Déterminer la contrainte verticale induite à une profondeur de 5 m à l’aplomb du 
point X. (19 kPa) 
X 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
En se référant à la figure où on a créé les rectangles passant par X, on a par superposition 
Δσ = Δσ1 +Δσ2 – Δσ3 avec Δσ1 = Δσ2 
 
Pour Δσ1, on a B/z= 3/5=0.6 , L/z= 5/5= 1, donc I1 = 0.13 et Δσ1 = 13 kPa 
Pour Δσ3, on a B/z= 3/5=0.6 , L/z=2/5= 0.4, donc I3 = 0.07 et Δσ1 = 7 kPa 
 
D’où Δσ = 19 kPa 
 
X 
5 m 
6 m 
3 m 
3 m