SE 2019 - Aula 34 - Geometria Analítica III

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 1 
 
 
 
Aluno: Data: __/__/_____ 
/___/__ 
Profº. Carlos Henrique(Bochecha) – Aula 34 – Geometria Analítica III 
 
1. (Unicamp 2019) No plano cartesiano, considere a reta r de equação 
2x y 1+ = e os pontos de coordenadas A (1, 4)= e B (3, 2).= 
 
a) Encontre as coordenadas do ponto de intersecção entre a reta r e a reta 
que passa pelos pontos A e B. 
b) Determine a equação da circunferência na qual um dos diâmetros é o 
segmento AB. 
 
 
2. (Uece 2019) Em um plano munido com o sistema de coordenadas 
cartesianas usual, fixada uma unidade de comprimento (u.c.), a equação 
2 2x y 2x 2y 1 0+ + − + = representa uma circunferência com centro no 
ponto P(p, q) cuja medida do raio é r u.c. Assim, é correto afirmar que o 
valor da soma p q r+ + é igual a 
a) 0. b) 3. c) 1. d) 2. 
 
3. (Ueg 2019) Uma circunferência no primeiro quadrante tangencia os eixos 
coordenados. Sabendo-se que a distância entre o centro 0 0(x , y ) dessa 
circunferência e a origem do sistema é d 3 2,= então a equação da 
circunferência é 
a) 
2 2x y 6x 6y 9 0+ − − + = 
b) 
2 2x y 6x 6y 9 0+ + + − = 
c) 
2 2x y 3x 3y 6 2 0+ + + − = 
d) 
2 2x y 3x 3y 6 2 0+ − − + = 
e) 
2 2x y 27 0+ − = 
 
4. (Ufjf-pism 3 2018) Determine a distância entre o centro da circunferência 
2 2x 2x y 6y 6 0− + + − = e a reta 3y 4x 1.= − − 
a) 
12
5
 b) 
4
5
 c) 5 d) 1 e) 
1
5
 
 
5. (Enem 2018) Para apagar os focos A e B de um incêndio, que estavam 
a uma distância de 30 m um do outro, os bombeiros de um quartel 
decidiram se posicionar de modo que a distância de um bombeiro ao foco A, 
de temperatura mais elevada, fosse sempre o dobro da distância desse 
bombeiro ao foco B, de temperatura menos elevada. 
Nestas condições, a maior distância, em metro, que dois bombeiros poderiam 
ter entre eles é 
a) 30. b) 40 c) 45. d) 60. e) 68. 
 
 
6. (G1 - ifal 2018) A equação da circunferência que tem um dos diâmetros 
com extremidades nos pontos A( 1, 3)− e B(3, 5)− é dada por: 
a) 
2 2(x 1) (y 1) 20.− + + = b) 
2 2(x 1) (y 1) 20.+ + − = 
c) 
2 2(x 2) (y 4) 80.− + + = d) 2 2(x 1) (y 1) 80.− + + = 
e) 
2 2(x 2) (y 4) 20.+ + − = 
 
7. (Ufrgs 2018) Considere a região delimitada pelas inequações x y 1+  e 
2 2x y 4,+  representadas em um mesmo sistema de coordenadas 
cartesianas. 
Assinale a alternativa que contém o gráfico que melhor representa essa 
região. 
a) b) 
 
c) d) 
 
e) 
 
 
8. (Imed 2018) Atualmente, por questão de proteção, certas edificações como 
presídios, instalações militares ou governamentais, casas de entretenimento e 
residências têm necessidade de bloquear o sinal de telefones celulares. Tal 
expediente causava transtornos até algum tempo atrás, pois exigia que 
fossem desativadas as torres de retransmissão de sinal, o que deixava um 
bocado de gente sem comunicação. Atualmente, isso pode ser feito de modo 
mais pontual, com a utilização de aparelhos capazes de restringir o raio de 
bloqueio a distâncias mais curtas. Em uma determinada região, desejava-se 
instalar um desses aparelhos em certa construção. No entanto, havia um 
trecho de estrada passando próximo a essa construção. Um mapa da região 
foi plotado num plano cartesiano, no qual a estrada corresponde a uma reta 
de equação x y 5+ = e a região em torno da edificação a partir da qual se 
estabeleceu o bloqueio corresponde a uma circunferência de equação 
2 2(x 5) (y 3) 9.− + − = O centro da circunferência correspondendo à 
localização dessa edificação. Sabendo que cada unidade de distância no 
plano cartesiano corresponde a 10 km, dentre as afirmações abaixo: 
 
I. A circunferência se localiza no 1º quadrante do sistema de coordenadas 
cartesianas. 
II. Um aparelho de telefone celular localizado no ponto B(3, 4) do sistema 
de coordenadas cartesianas está sob a ação do bloqueio, já que ele é 
interior à circunferência. 
III. A menor distância da estrada até a edificação é de 30 km. 
 
É (são) verdadeira (s) apenas: 
a) I b) III c) I e II d) II e III e) I, II e III 
 
 
 
 
 2 
 
 
 
9. (Enem 2018) Um jogo pedagógico utiliza-se de uma interface algébrico-
geométrica do seguinte modo: os alunos devem eliminar os pontos do plano 
cartesiano dando "tiros", seguindo trajetórias que devem passar pelos pontos 
escolhidos. Para dar os tiros, o aluno deve escrever em uma janela do 
programa a equação cartesiana de uma reta ou de uma circunferência que 
passa pelos pontos e pela origem do sistema de coordenadas. Se o tiro for 
dado por meio da equação da circunferência, cada ponto diferente da origem 
que for atingido vale 2 pontos. Se o tiro for dado por meio da equação de 
uma reta, cada ponto diferente da origem que for atingido vale 1 ponto. Em 
uma situação de jogo, ainda restam os seguintes pontos para serem 
eliminados: A(0; 4), B(4; 4), C(4; 0), D(2; 2) e E(0; 2). 
 
 
 
Passando pelo ponto A, qual a equação forneceria a maior pontuação? 
a) x 0= 
b) y 0= 
c) 
2 2x y 16+ = 
d) 
2 2x (y 2) 4+ − = 
e) 
2 2(x 2) (y 2) 8− + − = 
 
10. (Unicamp 2018) No plano cartesiano, sejam C a circunferência de 
centro na origem e raio r 0 e s a reta de equação x 3y 10.+ = A reta 
s intercepta a circunferência C em dois pontos distintos se e somente se 
a) r 2. b) r 5. c) r 3. d) r 10. 
 
11. (Fac. Albert Einstein - Medicin 2018) O ponto A(3, 4) pertence a uma 
circunferência λ cujo centro tem abscissa 7 e ordenada inteira. Uma reta r 
passa pelo ponto O(0, 0) e pelo ponto A e a distância de r até o centro 
de λ é igual a 2. O raio da circunferência λ é 
a) 2 b) 5 c) 2 2 d) 2 5 
 
12. (Uece 2018) No plano, com o sistema de coordenadas cartesianas usual, 
a equação da reta que contém o ponto P(9, 8) e é tangente à curva 
representada pela equação 
2 2x y 10x 10y 25 0+ − − + = é 
a) 3x 4y 59 0.+ − = 
b) 3x 4y 5 0.− + = 
c) 4x 3y 12 0.− − = 
d) 4x 3y 60 0.+ − = 
 
13. (Acafe 2017) Analise o caso e responda: Qual a medida do perímetro 
cefálico do bebê se 3,14.π = 
 
O ultrassom morfológico é um exame muito utilizado para identificar doenças 
de um bebê que ainda está no ventre da mãe. O formato, a estrutura e a 
medida da cabeça do bebê podem ser analisados e comparados com medidas 
de referência. 
 
 
 
A figura representa a cabeça de um bebê num exame desse tipo. Através de 
recursos computacionais, define-se uma circunferência num sistema de 
coordenadas cartesianas através de três pontos: 
 
M( 3, 3), N(2, 8)− e O(6, 0). 
 
O comprimento dessa circunferência corresponde ao que os médicos chamam 
de perímetro cefálico. No caso indicado na figura acima, por um problema 
técnico, o computador não indicou o comprimento da circunferência. Sabe-se 
que cada unidade linear do plano cartesiano que contém a figura corresponde 
a 1cm na medida real. 
a) Superior a 40 cm. 
b) Entre 30 cm e 35 cm. 
c) Inferior a 30 cm. 
d) Entre 35 cm e 40 cm. 
 
14. (Unicamp 2017) Considere a circunferência de equação cartesiana 
2 2x y x y.+ = − Qual das equações a seguir representa uma reta que 
divide essa circunferência em duas partes iguais? 
a) x y 1.+ = − 
b) x y 1.− = − 
c) x y 1.− = 
d) x y 1.+ = 
 
15. (Acafe 2017) Os pontos A(1,1), B(1, 9) e C(7,1) são os vértices do 
triângulo inscrito numa circunferência de equação 
2 2x y mx ny p 0.+ + + + = O valor de m 2n 3p+ + é igual a: 
a) 29. b) 20. c) 65. d) 28. 
 
 
16. (Unigranrio - Medicina 2017) Se (p, q) são as coordenadas cartesianasdo centro da circunferência 
2 2x y 4x 2y 4 0,+ − + − = então é correto 
afirmar que 5p 3q− é igual a: 
a) 7 b) 10 c) 13 d) 16 e) 19 
 
17. (Fuvest 2017) Duas circunferências com raios 1 e 2 têm centros no 
primeiro quadrante do plano cartesiano e ambas tangenciam os dois eixos 
coordenados. Essas circunferências se interceptam em dois pontos distintos 
de coordenadas 1 1(x , y ) e 2 2(x , y ). 
 
O valor de 
2 2
1 1 2 2(x y ) (x y )+ + + é igual a 
 
a) 
5
2
 b) 
7
2
 c) 
9
2
 d) 
11
2
 e) 
13
2
 
 
 
18. (Fgv 2017) No plano cartesiano, a região determinada pelas inequações 
simultâneas 
2 2x y 4+  e x y 0+  tem área igual a: 
a) 2π b) 2,5π c) 3π d) 3,5π e) 4π 
 
 
 
 
 3 
 
 
 
19. (Ufrgs 2016) A circunferência definida pela equação 
2 2x y 6x 2y 6+ − + = está inscrita em um quadrado. 
A medida da diagonal desse quadrado é 
a) 2. b) 2 2. c) 4 2. d) 6 2. e) 8 2. 
 
20. (Mackenzie 2016) A equação da circunferência concêntrica à 
circunferência 
2 2(x 2) (y 1) 1+ + − = e tangente à reta 
4x 3y 20 0+ − = é 
a) 
2 2(x 2) (y 1) 36+ + − = b) 2 2(x 2) (y 1) 25+ + − = 
c) 
2 2(x 2) (y 1) 20+ + − = d) 2 2(x 2) (y 1) 16+ + − = 
e) 
2 2(x 2) (y 1) 9+ + − = 
 
21. (Enem PPL 2015) Considere que os quarteirões de um bairro tenham sido 
desenhados no sistema cartesiano, sendo a origem o cruzamento das duas 
ruas mais movimentadas desse bairro. Nesse desenho, as ruas têm suas 
larguras desconsideradas e todos os quarteirões são quadrados de mesma 
área e a medida de seu lado é a unidade do sistema. 
A seguir há uma representação dessa situação, em que os pontos A, B, C e D 
representam estabelecimentos comerciais desse bairro. 
 
 
 
Suponha que uma rádio comunitária, de fraco sinal, garante área de cobertura 
para todo estabelecimento que se encontre num ponto cujas coordenadas 
satisfaçam à inequação: 
2 2x y 2x 4y 31 0.+ − − −  
A fim de avaliar a qualidade do sinal, e proporcionar uma futura melhora, a 
assistência técnica da rádio realizou uma inspeção para saber quais 
estabelecimentos estavam dentro da área de cobertura, pois estes 
conseguem ouvir a rádio enquanto os outros não. 
Os estabelecimentos que conseguem ouvir a rádio são apenas 
a) A e C. b) B e C. c) B e D. d) A, B e C. e) B, C e D. 
 
22. (Fuvest 2015) A equação 
2 2x 2x y my n,+ + + = em que m e n 
são constantes, representa uma circunferência no plano cartesiano. Sabe-se 
que a reta y x 1= − + contém o centro da circunferência e a intersecta no 
ponto ( 3, 4).− Os valores de m e n são, respectivamente, 
a) 4− e 3 b) 4 e 5 c) 4− e 2 d) 2− e 4 e) 2 e 3 
 
23. (Ufsm 2015) Uma antena de telefone celular rural cobre uma região 
circular de área igual a 
2900 km .π Essa antena está localizada no centro 
da região circular e sua posição no sistema cartesiano, com medidas em 
quilômetros, é o ponto (0,10). 
Assim, a equação da circunferência que delimita a região circular é 
a) 
2 2x y 20y 800 0.+ − − = b) 
2 2x y 20y 70 0.+ − + = 
c) 
2 2x y 20x 800 0.+ − − = d) 
2 2x y 20y 70 0.+ − − = 
e) 
2 2x y 900.+ = 
 
24. (Enem 2014) A figura mostra uma criança brincando em um balanço no 
parque. A corda que prende o assento do balanço ao topo do suporte mede 
2 metros. A criança toma cuidado para não sofrer um acidente, então se 
balança de modo que a corda não chegue a alcançar a posição horizontal. 
 
 
Na figura, considere o plano cartesiano que contém a trajetória do assento do 
balanço, no qual a origem está localizada no topo do suporte do balanço, o 
eixo X é paralelo ao chão do parque, e o eixo Y tem orientação positiva 
para cima. 
A curva determinada pela trajetória do assento do balanço é parte do gráfico 
da função 
a) 
2f(x) 2 x= − − b) 2f(x) 2 x= − c) 2f(x) x 2= − 
d) 
2f(x) 4 x= − − e) 2f(x) 4 x= − 
 
25. (Mackenzie 2014) Vitória-régia é uma planta aquática típica da região 
amazônica. Suas folhas são grandes e têm formato circular, com uma 
capacidade notável de flutuação, graças aos compartimentos de ar em sua 
face inferior. 
Em um belo dia, um sapo estava sobre uma folha de vitória-régia, cuja borda 
obedece à equação 
2 2x y 2x y 1 0,+ + + + = apreciando a paisagem ao 
seu redor. Percebendo que a folha que flutuava à sua frente era maior e mais 
bonita, resolveu pular para essa folha, cuja borda é descrita pela equação 
2 2x y 2x 3y 1 0.+ − − + = 
A distância linear mínima que o sapo deve percorrer em um salto para não 
cair na água é 
a) ( )2 2 1− b) 2 c) 2 2 d) 2 2− e) 5 
 
26. (Espm 2014) As coordenadas do centro e a medida do raio da 
circunferência de equação 
2 2x 4x (y 1) 0− + + = são, respectivamente: 
a) (– 2, 1) e 4 b) (2, – 1) e 2 c) (4, – 1) e 2 d) ( )1, 2− e 2 e) ( )2, 2 e 2 
 
27. (Fgv 2014) No plano cartesiano, uma circunferência tem centro C(5,3) e 
tangencia a reta de equação 3x 4y 12 0.+ − = 
A equação dessa circunferência é: 
a) 
2 2x y 10x 6y 25 0+ − − + = b) 2 2x y 10x 6y 36 0+ − − + = 
c) 
2 2x y 10x 6y 49 0+ − − + = d) 2 2x y 10x 6y 16 0+ + + + = 
e) 
2 2x y 10x 6y 9 0+ + + + = 
 
28. (Uerj 2014) Um disco metálico de centro O e diâmetro AB = 4 dm, 
utilizado na fabricação de determinada peça, é representado pelo seguinte 
esquema: 
 
PJ
cortes retilíneos
PK



 
M − ponto médio do raio OB 
N − ponto médio do raio AO 
P − ponto médio do raio OC 
J − intersecção da semirreta PM com a circunferência 
K − intersecção da semirreta PN com a circunferência 
 
Calcule a distância entre os pontos J e K. 
 
 
 
 
 4 
 
 
 
29. (Uerj 2013) Um objeto de dimensões desprezíveis, preso por um fio 
inextensível, gira no sentido anti-horário em torno de um ponto O. Esse objeto 
percorre a trajetória T, cuja equação é 
2 2x y 25.+ = Observe a figura: 
 
 
Admita que o fio arrebente no instante em que o objeto se encontra no ponto 
P(4,3). A partir desse instante, o objeto segue na direção da reta tangente a T 
no ponto P. 
Determine a equação dessa reta. 
 
30. (Enem 2013) Durante uma aula de Matemática, o professor sugere aos 
alunos que seja fixado um sistema de coordenadas cartesianas (x, y) e 
representa na lousa a descrição de cinco conjuntos algébricos, I, II, III, IV e V, 
como se segue: 
 
I. é a circunferência de equação x2 + y2 = 9; 
II. é a parábola de equação y = – x2 – 1, com x variando de –1 a 1; 
III. é o quadrado formado pelos vértices (–2, 1), (–1, 1), (–1, 2) e (–2, 2); 
IV. é o quadrado formado pelos vértices (1, 1), (2, 1), (2, 2) e (1, 2); 
V. é o ponto (0, 0). 
 
A seguir, o professor representa corretamente os cinco conjuntos sobre uma 
mesma malha quadriculada, composta de quadrados com lados medindo uma 
unidade de comprimento, cada, obtendo uma figura. 
 
Qual destas figuras foi desenhada pelo professor? 
a) b) 
c) d) 
e) 
 
31. (Ufsm 2012) O diagrama Taiji, da figura a seguir, representa, na filosofia 
chinesa, a integração entre Yin e Yang. Essa figura é encontrada em vários 
períodos da história da arte. 
 
Sabendo que as coordenadas do diâmetro AB da circunferência externa ao 
diagrama Taiji são, respectivamente, A(13, 20) e B(1, 4), assinale verdadeira 
(V) ou falsa (F) nas afirmativas. 
 
( ) A equação da reta que passa pelos pontos A e B é x – 3y – 11 = 0. 
( ) O raio da circunferência é 10. 
( ) A equação da circunferência é x2 – 14x + y2 – 14y + 93 = 0. 
 
A sequência correta é 
a) F – F – F. b) F – F – V. c) F – V – F. d) V – F – V. e) V – V – V. 
 
32. (Uepa 2012) Pilates é um sistema de exercícios físicos que integra o 
corpo e a mente como um todo, desenvolvendo a estabilidade corporal 
necessária para uma vida mais saudável. A figura abaixo mostra um dos 
exercícios trabalhado no Pilates e é observado que o corpo da professora 
gera um arco AB. Supondo que o arco gerado pelo corpoda professora seja 
um quarto de uma circunferência de equação 
2 2100x 100y – 400x – 600y 1075 0,+ + = o valor aproximado da altura da 
professora é: 
 
a) 0,24 u.cπ b) 0,5 u.cπ c) 0,75 u.cπ d) 0,95 u.cπ e)1,24 u.cπ 
 
33. (Espm 2012) Seja C a região do plano cartesiano definida pela 
desigualdade (x – 2)2 + (y – 2)2  4 e seja P a região definida por x  2 ou 
y  2. A área da região intersecção entre C e P é: 
a) π b) 2π c) 3π d) 4π e) 5π 
 
34. (Fgv 2010) Dada a circunferência de equação x2 + y2 – 6x – 10y + 30 = 0, 
seja P seu ponto de ordenada máxima. A soma das coordenadas de P e: 
a) 10 b) 10,5 c) 11 d) 11,5 e) 1 
 
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: 
A figura a seguir apresenta parte do mapa de uma cidade, no qual estão 
identificadas a catedral, a prefeitura e a câmara de vereadores. Observe que o 
quadriculado não representa os quarteirões da cidade, servindo apenas para 
a localização dos pontos e retas no plano cartesiano. 
Nessa cidade, a Avenida Brasil é formada pelos pontos equidistantes da 
catedral e da prefeitura, enquanto a Avenida Juscelino Kubitschek (não 
mostrada no mapa) é formada pelos pontos equidistantes da prefeitura e da 
câmara de vereadores. 
 
 
35. (Unicamp 2011) O ponto de interseção das avenidas Brasil e Juscelino 
Kubitschek pertence à região definida por 
a) (x − 2)2 + (y − 6)2 ≤ 1. b) (x − 1)2 + (y − 5)2 ≤ 2. 
c) x  ]1, 3[, y  ]4, 6[. d) x = 2, y  [5, 7]. 
 
 
Gabarito: 
 
1: a) x 4= − e y 9;= b) ( ) ( )
2 2
x 2 y 3 2.− + − = 2: [C] 3: [A] 
4: [B] 5: [B] 6: [A] 7: [E] 8: [C] 9: [E] 10: [D] 11: [D] 12: [D] 13: [B] 14: [C] 
 
15: [B] 16: [C] 17: [C] 18: [A] 19: [E] 20: [B] 21: [D] 22: [A] 23: [A] 24: [D] 
 
25: [A] 26: [B] 27: [A] 28: ( )+=J 1K 7 dm. 29: = − +4 25y x .
3 3
 
30: [E] 31: [C] 32: [C] 33: [C] 34: [A] 35: [B] 
 
 
 
 
 
 5 
 
 
 
Gabarito: 
 
Resposta da questão 1: 
 a) Seja s a reta que passa pelos pontos ( )A 1, 4= e ( )B 3, 2 .= 
s
s
2 4
m
3 1
m 1
−
=
−
= −
 
 
Assim, uma equação da reta s é: 
( )y 4 1 x 1
y 4 x 1
y x 5
− = −  −
− = − +
= − +
 
 
O ponto de intersecção entre as retas r e s pode ser obtido através do 
sistema linear abaixo: 
( )
( )
y x 5 i
y 2x 1 ii
 = − +

= − +
 
 
Das equações (i) e (ii), 
x 5 2x 1
x 4
− + = − +
= −
 
 
Substituindo x 4= − na equação (i), 
( )y 4 5
y 9
= − − +
=
 
 
Assim, as coordenadas do ponto de intersecção entre a reta r e a reta que 
passa pelos pontos A e B são: x 4= − e y 9.= 
 
b) Se AB é diâmetro da circunferência, seu centro C é dado por: 
( )
( )
c c
c
c
c
c
C x , y
1 3
x
2
x 2
4 2
y
2
y 3
C 2, 3
=
+
=
=
+
=
=
=
 
 
Sendo r a medida do raio da circunferência, temos: 
( ) ( )
2 2
r 1 2 4 3
r 2
= − + −
=
 
 
Logo, uma equação da circunferência na qual um dos diâmetros é o 
segmento AB é: 
( ) ( )
2 2
x 2 y 3 2− + − = 
 
Resposta: 
a) x 4= − e y 9;= 
b) ( ) ( )
2 2
x 2 y 3 2.− + − = 
 
Resposta da questão 2: [C] 
 
Completando os quadrados, vem 
2 2 2 2
2 2
x 2x y 2y 1 0 (x 1) 1 (y 1) 1 1 0
(x 1) (y 1) 1.
+ + − + =  + − + − − + =
 + + − =
 
 
Por conseguinte, sendo P ( 1,1)= − e r 1,= temos 
p q r 1 1 1 1.+ + = − + + = 
 
Resposta da questão 3: [A] 
 
Tem-se que 0 0x y r,= = ou seja, d é a diagonal de um quadrado de lado 
r. Logo, vem 
3 2
r 3
2
= = e, portanto, a equação da circunferência é 
 
2 2 2 2 2(x 3) (y 3) 3 x y 6x 6y 9 0.− + − =  + − − + = 
 
Resposta da questão 4: [B] 
 
De 
2 2x 2x y 6y 6 0,− + + − = temos: 
( ) ( )
2 2
2 2
x 2x 1 y 6y 9 6 0 1 9
x 1 y 3 16
− + + + + − = + +
− + + =
 
 
( )C 1, 3− é o centro da circunferência. 
De 3y 4x 1,= − − temos: 
4x 3y 1 0+ + = 
 
Daí, sendo d a medida da distância pedida, temos: 
( )
2 2
4 1 3 3 1
d
4 3
4
d
5
 +  − +
=
+
=
 
 
Resposta da questão 5: [B] 
 
Sem perda de generalidade, tomemos A (0, 0)= e B (30, 0).= 
Ademais, se P (x, y)= é a posição de um bombeiro qualquer, então 
 
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2
d(A, P) 2 d(B, P) x y 2 (x 30) y
x y 4(x 30) 4y
(x 40) y 20 .
=   + = − +
 + = − +
 − + =
 
 
Portanto, um bombeiro qualquer deve estar sobre uma circunferência de 
centro em (40, 0) e raio 20 m. 
 
A maior distância entre dois bombeiros ocorre quando ambos estão em 
extremidades distintas de um mesmo diâmetro, ou seja, 40 m. 
 
Resposta da questão 6: [A] 
 
Como os pontos representam extremidades, a distância entre coordenadas 
representam o tamanho dos diâmetros, e assim, o dobro do raio. Assim 
temos: 
2 2D (3 ( 1)) ( 5 3) 16 64 80= − − + − − = + = 
 
E seu raio é de: 
80
Raio
2
= 
 
Dessa maneira, seu centro é dado pela metade da soma das entradas das 
coordenadas, ou seja: 
( )1 2 1 2
x x y y 1 3 3 5
Centro ; ; 1; 1
2 2 2 2
+ + − + −   
= = = −   
  
 
 
Aplicando a equação das circunferências ao ponto do centro temos: 
2
2 2 2 2 2
2 2
80
(x a) (y b) r (x 1)) (y 1)
2
(x 1) (y 1) 20
 
− + − =  − + + =   
 
− + + =
 
 
 
 
 
 6 
 
 
 
Resposta da questão 7: [E] 
 
De x y 1,+  
y x 1 − + 
 
 
 
De 
2 2x y 4,+  
 
 
 
A intersecção das duas regiões é dada abaixo: 
 
 
 
Assim, a solução do sistema de inequações 
2 2
x y 1
x y 4
+ 

+ 
 é: 
 
 
Resposta da questão 8: [C] 
 
Analisando as alternativas uma a uma: 
[I] VERDADEIRO. Desenhando graficamente, tem-se: 
 
 
 
[II] VERDADEIRO. Pode ser verificado através do gráfico (ver item anterior). 
 
[III] FALSO. Calculando a distância entre reta e ponto: 
( )
r,B
2 2
Circunferência Centro C 5, 3
reta x y 5 0
1 5 1 3 5 3
d 2,13
21 1
 =
 + − =
 +  −
= = 
+
 
 
Resposta da questão 9: [E] 
 
Desde que ABCO é um quadrado, e como uma reta passando por A 
pode atingir no máximo os pontos C e D, podemos concluir que a maior 
pontuação é obtida com a circunferência de centro em D (2, 2)= e raio 
2 2, ou seja, 
2 2 2 2 2(x 2) (y 2) (2 2) (x 2) (y 2) 8.− + − =  − + − = 
 
Tal circunferência passa pelos pontos A,B e C. 
 
Resposta da questão 10: [D] 
 
A reta s intersecta a circunferência C em dois pontos distintos se, e 
somente se, a distância da origem à reta x 3y 10 0+ − = for menor do 
que r, isto é, 
2 2
| 0 3 0 10 |
r r 10.
1 3
+  −
  
+
 
 
Resposta da questão 11: [D] 
 
Calculando: 
( ) Cr
2 2
2 2
AC
4 0 4
r : y x y x
3 0 3
4 7 3c
C 7, a d 2 a 6
4 ( 3)
R d (3 7) (4 6) 20 2 5
λ
− 
=  = 
− 
 −
  = =  = 
+ −
= = − + − = =
 
 
Resposta da questão 12: [D] 
 
Completando os quadrados, temos 
2 2 2 2x y 10x 10y 25 0 (x 5) (y 5) 25.+ − − + =  − + − = 
Logo, a curva é uma circunferência de raio 5 e centro em (5, 5). Ademais, 
como P pertence à circunferência, segue que a equação pedida é 
9 5
y 8 (x 9) 4x 3y 60 0.
8 5
−
− = −  −  + − =
−
 
 
 
 
 
 7 
 
 
 
Resposta da questão 13: [B] 
 
Calculando: 
( )
( )
( )
2 2
2 2
c
x y Dx Ey F 0
M 3,3 9 9 3D 3E F 0 3D 3E F 18
N 2,8 4 64 2D 8E F 0 2D 8E F 68
O 6,0 36 6D F 0 F 36 6D
9D 3E 18
4D 8E 32
72D 24E 144
60D 240 D 4 F 12 E 6
12D 24E 96
x y 4x 6y 12 0
4
x 2
2
+ + + + =
−  + − + + =  − + + = −
 + + + + =  + + = −
 + + =  = − −
− + =

− + = −
− = −
 = −  = −  = −  = −
− + = −
+ − − − =
−
= =
−
c
2 2
6
y 3
2
R 2 3 ( 12) R 5
Perímetro 2 R 2 3,14 5 31,4 cmπ
−
= =
−
= + − −  =
= =   =
 
 
Resposta da questão 14: [C] 
 
Calculando: 
( ) ( )
( )
2 22 2 1 1 1x y x y x y
2 2 2
21 1C ; e R
2 2 2
+ = − → − + + =
=
 
 
A reta que divide a circunferência em duas partes iguais passa pelo centro C 
e pode ter equação igual a x y 1.− = 
 
Resposta da questão 15: [B] 
 
Representando os pontos no plano cartesiano tem-se um triângulo retângulo 
com ângulo reto em A. Todo triângulo retângulo pode ser inscrito numa 
circunferência de diâmetro igual à 
hipotenusa. Pelo teorema de Pitágoras tem-seque a hipotenusa é igual a 10 
e, portanto, o raio é igual a 5. O centro O da circunferência será o ponto 
médio do segmento BC. Assim, pode-se escrever: 
( )
( ) ( )
2 2
2 2
1 7 9 1
O , O 4, 5
2 2
Eq. circunferência x 4 y 5 25
m 8
x y 8x 10y 16 0 n 10
p 16
m 2n 3p 8 20 48 20
+ + 
 
 
 − + − =
= −
+ − − + =  = −
=
+ + = − − + =
 
 
Resposta da questão 16: [C] 
 
( ) ( )
2 22 2 2x y 4x 2y 4 0 x 2 y 1 3
p 2
q 1
5p 3q 10 3 13
+ − + − =  − + + =
=
= −
− = + =
 
 
Resposta da questão 17: [C] 
 
Se as circunferências tangenciam os dois eixos coordenados e estão no 
primeiro quadrante, então as coordenadas de seus centros são iguais ao 
comprimento de seu raio. Assim, pode-se escrever: 
1 1
2 2
2 2 2 2 2
1
2 2 2 2 2
2
raio 1; C (1, 1)
raio 2 ; C (2, 2)
: (x 1) (y 1) 1 x y 2x 2y 1 0
: (x 2) (y 2) 2 x y 4x 4y 4 0
λ
λ
λ
λ
→ =
→ =
 − + − = → + − − + =

− + − = → + − − + =
 
 
Fazendo 1 2λ λ− tem-se uma reta r que é a reta que passa pelos pontos 
de intersecção das circunferências. Como os pontos 1 1(x , y ) e 2 2(x , y ) 
pertencem a essa reta, pode-se escrever: 
( ) ( )
1 2
1 1 2 2
2 2
2 2
1 1 2 2
3
r r : 2x 2y 3 0 x y
2
3
x y x y
2
3 3 18 9
x y x y
2 2 4 2
λ λ− = → + − = → + =
+ = + =
   
+ + + = + = =   
   
 
 
Resposta da questão 18: [A] 
 
Sobre as inequações apresentadas: 
2 2x y 4+   Circunferência de raio 2 e centro na origem. 
x y 0+   Reta que passa pelo segundo e quarto quadrantes cortando-
os diagonalmente, passando também pela origem. Assim, existirá um 
segmento de reta pertencente à mesma que é diâmetro da circunferência 
anterior. 
Assim, a região delimitada será um semicírculo de raio 2, ou seja: 
22
S S 2
2
π
π

=  = 
 
Resposta da questão 19: [E] 
 
+ − + =  − + + + + = + +  − + + =2 2 2 2 2 2x y 6x 2y 6 x 6x 9 y 2y 1 6 1 9 (x 3) (y 1) 16
 
Portanto, o centro da circunferência será o ponto −(3, 1) e o raio será 4. 
Considerando o quadrado a seguir circunscrito nessa circunferência de raio 
4cm. 
 
 
Portanto, a 2 4 8cm=  = 
E a diagonal d do quadrado será dada por: 
d a 2 8 2=  =  
 
Resposta da questão 20: [B] 
 
O centro da circunferência dada é dado por ( 2,1),− logo a circunferência 
pedida terá equação da forma 
2 2 2(x 2) (y 1) R .+ + − = Sendo R a 
distância do ponto ( 2,1)− à reta de equação 4x 3y 20 0.+ − = 
( )
2 2
4 2 3 1 20 25
R R 5.
54 3
 − +  −
=  = =
+
 
 
Portanto, a equação pedida será dada por: 
2 2(x 2) (y 1) 25+ + − = 
 
 
 
 
 8 
 
 
 
Resposta da questão 21: [D] 
 
Analisando o gráfico, tem-se que as coordenadas dos estabelecimentos são: 
A(5,4)
B( 3,1)
C(4,2)
D( 4, 3)
−
− −
 
 
Assim, para avaliar se o estabelecimento está dentro da área de cobertura do 
sinal basta substituir suas coordenadas na equação: 
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
x y 2x 4y 31 0
A 5 4 2 5 4 4 31 0 16 0 OK!
B ( 3) 1 2 ( 3) 4 1 31 0 19 0 OK!
C 4 2 2 4 4 2 31 0 27 0 OK!
D ( 4) ( 3) 2 ( 4) 4 ( 3) 31 0 14 0 FALSO!
+ − − − 
 + −  −  −  −  
 − + −  − −  −  −  
 + −  −  −  −  
 − + − −  − −  − −    
 
 
Resposta da questão 22: [A] 
 
Completando os quadrados, vem 
 
2 2
2 2 2 m mx 2x y my n (x 1) y n 1.
2 4
 
+ + + =  + + + = + + 
 
 
 
Logo, como o centro 
m
C 1,
2
 
= − − 
 
 pertence à reta y x 1,= − + segue 
que 
 
m
( 1) 1 m 4.
2
− = − − +  = − 
 
Por conseguinte, sabendo que a reta intersecta a circunferência em ( 3, 4),− 
obtemos 
 
2 2
2 2
n x 2x y my
( 3) 2 ( 3) 4 ( 4) 4
3.
= + + +
= − +  − + + − 
=
 
 
Resposta da questão 23: [A] 
 
Admitindo que r seja o raio da circunferência, temos: 
2r 900 r 30,π π =   = portanto, a equação da circunferência será 
dada por: 
2 2 2 2 2(x 0) (y 10) 30 x y 20y 800 0− + − =  + − − = 
 
Resposta da questão 24: [D] 
 
A trajetória descrita pelo assento do balanço é parte da circunferência 
2 2x y 4.+ = Logo, sabendo que y 0, temos 2f(x) 4 x ,= − − 
com 2 x 2.−   
 
Resposta da questão 25: [A] 
 
Completando os quadrados, vem 
 
2 2
2 2 2 1 1x y 2x y 1 0 (x 1) y
2 2
   
+ + + + =  + + + =   
   
 
e 
2 2
2 2 2 3 3x y 2x 3y 1 0 (x 1) y .
2 2
   
+ − − + =  − + − =   
   
 
 
Logo, 1
1
C 1, ,
2
 
= − − 
 
 1
1
r ,
2
= 2
3
C 1,
2
 
=  
 
 e 2
3
r .
2
= 
 
O resultado pedido corresponde à distância entre os centros das 
circunferências subtraída da soma dos raios, ou seja, 
 
2
2 3 1 1 3(1 ( 1)) 2 2 2
2 2 2 2
2( 2 1).
    
− − + − − − + = −    
    
= −
 
 
Resposta da questão 26: [B] 
 
Completando o quadrado, vem 
 
2 2 2 2 2x 4x (y 1) 0 (x 2) (y 1) 2 .− + + =  − + + = 
 
Portanto, o centro da circunferência é o ponto (2, 1)− e seu raio é 2. 
 
Resposta da questão 27: [A] 
 
O raio da circunferência corresponde à distância de C(5, 3) à reta 
3x 4y 12 0,+ − = isto é, 
 
2 2
| 3 5 4 3 12 |
3.
3 4
 +  −
=
+
 
 
Portanto, a equação da circunferência é 
 
2 2 2 2 2(x 5) (y 3) 3 x y 10x 6y 25 0.− + − =  + − − + = 
 
Resposta da questão 28: 
 Equação da reta PJ: y x 1= − 
 
Determinando a abscissa do ponto J: 
2 2
y x 1
x y 4
= −

+ =
 
 
Logo, ( )
22
J
1 7
x .
2
x 1 4 x+ − = 
+
= 
 
Portanto, ( )1 7 1 7 dm.
2
KJ 2
+
= +=  
 
Resposta da questão 29: 
 A equação da reta pedida é dada por 
 
P
P P
P
x 4
y y (x x ) y 3 (x 4)
y 3
4 25
y x .
3 3
− = −  −  − = −  −
 = − +
 
 
Resposta da questão 30: [E] 
 
A circunferência de equação 
2 2x y 9+ = possui centro no ponto (0, 0) e 
raio igual a 3. 
A parábola de equação 
2y x 1,= − − com x variando de 1− a 1, possui 
concavidade voltada para baixo e vértice no ponto (0, 1).− 
 
Portanto, a única alternativa possível é a alternativa [E]. 
 
Resposta da questão 31: [C] 
 
FALSA, pois o ponto B(1, 4) não verifica a equação apresentada: 
1 – 3  4 – 11  0. 
VERDADEIRA, 
( ) ( )
2 2
13 1 20 4
r 10.
2
− + −
= = 
 
 
 
 
 9 
 
 
 
FALSA, o centro da circunferência é o ponto médio do segmento AB dado por 
( )
13 1 20 4
C , C 7,12
2 2
+ + 
= 
 
, já a equação apresentada mostra que o 
centro é o ponto (7, 7). 
 
Resposta da questão 32: [C] 
 
2 2
2 2
2 2
2 2100x 100y – 400x – 600y 1075 0( 100)
43
x y 4x 6y 0
4
43
x 4x 4 y 6y 9 4 9
4
9
(x 2) (y 3)
4
9 3
Logo, o raio será dado por: r = 
4 2
+ + = 
+ − − + =
− + + − + = − + +
− + − =
=
 
 
 
Calculando o comprimento do arco (altura h da professora): 
 
3
2
2h 0,75 u.c.
4
π
π

= = 
 
Resposta da questão 33: [C] 
 
 
 
Observando as figuras, concluímos que a área pedida é: 
 
A = 
23. .2
3 .
4
π
π= 
 
Resposta da questão 34: [A] 
 
x2 – 6x + 9 + y2 – 10y + 25 = – 30 + 9 + 25 
(x – 3)2 + (x – 5)2 = 4 
 
Centro C(3,5) e raio R = 2 
Logo, o ponto de ordenada máxima será: P(3, 5 + 2) = P(3, 7) 
Somando as coordenadas temos: 3 + 7 = 10. 
 
Resposta da questão 35: [B] 
 
Sejam A(1,1), B(5, 3) e C(3,1), respectivamente, as coordenadas da 
catedral, da câmara de vereadores e da prefeitura. 
 
 
 
O lugar geométrico dos pontos equidistantes da prefeitura e da câmara de 
vereadores é a mediatriz do segmento de reta BC. 
O coeficiente angular da reta suporte do segmento BC é 
BC
3 1
m 1.
5 3
−
= =
−
 
Seja M o ponto médio do segmento BC. Então, 
5 3 3 1
M , (4, 2).
2 2
+ + 
= = 
 
 
 
Se sm é o coeficiente angular da mediatriz do segmento BC, então 
s sBC
m m 1 m 1. = −  = − 
 
Desse modo, a equação do lugar geométrico correspondente à Avenida 
Juscelino Kubitschek é: s : y 2 ( 1) (x 4) s : y x 6.− = −  −  = − + 
 
Sendo P o ponto de interseção das avenidas, temos que: 
x 2 y 2 6 4 P (2, 4).=  = − + =  = 
 
Portanto, como 
2 2 2 2(2 1) (4 5) 1 1 2 2,− + − = + =  
segue que o ponto P pertence à região 2 2(x 1) (y 5) 2.− + − 