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Dúvi - Questão Gabriely

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Humberto M. | www.duvi.com.br 
 
 
 
Considere 𝑪 o arco de circunferência 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐 = 𝟏 no plano 𝒚𝒛 compreendido entre a semirreta 𝒛 =
𝒚, com 𝒚 ≥ 𝟎 e eixo-𝒛 positivo. Seja 𝑺 a superfície obtida girando 𝑪 em torno do eixo 𝒚. Esboce a 
superfície 𝑺 e determine sua área. 
 
 
Curva: 
 
𝑦2 + 𝑧2 = 1 
 
No encontro com a reta 𝑧 = 𝑦: 
 
𝑧2 + 𝑧2 = 1 
2𝑧2 = 1 
𝑧2 =
1
2
 
𝑧 =
1
√2
 
cos 𝜑 =
1
√2
 
𝜑 =
𝜋
4
 
 
Parametrizando 𝑆 em coordenadas esféricas: 
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𝑟(𝜑, 𝜃) = (sin 𝜑 cos 𝜃 , cos 𝜑 , sin 𝜑 sin 𝜃) {
𝜋
4
≤ 𝜑 ≤
𝜋
2
0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋
 
 
Cujo elemento de área é dado por: 
 
𝑑𝑆 = sin 𝜑 𝑑𝜑 𝑑𝜃 
 
Logo, a área é dada por: 
 
𝐴 = ∬𝑑𝑆
𝑆
= ∫ ∫ sin 𝜑 𝑑𝜑
𝜋
2
𝜋
4
𝑑𝜃
2𝜋
0
= {∫ 𝑑𝜃
2𝜋
0
} {∫ sin 𝜑 𝑑𝜑
𝜋
2
𝜋
4
} = 2𝜋[− cos 𝜃]𝜋
4
𝜋
2 
𝐴 = 𝜋√2