Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
Curso Sala de Ensino Estrada Francisco da Cruz Nunes, 6501, Shopping Itaipu Multicenter – sala 311 Telefone: 3587-8376 1 Aluno: Data: __/__/_____ /___/__ Profº. Carlos Henrique(Bochecha) – Aula 24 – Análise Combinatória I 1. (Enem 2017) Um brinquedo infantil caminhão-cegonha é formado por uma carreta e dez carrinhos nela transportados, conforme a figura. No setor de produção da empresa que fabrica esse brinquedo, é feita a pintura de todos os carrinhos para que o aspecto do brinquedo fique mais atraente. São utilizadas as cores amarelo, branco, laranja e verde, e cada carrinho é pintado apenas com uma cor. O caminhão-cegonha tem uma cor fixa. A empresa determinou que em todo caminhão-cegonha deve haver pelo menos um carrinho de cada uma das quatro cores disponíveis. Mudança de posição dos carrinhos no caminhão-cegonha não gera um novo modelo do brinquedo. Com base nessas informações, quantos são os modelos distintos do brinquedo caminhão-cegonha que essa empresa poderá produzir? a) 6, 4C b) 9, 3C c) 10, 4C d) 46 e) 64 2. (Uerj 2017) Uma criança possui um cofre com 45 moedas: 15 de dez centavos, 15 de cinquenta centavos e 15 de um real. Ela vai retirar do cofre um grupo de 12 moedas ao acaso. Há vários modos de ocorrer essa retirada. Admita que as retiradas são diferenciadas apenas pela quantidade de moedas de cada valor. Determine quantas retiradas distintas, desse grupo de 12 moedas, a criança poderá realizar. 3. (Fgv 2017) Somando todos os números de três algarismos distintos que podem ser formados com os dígitos 1, 2, 3 e 4, o resultado será igual a a) 2.400. b) 2.444. c) 6.000. d) 6.600. e) 6.660. 4. (Unigranrio - Medicina 2017) Quantos são os anagramas da palavra VESTIBULAR, em que as consoantes aparecem juntas, mas em qualquer ordem? a) 120 b) 720 c) 17.280 d) 34.560 e) 86.400 5. (Unesp 2017) Uma criança possui 6 blocos de encaixe, sendo 2 amarelos, 2 vermelhos, 1 verde e 1 azul. Usando essas peças, é possível fazer diferentes pilhas de três blocos. A seguir, são exemplificadas quatro das pilhas possíveis. Utilizando os blocos que possui, o total de pilhas diferentes de três blocos, incluindo as exemplificadas, que a criança pode fazer é igual a a) 58. b) 20. c) 42. d) 36. e) 72. 6. (Feevale 2017) Considerando a ordem crescente dos números com cinco algarismos distintos que podemos formar com os algarismos 3, 5, 6, 7 e 8, em qual posição está o número 57.638? a) 33ª posição b) 38ª posição c) 39ª posição. d) 40ª posição e) 41ª posição 7. (Fac. Albert Einstein - Medicin 2017) Oito adultos e um bebê irão tirar uma foto de família. Os adultos se sentarão em oito cadeiras, um adulto por cadeira, que estão dispostas lado a lado e o bebê sentará no colo de um dos adultos. O número de maneiras distintas de dispor essas 9 pessoas para a foto é a) 8 8! b) 9! c) 89 8 d) 98 8. (Espm 2017) Em uma classe há 25 alunos. Podemos afirmar, com certeza, que: a) Algum aluno faz aniversário em janeiro. b) Em algum mês haverá 4 aniversários. c) Pelo menos 3 alunos fazem aniversário no mesmo mês. d) Pelo menos 2 alunos aniversariam em dezembro. e) No máximo 4 alunos fazem aniversário em um mesmo mês. 9. (Enem 2017) Uma empresa construirá sua página na internet e espera atrair um público de aproximadamente um milhão de clientes. Para acessar essa página, será necessária uma senha com formato a ser definido pela empresa. Existem cinco opções de formato oferecidas pelo programador, descritas no quadro, em que "L" e "D" representam, respectivamente, letra maiúscula e dígito. Opção Formato I LDDDDD II DDDDDD III LLDDDD IV DDDDD V LLLDD As letras do alfabeto, entre as 26 possíveis, bem como os dígitos, entre os 10 possíveis, podem se repetir em qualquer das opções. A empresa quer escolher uma opção de formato cujo número de senhas distintas possíveis seja superior ao número esperado de clientes, mas que esse número não seja superior ao dobro do número esperado de clientes. A opção que mais se adéqua às condições da empresa é a) I. b) II. c) III. d) IV. e) V. 10. (Enem (Libras) 2017) O Código de Endereçamento Postal (CEP) código numérico constituído por oito algarismos. Seu objetivo é orientar e acelerar o encaminhamento, o tratamento e a distribuição de objetos postados nos Correios. Ele está estruturado segundo o sistema métrico decimal, sendo que cada um dos algarismos que o compõe codifica região, sub-região, setor, subsetor, divisor de subsetor e identificadores de distribuição conforme apresenta a ilustração. O Brasil encontra-se dividido em dez regiões postais para fins de codificação. Cada região foi dividida em dez sub-regiões. Cada uma dessas, por sua vez, foi dividida em dez setores. Cada setor, dividido em dez subsetores. Por fim, cada subsetor foi dividido em dez divisores de subsetor. Além disso, sabe-se que os três últimos algarismos após o hífen são denominados de sufixos e destinam-se à identificação individual de localidades, logradouros, códigos especiais e unidades dos Correios. A faixa de sufixos utilizada para codificação dos logradouros brasileiros inicia em 000 e termina em 899. Disponível em: www.correios.com.br Acesso em: 22 ago. 2017 (adaptado). Quantos CEPs podem ser formados para a codificação de logradouros no Brasil? a) 25 0 9 10 + b) 5 210 9 10+ c) 72 9 10 d) 29 10 e) 79 10 2 11. (Enem 2017) O comitê organizador da Copa do Mundo 2014 criou a logomarca da Copa, composta de uma figura plana e o slogan “Juntos num só ritmo”, com mãos que se unem formando a taça Fifa. Considere que o comitê organizador resolvesse utilizar todas as cores da bandeira nacional (verde, amarelo, azul e branco) para colorir a logomarca, de forma que regiões vizinhas tenham cores diferentes. De quantas maneiras diferentes o comitê organizador da Copa poderia pintar a logomarca com as cores citadas? a) 15 b) 30 c) 108 d) 360 e) 972 12. (Enem (Libras) 2017) As ruas de uma cidade estão representadas por linhas horizontais e verticais na ilustração. Para um motorista trafegando nessa cidade, a menor distância entre dois pontos não pode ser calculada usando o segmento ligando esses pontos, mas sim pela contagem do menor número de quadras horizontais e verticais necessárias para sair de um ponto e chegar ao outro. Por exemplo, a menor distância entre o ponto de táxi localizado no ponto O e o cruzamento das ruas no ponto A, ambos ilustrados na figura, é de 400 metros. Um indivíduo solicita um táxi e informa ao taxista que está a 300 metros do ponto O, segundo a regra de deslocamentos citada, em uma determinada esquina. Entretanto, o motorista ouve apenas a informação da distância do cliente, pois a bateria de seu celular descarregou antes de ouvir a informação de qual era a esquina. Quantas são as possíveis localizações desse cliente? a) 4 b) 8 c) 12 d) 16 e) 20 13. (Uerj 2016) Um painel de iluminação possui nove seções distintas, e cada uma delas acende uma luz de cor vermelha ou azul. A cada segundo, são acesas, ao acaso, duas seções de uma mesma cor e uma terceira de outra cor, enquanto as seis demais permanecem apagadas. Observe quatro diferentes possibilidades de iluminação do painel: O tempo mínimo necessário para a ocorrência de todas as possibilidades distintas de iluminação do painel, após seu acionamento, é igual a x minutos e y segundos, sendo y 60. Os valores respectivos de x e y são: a) 4 e 12b) 8 e 24 c) 25 e 12 d) 50 e 24 14. (Unesp 2016) Está previsto que, a partir de 1º de janeiro de 2017, entrará em vigor um sistema único de emplacamento de veículos para todo o Mercosul, o que inclui o Brasil. As novas placas serão compostas por 4 letras e 3 algarismos. Admita que no novo sistema possam ser usadas todas as 26 letras do alfabeto, incluindo repetições, e os 10 algarismos, também incluindo repetições. Admita ainda que, no novo sistema, cada carro do Mercosul tenha uma sequência diferente de letras e algarismos em qualquer ordem. Veja alguns exemplos das novas placas. No novo sistema descrito, calcule o total de placas possíveis com o formato “Letra-Letra-Algarismo-Algarismo-Algarismo-Letra-Letra”, nessa ordem. Em seguida, calcule o total geral de possibilidades de placas com 4 letras (incluindo repetição) e 3 algarismos (incluindo repetição) em qualquer ordem na placa. Deixe suas respostas finais em notação de produto ou de fatorial. 15. (Unisc 2016) Newton possui 7 livros distintos, sendo 3 de Álgebra, 2 de Cálculo e 2 de Geometria. O número de maneiras diferentes que Newton pode organizar esses livros em uma estante, de forma que os livros de um mesmo assunto permaneçam juntos, é a) 24 b) 36 c) 56 d) 72 e) 144 16. (Pucrj 2016) Seja n a quantidade de anagramas da palavra FILOSOFIA que possuem todas as vogais juntas. Temos que n vale: a) 1.800 b) 3.600 c) 4.800 d) 181.440 e) 362.880 17. (Fatec 2016) No Boxe, um dos esportes olímpicos, um pugilista tem à sua disposição quatro golpes básicos: o jab, o direto, o cruzado e o gancho. Suponha que um pugilista, preparando-se para os Jogos Olímpicos do Rio, em 2016, queira criar uma sequência com 6 golpes, empregando necessariamente dois jabs, dois diretos, um cruzado e um gancho. a) 180. b) 160. c) 140. d) 120. e) 100. 18. (Uece 2016) No sistema de numeração decimal, quantos números de três dígitos distintos podemos formar, de modo que a soma dos dígitos de cada um destes números seja um número ímpar? a) 420. b) 380. c) 360. d) 320. 19. (Uerj 2016) Com o objetivo de melhorar o tráfego de veículos, a prefeitura de uma grande cidade propôs a construção de quatro terminais de ônibus. Para estabelecer conexão entre os terminais, foram estipuladas as seguintes quantidades de linhas de ônibus: - do terminal A para o B, 4 linhas distintas; - do terminal B para o C, 3 linhas distintas; - do terminal A para o D, 5 linhas distintas; - do terminal D para o C, 2 linhas distintas. Não há linhas diretas entre os terminais A e C. Supondo que um passageiro utilize exatamente duas linhas de ônibus para ir do terminal A para o terminal C, calcule a quantidade possível de trajetos distintos que ele poderá fazer. 20. (Upe-ssa 2 2016) Um palíndromo ou capicua é um número, que se lê da mesma maneira nos dois sentidos, ou seja, da esquerda para a direita ou ao contrário, como 333, 1661 e 28482. Assinale a alternativa correspondente à quantidade de palíndromos que são números pares de cinco algarismos do nosso sistema de numeração. a) 300 b) 400 c) 500 d) 600 e) 800 3 21. (Enem 2ª aplicação 2016) Para estimular o raciocínio de sua filha, um pai fez o seguinte desenho e o entregou à criança juntamente com três lápis de cores diferentes. Ele deseja que a menina pinte somente os círculos, de modo que aqueles que estejam ligados por um segmento tenham cores diferentes. De quantas maneiras diferentes a criança pode fazer o que o pai pediu? a) 6 b) 12 c) 18 d) 24 e) 72 22. (Espm 2016) As soluções inteiras e positivas da equação x y z 30, = com x y z são dadas por ternas ordenadas (a, b, c). Essas soluções são em número de: a) 4 b) 6 c) 12 d) 24 e) 48 23. (Pucrj 2015) A quantidade de anagramas da palavra CONCURSO é: a) 2520 b) 5040 c) 10080 d) 20160 e) 40320 24. (Uerj 2015) Uma criança ganhou seis picolés de três sabores diferentes: baunilha, morango e chocolate, representados, respectivamente, pelas letras B, M e C. De segunda a sábado, a criança consome um único picolé por dia, formando uma sequência de consumo dos sabores. Observe estas sequências, que correspondem a diferentes modos de consumo: (B, B, M, C, M, C) ou (B, M, M, C, B, C) ou (C, M, M, B, B, C) O número total de modos distintos de consumir os picolés equivale a: a) 6 b) 90 c) 180 d) 720 25. (Enem PPL 2014) Um procedimento padrão para aumentar a capacidade do número de senhas de banco é acrescentar mais caracteres a essa senha. Essa prática, além de aumentar as possibilidades de senha, gera um aumento na segurança. Deseja-se colocar dois novos caracteres na senha de um banco, um no início e outro no final. Decidiu-se que esses novos caracteres devem ser vogais e o sistema conseguirá diferenciar maiúsculas de minúsculas. Com essa prática, o número de senhas possíveis ficará multiplicado por a) 100. b) 90. c) 80. d) 25. e) 20. 26. (Uerj 2013) Um sistema luminoso, constituído de oito módulos idênticos, foi montado para emitir mensagens em código. Cada módulo possui três lâmpadas de cores diferentes − vermelha, amarela e verde. Observe a figura: Considere as seguintes informações: — cada módulo pode acender apenas uma lâmpada por vez; — qualquer mensagem é configurada pelo acendimento simultâneo de três lâmpadas vermelhas, duas verdes e uma amarela, permanecendo dois módulos com as três lâmpadas apagadas; — duas mensagens são diferentes quando pelo menos uma das posições dessas cores acesas é diferente. Calcule o número de mensagens distintas que esse sistema pode emitir. 27. (Enem 2013) Um banco solicitou aos seus clientes a criação de uma senha pessoal de seis dígitos, formada somente por algarismos de 0 a 9, para acesso à conta-corrente pela internet. Entretanto, um especialista em sistemas de segurança eletrônica recomendou à direção do banco recadastrar seus usuários, solicitando, para cada um deles, a criação de uma nova senha com seis dígitos, permitindo agora o uso das 26 letras do alfabeto, além dos algarismos de 0 a 9. Nesse novo sistema, cada letra maiúscula era considerada distinta de sua versão minúscula. Além disso, era proibido o uso de outros tipos de caracteres. Uma forma de avaliar uma alteração no sistema de senhas é a verificação do coeficiente de melhora, que é a razão do novo número de possibilidades de senhas em relação ao antigo. O coeficiente de melhora da alteração recomendada é a) 6 6 62 10 b) 62! 10! c) 62! 4! 10! 56! d) 62! 10!− e) 6 662 10− 28. (Uerj 2013) Na ilustração abaixo, as 52 cartas de um baralho estão agrupadas em linhas com 13 cartas de mesmo naipe e colunas com 4 cartas de mesmo valor. Denomina-se quadra a reunião de quatro cartas de mesmo valor. Observe, em um conjunto de cinco cartas, um exemplo de quadra: O número total de conjuntos distintos de cinco cartas desse baralho que contêm uma quadra é igual a: a) 624 b) 676 c) 715 d) 720 29. (Uerj 2012) A tabela abaixo apresenta os critérios adotados por dois países para a formação de placas de automóveis. Em ambos os casos, podem ser utilizados quaisquer dos 10 algarismos de 0 a 9 e das 26 letras do alfabeto romano. País Descrição Exemplo de placa X 3 letras e 3 algarismos, em qualquer ordem Y um bloco de 3 letras, em qualquer ordem, à esquerda de outro bloco de 4 algarismos, também em qualquer ordem Considere o número máximo de placas distintas que podem ser confeccionadas no país X igual a n e no país Y igual a p. A n p razão corresponde a: a) 1 b) 2 c) 3 d) 6 30. (Enem 2012) O designer português Miguel Neivacriou um sistema de símbolos que permite que pessoas daltônicas identifiquem cores. O sistema consiste na utilização de símbolos que identificam as cores primárias (azul, amarelo e vermelho). Além disso, a justaposição de dois desses símbolos permite identificar cores secundárias (como o verde, que é o amarelo combinado com o azul). O preto e o branco são identificados por pequenos quadrados: o que simboliza o preto é cheio, enquanto o que simboliza o branco é vazio. Os símbolos que representam preto e branco também podem ser associados aos símbolos que identificam cores, significando se estas são claras ou escuras. Folha de Sao Paulo. Disponível em: www1.folha.uol.com.br. Acesso em: 18 fev. 2012. (adaptado) De acordo com o texto, quantas cores podem ser representadas pelo sistema proposto? a) 14 b) 18 c) 20 d) 21 e) 23 4 31. (Enem 2012) O diretor de uma escola convidou os 280 alunos de terceiro ano a participarem de uma brincadeira. Suponha que existem 5 objetos e 6 personagens numa casa de 9 cômodos; um dos personagens esconde um dos objetos em um dos cômodos da casa. O objetivo da brincadeira é adivinhar qual objeto foi escondido por qual personagem e em qual cômodo da casa o objeto foi escondido. Todos os alunos decidiram participar. A cada vez um aluno é sorteado e dá a sua resposta. As respostas devem ser sempre distintas das anteriores, e um mesmo aluno não pode ser sorteado mais de uma vez. Se a resposta do aluno estiver correta, ele é declarado vencedor e a brincadeira é encerrada. O diretor sabe que algum aluno acertará a resposta porque há a) 10 alunos a mais do que possíveis respostas distintas. b) 20 alunos a mais do que possíveis respostas distintas. c) 119 alunos a mais do que possíveis respostas distintas. d) 260 alunos a mais do que possíveis respostas distintas. e) 270 alunos a mais do que possíveis respostas distintas. 32. (Uerj 2011) Uma rede é formada de triângulos equiláteros congruentes, conforme a representação abaixo. Uma formiga se desloca do ponto A para o ponto B sobre os lados dos triângulos, percorrendo X caminhos distintos, cujos comprimentos totais são todos iguais a d. Sabendo que d corresponde ao menor valor possível para os comprimentos desses caminhos, X equivale a: a) 20 b) 15 c) 12 d) 10 TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: Uma máquina contém pequenas bolas de borracha de 10 cores diferentes, sendo 10 bolas de cada cor. Ao inserir uma moeda na máquina, uma bola é expelida ao acaso. Observe a ilustração: 33. (Uerj 2011) Para garantir a retirada de 4 bolas de uma mesma cor, o menor número de moedas a serem inseridas na máquina corresponde a: a) 5 b) 13 c) 31 d) 40 34. (Enem 2010) João mora na cidade A e precisa visitar cinco clientes, localizados em cidades diferentes da sua. Cada trajeto possível pode ser representado por uma sequência de 7 letras. Por exemplo, o trajeto ABCDEFA, informa que ele saíra da cidade A, visitando as cidades B, C, D, E e F nesta ordem, voltando para a cidade A. Além disso, o número indicado entre as letras informa o custo do deslocamento entre as cidades. A figura mostra o custo de deslocamento entre cada uma das cidades. Como João quer economizar, ele precisa determinar qual o trajeto de menor custo para visitar os cinco clientes. Examinando a figura, percebe que precisa considerar somente parte das sequências, pois os trajetos ABCDEFA e AFEDCBA têm o mesmo custo. Ele gasta 1 min30s para examinar uma sequência e descartar sua simétrica, conforme apresentado. O tempo mínimo necessário para João verificar todas as sequências possíveis no problema é de a) 60 min. b) 90 min. c) 120 min. d) 180 min. e) 360 min. 35. (Ibmecrj) O número de anagramas que podem ser formados com as letras de PAPAGAIO, começando por consoante e terminando por O, é igual a: a) 120. b) 180. c) 240. d) 300. e) 320. 36. (Ufrj) Um sítio da internet gera uma senha de 6 caracteres para cada usuário, alternando letras e algarismos. A senha é gerada de acordo com as seguintes regras: - não há repetição de caracteres; - começa-se sempre por uma letra; - o algarismo que segue uma vogal corresponde a um número primo; - o algarismo que segue uma consoante corresponde a um número par. Quantas senhas podem ser geradas de forma que as três letras sejam A, M e R, em qualquer ordem? 37. (Uff) Hoje em dia, é possível realizar diversas operações bancárias a partir de um computador pessoal ligado à Internet. Para esse acesso, o cliente de determinado banco, após digitar o número de sua agência e conta corrente, deverá introduzir uma senha de quatro dígitos a partir de um teclado virtual como o da figura. Para inserir um dígito da senha da sua conta corrente, o cliente deste banco deve clicar em um dos quatro botões indicados pela inscrição "clique aqui"; isto é, para inserir o dígito 4, por exemplo, pode-se clicar no botão "clique aqui" situado abaixo dos dígitos "0, 4 ou 7" ou naquele situado abaixo dos dígitos "2, 4 ou 8". Pode-se afirmar que o número total de senhas compostas por quatro dígitos distintos que estão associadas à sequência de "cliques", primeiro, no botão correspondente aos dígitos 1, 5 ou 8; depois, no botão correspondente aos dígitos 0, 4 ou 7; novamente no botão correspondente aos dígitos 1, 5 ou 8 e, por último, no botão correspondente aos dígitos 0, 4 ou 7, é igual a: a) 12 b) 24 c) 36 d) 54 e) 81 38. (Uff) Três ingleses, quatro americanos e cinco franceses serão dispostos em fila (dispostos em linha reta) de modo que as pessoas de mesma nacionalidade estejam sempre juntas. De quantas maneiras distintas a fila poderá ser formada de modo que o primeiro da fila seja um francês? 39. (Uerj) Trechos complementares de duas cadeias de nucleotídeos de uma molécula de DNA. Observe que uma cadeia se dispõe em relação à outra de modo invertido (Adaptado de LOPES. Sônia. "BIO 3". São Paulo. Saraiva,1993.) 5 Considere as seguintes condições para a obtenção de fragmentos de moléculas de DNA: - todos os fragmentos devem ser formados por 2 pares de bases nitrogenadas; - cada fragmento deve conter as quatro diferentes bases nitrogenadas. O número máximo de fragmentos diferentes que podem ser assim obtidos corresponde a: a) 4 b) 8 c) 12 d) 24 40. (Unirio) Um jogo é formado por 20 pontos, conforme a figura anterior. Calcule: a) o número total de possibilidade para "caminhar" de A a C, sabendo-se que só pode haver movimento na horizontal (da esquerda para a direita) ou na vertical (de cima para baixo), um espaço entre dois pontos de cada vez; b) a probabilidade de "caminhar" de A a C, passando por B, seguindo as regras do item a. 41. (Unirio) Uma pessoa quer comprar 6 empadas numa lanchonete. Há empadas de camarão, frango, legumes e palmito. Sabendo-se que podem ser compradas de zero a 6 empadas de cada tipo, de quantas maneiras diferentes esta compra pode ser feita? 42. (Uerj) Ana dispunha de papéis com cores diferentes. Para enfeitar sua loja, cortou fitas desses papéis e embalou 30 caixinhas de modo a não usar a mesma cor no papel e na fita, em nenhuma das 30 embalagens. A menor quantidade de cores diferentes que ela necessitou utilizar para a confecção de todas as embalagens foi igual a: a) 30 b) 18 c) 6 d) 3 43. (Uff) Cinco casais vão-se sentar em um banco de 10 lugares, de modo que cada casal permaneça sempre junto ao sentar-se. Determine de quantas maneiras distintas todos os casais podem, ao mesmo tempo, sentar-se no banco. 44. (Ufrj) Quantos números de 4 algarismos podemos formar nos quais o algarismo 2 aparece ao menos uma vez? 45. (Uff) O produto 20 18 16 14 6 4 2 é equivalentea: a) 20! 2 b) 2 10! c) 10 20! 2 d) 102 10! e) 20! 10! 46. (Uff) Com as letras da palavra PROVA podem ser escritos x anagramas que começam por vogal e y anagramas que começam e terminam por consoante. Os valores de x e y são, respectivamente: a) 48 e 36. b) 48 e 72. c) 72 e 36. d) 24 e 36. e) 72 e 24. 47. (Ufrj) Um construtor dispõe de quatro cores (verde, amarelo, cinza e bege) para pintar cinco casas dispostas lado a lado. Ele deseja que cada casa seja pintada com apenas uma cor e que duas casas consecutivas não possuam a mesma cor. Por exemplo, duas possibilidades diferentes de pintura seriam: Determine o número de possibilidades diferentes de pintura. 48. (Fei) A expressão n 1 n 2 n!3 3 (n 2)! + − + é equivalente a: a) 2 27 n 3n 2+ + b) n 1 9n 18 − + c) n 1+ d) 227n 81n 54+ + e) 27n 54+ 49. (Fei) Se (n 4)! n 3)! 15(n 2 !( ) ,+ + + = + então: a) n 4= b) n 3= c) n 2= d) n 1= e) n 0= TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: Uma loja identifica seus produtos com um código que utiliza 16 barras, finas ou grossas. Nesse sistema de codificação, a barra fina representa o zero e a grossa o 1. A conversão do código em algarismos do número correspondente a cada produto deve ser feita de acordo com esta tabela: Código Algarismo Código Algarismo 0000 0 0101 5 0001 1 0110 6 0010 2 0111 7 0011 3 1000 8 0100 4 1001 9 Observe um exemplo de código e de seu número correspondente: 50. (Uerj 2015) Considere o código abaixo, que identifica determinado produto. Esse código corresponde ao seguinte número: a) 6835 b) 5724 c) 8645 d) 9768 Gabarito: 1: [B] 2: 91 3: [E] 4: [E] 5: [C] 6: [C] 7: [A] 8: [C] 9: [E] 10: [E] 11: [E] 12: [C] 13: [B] 14: i) 4 326 10 ii) 4 335 26 10 . 15: [E] 16: [A] 17: [A] 18: [D] 19: 12 10 22.+ = 20: [B] 21: [C] 22: [D] 23: [C] 24: [B] 25: [A] 27: [A] 28: [A] 29: [B] 30: [C] 31: [A] 32: [B] 33: [C] 34: [B] 35: [B] 36: 432 37: [C] 38: 34.560 maneiras 39: [B] 40: a) 35 b) 18/35 41: 84 42: [C] 43: 3840 maneiras distintas. 44: 3168 números 45: [D] 46: [A] 47: 324 possibilidades 48: [A] 49: [E] 50: [A] 6 Gabarito: Resposta da questão 1: [B] Sabendo-se que cada caminhão cegonha possui 10 carros e que é preciso ao menos um carrinho de cada cor, então restam 6 carrinhos nos quais as cores podem ser permutadas. Sendo a, b, c e d a quantidade de carrinhos brancos, laranjas, amarelos e verdes, além dos 4 já pintados (um de cada cor), tem-se: a b c d 6+ + + = A quantidade de soluções inteiras não negativas dessa equação de quatro variáveis será: = = 6,3 9,39 9 P C 3 Resposta da questão 2: Sejam x, y e z, respectivamente, o número de moedas de dez centavos, o número de moedas de cinquenta centavos e o número de moedas de um real, de tal sorte que x y z 12.+ + = Queremos calcular o número de soluções inteiras não negativas dessa equação. = = 12,2 14 14! P 91. 12! 2! Resposta da questão 3: [E] Podemos formar 4, 3A 24= números de três algarismos com os dígitos disponíveis. Ademais, como temos quatro dígitos, segue que cada um figura 24 6 4 = vezes em cada ordem e, portanto, tem-se que a resposta é 6 (1 2 3 4) 10 6 (1 2 3 4) 100 6 (1 2 3 4) 6660. + + + + + + + + + + + = Resposta da questão 4: [E] 6 5 VESTIBULAR VSTBLR EIUA P P 6! 5! 86400 = = Resposta da questão 5: [C] Uma pilha pode ter blocos de duas ou três cores distintas. Para as pilhas de blocos de duas cores existem 2 escolhas para a cor repetida e 3 para a segunda cor. Definidos os blocos, é possível dispô-los de (2) 3 3! P 3 2! = = maneiras. Logo, pelo Princípio Multiplicativo, segue que existem 2 3 3 18 = pilhas com blocos de duas cores. Ademais, para as pilhas de blocos de três cores distintas, sabemos que existem 4 modos de escolher a primeira cor, 3 modos de escolher a segunda cor e 2 modos de escolher a última cor. Portanto, pelo Princípio Multiplicativo, segue que há 4 3 2 24 = pilhas possíveis. Finalmente, pelo Princípio Aditivo, podemos concluir que o resultado é 18 24 42.+ = Resposta da questão 6: [C] Calculando: Números iniciando com dígito 3 : 1 4 3 2 1 24 = Números iniciando com dígito 53 : 1 1 3 2 1 6 = Números iniciando com dígito 56 : 1 1 3 2 1 6 = Números iniciando com dígito 573 : 1 1 1 2 1 2 = Números iniciando com dígito 576 57638 Posição 24 6 6 2 1 39ª posição + + + + = Resposta da questão 7: [A] Existem 8P 8!= maneiras de acomodar os adultos e 8 maneiras de escolher o colo em que sentará o bebê. Portanto, pelo Princípio Multiplicativo, segue que a resposta é 8 8!. Resposta da questão 8: [C] Resposta da questão 9: [E] Calculando: 5 6 2 4 5 3 2 Opção I 26 10 2.600.000 opções Opção II 10 1.000.000 opções Opção III 26 10 6.760.000 opções Opção IV 10 100.000 opções Opção V 26 10 1.757.600 opções = = = = = Sendo o número esperado de clientes igual a 1 milhão, o formato que resulta num número de senhas distintas possíveis superior a 1 milhão mas não superior a 2 milhões é o formato dado na opção V. Resposta da questão 10: [E] Pelo Princípio Multiplicativo, segue que o resultado é 710 10 10 10 10 900 9 10 . = Resposta da questão 11: [E] Considerando as regiões a serem pintadas: Considerando que as cores podem se repetir e que não há obrigatoriedade de se usar as 4 cores, pode-se calcular: D E F C B A 4 3 3 3 3 3 972 opções = Resposta da questão 12: [C] Considere a figura, em que estão indicadas as possíveis localizações do cliente. A resposta é 12. Resposta da questão 13: [B] Duas vermelhas e uma azul: 9,2C 7 36 7 252 = = Duas azuis e uma vermelha: 9,2C 7 36 7 252 = = Portanto, o tempo total será de 252 252 504+ = segundos. Como, 504 8 60 24,= + temos: x 8= e u 24.= 7 Resposta da questão 14: Para calcular o total de placas possíveis com o formato “Letra-Letra- Algarismo-Algarismo-Algarismo-Letra-Letra” pode-se escrever, com base nas possibilidades de cada item: 4 326 26 10 10 10 26 26 26 10 = Para calcular o total geral de possibilidades de placas com 4 letras (incluindo repetição) e 3 algarismos (incluindo repetição) em qualquer ordem na placa, deve-se primeiro considerar a posição das letras. Ou seja: 4 7C 35.= Assim, há 35 possíveis combinações de 4 letras e 3 algarismos. Pelo princípio fundamental da contagem, para cada letra há 26 possibilidades e cada algarismo 10 possibilidades. Logo, o total geral de possibilidades de placas com 4 letras (incluindo repetição) e 3 algarismos (incluindo repetição) é de 4 335 26 10 . Resposta da questão 15: [E] Tem-se 3P 3!= maneiras de dispor os três blocos de livros, 3P 3!= modos de organizar os livros de Álgebra, 2P 2!= maneiras de dispor os livros de Cálculo e 2P 2!= modos de dispor os livros de Geometria. Em consequência, pelo Princípio Multiplicativo, a resposta é 3! 3! 2! 2! 144. = Resposta da questão 16: [A] Considerando todas as vogais como uma única letra, segue que a resposta é dada por (2, 2)(2) 5 5 5! 5! P P 60 30 1.800. 2! 2! 2! = = = Resposta da questão 17: [A] Utilizando a permutação simples com repetição de elementos, pode-se escrever: 2;2 2;2 6 6 6! 6 5 4 3 2! P P 180 2! 2! 1! 1! 2! 2 1 = = → = Resposta da questão 18: [D] A soma dos dígitos será ímpar se todos os dígitos forem ímpares ou se dois dígitos forem pares e o outro for ímpar. Logo, como existem5 4 3 60 = números com os dígitos todos ímpares e 4 4 5 4 5 4 5 5 4 260 + + = números com dois dígitos pares e um ímpar, segue que, pelo Princípio Aditivo, a resposta é 60 260 320.+ = Resposta da questão 19: Pelo Princípio Multiplicativo, existem 4 3 12 = maneiras de ir de A para C, passando por B, e 5 2 10 = maneiras de ir de A para C, passando por D. Em consequência, pelo Princípio Aditivo, segue que a resposta é 12 10 22.+ = Resposta da questão 20: [B] Desde que o algarismo das unidades deve ser par e diferente de zero, temos 4 maneiras de escolher esse algarismo. Portanto, como existem 10 possibilidades para o algarismo das dezenas e 10 maneiras de escolher o algarismo das centenas, pelo Princípio Multiplicativo, segue que a resposta é 4 10 10 400. = Resposta da questão 21: [C] Considerando o caso em que os círculos A e C possuem cores distintas, tem-se 3 maneiras de escolher a cor do círculo A, 2 maneiras de escolher a cor do círculo C, 1 maneira de escolher a cor do círculo B e 1 maneira de escolher a cor do círculo D. Logo, pelo Princípio Multiplicativo, existem 3 2 1 1 6 = possibilidades. Por outro lado, se A e C possuem a mesma cor, então existem 3 modos de escolher a cor comum, 2 maneiras de escolher a cor do círculo B e 2 modos de escolher a cor do círculo D. Daí, pelo Princípio Multiplicativo, tem- se 3 2 2 12 = possibilidades. Em consequência, pelo Princípio Aditivo, a resposta é 6 12 18.+ = Resposta da questão 22: [D] As possíveis soluções são: 3 10 1 2 15 1 4 3! 24 3 5 2 6 5 1 = Resposta da questão 23: [C] A palavra CONCURSO possui 8 letras, sendo que as letras C e O aparecem duas vezes cada. Para determinar o número de anagramas desta palavra deveremos usar permutação com repetição. 2,2 8 8! P 10080 2! 2! = = Resposta da questão 24: [B] Sabendo que a criança ganhou dois picolés de cada sabor, tem-se que o resultado pedido é dado por (2, 2, 2) 6 6! P 90. 2! 2! 2! = = Resposta da questão 25: [A] Supondo que serão utilizadas apenas as vogais a, e, i, o e u, segue-se, pelo Princípio Multiplicativo, que a resposta é 10 10 100. = Observação: Considerando o acordo ortográfico de 2009, a questão não teria resposta. Resposta da questão 26: O número de mensagens distintas que o sistema pode emitir corresponde ao número de permutações de 8 lâmpadas, sendo 3 vermelhas, 2 verdes, 1 amarela e 2 apagadas, ou seja, (3, 2, 2) 8 8! P 3! 2! 2! 8 7 6 5 4 2 2 1680. = = = Resposta da questão 27: [A] Sabendo que cada letra maiúscula difere da sua correspondente minúscula, há 2 26 10 62 + = possibilidades para cada dígito da senha. Logo, pelo Princípio Fundamental da Contagem, segue-se que existem 662 senhas possíveis de seis dígitos. Analogamente, no sistema antigo existiam 610 senhas possíveis de seis dígitos. Em consequência, a razão pedida é 6 6 62 . 10 Resposta da questão 28: [A] Temos 13 conjuntos de quatro valores iguais e para cada um destes conjuntos temos 48 (52 – 4) cartas distintas. Logo, 48 . 13 = 624. 8 Resposta da questão 29: [B] Escolhendo 3 lugares para as letras 6,3C 20= x = 6,3C .26.26.26.10.10.10 = 20.26.26.26.10.10.10 y = 26.26.26.10.10.10.10 Logo, x 20.26.26.26.10.10.10 2 y 26.26.26.10.10.10.10 = = . Resposta da questão 30: [C] Cores primárias: 3 (vermelho, amarelo e azul). Cores secundárias: 3 (verde, (amarelo e azul), violeta (azul e vermelho) e laranja (amarelo e vermelho)) Cada uma dessas cores terá três tonalidades (normal, clara e escura). Preto e branco: 2. Portanto, o total de cores será 3.(3 + 3) + 2 = 20. Resposta da questão 31: [A] Pelo PFC, existem =5 6 9 270 respostas possíveis. Portanto, o diretor sabe que algum aluno acertará a resposta porque há − =280 270 10 alunos a mais do que o número de respostas possíveis. Resposta da questão 32: [B] O menor caminho será formado por dois lados inclinados (decidas) e quatro lados horizontais. !4!.2 !64,2 6 =P = 15 Resposta da questão 33: [C] Inserindo =3 10 30 moedas ainda teríamos a possibilidade de obtermos exatamente 3 bolas de cada cor. Logo, para garantir a retirada de 4 bolas de uma mesma cor, deverão ser inseridas + =30 1 31 moedas. Resposta da questão 34: [B] 5! = 120 sequências possíveis para se visitar as 5 cidades. Desconsiderando as simétricas, termos 60 sequências para visitar, logo o tempo necessário será de 1,5. 60 = 90 minutos. Resposta da questão 35: [B] Há dois casos possíveis: i) Anagramas que iniciam pela letra P e terminam por O: 120 !3 !6P )3( 6 == ii) Anagramas que iniciam pela letra G e terminam por O: 60 !2!3 !6P )2,3( 6 = = Portanto, de (i) e (ii), temos 18060120 =+ anagramas. Resposta da questão 36: 432 Resposta da questão 37: [C] Resposta da questão 38: 34.560 maneiras Resposta da questão 39: [B] Resposta da questão 40: a) 35 b) 18/35 Resposta da questão 41: 84 Resposta da questão 42: [C] Resposta da questão 43: 3840 maneiras distintas. Resposta da questão 44: 3168 números Resposta da questão 45: [D] !102 2 4 6 ... 14 16 18 20 123...78910222...2222 2 4 6 ... 14 16 18 20 1) (2 2) (2 3) (2 ... 7) (2 8) (2 9) (2 10) (2 = 2 4 6 ... 14 16 18 20 10 = = Resposta da questão 46: [A] Resposta da questão 47: 324 possibilidades Resposta da questão 48: [A] 2n3n 27 2n3n 3 2n3n 3 !n)1n()2n(3 3!n )!2n(3 3!n 22 3 2 )2n(1n 2n 1n 2n 1n ++ = ++ = ++ = ++ = + −−+ − + − + Resposta da questão 49: [E] ( (n 4) (n 3) (n 3 (n 4)! n 3) )! ( ! n 3) (n 2)! 15 ( 15(n 2 ) ) n ! ! 2+ + + + + + + + = + = + + Dividindo os dois membros por (n 2)!,+ temos: 2 2 n 7n 12 n 3 15 n 8n 0 n 8 (não convém) ou n 0 + + + + = + = = − = Portanto, n 0.= Resposta da questão 50: [A] De acordo com as informações, temos: Portanto, este código corresponde ao número 6835.
Compartilhar