SE 2019 - Aula 26 - Casa

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Curso Sala de Ensino 
Estrada Francisco da Cruz Nunes, 6501, Shopping Itaipu Multicenter – sala 311 
Telefone: 3587-8376 
 
 
 
 1 
 
 
 
Aluno: Data: __/__/_____ 
/___/__ 
Profº. Carlos Henrique(Bochecha) – Aula 26 – Casa(Gem. Esp. II) 
 
1. (Uerj 2019) Observe na imagem uma pirâmide de base quadrada, 
seccionada por dois planos paralelos à base, um contendo o ponto A e o outro 
o ponto B. Esses planos dividem cada aresta lateral em três partes iguais. 
 
Considere as seguintes medidas da pirâmide: 
- altura 9 cm;= 
- aresta da base 6 cm;= 
- volume total
3108 cm .= 
 
O volume da região compreendida entre os planos paralelos, em 
3cm , é: 
a) 26 b) 24 c) 28 d) 30 
 
2. (Uerj 2018) A imagem a seguir ilustra um prisma triangular regular. Sua 
aresta da base mede b e sua aresta lateral mede h. 
 
Esse prisma é seccionado por um plano BCP, de modo que o volume da 
pirâmide ABCP seja exatamente 
1
9
 do volume total do prisma. 
Logo, a medida de AP é igual a: 
a) 
h
9
 b) 
h
3
 c) 
2h
3
 d) 
5h
6
 
 
3. (Enem 2016) É comum os artistas plásticos se apropriarem de entes 
matemáticos para produzirem, por exemplo, formas e imagens por meio de 
manipulações. Um artista plástico, em uma de suas obras, pretende retratar 
os diversos polígonos obtidos pelas intersecções de um plano com uma 
pirâmide regular de base quadrada. 
 
Segundo a classificação dos polígonos, quais deles são possíveis de serem 
obtidos pelo artista plástico? 
a) Quadrados, apenas. 
b) Triângulos e quadrados, apenas. 
c) Triângulos, quadrados e trapézios, apenas. 
d) Triângulos, quadrados, trapézios e quadriláteros irregulares, apenas. 
e) Triângulos, quadrados, trapézios, quadriláteros irregulares e pentágonos, 
apenas. 
 
4. (Enem PPL 2016) A figura mostra a pirâmide de Quéops, também 
conhecida como a Grande Pirâmide. Esse é o monumento mais pesado que já 
foi construído pelo homem da Antiguidade. Possui aproximadamente 2,3 
milhões de blocos de rocha, cada um pesando em média 2,5 toneladas. 
Considere que a pirâmide de Quéops seja regular, sua base seja um 
quadrado com lados medindo 214 m, as faces laterais sejam triângulos 
isósceles congruentes e suas arestas laterais meçam 204 m. 
 
 
 
O valor mais aproximado para a altura da pirâmide de Quéops, em metro, é 
a) 97,0. b) 136,8. c) 173,7. d) 189,3. e) 240,0. 
 
5. (Enem PPL 2016) A cobertura de uma tenda de lona tem formato de uma 
pirâmide de base quadrada e é formada usando quatro triângulos isósceles de 
base y. A sustentação da cobertura é feita por uma haste de medida x. 
Para saber quanto de lona deve ser comprado, deve-se calcular a área da 
superfície da cobertura da tenda. 
 
A área da superfície da cobertura da tenda, em função de y e x, é dada 
pela expressão 
a) 
2
2 y2y x
4
+ b) 
2
2 y2y x
2
+ c) 
2 24y x y+ 
d) 
2
2 y4 x
4
+ e) 
2
2 y4 x
2
+ 
 
6. (Upf 2012) Nesta figura estão representados dois poliedros de Platão: o 
cubo ABCDEFGH e o octaedro MNOPQR. 
 
 
 
Cada aresta do cubo mede 6 cm e os vértices do octaedro são os pontos 
centrais das faces do cubo. Então, é correto afirmar que a área lateral e o 
volume do octaedro medem, respectivamente: 
a) 
2 372 3 cm e 54 cm 
b) 
2 336 3 cm e 18 cm 
c) 
2 336 3 cm e 36 cm 
d) 
2 318 2 cm e 36 cm 
e) 
2 336 2 cm e 18 cm 
 
 
 
 
 2 
 
 
 
7. (Enem PPL 2012) O Museu do Louvre, localizado em Paris, na França, é 
um dos museus mais visitados do mundo. Uma de suas atrações é a Pirâmide 
de Vidro, construída no final da década de 1980. A seguir tem-se, na Figura 1, 
uma foto da Pirâmide de Vidro do Louvre e, na Figura 2, uma pirâmide reta de 
base quadrada que a ilustra. 
 
Considere os pontos A, B, C, D como na Figura 2. Suponha que alguns 
reparos devem ser efetuados na pirâmide. Para isso, uma pessoa fará o 
seguinte deslocamento: 1) partir do ponto A e ir até o ponto B. deslocando-se 
pela aresta AB; 2) ir de B até C, deslocando- se pela aresta que contém esses 
dois pontos; 3) ir de C até D, pelo caminho de menor comprimento; 4) 
deslocar se de D até B pela aresta que contém esses dois pontos. 
 
Disponível em: http://viagenslacoste.blogspot.com. Acesso em: 29 fev. 2012. 
 
A projeção do trajeto da pessoa no plano da base da pirâmide é melhor 
representada por 
a) b) c) 
d) e) 
 
8. (Enem 2012) Maria quer inovar em sua loja de embalagens e decidiu 
vender caixas com diferentes formatos. Nas imagens apresentadas estão as 
planificações dessas caixas. 
 
Quais serão os sólidos geométricos que Maria obterá a partir dessas 
planificações? 
a) Cilindro, prisma de base pentagonal e pirâmide. 
b) Cone, prisma de base pentagonal e pirâmide. 
c) Cone, tronco de pirâmide e prisma. 
d) Cilindro, tronco de pirâmide e prisma. 
e) Cilindro, prisma e tronco de cone. 
 
9. (Enem 2ª aplicação 2010) Devido aos fortes ventos, uma empresa 
exploradora de petróleo resolveu reforçar a segurança de suas plataformas 
marítimas, colocando cabos de aço para melhor afixar a torre central. 
Considere que os cabos ficarão perfeitamente esticados e terão uma 
extremidade no ponto médio das arestas laterais da torre central (pirâmide 
quadrangular regular) e a outra no vértice da base da plataforma (que é um 
quadrado de lados paralelos aos lados da base da torre central e centro 
coincidente com o centro da base da pirâmide), como sugere a ilustração. 
 
 
 
Se a altura e a aresta da base da torre central medem, respectivamente, 24 m 
e 6 2 m e o lado da base da plataforma mede 19 2 m, então a medida, 
em metros, de cada cabo será igual a 
a) 288 b) 313 c) 328 d) 400 e) 505 
 
10. (Enem 2011) Uma indústria fabrica brindes promocionais em forma de 
pirâmide. A pirâmide é obtida a partir de quatro cortes em um sólido que tem a 
forma de um cubo, No esquema, estão indicados o sólido original (cubo) e a 
pirâmide obtida a partir dele. 
 
 
Os pontos A. B, C, D e O do cubo e da pirâmide são os mesmos. O ponto O é 
central na face superior do cubo. Os quatro cortes saem de O em direção às 
arestas AD , BC , AB e CD , nessa ordem. Após os cortes, são 
descartados quatro sólidos. Os formatos dos sólidos descartados são 
a) todos iguais. 
b) todos diferentes. 
c) três iguais e um diferente. 
d) apenas dois iguais. 
e) iguais dois a dois. 
 
11. (Enem) Uma fábrica produz velas de parafina em forma de pirâmide 
quadrangular regular com 19 cm de altura e 6 cm de aresta da base. 
Essas velas são formadas por 4 blocos de mesma altura – 3 troncos de 
pirâmide de bases paralelas e 1 pirâmide na parte superior –, espaçados de 
1cm entre eles, sendo que a base superior de cada bloco é igual à base 
inferior do bloco sobreposto, com uma haste de ferro passando pelo centro de 
cada bloco, unindo-os, conforme a figura. 
 
 
Se o dono da fábrica resolver diversificar o modelo, retirando a pirâmide da 
parte superior, que tem 1,5 cm de aresta na base, mas mantendo o mesmo 
molde, quanto ele passará a gastar com parafina para fabricar uma vela? 
a) 
3156 cm . b) 3189 cm . c) 3192 cm . d) 3216 cm . e) 3540 cm . 
 
12. (Enem) Um artesão construiu peças de artesanato interceptando uma 
pirâmide de base quadrada com um plano. Após fazer um estudo das 
diferentes peças que poderia obter, ele concluiu que uma delas poderia ter 
uma das faces pentagonal. 
 
Qual dos argumentos a seguir justifica a conclusão do artesão? 
a) Uma pirâmide de base quadrada tem 4 arestas laterais e a interseção de 
um plano com a pirâmide intercepta suas arestas laterais. Assim, esses 
pontos formam um polígono de 4 lados. 
b) Uma pirâmide de base quadrada tem 4 faces triangulares e, quando um 
plano interceptaessa pirâmide, divide cada face em um triângulo e um 
trapézio. Logo, um dos polígonos tem 4 lados. 
c) Uma pirâmide de base quadrada tem 5 faces e a interseção de uma face 
com um plano é um segmento de reta. Assim, se o plano interceptar todas 
as faces, o polígono obtido nessa interseção tem 5 lados. 
d) O número de lados de qualquer polígono obtido como interseção de uma 
pirâmide com um plano é igual ao número de faces da pirâmide. Como a 
pirâmide tem 5 faces, o polígono tem 5 lados. 
e) O número de lados de qualquer polígono obtido interceptando-se uma 
pirâmide por um plano é igual ao número de arestas laterais da pirâmide. 
Como a pirâmide tem 4 arestas laterais, o polígono tem 4 lados. 
 
 
 
 
 
 3 
 
 
 
Gabarito: 
 
Resposta da questão 1: [C] 
 
 
 
3
31
1 1
3
32
2 2
3
hachura
x b
3b 6 b 2
3x 6
V 2 8
V 108 V 4 cm
108 6 216
2x a
3b 12 a 4
3x 6
V 4 64
V 108 V 32 cm
108 6 216
V 32 4 28 cm
=  =  =
   
=  =   =   
   
=  =  =
   
=  =   =   
   
= − =
 
 
Resposta da questão 2: [B] 
 
prisma base
pirâmide base prisma
base base
V S h
1 1
V S PA V
3 9
1 1 h
S PA S h PA
3 9 3
= 
=   = 
  =    =
 
 
Resposta da questão 3: [E] 
 
Supondo que quadriláteros irregulares e trapézios sejam polígonos distintos, 
tem-se que as possibilidades são: triângulos, quadrados, trapézios, 
quadriláteros irregulares e pentágonos, conforme as figuras abaixo. 
 
 
Resposta da questão 4: [B] 
 
Calculando: 
 
 
( )
22 2 2 22
2
AB 214 2
214 2
BC 107 2
2
BD 204
BD DC BC 204 DC 107 2
DC 41616 22898 DC 18718 136,8 m
=
= =
=
= +  = +
= −  = 
 
 
Resposta da questão 5: [A] 
 
Calculando: 
 
 
 
( )
2 2
2 2 2
2
2
lateral lateral
y y
g x g x
2 4
4 y g y
S S 2y x
2 4
 
= +  = + 
 
  
 =  =  +
 
 
 
 
Resposta da questão 6: [C] 
 
Seja J o ponto médio da aresta BG. 
 
 
 
Como o triângulo retângulo ONJ é isósceles, segue que ON 3 2 cm.= 
Sabendo que as faces laterais do octaedro são triângulos equiláteros 
congruentes, segue que a sua área lateral é 
2
2 2ON 38 2 (3 2) 3 36 3 cm .
4

 =   = 
O volume do octaedro é dado por 
2 2 31 12 ON JG 2 (3 2) 3 36cm .
3 3
   =    = 
 
Resposta da questão 7: [C] 
 
A figura abaixo mostra a projeção do caminho feito sobre a pirâmide no plano 
de sua base. 
 
 
Portanto, alternativa [C] está correta. 
 
 
 
 
 
 4 
 
 
 
Resposta da questão 8: [A] 
 
De acordo com as planificações, Maria poderá obter, da esquerda para a 
direita, um cilindro, um prisma de base pentagonal e uma pirâmide triangular. 
 
Resposta da questão 9: [D] 
 
Considere a figura abaixo, em que o quadrado ABCD é a base da 
pirâmide, O é o centro da base da pirâmide e o quadrado PQRS é a base 
da plataforma. 
 
 
 
Como =AB 6 2 m, temos que 
 
= = =
AB 2 6 2 2
OA 6 m.
2 2
 
Além disso, sabemos que =PQ 19 2 m. Logo, 
 
= = =
PQ 2 19 2 2
OP 19 m.
2 2
 
Sendo V o vértice da torre e sabendo que =VO 24 m, considere a figura 
abaixo. 
 
 
 
Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo VOA, obtemos 
= +  = +
 =
 =
2 2 2 2 2 2VA VO OA VA 24 6
VA 612
VA 6 17 m.
 
Queremos calcular PT, em que T é o ponto médio da aresta lateral da 
torre, conforme a figura seguinte. 
 
 
 
Aplicando a Lei dos Cossenos no triângulo APT, segue que 
= + −   
2 2 2 ˆPT AP AT 2 AP AT cosPAT. 
Daí, como = − = − =AP OP OA 19 6 13 m e 
= − = − = − = −
VA 6 1ˆ ˆcosPAT cosVAO ,
OA 6 17 17
 encontramos 
 
= + −    −  
 
= + +  =
2 2 2
2
1
PT 13 (3 17) 2 13 3 17
17
PT 169 153 78 PT 400 m.
 
 
Resposta da questão 10: [E] 
 
As peças descartadas são de dois tipos diferentes: 2 pirâmides congruentes e 
2 prismas congruentes (ver figura abaixo). 
 
 
 
Resposta da questão 11: [B] 
 
2 2 3
h 1,5
h 4
16 6
1 1
Volume 6 16 .1,5 4 192 cm
3 3
 =
=  −  =
 
 
 
 
 
Resposta da questão 12: [C] 
 
Apenas a alternativa [C] reflete a figura a seguir.