AULA 4 - CAPACIDADE DE CARGA DE FUNDAÇÃO RASA-1

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CAPACIDADE DE CARGA E TENSÃO ADMISSÍVEL 
 
 
 Neste capítulo são apresentadas as principais teorias a respeito da estimativa da 
capacidade de carga de fundações superficiais, bem como as considerações a serem 
realizadas para a determinação da tensão admissível. 
 
 
 
4.1. INTRODUÇÃO 
 
 Segundo a NBR 6122, tensão admissível é a carga que, aplicada à sapata, 
provoca recalques que não produzem inconvenientes à estrutura e, simultaneamente, 
oferece segurança satisfatória à ruptura ou escoamento da fundação. 
A determinação da tensão admissível do solo pode ser feita por tabelas (normas 
ou códigos), por fórmulas de capacidade de carga e suas correlações. 
A NBR 6122 traz uma tabela, que se aconselha unicamente para obras de 
pequena importância, ou para anteprojetos de fundações. 
A obtenção da tensão admissível por meio de testes de carga somente é possível 
para obras de grande importância, devido aos custos do referido teste. A NBR fixa as 
condições gerais a satisfazer nas provas de carga sobre o terreno, para fins de fundação 
sobre sapatas. 
As fórmulas de capacidade de carga são hoje um instrumento bastante eficaz na 
previsão da tensão admissível, destacando-se dentre as inúmeras formulações a de 
Terzaghi, de Meyerhof, de Skempton, e de Brinch Hansen (com colaborações de 
Vesic). As fórmulas de capacidade de carga são determinadas a partir do conhecimento 
do tipo de ruptura que o solo pode sofrer, dependendo das condições de carregamento. 
 
 
 
 
4.2. TIPOS DE RUPTURA 
 
Ao se aplicar uma carga sobre uma fundação, pode-se provocar três tipos de 
ruptura no solo, considerado como meio elástico, homogêneo, isotrópico, semi-infinito: 
RUPTURA GERAL, RUPTURA LOCAL e RUPTURA POR PUNCIONAMENTO. 
 
4.2.1. Ruptura Geral 
 
 Na ruptura geral, ocorre a formação de uma cunha, que tem movimento vertical 
para baixo, e que empurra lateralmente duas outras cunhas, que tendem a levantar o 
solo adjacente à fundação. Na Figura 4.1(a) pode-se ver que a superfície de ruptura é 
bem definida e na Figura 4.1(b) nota-se bem um ponto de carga máxima na curva carga 
x recalque. 
 A ruptura geral ocorre na maioria das fundações em solos pouco compressíveis 
de resistência finita e para certas dimensões de sapatas. 
 (a) (b) 
Figura 4.1 – Ruptura Geral 
 
4.2.2. Ruptura Local 
 
 Neste tipo de ruptura, forma-se uma cunha no solo, mas a superfície de 
deslizamento não é bem definida, a menos que o recalque atinja um valor igual à 
metade da largura da fundação (Figura 4.2). A ruptura local ocorre geralmente em 
areias fofas. 
 
Carga 
Recalque 
Q0 
 
 
 
 
 (a) (b) 
Figura 4.2 – Ruptura Local 
 
4.2.3. Ruptura por Puncionamento 
 
 Quando ocorre este tipo de ruptura nota-se um movimento vertical da fundação, 
e a ruptura só é verificada medindo-se os recalques da fundação (Figura 4.3). A ruptura 
por puncionamento ocorre em solos muito compressíveis, em fundações profundas ou 
em radiers. 
 
 (a) (b) 
Figura 4.3 – Ruptura por Puncionamento 
 
 
 
 
Carga 
Recalque 
Carga 
Recalque 
Q0 
 
 
 
 A capacidade de carga é a tensão limite que o terreno pode suportar sem escoar 
(sem romper). 
 
4.3.1. Teoria de Terzaghi 
 
TERZAGHI (1943) desenvolveu uma teoria para o cálculo da capacidade de 
carga, baseado nos estudos de PRANDTL (1920) para metais. Para tal admitiu algumas 
hipóteses: 
• Resistência ao cisalhamento do solo definida em termos da coesão c e do 
ângulo de atrito φ ; 
• Peso específico γ constante; 
• Material com comportamento elasto-plástico perfeito; 
• Material homogêneo e isotrópico; 
• Estado plano de deformação. 
 
Considera-se que a ruptura se dá ao longo de uma cunha, logo abaixo da sapata, 
seguida de uma curva espiral logarítmica, que segue até a superfície do terreno (Figura 
4.4). 
 
 
Figura 4.4 – Superfícies de deslizamento (Terzaghi) 
 
 A solução de Prandlt compõe-se das seguintes equações: 
c 
2/45 φ−o
α 
D 
B Dq ⋅= γ 
M N 
I 
II
III 
a 
b 
d 
e 
f 
g 
4.3. CAPACIDADE DE CARGA 
 
 
 
• Para γ = 0: 
 
qcu NqNcq ⋅+⋅= 4.1) 
sendo: 





 +⋅= ⋅
2
45tan2tan φφπ oeNq 4.2) 
( ) )cot(1 φ⋅−= qc NN 4.3) 
 
• Para c = 0 e q = 0: 
 
γγ N
Bqu ⋅⋅= 2
 4.4) 
sendo: 
( ) )tan(12 φγ ⋅+⋅≅ qNN 4.5) 
 
 A solução de Prandtl foi deduzida desprezando-se a resistência ao cisalhamento 
acima do plano horizontal fd (ou seja, ao longo dos trechos ed, df e fg da Figura 4.4). O 
peso do material acima deste plano foi considerado como sobrecarga de: 
 
Dq ⋅= γ 4.6) 
 
 Terzaghi superpôs os efeitos das duas situações, admitindo γ, c e q diferentes de 
zero (tal superposição não é rigorosamente correta do ponto de vista teórico; porém o 
erro fica a favor da segurança): 
 
γγ N
BNqNcq qcu ⋅⋅+⋅+⋅= 2
 4.7) 
 
Na Figura 4.4 observam-se três zonas bem distintas: 
 
I. Zona de ruptura ativa (admitindo α = 45° + φ / 2) 
 
 
II. Zona de ruptura por transição 
III. Zona de ruptura passiva 
 
A Figura 4.5 mostra os círculos de Mohr correspondentes aos pontos M e N 
(Figura 4.4), situados respectivamente nas cunhas I e III e a uma mesma 
profundidade. O círculo de Mohr do ponto M corresponde ao estado de tensões 
ativo, enquanto que o círculo de Mohr do ponto N corresponde ao estado de tensões 
passivo. 
 
Figura 4.5 – Estados de ruptura – pontos M e N 
 
 Segundo a forma da fundação, as equações de Terzaghi para a capacidade de 
carga são: 
 
• Fundação contínua: 
γγ N
BNqNcq qcu ⋅⋅+⋅+⋅= 2
 4.8) 
 
• Fundação quadrada: 
γγ N
BNqNcq qcu ⋅⋅⋅+⋅+⋅⋅= 2
8,03,1 4.9) 
 
 
• Fundação circular: 
σ3(M) σ1(M) σ3(N) σ1(N) 
τ 
σ 
τ = c + σ ⋅ tanφ 
c 
φ 
ruptura 
passiva ruptura 
ativa 
σ1 
σ1 
σ3 σ3 M 
σ1(M) > σ3(M) 
σ1 
σ1 
σ3 σ3 N 
σ3(N) > σ1(N) 
 
γγ N
BNqNcq qcu ⋅⋅⋅+⋅+⋅⋅= 2
6,03,1 4.10) 
 
sendo que cN , qN e γN são os fatores de capacidade de carga: 
 
φ
φ
cot1
2
45cos2 2
2
⋅












−





 +⋅
=
o
aNc 4.11) 





 +⋅
=
2
45cos2 2
2
φo
aNq 4.12) 
( ) 2
tan1
cos2
φ
φ
γ
γ ⋅







−= p
K
N 4.13) 
 
φ
φπ tan
24
3
⋅




 −
⋅
= ea 4.14) 
 
Na expressão 4.14, o valor de φ que aparece fora da função trigonométrica deve 
ser tomado em radianos. Os termos das demais equações são: 
 
uq = capacidade de carga ou carga última 
c = coesão 
φ = ângulo de atrito 
q = sobrecarga 
B = largura da fundação 
γ = peso específico do solo (γsub se o solo estiver submerso) 
γpK e 
'
γpK = coeficientes de empuxo para ruptura geral e local, e se relacionam com 
o ângulo de atrito do solo abaixo da fundação (Tabela 4.1). 
 
 
 
 
φ (o) γpK ' γpK 
0 10,8 6,0 
5 12,2 7,0 
10 14,7 8,8 
15 18,6 11,0 
20 25,0 14,5 
25 35,0 19,5 
30 52,0 26,5 
35 82,0 36,5 
40 141,0 52,0 
 
Terzaghi aconselhou, para o caso de ruptura local, que geralmente é associada a 
um movimento vertical do solo, os seguintes parâmetros: 
 
cc ⋅=
3
2' 4.15) 
φφ tan
3
2tan ' ⋅= 4.16) 
 
 Na Tabela 4.2 são apresentados alguns valores dos coeficientes de capacidade 
de carga cN , qN e γN para a ruptura geral, e 
'
cN ,
'
qN e 
'
γN para a ruptura local 
(sendo que nestes últimos já se leva em conta o valor de φ reduzido para φ ’). 
 
Tabela 4.2 – Fatores de capacidade de carga (Terzaghi) 
φ (o) cN qN γN 'cN 
'
qN 
'
γN 
0 5,70 1,00 0,00 5,70 1,00 0,00 
5 7,34 1,64 0,49 6,74 1,39 0,18 
10 9,60 2,69 1,25 8,02 1,94 0,47 
15 12,86 4,45 2,54 9,67 2,73 0,92 
20 17,69 7,44 4,97 11,85 3,88 1,74 
25 25,13 12,72 9,70 14,81 5,60 3,17 
30 37,16 22,46 19,73 18,99 8,315,66 
35 57,75 41,44 42,43 25,18 12,75 10,14 
40 95,66 81,27 100,39 34,87 20,50 18,82 
 
 
Das fórmulas de capacidade de carga de Terzaghi pode-se concluir: 
 
 
Tabela 4.1 – Valores de γpK e 
'
γpK 
 
 
• A capacidade de carga cresce com a profundidade da fundação. 
• Em solos coesivos (φ = 0), a capacidade de carga independe das dimensões da 
fundação. Na superfície do terreno: 
cqu ⋅= 7,5 4.17) 
• Em solos não coesivos (c = 0), a capacidade de carga depende diretamente das 
dimensões da fundação, mas a profundidade é mais importante que o tamanho da 
fundação. 
 
Para saber quando se considera ruptura geral ou local pode-se fazer uma das 
considerações a seguir: 
SOWERS (1962) considerou que se deve utilizar uq (ruptura geral) para areias 
com densidade relativa maior do que 0,7, e 'uq (ruptura local) para densidade relativa 
menor do que 0,3. Para Dr entre 0,3 e 0,7, a capacidade de carga deve ser interpolada 
entre os valores de uq e 
'
uq . 
ZEEVAERT (1972) aconselhou utilizar: 
• Para areias: ( )1,0' +⋅= ruu Dqq 4.18) 
• Para argilas: 




 +
−
⋅= 1,0'
IP
wLLqq uu 4.19) 
VESIC (1973) utiliza: 
( ) φφ tan75,067,0tan 2' ⋅⋅−+= rr DD 4.20) 
 
 
4.3.2. Teoria de Brinch Hansen (e Sugestões de Vesic) 
 
HANSEN (1961, 1970) fez importantes contribuições ao cálculo da capacidade 
de carga de fundações superficiais. Posteriormente, VESIC (1975) também publicou 
resultados de pesquisas sobre o tema, mantendo algumas das soluções encontradas por 
Hansen, e sugerindo outras. A fórmula geral de capacidade de carga devida a Hansen e 
Vesic é a seguinte: 
 
 
 
rgbid
qrqgqbqiqdqq
crcgcbcicdccu
SSSSSSNB
SSSSSSNq
SSSSSSNcq
γγγγγγγγ ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+
+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+
+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=
2
'
 4.21) 
 
onde c é a coesão do solo, q é a sobrecarga (tensão vertical efetiva no nível da base da 
sapata) e γ é o peso específico do solo. cN , qN e γN são os fatores de capacidade de 
carga (Tabela 4.3): 
 





 +⋅= ⋅
2
45tan2tan φφπ oeNq 4.22) 
( ) φcot1 ⋅−= qc NN 4.23) 
( ) φγ tan12 ⋅+⋅≅ qNN 4.24) 
 
Tabela 4.3 – Fatores de capacidade de carga (Hansen) 
φ (o) cN qN γN cq NN 
0 5,14 1,00 0,00 0,19 
1 5,38 1,09 0,07 0,20 
2 5,63 1,20 0,15 0,21 
3 5,90 1,31 0,24 0,22 
4 6,19 1,43 0,34 0,23 
5 6,49 1,57 0,45 0,24 
6 6,81 1,72 0,57 0,25 
7 7,16 1,88 0,71 0,26 
8 7,53 2,06 0,86 0,27 
9 7,92 2,25 1,03 0,28 
10 8,34 2,47 1,22 0,30 
11 8,80 2,71 1,44 0,31 
12 9,28 2,97 1,69 0,32 
13 9,81 3,26 1,97 0,33 
14 10,37 3,59 2,29 0,35 
15 10,98 3,94 2,65 0,36 
16 11,63 4,34 3,06 0,37 
17 12,34 4,77 3,53 0,39 
18 13,10 5,26 4,07 0,40 
19 13,93 5,80 4,68 0,42 
20 14,83 6,40 5,39 0,43 
φ (o) cN qN γN cq NN 
 
 
21 15,81 7,07 6,20 0,45 
22 16,88 7,82 7,13 0,46 
23 18,05 8,66 8,20 0,48 
24 19,32 9,60 9,44 0,50 
25 20,72 10,66 10,88 0,51 
26 22,25 11,85 12,54 0,53 
27 23,94 13,20 14,47 0,55 
28 25,80 14,72 16,72 0,57 
29 27,86 16,44 19,34 0,59 
30 30,14 18,40 22,40 0,61 
31 32,67 20,63 25,99 0,63 
32 35,49 23,18 30,21 0,65 
33 38,64 26,09 35,19 0,68 
34 42,16 29,44 41,06 0,70 
35 46,12 33,30 48,03 0,72 
36 50,59 37,75 56,31 0,75 
37 55,63 42,92 66,19 0,77 
38 61,35 48,93 78,02 0,80 
39 67,87 55,96 92,25 0,82 
40 75,31 64,20 109,41 0,85 
41 83,86 73,90 130,21 0,88 
42 93,71 85,37 155,54 0,91 
43 105,11 99,01 186,53 0,94 
44 118,37 115,31 224,63 0,97 
45 133,87 134,87 271,75 1,01 
46 152,10 158,50 330,34 1,04 
47 173,64 187,21 403,65 1,08 
48 199,26 222,30 496,00 1,12 
49 229,92 265,50 613,14 1,15 
50 266,88 319,06 762,86 1,20 
 
Na expressão (4.21), 'B é a largura efetiva da sapata, que será calculada em 
função da eventual excentricidade da carga aplicada em relação ao centro da sapata. Os 
outros fatores são: 
 
cS , qS , γS – fatores de correção para a forma da sapata 
cdS , qdS , dSγ – fatores de correção para a profundidade da sapata 
ciS , qiS , iSγ – fatores de correção para a inclinação da carga aplicada 
cbS , qbS , bSγ – fatores de correção para a inclinação da base da sapata 
cgS , qgS , gSγ – fatores de correção para a inclinação do terreno de fundação 
 
 
crS , qrS , rSγ – fatores de correção para a compressibilidade do solo 
 
 
I. Efeito da excentricidade da carga aplicada na sapata: 
 
A excentricidade da carga (distância do ponto de aplicação da resultante de 
carga em relação ao centro geométrico da sapata) é levada em conta através da adoção 
de uma área efetiva ''' BLA ⋅= (área onde as tensões de compressão são mais intensas), 
de tal forma que a carga aplicada fique localizada no centro geométrico da área efetiva 
(Figura 4.6): 
 
Figura 4.6 – Excentricidade da carga aplicada e área efetiva 
 
BeBB ⋅−= 2
' 4.25) 
LeLL ⋅−= 2
' 4.26) 
 
Terzaghi aconselhou que a excentricidade da carga não deve ultrapassar B/4 e 
L/4. 
 
 
 
 
Pilar 
B 
L 
Be
Le
Sapata 
L’ 
B’ 
 
 
II. Fatores de correção para a forma da sapata: 
 
A teoria original de Terzaghi foi formulada a partir da hipótese de que a sapata 
é contínua ( ∞→'L ). Hansen e Vesic propuseram fatores de correção para abranger 
diferentes relações entre 'L e 'B . 
 
• HANSEN (1970): 
 
( )
'
'
6tan2,01
L
BSc ⋅++= φ 4.27) 
q
c
cq N
S
SS
1−
−= 4.28) 
2
3 cSS
−
=γ 4.29) 
 
 
• VESIC (1975): 
 
'
'
1
L
B
N
N
S
c
q
c ⋅+= 4.30) 
'
'
2,01
L
BSc ⋅+= (para φ = 0) 4.30a) 
φtan1 '
'
⋅+=
L
BSq 4.31) 
'
'
4,01
L
BS ⋅−=γ 4.32) 
 
 
 
 
III. Fatores de correção para a profundidade da sapata: 
 
 
 
• HANSEN (1970): 
 
φ4
'
tan71
6,0
35,01
⋅+
+
+=
D
B
Scd 4.33) 
q
cd
cdqd N
S
SS
1−
−= 4.34) 
1=qdS (para φ = 0) 4.34a) 
cdqd SS = (para φ > 25°) 4.34b) 
1=dSγ 4.35) 
 
• VESIC (1975): 
 
'35,01 B
DScd ⋅+= 4.36) 
cdqd SS = 4.37) 
1=qdS (para φ = 0) 4.37a) 
1=dSγ 4.38) 
 
 
IV. Fatores de correção para a inclinação da carga: 
 
Se a carga aplicada não for vertical, mas sim inclinada, e chamando de Q a 
componente vertical e H a componente horizontal da carga inclinada R (Figura 4.7), 
Hansen e Vesic propuseram os seguintes fatores de correção: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.7 – Carga inclinada e componentes horizontal e vertical 
 
 
 
• HANSEN (1970): 
 
φcot
1 '' ⋅⋅⋅+
−=
cLBQ
HSqi 4.39) 
1
1
−
−
−=
q
qi
qici N
S
SS 4.40) 
2
qii SS =γ 4.41) 
 
 
 
 
 
B 
L 
Be
Le
PLANTA
θ 
H
R Q 
D 
CORTE 
Q 
H
L’ 
B’
 
 
• VESIC (1975): 
 
m
qi
cLBQ
HS 







⋅⋅⋅+
−=
φcot
1 '' 4.42) 
φtan
1
⋅
−
−=
c
qi
qici N
S
SS 4.43) 
c
ci
NcLB
HmS
⋅⋅⋅
⋅
−= ''1 (para φ = 0) 4.43a) 
1
'' cot
1
+








⋅⋅⋅+
−=
m
i
cLBQ
HS
φ
γ 4.44) 
 
onde: 
θθ 22 sencos ⋅+⋅= BL mmm 
 
'
'
'
'
1
2
B
L
B
L
mL
+
+
= ; 
'
'
'
'
1
2
L
B
L
B
mB
+
+
= 
 θ – ângulo que a componente horizontal (H) da carga inclinada faz com a 
direção L, no plano da sapata. 
 
 A carga horizontal admissível na sapata será dada pela expressão: 
FS
QBLcH BBadm
φtan'' ⋅+⋅⋅
= 
onde: 
Bc – aderência entre sapata e solo 
 Bφ – ângulo de atrito entre sapata e solo ( φφ ⋅≅ 3
2
B ) 
 FS – fator de segurança (> 1,5) 
 
 
 
 
 
 
V. Fatores de correção para a inclinação da base da sapata: 
 
Existem situações nas quais pode ser interessante inclinar a base da sapata, para 
absorver esforços horizontais (Figura 4.8). 
 
 
 
Figura 4.8 – Sapata com base inclinada 
 
• VESIC (1975): 
 
2)tan1( φα ⋅−=qbS 4.45) 
φtan
1
⋅
−
−=
c
qb
qbcb N
S
SS 4.46) 
2
21
+
⋅
−=
π
α
cbS (para φ = 0) 4.46a) 
qbb SS =γ 4.47) 
 
 Nas expressões acima, os valores de α que aparecem fora de funções 
trigonométricas devem ser tomados em radianos. Ainda, o ângulo α deve ser menor ou 
igual a 45°.α 
 
 
VI. Fatores de correção para a inclinação da superfície do terreno: 
 
Se o terreno de fundação não for horizontal (Figura 4.9): 
 
 
Figura 4.9 – Terreno inclinado 
 
• VESIC (1975): 
 
2)tan1( ω−=qgS 4.48) 
φtan
1
⋅
−
−=
c
qg
qgcg N
S
SS 4.49) 
2
21
+
⋅
−=
π
ω
cgS (para φ = 0) 4.49a) 
qgg SS =γ 4.50) 
 
 Nas expressões acima, os valores de ω que aparecem fora de funções 
trigonométricas devem ser tomados em radianos. Ainda, o ângulo ω deve ser menor ou 
igual a 45°, e menor do que o ângulo de atrito do solo φ. Quando ω for maior do que 
φ / 2, deve-se proceder a uma análise de estabilidade de taludes, considerando a ação 
adicional do carregamento aplicado à fundação (MEYERHOF, 1957). 
Convém lembrar que, no caso de terreno inclinado, as tensões verticais 
geostáticas a uma profundidade z são calculadas como: 
 
ωγσ cos⋅⋅= zv 4.51) 
 
 
ω 
 
 
VII. Fatores de correção para a compressibilidade do solo: 
 
Terzaghi, em sua teoria de capacidade de carga, admitiu por hipótese que o solo 
é incompressível, sendo portanto a ruptura do tipo generalizada. Porém, se o solo 
apresentar alguma compressibilidade, a ruptura tenderá a ser local, e a solução de 
Terzaghi não será mais representativa da realidade. VESIC (1975) propôs os seguintes 
fatores de correção para a compressibilidade do solo: 
 
( )








+
⋅⋅⋅
+⋅







⋅+−
=
φ
φ
φ
sen1
2logsen07,3
tan
'
'
6,04,4 r
I
L
B
qr eS 4.52) 
φtan
1
⋅
−
−=
c
qr
qrcr N
S
SS 4.53) 
( )rcr I
L
BS log6,012,032,0 '
'
⋅+⋅+= (para φ = 0) 4.53a) 
qrr SS =γ 4.54) 
 
onde rI é o índice de rigidez do solo, relação entre o módulo de elasticidade transversal 
G e a resistência ao cisalhamento τ do solo: 
 
( ) ( )φσνφστ tan12tan '' ⋅+⋅+⋅=⋅+== vvr c
E
c
GGI 4.55) 
 
sendo E o módulo de elasticidade longitudinal e ν o coeficiente de Poisson do solo. 
Para estimativa de Ir, os valores de G e τ a serem considerados devem ser 
valores médios, representativos das propriedades elásticas e de resistência da massa de 
solo submetida ao processo de deslizamento (ruptura). A profundidade e extensão da 
superfície de deslizamento é função do ângulo de atrito φ do solo, como mostra a 
Figura 4.10. 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.10 – Profundidade e extensão da superfície de ruptura (CAPUTO, 1989) 
 
 
Vesic sugere que os valores de G, da coesão c, do ângulo de atrito φ e da tensão 
vertical efetiva 'vσ sejam tomados a uma profundidade igual a 2
'BD + (Figura 4.11). 
 
 
 
 
Figura 4.11 – Cálculo do índice de rigidez do solo 
 
 
 
≅ B’ 
B’ 
',,, vcG σφ 
zw 
B’/2 
D 
B’ 
8,5⋅B’
6,3⋅B’ 
4,8⋅B’ 
2,5⋅B’ 
1,5⋅B’ 
0,
7⋅
B’
 
1,
0⋅
B’
 
1,
6⋅
B’
 
1,
9⋅
B’
 
2,
3⋅
B’
 
φ = 40° 
φ = 35° 
φ = 30° φ = 15° 
φ = 0° 
 
 
Antes de se calcular os fatores crS , qrS e rSγ , deve-se verificar se o solo é 
compressível ou pode ser considerado incompressível. Para isso, deve-se determinar o 
índice de rigidez crítico: 
 





 −⋅







−
⋅=
2
45cot
'
'
45,03,3
2
1
φo
L
B
critr eI 4.56) 
 
Se rI > critrI , o solo pode ser considerado incompressível, e os fatores crS , 
qrS e rSγ serão iguais à unidade. 
 
VIII. Influência da água: 
 
A presença de água altera o peso específico do solo. De acordo com a 
profundidade wz do nível d´água em relação ao nível do terreno (Figura 4.10), o peso 
específico γ a ser considerado na expressão (4.21) será: 
 
subw Dz γγ =→≤ 4.57) 
( )subnatwsubw
B
Dz
BDzD γγγγ −⋅




 −
+=→+<< '
' 4.58) 
natw BDz γγ =→+≥
' 4.59) 
 
Quanto à influência da água na sobrecarga q, a ser considerada na expressão 
(4.21), devem-se fazer as seguintes considerações: 
 
Dqz subw ⋅=→= γ0 4.60) 
( )wsubwnatw zDzqDz −⋅+⋅=→<< γγ0 4.61) 
DqDz natw ⋅=→≥ γ 4.62) 
 
 
 
 
 
4.3.3. Teoria de Meyerhof 
 
 Retomando os estudos de Terzaghi, MEYERHOF (1951, 1963) considerou na 
análise dos mecanismos de ruptura, superfícies de deslizamento como mostradas na 
Figura 4.12. 
 
Figura 4.12 – Superfícies de deslizamento (Meyerhof) 
 
 Meyerhof levou em conta a resistência ao cisalhamento do solo acima da base 
da fundação, o que Terzaghi considerou apenas como sobrecarga. 
Das equações para os fatores de capacidade de carga de Meyerhof, pode-se 
notar que os valores se situam entre os de ruptura geral e local de Terzaghi, quando D = 
0. 
 
φφ
φ
θθ
cot
2
45tan
sen1
2
tan2
⋅




 +⋅
+
=
⋅⋅
oeNc 4.63) 





 +⋅
+
=
⋅⋅
2
45tan
sen1
2
tan2 φ
φ
θθ
oeNq 4.64) 
( ) )4,1tan(1 φγ ⋅⋅−= qNN 4.65) 
 
Nas expressões anteriores, os valores de θ que aparecem fora das funções 
trigonométricas devem ser tomados em radianos. 
Meyerhof também propôs fatores de correção de forma, profundidade e 
inclinação. Seus fatores são levemente diferentes dos de Terzaghi e Hansen, entretanto, 
estes últimos são recomendados por existirem já tabelados. 
Meyerhof deu uma boa contribuição ao problema das sapatas localizadas em 
θ
β
 
 
encostas e taludes. A ausência de solo de um lado da sapata (lado da encosta) tenderá a 
reduzir a capacidade de carga da fundação. 
As Figuras 4.13 e 4.14 mostram os dois casos estudados: sapatas posicionadas 
no topo do talude e no próprio talude. 
 
 
Figura 4.13 – Sapata posicionada no topo do talude (MEYERHOF, 1957) 
 
 
Figura 4.14 – Sapata posicionada no talude (MEYERHOF, 1957) 
 
 
 
A capacidade de carga é dada por: 
γγγ SN
BSNcq qccqu ⋅⋅⋅+⋅⋅= 2
'
 4.66) 
onde cqN e qNγ são obtidos das curvas das Figuras 4.13 e 4.14 e já incluem os fatores 
de profundidade. As curvas são correspondentes a sapatas contínuas. 
 
4.3.4. Solo de Fundação Estratificado 
 
 Quando ocorrem duas camadas de solos diferentes sob a fundação, como na 
Figura 4.15, BROWN e MEYERHOF (1969) obtiveram a seguinte expressão para a 
capacidade de carga da sapata (admitindo, por hipótese, situação não-drenada, ou seja, 
φ 1 = φ 2 = 0): 
 
qNcq mu +⋅= 1 4.67) 
 
Figura 4.15 – Duas camadas sob a fundação 
 
Na expressão 4.67, mN é um fator de capacidade de carga modificado. Para o 
caso de camada mole sobre camada mais rígida (c1 < c2), VESIC (1975) sugeriu a 
expressão: 
D 
H 
B’ 
q 
c1, φ1 
c2, φ2 
 
 
( ) ( ) ( )[ ]
( )[ ] ( )[ ] ( ) ( )[ ]11111
1111
*****
*2***
+⋅−+⋅−−+⋅+⋅−++⋅+⋅
−+⋅⋅++⋅+⋅−+⋅⋅
=
ccccc
cccc
m
NNkNNkNkk
NkNkNNk
N
ββββ
βββ
4.68) 
 
onde: 
HLB
LB
⋅+⋅
⋅
=
)(2 ''
''
β → índice de puncionamento da fundação 4.69) 
ccc SNN ⋅=
* → fator de capacidade de carga corrigido para a forma 4.70) 
1
2
c
ck = → razão entre as resistências não-drenadas 4.71) 
 
 Nas Tabelas 4.4 e 4.5 são apresentados valores de mN para fundações contínuas 
(L > 5⋅B) e quadradas ou circulares. 
 
Tabela 4.4 – Valores de mN para sapatas contínuas (L > 5⋅B) 
k B’/H 
 2 4 6 8 10 20 ∞ 
1,0 5,14 5,14 5,14 5,14 5,14 5,14 5,14 
1,5 5,14 5,31 5,45 5,59 5,70 6,14 7,71 
2 5,14 5,43 5,69 5,92 6,13 6,95 10,28 
3 5,14 5,59 6,00 6,38 6,74 8,16 15,42 
4 5,14 5,69 6,21 6,69 7,14 9,02 20,56 
5 5,14 5,76 6,35 6,90 7,42 9,66 25,70 
10 5,14 5,93 6,69 7,43 8,14 11,40 51,40 
∞ 5,14 6,14 7,14 8,14 9,14 14,14 ∞ 
 
Tabela 4.5 – Valores de mN para sapatas circulares ou quadradas (L =B) 
k B’/H 
 4 8 12 16 20 40 ∞ 
1,0 6,17 6,17 6,17 6,17 6,17 6,17 6,17 
1,5 6,17 6,34 6,49 6,63 6,76 7,25 9,25 
2 6,17 6,46 6,73 6,98 7,20 8,10 12,34 
3 6,17 6,63 7,05 7,45 7,82 9,36 18,51 
4 6,17 6,73 7,26 7,75 8,23 10,24 24,68 
5 6,17 6,80 7,40 7,97 8,51 10,88 30,85 
10 6,17 6,96 7,74 8,49 9,22 12,58 61,70 
∞ 6,17 7,17 8,17 9,17 10,17 15,17 ∞ 
Para o caso de camada mais rígida sobrejacente a camada mole (c1 > c2), 
 
 
BROWN e MEYERHOF (1969) sugerem a expressão: 
 
*1
cm NkN ⋅+= β
 4.72) 
 
Porém, os resultados publicadospor Brown e Meyerhof indicam uma redução 
na resistência da camada superior, que pode ser atribuída ao fenômeno de ruptura 
progressiva. Assim, sugere-se utilizar uma coesão reduzida ( '1c ) para o solo, sendo que 
para argilas com sensibilidade igual a 2: 
 
1
'
1 75,0 cc ⋅= 4.73) 
 
 Para φ ≠0, e quando a camada superior for mais resistente que a camada 
inferior, pode-se calcular a capacidade de carga pela seguinte expressão (VESIC, 
1975): 
 
11
'1
tan
'
'
12
11
'' cot1cot1 φφ
φ
⋅⋅−⋅




 ⋅⋅+=
⋅⋅⋅







+⋅
c
K
ec
K
qq B
HK
L
B
uu 4.74) 
 
onde: 
''
uq → capacidade de carga apenas do solo menos resistente (supondo H = 0), 
calculada por qualquer método anteriormente apresentado. 
1
2
1
2
sen1
sen1
φ
φ
+
−
=K 4.75) 
 
Em solos sem coesão (c1 = 0), e para 25° ≤ φ1 ≤ 50°, a expressão se reduz a: 
 
''
'
167,0
'' B
H
L
B
uu eqq
⋅







+⋅
⋅= 4.76) 
 
Da expressão 4.78, pode-se determinar uma profundidade crítica para a camada 
 
 
superior, além da qual a capacidade de carga passa a ser pouco afetada pela presença da 
camada inferior fraca: 
 








+⋅








⋅
⋅=
'
'
''
'
'
12
ln3
L
B
q
q
BH u
u
crit 4.77) 
 
onde: 
 
'
uq → capacidade de carga do solo mais resistente (supondo H = ∞), calculada 
por qualquer método anteriormente apresentado. 
 
 
4.3.5. Fórmulas Empíricas Baseadas em Dados de Ensaios de Simples 
Reconhecimento (SPT) 
 
MEYERHOF (1956) propôs as seguintes fórmulas: 
 
- Para solos arenosos: 
( )DBNqu +⋅⋅= 32 4.78) 
 
- Para solos argilosos: 
Nqu ⋅= 16 4.79) 
 
sendo a unidade de uq igual a kN/m
2. Os valores de D e B devem ser tomados em 
metros. N é a média dos valores de NSPT em uma espessura 1,5⋅B abaixo do nível da 
fundação. Os valores de uq devem ser divididos por dois quando ocorrer presença de 
nível d´água no solo. 
É possível a obtenção das Equações 4.78 e 4.79 a partir da solução teórica 4.21, 
como já demonstrado por VELLOSO (1977). Admitindo que todos os fatores de 
 
 
correção sejam iguais à unidade, e que a carga seja centrada (B’=B): 
 
γγ N
BNqNcq qcu ⋅⋅+⋅+⋅= 2
 4.80) 
 
Para as areias, admitem-se ainda as seguintes hipóteses: 
 
• c = 0 
• 12 ≅⋅
γN
Nq 
 
Assim, substituindo em 4.80: 
( )BD
N
NB
N
DNBNDq qu +⋅
⋅
=⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅=
2222
γ
γ
γ
γ
γ
γγγγ 
 
 Se o lençol freático estiver abaixo da profundidade igual a B+D (ver Figura 
4.13), o peso específico a ser considerado será o natural (γnat). Admitindo para a areia 
um γnat igual a 18,5 kN/m3, e admitindo ainda a seguinte relação: 
 
• NN ⋅≅ 5,3γ 
 
obtém-se: 
 
( ) ( ) ( ) ( )BDNBDNBDNBD
N
qu +⋅⋅≅+⋅⋅=+⋅
⋅⋅
=+⋅
⋅
= 324,32
2
5,35,18
2
γγ
 
 No caso de lençol freático na superfície do terreno, o peso específico a ser 
considerado será o submerso (γsub). Admitindo, simplificadamente, que γsub seja igual à 
metade de γnat, a capacidade de carga obtida pela Equação 4.78 deve ser dividida por 2 
quando em presença de lençol freático elevado. 
 
Para as argilas, admite-se a hipótese de que φ = 0, e, portanto, da Tabela 4.3: 
 
 
 
• 14,5=cN 
• 00,1=qN 
• 00,0=γN 
 
Assim, substituindo em 4.80: 
 
DSNBNDNcq uqcu ⋅+⋅=⋅⋅+⋅⋅+⋅= γγγ γ 14,52
 
 
sendo Su a resistência não-drenada da argila. Admitindo ainda a seguinte relação 
(embora bastante questionável do ponto de vista teórico): 
 
• NSu ⋅≅ 3 (em kN/m
2) 
 
obtém-se: 
 
NDNDNDSq uu ⋅≅⋅+⋅=⋅+⋅⋅=⋅+⋅= 164,15314,514,5 γγγ 
 
desprezando a parcela D⋅γ . 
 
 
4.4. TENSÃO ADMISSÍVEL 
 
A tensão admissível, que será a máxima tensão de trabalho da fundação, quando 
relacionada à capacidade de carga, é expressa pela equação: 
 
FS
q
q uadm = 4.81) 
 
 
Na escolha do fator de segurança FS, é importante levar em consideração o 
nível de conhecimento do terreno e as características da estrutura. Na Tabela 4.6 tem-se 
 
 
uma sugestão para a escolha dos fatores de segurança (VESIC, 1975). 
 
Tabela 4.6 – Fatores de segurança 
TIPO DE CARACTERÍSTICAS INVESTIGAÇÃO DO SUBSOLO 
ESTRUTURA AMPLA LIMITADA 
Pontes ferroviárias A carga máxima pode 
Depósitos, silos ocorrer com freqüência. 
Obras hidráulicas Ruptura com conseqüências 3,0 4,0 
Muros de arrimo desastrosas. 
Chaminés 
Pontes rodoviárias A carga máxima ocorre 
Prédios industriais ocasionalmente. 2,5 3,5 
ou públicos de Ruptura com conseqüências 
pequeno porte sérias. 
Edifícios de A carga máxima tem pouca 
apartamentos probabilidade de ocorrer. 2,0 3,0 
ou escritórios 
 
Observações sobre a Tabela 4.6: 
1. Em estruturas provisórias pode-se adotar valores de FS da ordem de 75% dos 
indicados na tabela, mas nunca inferior a 2. 
2. Para estruturas muito altas, tais como chaminés e torres, ou em geral, quando se 
teme fenômenos de ruptura progressiva, os coeficientes indicados devem ser 
aumentados de 20 a 50%. 
3. Deve-se dar especial atenção a problemas de variação de umidade, do nível de 
lençol freático (submersão), ou da erosão do terreno de fundação. 
4. Deve-se analisar o problema nos seus aspectos de carregamento rápido e de 
longo prazo, no caso da solução mais desfavorável não ser claramente 
identificável. 
5. O problema de recalques, total e diferencial, deve também ser analisado para 
fixação da carga admissível.