SE 2019 - Aula 26 - Geometria Espacial II

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Curso Sala de Ensino 
Estrada Francisco da Cruz Nunes, 6501, Shopping Itaipu Multicenter – sala 311 
Telefone: 3587-8376 
 
 
 
 1 
 
 
 
Aluno: Data: __/__/_____ 
/___/__ 
Profº. Carlos Henrique(Bochecha) – Aula 26 – Geometria Espacial II 
 
1. (Ueg 2019) Em um curso de dobraduras, a instrutora orientou que fosse 
construída uma pirâmide de base quadrada, de lado igual a 3 cm e altura 
igual a 10 cm. O volume dessa pirâmide é igual a 
a) 
325 cm b) 330 cm c) 315 cm d) 39 cm e) 312 cm 
 
2. (Ufrgs 2019) Considere o paralelepípedo de vértices 
A, B, C, D, E, F, G, H e a pirâmide de vértices B, F, G, H, inscrita no 
paralelepípedo, representados na figura a seguir. 
 
A razão entre o volume da pirâmide e o volume do paralelepípedo é 
a) 
1
.
6
 b) 
1
.
5
 c) 
1
.
4
 d) 
1
.
3
 e) 
1
.
2
 
 
3. (Famerp 2018) A figura indica um prisma reto triangular e uma pirâmide 
regular de base quadrada. A altura desses sólidos, em relação ao plano em 
que ambos estão apoiados, é igual a 4 cm, como indicam as figuras. 
 
Se os sólidos possuírem o mesmo volume, a aresta da base da pirâmide, em 
centímetros, será igual a 
a) 
4 3
3
 b) 
3 3
2
 c) 3 d) 3 3 e) 
6 3
5
 
 
4. (Uerj 2018) A figura a seguir representa um objeto com a forma de um 
octaedro. Admita que suas arestas, feitas de arames fixados nos vértices, 
possuem os comprimentos indicados na tabela. 
 
 
 
Calcule o menor comprimento do arame, em centímetros, necessário para 
construir esse objeto. 
 
5. (Uerj simulado 2018) O esquema a seguir representa um prisma hexagonal 
regular de base ABCDEF, com todas as arestas congruentes, e uma 
pirâmide triangular regular de base ACE e vértice G. 
 
 
 
Sabe-se que os dois sólidos têm o mesmo volume e que a altura h da 
pirâmide mede 12 cm. 
A medida da aresta do prisma, em centímetros, é igual a: 
a) 1,5 b) 3 c) 2 d) 2 3 
 
6. (Uece 2018) Assinale a opção que corresponde à medida da altura do 
tetraedro regular cuja medida da aresta é igual a 3 m. 
a) 
2 6
m.
3
 b) 6 m. c) 
6
m.
2
 d) 
6
m.
3
 
 
7. (Fac. Albert Einstein - Medicina 2018) Uma peça tem a forma de uma 
pirâmide reta, de base quadrada, com 15 cm de altura e é feita de madeira 
maciça. A partir da base dessa peça, foi escavado um orifício na forma de um 
prisma de base quadrada. A figura mostra a visão inferior da base da peça 
(base da pirâmide). 
 
 
 
Esse orifício tem a maior profundidade possível, isto é, sem atravessar as 
faces laterais da pirâmide. O volume de madeira, em 
3cm , que essa peça 
contém? 
a) 560. 
b) 590. 
c) 620. 
d) 640. 
 
 
 
 
 2 
 
 
 
8. (Upf 2018) A medida de cada aresta do cubo da figura 1 é 2 cm, e os 
pontos A, B e C são pontos médios de três arestas. Seccionando o cubo 
por um plano que passe por ABC, podemos retirar o sólido que se forma 
em seu vértice. Se repetirmos esse procedimento em todos os vértices do 
cubo, obtemos um cubo truncado, como mostra a figura 2. 
 
 
O volume do cubo truncado, em 
3cm , é 
a) 
10
9
 b) 
16
3
 c) 
1
6
 d) 
47
6
 e) 
20
3
 
 
9. (Ufrgs 2017) Considere ABCDEFGH paralelepípedo reto-retângulo, 
indicado na figura abaixo, tal que AB 4,= AE 3= e BC 2.= 
 
O volume do tetraedro AHFC é 
a) 4. b) 8. c) 12. d) 16. e) 18. 
 
10. (Pucrj 2017) Numa pirâmide de base quadrada, todas as arestas medem 
x. 
 
Quanto vale o volume da pirâmide? 
a) 
32 x
6
 b) 
2xπ c) 3 2x x x 1+ + + d) 3x e) 3
6
x
3
 
 
11. (Pucpr 2017) No cubo representado a seguir, cuja aresta mede 12 cm, 
qual a distância, em cm, do plano que passa pelos vértices AFC ao 
vértice D? 
 
a) 4 3 b) 12 3 c) 6 3 d) 8 3 e) 3 3 
 
12. (Fac. Albert Einstein - Medicin 2017) Para a feira cultural da escola, um 
grupo de alunos irá construir uma pirâmide reta de base quadrada. A pirâmide 
terá 3 m de altura e cada aresta da base medirá 2 m. A lateral da pirâmide 
será coberta com folhas quadradas de papel, que poderão ser cortadas para 
um melhor acabamento. 
Se a medida do lado de cada folha é igual a 20 cm, o número mínimo 
dessas folhas necessárias à execução do trabalho será 
Utilize 10 3,2 
 
a) 285 b) 301 c) 320 d) 333 
 
13. (Mackenzie 2017) A altura, em cm, de um tetraedro regular cuja área 
total mede 
248 3 cm é 
a) 2 2 b) 4 2 c) 2 3 d) 4 3 e) 6 
 
 
14. (Uerj 2017) Uma pirâmide com exatamente seis arestas congruentes é 
denominada tetraedro regular. Admita que a aresta do tetraedro regular 
ilustrado a seguir, de vértices ABCD, mede 6 cm e que o ponto médio da 
aresta BC é M. 
 
O cosseno do ângulo ˆAMD equivale a: 
a) 
1
2
 b) 
1
3
 c) 
2
3
 d) 
2
5
 
 
 
15. (Udesc 2017) Uma pirâmide regular de base hexagonal tem o vértice 
sobre uma semiesfera e a base inscrita na base desta semiesfera. Sabendo 
que a aresta lateral dessa pirâmide mede 10 cm, então o volume é igual a: 
a) 
3125 6 cm b) 3500 3 cm c) 3375 6 cm 
d) 
35 15 cm
2
 e) 
3250 3 cm 
 
16. (Ufpr 2016) Um prisma possui 17 faces, incluindo as faces laterais e as 
bases inferior e superior. Uma pirâmide cuja base é idêntica à base do prisma, 
possui quantas arestas? 
a) 26. b) 28. c) 30. d) 32. e) 34. 
 
 
17. (Fgv 2016) Em uma folha de papel, desenha-se um hexágono regular 
ABCDEF de lado 3 cm e inscrito em uma circunferência de centro O. 
O hexágono é recortado, e, em seguida, faz-se um recorte no raio OB. A 
partir do recorte no raio, o pedaço de papel será usado para formar uma 
pirâmide de base quadrangular e centro O. Tal pirâmide será feita com a 
sobreposição e a colagem dos triângulos OAB e OCD, e dos triângulos 
OAF e OBC. 
 
 
O volume da pirâmide formada após as sobreposições e colagens, em 
3cm , 
é igual a 
a) 3 2 b) 3 3 c) 4 2 d) 
9 2
2
 e) 
9 3
2
 
 
 
 
 
 
 3 
 
 
 
18. (Ufrgs 2016) Considere ABCDEFGH um paralelepípedo reto-
retângulo conforme representado na figura abaixo. 
 
 
 
Se as arestas do paralelepípedo medem 3, 6 e 10, o volume do sólido 
ACDH é 
a) 10. b) 20. c) 30. d) 60. e) 90. 
 
19. (Acafe 2016) Uma peça de madeira tem a forma de uma pirâmide 
hexagonal regular com 21cm de altura. Essa peça é seccionada por um 
plano paralelo à base, de forma que o volume da pirâmide obtida seja 8 27 
do volume da pirâmide original. 
 
A distância (em cm) da base da pirâmide até essa secção é um número: 
a) fracionário. 
b) primo. 
c) múltiplo de 3. 
d) quadrado perfeito. 
 
20. (Unisc 2016) Em uma pirâmide regular, a base é um quadrado de lado 
q. Sabendo que as faces laterais dessa pirâmide são triângulos equiláteros, 
pode-se afirmar que o seu volume é 
a) 
3q 2 b) 
3q 2
6
 c) 
q 2
2
 d) 
3q 3
6
 e) 
3q 3
3
 
 
21. (Uece 2016) Se a soma dos ângulos de todas as faces de uma pirâmide 
(incluindo a base) é 3.600 graus, então, a base da pirâmide é um polígono 
com 
a) 9 lados. b) 10 lados. c) 11 lados. d) 12 lados. 
 
22. (Ufpr 2016) Temos, abaixo, a planificação de uma pirâmide de base 
quadrada, cujas faces laterais são triângulos equiláteros. Qual é o volume 
dessa pirâmide? 
 
 
a) 3
16
3 cm .
3
 b) 316 3 cm . c) 332 cm . d) 3
32
2 cm .
3
 e) 3
64
cm .
3
 
 
23. (Fuvest 2016) Cada aresta do tetraedro regular ABCD mede 10. Por 
um ponto P na aresta AC, passa o plano α paralelo às arestas AB e 
CD. Dado que AP 3,= o quadrilátero determinado pelas interseções de 
α com as arestas do tetraedro tem área igual a 
a) 21 b) 
21 2
2
 c) 30 d) 
30
2e) 
30 3
2
 
 
24. (Uerj 2016) Um prisma triangular reto ABCDEF foi dividido em duas 
partes por um plano ,α de acordo com a imagem abaixo. Os ângulos BAC 
e EDF das bases do prisma são retos, e o plano α contém os pontos 
A,B e G, sendo que G pertence à aresta CF e dista 4 cm de C. 
 
Calcule o volume, em 
3cm , do maior sólido definido pela separação 
estabelecida no prisma pelo plano .α 
 
25. (Fgvrj 2016) A figura abaixo mostra um tronco de pirâmide regular 
formado por dois quadrados ABCD e A'B'C'D' de centros O e O ' 
contidos em planos paralelos e quatro trapézios congruentes. Os quadrados 
são as bases do tronco e a sua altura é a distância OO' h= entre os 
planos paralelos. 
 
Se S e S' são as áreas das bases de um tronco de pirâmide de altura h, o 
volume desse tronco é dado pela fórmula 
h
V (S S' SS').
3
= + + 
São dadas, em decímetros, as medidas das arestas: 
AB 12,= A'B' 6,= AA ' 9.= 
Calcule o volume desse poliedro em decímetros cúbicos e dê um valor 
aproximado usando algum dos dados abaixo. 
Dados: 2 1,41, 3 1,73, 5 2,24, 7 2,65. 
 
26. (Fuvest 2015) O sólido da figura é formado pela pirâmide SABCD 
sobre o paralelepípedo reto ABCDEFGH. Sabe-se que S pertence à 
reta determinada por A e E e que AE 2cm,= AD 4cm= e 
AB 5cm.= 
 
 
 
 
 
 
 4 
 
 
 
A medida do segmento SA que faz com que o volume do sólido seja igual a 
4
3
 do volume da pirâmide SEFGH é 
a) 2 cm b) 4 cm c) 6 cm d) 8 cm e) 10 cm 
 
27. (Ufsm 2015) Desde a descoberta do primeiro plástico sintético da história, 
esse material vem sendo aperfeiçoado e aplicado na indústria. Isso se deve 
ao fato de o plástico ser leve, ter alta resistência e flexibilidade. Uma peça 
plástica usada na fabricação de um brinquedo tem a forma de uma pirâmide 
regular quadrangular em que o apótema mede 10mm e a aresta da base 
mede 12mm. A peça possui para encaixe, em seu interior, uma parte oca 
de volume igual a 
378mm . 
O volume, em 
3mm , dessa peça é igual a 
a) 1152. b) 1074. c) 402. d) 384. e) 306. 
 
28. (Ucs 2015) Aumentando-se a medida "a" da aresta da base de uma 
pirâmide quadrangular regular em 30% e diminuindo- se sua altura "h" 
em 30%, qual será a variação aproximada no volume da pirâmide? 
a) Aumentará 18%. 
b) Aumentará 30%. 
c) Diminuirá 18%. 
d) Diminuirá 30%. 
e) Não haverá variação. 
 
29. (Uel 2015) Na molécula do Metano 4(CH ), o átomo de carbono ocupa 
o centro de um tetraedro regular em cujos vértices estão os átomos de 
hidrogênio. 
 
 
 
Considerando que as arestas do tetraedro regular medem 6 cm e que a 
altura mede 
1
h 6,
3
= assinale a alternativa que apresenta, corretamente, 
o volume desse tetraedro. 
a) 
33 3 cm b) 318 2 cm c) 318 3 cm 
d) 
336 2 cm e) 354 2 cm 
 
30. (Insper 2014) Uma empresa fabrica porta-joias com a forma de prisma 
hexagonal regular, com uma tampa no formato de pirâmide regular, como 
mostrado na figura. 
 
 
 
As faces laterais do porta-joias são quadrados de lado medindo 6 cm e a 
altura da tampa também vale 6 cm. A parte externa das faces laterais do 
porta-joias e de sua tampa são revestidas com um adesivo especial, sendo 
necessário determinar a área total revestida para calcular o custo de 
fabricação do produto. A área da parte revestida, em cm2, é igual a 
a) 72(3 3).+ b) 36(6 5).+ c) 108(2 5).+ 
d) 27(8 7).+ e) 54(4 7).+ 
 
31. (Uerj 2014) Um quadrado ABCD de centro O está situado sobre um plano 
á. Esse plano contém o segmento OV, perpendicular a BC, conforme ilustra a 
imagem: 
 
 
 
Admita a rotação de centro O do segmento OV em um plano perpendicular ao 
plano a, como se observa nas imagens: 
 
 
 
Considere as seguintes informações: 
 
- o lado do quadrado ABCD e o segmento OV medem 1 metro; 
- a rotação do segmento OV é de x radianos, sendo 0 x
2
π
  ; 
- x corresponde ao ângulo formado pelo segmento OV e o plano α ; 
- o volume da pirâmide ABCDV, em metros cúbicos, é igual a y. 
 
O gráfico que melhor representa o volume y da pirâmide, em m3, em função 
do ângulo x, em radianos, é: 
a) b) 
c) d) 
 
 
32. (Mackenzie 2014) Se um tetraedro regular tem arestas de comprimento 6 
m, então podemos afirmar que 
a) a altura é igual a 3 3m. 
b) a altura é igual a 3 6m. 
c) a altura é igual a 4,5 m. 
d) o volume é igual a 
327 3 m .
2
 
e) o volume é igual a 
318 2 m . 
 
33. (Insper 2012) Em uma pirâmide quadrangular regular, a área lateral é o 
dobro da área da base. Nesse caso, cada face lateral forma com o plano da 
base um ângulo que mede 
a) 15°. b) 30°. c) 45°. d) 60°. e) 75°. 
 
34. (Fuvest 2012) Em um tetraedro regular de lado a, a distância entre os 
pontos médios de duas arestas não adjacentes é igual a 
a) a 3 b) a 2 c) 
a 3
2
 d) 
a 2
2
 e) 
a 2
4
 
 
 
 
 
 5 
 
 
 
35. (Ufrgs 2012) Se duplicarmos a medida da aresta da base de uma 
pirâmide quadrangular regular e reduzirmos sua altura à metade, o volume 
desta pirâmide 
a) será reduzido à quarta parte. 
b) será reduzido à metade. 
c) permanecerá inalterado. 
d) será duplicado. 
e) aumentará quatro vezes. 
 
36. (Uerj 2011) Um artesão retirou, de uma pedra com a forma inicial de um 
prisma triangular reto de base EBD, um tetraedro regular VABC. Observe a 
figura abaixo: 
 
 
 
Considere os seguintes dados: 
∙ os vértices A e V pertencem a duas faces laterais do prisma; 
∙ BD BE BC 1 m.= = = 
Determine o volume inicial da pedra. 
 
 
37. (Ufrj 2010) A pirâmide ABCD é tal que as faces ABC, ABD e 
ACD são triângulos retângulos cujos catetos medem a. Considere o cubo 
de volume máximo contido em ABCD tal que um de seus vértices seja o 
ponto A, como ilustra a figura a seguir. 
 
 
 
Determine a medida da aresta desse cubo em função de a. 
 
 
38. (Uerj 2002) Leia os quadrinhos: 
 
 
 
Suponha que o volume de terra acumulada no carrinho de mão do 
personagem seja igual ao do sólido esquematizado na figura a seguir, 
formado por uma pirâmide reta sobreposta a um paralelepípedo retângulo. 
 
 
 
Assim, o volume médio de terra que Hagar acumulou em cada ano de trabalho 
é, em 
3dm , igual a: 
a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 
 
39. (Uff 2000) No tetraedro regular representado na figura, R e S são, 
respectivamente, os pontos médios de NP e OM. 
 
A razão RS/MN é igual a: 
a) 3 b) 
( 3)
2
 c) 2 d) 
( 2)
2
 e) 3 2 
 
40. (Unirio 1998) 
 
Uma pirâmide está inscrita num cubo, como mostra a figura anterior. 
Sabendo-se que o volume da pirâmide é de 6 m3, então, o volume do cubo, 
em m3, é igual a: 
a) 9 b) 12 c) 15 d) 18 e) 21 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gabarito: 
 
1: [B] 2: [A] 3: [D] 4: 134cm 5: [C] 6: [B] 7: [A] 8: [E] 9: [B] 10: [A] 11: [A] 
 
12: [C] 13: [B] 14: [B] 15: [A] 16: [C] 17: [D] 18: [C] 19: [B] 20: [B] 21: [C] 
 
22: [D] 23: [A] 24: 65 cm³ 25: = 3V 667,8 dm 26: [E] 27: [E] 28: [A] 
 
29: [B] 30: [E] 31: [A] 32: [E] 33: [D] 34: [D] 35: [D] 36: = 3
2
V m .
3
 
37: L = a/3 38: [D] 39: [D] 40: [D] 
 
 
 
 
 
 6 
 
 
 
Gabarito: 
 
Resposta da questão 1: [B] 
 
 
 
b
3
1
V A h
3
1
V 3 3 10
3
V 30 cm
=  
=   
=
 
 
Resposta da questão 2: [A] 
 
Calculando: 
3
pirâmide pirâmide
paralelepípedo3
paralelepípedo
HG x
Paralelepípedo GF 2x
GB 3x
1 x 2x
V 3x x V 13 2
V 6
V x 2x 3x 6x
 =

 =

=
 
=   = 
   =
=   =
 
 
Resposta da questão 3: [D] 
 
Calculando: 
2
prisma
2 2
pirâmide
6 4
V 3 36 cm
2
1
V b 4 36 b 27 3 3 cm
3

=  =
=   =  = =
 
 
Resposta da questão 4: 
 Calculando: 
Perímetro AB BC CD AD AE BE CE DE BF AF DF CF
10 11 12 11 12 12 11 12 11 10 12 10 134 cm
= + + + + + + + + + + +
+ + + + + + + + + + + =
 
 
Resposta da questão 5: [C] 
 
Sejam 3r, e 6, respectivamente,o raio do círculo circunscrito à base do 
prisma, a medida da aresta da base da pirâmide e a medida da aresta da base 
do prisma. Portanto, sabendo que 
3
6
3
r
3
= = e os volumes são 
iguais, temos 
2 2 3
26 3 6
6 6
6
3 3 3 31
12 ( 3)
2 3 4 2
2cm.
 =    =
 =
 
 
 
 
 
 
Resposta da questão 6: [B] 
 
Do enunciado, sendo h a medida da altura do tetraedro regular, temos: 
3 6
h m
3
h 6 m
=
=
 
 
Resposta da questão 7: [A] 
 
 
 
Calculando: 
2 3
peça
EF 4 1
VEFGH ABCD razão semelhança k
BA 12 3
15 h 1
altura 45 3h 15 h 10
15 3
1
V 12 15 4 4 10 560 cm
3
  = = =
−
 =  − =  =
=   −   =
 
 
Resposta da questão 8: [E] 
 
O tetraedro VABC é um tetraedro trirretangular e seu volume VABCV é 
dado por: 

=  
=
VABC
VABC
1 1 1
V 1
3 2
1
V
6
 
 
Dessa forma, sendo V o volume do cubo truncado, temos: 
= − 
= − 
=
3
VABCV 2 8 V
1
V 8 8
6
20
V
3
 
 
Resposta da questão 9: [B] 
 
O volume do tetraedro será a diferença entre o volume do paralelepípedo e os 
volumes dos quatro tetraedros trirretângulos, como segue: 
Paralelepípedo (EHFA) (BAFC) (GHFC) (DAHC)V V V V V V
1 4 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2
V 4 3 2
3 2 3 2 3 2 3 2
V 24 16
V 8
= − − − −
       
=   −  −  −  − 
= −
=
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 7 
 
 
 
Resposta da questão 10: [A] 
 
 
 
No triângulo BCD, 
( )
2 2 2
2 2
2
2
2a x x
4a 2x
2x
a
4
= +
=
=
 
 
No triângulo VOB, 
2 2 2
2
2 2
2
2 2
2
2
x h a
2x
x h
4
2x
h x
4
2x
h
4
x 2
h
2
= +
= +
= −
=
=
 
 
Assim, sendo V o volume da pirâmide, 
2
2
3
1
V x h
3
1 x 2
V x
3 2
2 x
V
6
=  
=  

=
 
 
Resposta da questão 11: [A] 
 
O plano AFC com o vértice D forma um tetraedro cuja base é um triângulo 
equilátero de lado12 2 e demais arestas medindo 12. 
 
Assim, os pontos DPA forma um triângulo retângulo cujo cateto AP 
equivale à dois terços da altura do triângulo equilátero AFC. Calculando: 
( )
22 2
2
2 12 2 3
AP 4 6
3 2
12 4 6 DP
DP 48 DP 4 3

=  =
= +
=  =
 
 
Resposta da questão 12: [C] 
 
Sendo 1m a medida do apótema da base e p a medida do apótema da 
pirâmide, pelo Teorema de Pitágoras, segue que 
2 2 2p 3 1 p 10 m 320cm.= +  =  
Portanto, tem-se que o resultado pedido é dado por 
2
1
200 320
24 320.
20
 
 = 
 
Resposta da questão 13: [B] 
 
Sendo x a medida de uma das arestas do tetraedro regular, temos: 
2
2
1
4 x x sen60 48 3
2
3
2x 48 3
2
x 48
     =
 =
=
 
 
Como x 0, x 4 3 cm. = 
Observe o tetraedro regular abaixo: 
 
No triângulo EBF, 
y
tg30
BF
 = 
 
Mas, BF 2 3,= logo, 
3
y 2 3
3
y 2
= 
=
 
 
No triângulo AFD, 
z
sen60
AD
 = 
 
Mas, AD 4 3,= logo, 
3
z 4 3
2
z 6
= 
=
 
 
No triângulo AFE, 
2 2 2
2 2 2
2
z y h
6 2 h
h 32
= +
= +
=
 
Como h 0, 
h 4 2 cm= 
 
 
 
 
 8 
 
 
 
Resposta da questão 14: [B] 
 
Seja a medida da aresta do tetraedro. Desde que as faces do tetraedro são 
triângulos equiláteros congruentes, vem 
3
DM AM .
2
= = Por 
conseguinte, aplicando a Lei dos Cossenos no triângulo AMD, temos 
 
2 2 2
2 2
2
2 2
AD AM DM 2 AM DM cosAMD
3 3 3 3
2 cosAMD
2 2 2 2
3
cosAMD
2 2
1
cosAMD .
3
= + −    
   
= + −       
   
 = 
=
 
 
Resposta da questão 15: [A] 
 
Calculando: 
( )
2 2 2 2
base
2
2
base
3
base
10 R R 100 2R R 5 2 cm
5 2 3
S 6 75 3 cm
4
h R 5 2
1 1
V S h 75 3 5 2 125 6 cm
3 3
= + → = → = =

=  =
= =
=   =   =
 
 
Resposta da questão 16: [C] 
 
1 face superior
Total de faces 17 1 face inf erior possui 15 arestas na base
15 faces laterais


=  


 
Portanto, como será construído uma pirâmide teremos 15 arestas laterais 
também. 
Logo, 15 arestas na base + 15 arestas laterais = 30 arestas. 
 
Resposta da questão 17: [D] 
 
Calculando: 
 
 
( )
22
2
2
3
3 3 3
OM
2 2
3
GM
2
3 3 3 3 2
OG OG
2 2 2
1 3 2 9 2
V 3 V
3 2 2
=
= =
=
  
+ =  =       
=    =
 
 
 
 
 
 
 
Resposta da questão 18: [C] 
 
 
 
O volume V da pirâmide será dado por: 
=  b
1
V A h,
3
 onde bA é a área da base da pirâmide e h é a altura. 
 
Logo: 
21 3 10V 6 30cm
3 2

=   = 
 
Resposta da questão 19: [B] 
 
3 3 3
M M
m
M
V VH 21 27 21 21 3
h 14
8V h h 8 h h 2
V
27
     
=  =  =  =  =     
     
 
 
Portanto, a distância solicitada é: 
d H h d 21 14 d 7= −  = −  = (Número primo) 
 
Resposta da questão 20: [B] 
 
Desde que as faces laterais são triângulos equiláteros de lado q, segue que 
o apótema da pirâmide mede 
q 3
.
2
 Em consequência, sendo a medida do 
apótema da base igual a 
q
,
2
 pelo Teorema de Pitágoras, segue que a altura 
da pirâmide mede 
q 2
.
2
 
 
Portanto, a resposta é 
 
3
21 q 2 q 2q .
3 2 6
  = 
 
Resposta da questão 21: [C] 
 
Seja n o número de lados do polígono da base. Logo, sabendo que as faces 
laterais de uma pirâmide qualquer são triângulos, temos 
 
180 (n 2) n 180 3.600 2n 2 20
n 11.
  − +   =   − =
 =
 
 
 
Resposta da questão 22: [D] 
 
Observe a figura a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 9 
 
 
 
L 3 4 3
h h h 2 3
2 2
=  =  = 
 
Observe a figura abaixo: 
 
 
 
( ) ( )
2 22 2 2 2h H r 2 3 H 2 H 2 2 cm= +  = +  = 
 
Portanto, 
2 2
3
pir. pir.
L H (4) 2 2 32
V V 2 cm
3 3 3
 
=  = = 
 
Resposta da questão 23: [A] 
 
Considere a figura. 
 
 
 
Sejam Q, R e S, respectivamente, as interseções de α com as arestas 
BC, BD e AD. Desde que α é paralelo à aresta AB, temos SR e 
PQ paralelos a AB. Analogamente, concluímos que PS e QR são 
paralelos a CD. Ademais, sabendo que arestas opostas de um tetraedro 
regular são ortogonais, tem-se que o quadrilátero PQRS é um retângulo. 
Sendo ABCD regular, os triângulos APS e CQP são equiláteros, e, 
portanto, a área pedida é igual a 
23 7 21m . = 
 
Resposta da questão 24: 
 O volume do tronco de prisma ABGFDE é dado por 
3
1 1 1 1
DE DF (BE AD GF) 3 5 (10 10 6)
2 3 2 3
65cm .
    + + =     + +
=
 
 
Resposta da questão 25: 
 
 
A 'O' 3 2
AO 6 2 AP 6 2 3 2 3 2
=
=  = − =
 
 
Calculando a altura do tronco de pirâmide, temos: 
( )
22 2
2
h 3 2 9
h 63
h 3 7
+ =
=
=
 
 
Calculando, agora , o volume do tronco, 
( )
2 2 2 2
3
h
V (S S' SS')
3
3 7
V (12 6 6 12 )
3
V 7 144 36 72
V 2,65 252
V 667,8 dm
= + +
=  + + 
=  + +
= 
=
 
 
Resposta da questão 26: [E] 
 
Sabendo que ABCDEFGH é paralelepípedo reto, temos EF AB= e 
EH AD.= Portanto, segue que o resultado pedido é dado por 
 
4 1 4 1
[SABCD] [ABCDHEFG] [SEFGH] SA AE (AE SA)
3 3 3 3
3 SA 9 2 4 (2 SA)
SA 10cm.
+ =    + =  +
  +  =  +
 =
 
Resposta da questão 27: [E] 
 
 
Cálculo da altura da Pirâmide: mm8h106h 222 ==+ 
 
Volume da peça como diferença do volume da pirâmide e o volume da parte 
oca. 
peça pirâmide
2
peça
3
peça
V V 78
1
V 12 8 78
3
V 306mm
= −
=   −
=
 
 
Resposta da questão 28: [A] 
( )
2
original
2 2
novo novo
novo original
1
V a h
3
1 1
V 1,3a 0,7h V 1,183 a h
3 3
V 1,183 V 18,3% maior
=  
=   → =   
=  →
 
 
Resposta da questão 29: [B] 
 
O volume do tetraedro regular de aresta 6cm= é dado por 
3 3
32 6 2 18 2 cm .
12 12
= = 
 
 
 
 
 
 
 10 
 
 
 
Resposta da questão 30: [E] 
 
Considere a figura, em que V é o vértice da pirâmide, O é o centro da base 
e M é o ponto médio da aresta AB. 
 
Desse modo, como AB 6cm,= vem 
AB 6
OM OM 3 3 cm.
2tg30 3
2
3
=  = =


 
Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo OVM, encontramos 
2 2 2 2 2 2VM OV OM VM 6 (3 3)
VM 3 7 cm.
= +  = +
 =
 
Portanto, o resultado pedido é dado por 
2 2
2
AB VM
6 AB 6 (6 3 3 7)
2
54(4 7)cm .
 
 + =  +  
 
 
= +
 
 
Resposta da questão 31: [A] 
 
 
Seja h a altura da pirâmide logo, h 1 sen(x)=  e volume da pirâmide serádado por: 
21 sen(x)V(x) 1 sen(x)
3 3
=   = 
Logo, o gráfico que representa a variação do volume será dado pela 
 
Função 
sen(x)
y V(x) , para 0 x .
3 2

= =   
 
 
 
Resposta da questão 32: [E] 
A altura do tetraedro regular é igual a 
6 6
2 6 m,
3
= e seu volume é 
3
36 2 18 2 m .
12
= 
 
 
Resposta da questão 33: [D] 
 
Considere a figura, em que V é o vértice da pirâmide, O é o centro da base 
e M é o ponto médio da aresta AB. 
 
Queremos calcular a medida do ângulo VMO. 
Sabendo que a a área lateral é o dobro da área da base, vem que 
 
2
b
AB VM
A 2 A 4 2 AB
2
VM AB.

=    = 
 =
 
Portanto, do triângulo VOM, obtemos 
AB
OM 2cosVMO cosVMO
VM AB
1
cosVMO
2
cosVMO cos60
VMO 60 .
=  =
 =
 = 
 = 
 
 
Resposta da questão 34: [D] 
 
22 2 2 2
2 2a a 3 3a a 2.a a 2d d d d
2 2 4 4 4 2
  
+ =  = −  =  =       
 
 
 
Resposta da questão 35: [D] 
 
 
Pirâmide
Area da base Altura
V .
3

= 
 
Portanto: 
2
2 2
1 2
H
(2L)
L H L H2V e V 2 .
3 3 3
   
= = =   
 
 
 
Logo: 
 
2 1V 2 V=  (O dobro do volume inicial). 
 
 
 
 
 
 11 
 
 
 
Resposta da questão 36: 
 
 O volume inicial da pedra é dado por 
1 ˆ(BED) BC BE BD senDBE BC.
2
 =     
 
 
Seja M o ponto médio da aresta BC. Como V pertence à face BDFC, 
segue que ˆ ˆDBE VMA. Além disso, como VABC é regular, temos: 
VA BC 1m= = e 
BC 3 3
MV MA .
2 2

= = = 
Desse modo, aplicando a lei dos cossenos no triângulo VMA, encontramos: 
2 2 2
2 2 2
2
ˆAV MV MA 2 MV MA cosVMA
3 3 3 ˆ1 2 cosVMA
2 2 2
3 1 1ˆ ˆcosVMA cosVMA .
2 2 3
= + −   
     
= + −            
     
 =  =
 
 
Mas 
2 2 2 2ˆ ˆ ˆ ˆsen VMA cos VMA 1 senVMA senDBE.
3
+ =  = = 
Por conseguinte, 
31 1 2 2 2ˆBE BD senDBE BC 1 1 1 m .
2 2 3 3
    =     = 
 
Resposta da questão 37: 
 
2 2
a L L 2
a a 2
2
a L 2L a
a a L 2aL a 3aL 0 L
a a 3
−
=
−
=  −  =  − =  =
 
 
Resposta da questão 38: [D] 
 
Resposta da questão 39: [D] 
 
Resposta da questão 40: [D]