Processamento Digital de Sinais_Resumo

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Processamento Digital de Sinais 
(DSP) 
 
Resumo: 
Tempo Contínuo: 
Tempo Discreto: 
Sinal Analógico: 
Sinal Digital: 
 
 Amostragem: processo no qual se converte um sinal em tempo contínuo para 
tempo discreto. A amostragem também é chamada de discretização. 
 Na teoria uma sinal em tempo contínuo deve ser amostrado pelo menos com o 
dobro de sua frequência (Teorema de Nyquist), logo: 𝑓𝐴𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑔𝑒𝑚 = 2 ∙ 𝑓𝑆𝑖𝑛𝑎𝑙 . 
 É comprovado que em muitos casos somente o dobro da frequência do sinal não 
garante a qualidade do sinal a ser discretizado e por isto usa-se na prática uma amostragem 
de dez vezes a frequência do sinal a ser amostrado, ou seja: 𝑓𝐴𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑔𝑒𝑚 = 10 ∙ 𝑓𝑆𝑖𝑛𝑎𝑙 
 Exemplo de amostragem com o teorema e com valores práticos: 
 
 Digitalização: processo no qual se converte um sinal analógico para digital. A 
digitalização também é chamada de quantização. 
 Na digitalização a quantidade de bits do sinal digital determina a qualidade do 
sinal digitalizado, ou seja, maior a quantidade de bits melhor é o sinal digital. 
 Para a maioria dos casos uma digitalização de 8 bits (1 Byte) é suficiente, pois um 
1 Byte = 8 bits é 28 = 256, isto significa que entre o mínimo e o máximo do valor analógico 
tem 256 valores digitais para sua representação. 
 Exemplos de digitalização de uma senoide: 
 
 Com dois bits: 
 
 
 Com três bits: 
 
 
 Com quatro bits: 
-200,00
-150,00
-100,00
-50,00
0,00
50,00
100,00
150,00
200,00
0,00 0,53 1,07 1,60 2,13 2,67 3,20 3,73 4,27 4,80 5,33 5,87 6,40 6,93 7,47 8,00
e(V)
ed(V)
-200,0
-150,0
-100,0
-50,0
0,0
50,0
100,0
150,0
200,0
0,00 0,80 1,60 2,40 3,20 4,00 4,80 5,60 6,40 7,20 8,00
e(V)
ed(V)
 
 Com oito bits (1 Byte): 
 
 Determinar a equação do sinal de uma onda triangular: 
 
-200,0
-150,0
-100,0
-50,0
0,0
50,0
100,0
150,0
200,0
0,00 0,80 1,60 2,40 3,20 4,00 4,80 5,60 6,40 7,20 8,00
e(V)
ed(V)
-200,0
-150,0
-100,0
-50,0
0,0
50,0
100,0
150,0
200,0
0,00 0,80 1,60 2,40 3,20 4,00 4,80 5,60 6,40 7,20 8,00
e(V)
ed(V)
-15
-10
-5
0
5
10
15
0 5 10 15 20 25
x(t)
Primeiro trecho da função: 
Para t = 0s e x = 0; 
 t = 5s e x =10; 
 x(t) = a*t + b 
Primeiro Ponto: 
t = 0 → x(0) = a*0 + b 
 x(0) = b 
 0 = b 
Segundo Ponto: 
t = 5s → x(5) = a*5 + b 
 10 = a*5 + 0 
 a = 10/5 =2 
 x(t) = a*t + b 
x(t) = 2*t para t de 0 até 5s. 
 
 Segundo trecho da função: 
t = 5s e x = 10 
t = 15s e x =-10 
Primeiro Ponto: 
x(t) = a*t + b 
t = 5s e x = 10 
t = 5s → x(5) = a´*t + b’ 
10 = a’*5 + b (primeira equação) 
Segundo Ponto: 
t = 15s e x =-10 
x(t) = a*t + b 
t = 15s → x(15) = a´*t + b’ 
-10 = a’*15 + b’ (segunda equação) 
 
Duas equações e duas incógnitas: 
10 = a’*5 + b’ 
 -10 = a’*15 + b’ 
Isolando b’ na primeira equação temos: 
10 = a’*5 + b’ 
10 – a’*5 =b’ 
b’ = 10 -a’*5 
 
Substituindo b’ na segunda equação: 
-10 = a’*15 + b’ 
-10 = a’*15 + (10 -a’*5) 
-10 = a’*15 +10 – a’*5 
-10 -10 = a’*(15 - 5) 
-20 = a’*10 
a’ = -20/10 = -2 
 
Colocando o valor de a’ na equação onde b’ foi isolado temos: 
b’ = 10 - a’*5 
b’ = 10 – (-2)*5 
b’ = 10 + 10 = 20 
Equação completa: 
x(t) = a*t + b 
x(t) = -2*t +20 para t de 5 até 15s. 
 
Terceiro trecho da função: 
Para t = 15s e x = -10; 
 t = 20s e x = 0; 
 x(t) = a*t + b 
 
Primeiro Ponto: 
 t = 15s → x = -10; 
x(t) = a*t + b 
x(15) = a”*15 + b” 
-10 = a”*15 + b” (equação 1) 
 
Segundo Ponto: 
 t = 20s → x = 0; 
x(t) = a*t + b 
x(20) = a”*20 + b” 
0 = a”*20 + b” 
-a”*20 = b” (equação 2) 
 
 Sistema com duas equações e duas incógnitas: 
-10 = a”*15 + b” (equação 1) 
-a”*20 = b” (equação 2) 
 
Substituindo b” na primeira equação: 
-10 = a”*15 + b” 
b” = -a”*20 
-10 = a”*15 + (-a”*20) 
-10 = a”*15 -a”*20 
-10 =a”*(15-20) 
-10 = -a”*5 
a” = (-10)/(-5) = 2 
Substituindo a” na equação 2 temos: 
-a”*20 = b” 
-2*20 = b” 
b” = -40 
Equação Completa: 
x(t) = a*t + b 
x(t) = 2*t – 40 para t de 15s até 20s. 
 Determine o sinal discretizado e quantizado do sinal, a seguir: 
𝑣(𝑡) = 50 ∙ sin(20 ∙ 𝜋 ∙ 𝑡 + 𝜋 5⁄ )(𝑉) 
𝑣(𝑡) = 𝑉𝑚𝑎𝑥 ∙ sin(𝜔 ∙ 𝑡 + 𝜃)(𝑉) 
 
 Vmax = 50 V – tensão máxima; 
  = 20* rad/s – velocidade angular; 
  = /5 rad – fase inicial ou ângulo inicial. 
𝜔 = 2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑓 
20 ∙ 𝜋 = 2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑓 
𝑓𝑠 =
20 ∙ 𝜋
2 ∙ 𝜋
= 10 𝐻𝑧 
𝑇𝑠 =
1
𝑓𝑠
=
1
10
= 0,1 𝑠 
 Para uma frequência de amostragem prática de 10 vezes a frequência d o sinal 
temos: 
𝑓𝑎𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑔𝑒𝑚 = 𝑓𝑎𝑚 = 10 ∙ 𝑓𝑠 
𝑓𝑎𝑚 = 10 ∙ 𝑓𝑠 = 10 ∙ 10 = 100 𝐻𝑧 
 O Período de amostragem ou taxa de amostragem será de: 
𝑇𝑎𝑚 =
1
𝑓𝑎𝑚
=
1
100
= 0,01 𝑠 
 Aplicando a equação: 𝑣(𝑡) = 50 ∙ sin(20 ∙ 𝜋 ∙ 𝑡 + 𝜋 5⁄ )(𝑉) e realizando as dez 
amostragens começando em t = 0 segundo e indo até o valor do Período de 0,1 segundos 
temos: 
𝑣(𝑡) = 50 ∙ sin(20 ∙ 𝜋 ∙ 𝑡 + 𝜋 5⁄ )(𝑉) 
𝑣(0) = 50 ∙ sin(20 ∙ 𝜋 ∙ 0 + 𝜋 5⁄ ) = 29,389 𝑉 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡 = 0 𝑠 
𝑣(0,01) = 50 ∙ sin(20 ∙ 𝜋 ∙ 0,01 + 𝜋 5⁄ ) = 47,553 𝑉 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡 = 0,01 𝑠 
 Colocando os valores na tabela com os dez pontos amostrados: 
 
t(s) v(V) 
0,00 29,389 
0,01 47,553 
0,02 47,553 
0,03 29,389 
0,04 0,000 
0,05 -29,389 
0,06 -47,553 
0,07 -47,553 
0,08 -29,389 
0,09 0,000 
0,10 29,389 
 
 Gráfico da Função Seno 𝑑𝑒 𝑣(𝑡) = 50 ∙ sin(20 ∙ 𝜋 ∙ 𝑡 + 𝜋 5⁄ )(𝑉) : 
 
 Realizando a amostragem (Discretização), do sinal em tempo contínuo para 
tempo discreto temos: 
 
 
 Para realizar a Quantização do sinal (Digitalização) vamos iniciar com 4 bits (3 
bits de informação e 1 bits para o sinal positivo e negativo da tensão: 
 Número de Combinações com 3 bits: 
𝑁𝑐𝑜𝑚𝑏. = 2
𝑛.𝑏𝑖𝑡𝑠 = 23 = 8 
 O bit mais significativo quando for igual a zero (0) número é positivo e quando o 
número for um (1) o número será negativo: 
Decimal Binário 
0 0000 
1 0001 
2 0010 
3 0011 
4 0100 
5 0101 
6 0110 
7 0111 
8 1000 
9 1001 
10 1010 
11 1011 
12 1100 
13 1101 
14 1110 
15 1111 
 
 A Resolução do sinal é a maior amplitude do sinal em módulo divido pelo número 
de combinações da informação digital, neste caso 3 bits igual a oito combinações: 
𝑅𝑒𝑠 =
|𝑉𝑚𝑎𝑥|
𝑁𝑐𝑜𝑚𝑏.
=
50 𝑉
8 𝑐𝑜𝑚𝑏.
= 6,25 𝑉/𝑏𝑖𝑡 
 Montando a tabela dos valores digitais: 
Decimal Binário 
Tensão 
Digital 
vd (V) 
0 0000 6,25 
1 0001 12,50 
2 0010 18,75 
3 0011 25,00 
4 0100 31,25 
5 0101 37,50 
6 0110 43,75 
7 0111 50,00 
8 1000 -6,25 
9 1001 -12,50 
10 1010 -18,75 
11 1011 -25,00 
12 1100 -31,25 
13 1101 -37,50 
14 1110 -43,75 
15 1111 -50,00 
 
 Convertendo o sinal analógico em digital a nova saída da tensão é: 
n [s] v [n] vds [n] 
0,00 29,389 31,25 
0,01 47,553 50,00 
0,02 47,553 50,00 
0,03 29,389 31,25 
0,04 0,000 6,25 
0,05 -29,389 -31,25 
0,06 -47,553 -50,00 
0,07 -47,553 -50,00 
0,08 -29,389 -31,25 
0,09 0,000 -6,25 
0,10 29,389 31,25 
 
 A função seno inicial discretizada e quantizada fica: