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Análise combinatória matemática

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Mussolini durante la Segunda Guerra Mundial. Fue educado en Italia
hasta la edad de trece años en 1945, terminando sus estudios secundarios
en Ecuador. Estudió matemáticas en las universidades Princeton y Yale
en Estados Unidos, obteniendo en esta última su doctorado en 1956, con
la disertación titulada Teoŕıa de extensión de operadores diferenciales,
siendo su tutor J. T. Schwartz. Posteriormente realizó estudios post-
doctorales en el Instituto Courant de la Universidad de Nueva York.
Empezó a trabajar en la Universidad de Harvard en 1957. Dos años
más tarde se trasladó al Instituto Tecnológico de Masachusetts (MIT), en
donde laboró hasta el resto de su carrera, con excepción de dos años entre
1965 y 1967, en los cuales fue profesor de la Universidad de Rockefeller.
4.2. Los números de Bell 55
ciones de variable real ϕ(x) definidas por
ϕ(x) =
∞∑
n=0
αn [x]n, con
∞∑
n=0
|αn| < +∞.
La transformación L(ϕ) =
∑∞
n=0 αn es lineal, pues
L(λϕ+ λ′ϕ′) =
∞∑
n=0
(λαn + λ′α′n) = λ
∞∑
n=0
αn + λ′
∞∑
n=0
α′n.
Por otra parte, de la fórmula 4.2 de la sección anterior,
L(xn) = L
( n∑
k=1
S kn [x]k
)
=
n∑
k=1
S kn = Bn.
Luego, haciendo uso de la fórmula elemental ez =
∑∞
n=0
zn
n! ,
obtenemos
∞∑
n=0
Bn
n!
tn =
∞∑
n=0
L(xn)
n!
tn = L(etx).
Rota trabajó al principio en los campos del análisis funcional, la teoŕıa
de operadores y la teoŕıa ergódica. A partir de 1960 empieza a publicar
trabajos sobre teoŕıa de combinatoria, el campo donde más destacó. En
1964 publicó su trabajo Sobre los Fundamentos de la Teoŕıa de Combi-
natoria, por el cual recibió el premio Steele de la Sociedad Matemática
Americana en 1988. Este art́ıculo fue el primero de una serie de diez,
todos con el mismo t́ıtulo, diferenciándose unos con otros por algún
subt́ıtulo (por ejemplo, el primero teńıa el subt́ıtulo Teoŕıa de la Función
de Möbius). Los restantes nueve art́ıculos los escribió en colaboración
con uno a tres coautores y fueron publicados entre 1970 y 1974, a ex-
cepción del último, que fue publicado en 1992.
Rota recibió muchos premios por sus contribuciones destacadas. Adi-
cionalmente al premio Steele arriba mencionado, fue premiado con la
Medalla de Servicio Distinguido por la Agencia Nacional de Seguridad
en 1992. Fue electo miembro de la Academia Nacional de Ciencias en
1982. Fue vicepresidente de la Sociedad Matemática Americana en 1995-
97. Fue también miembro de la Academia Americana de Artes y Cien-
cias, de la Academia Argentina de Ciencias, del Instituto de Estad́ıstica
Matemática, del Ćırculo Husserl, de la Asociación Americana para el De-
sarrollo de la Ciencia y del Ćırculo Heidegger. Recibió el premio Killian
del MIT por su trabajo como “ĺıder innovador y el principal respons-
able en la transformación de la teoŕıa de combinatoria, de una colección
56 Caṕıtulo 4. Particiones de un conjunto
Escribiendo et = (1 + u), obtenemos
∞∑
n=0
Bn
n!
tn = L((1 + u)x) = L
( ∞∑
n=0
[x]n
n!
un
)
=
∞∑
n=0
un
n!
L([x]n) =
∞∑
n=0
un
n!
= eu = e(e
t−1).
Proposición 36 (G. Dobinski)
Bn+1 =
1
e
(
1n +
2n
1!
+
3n
2!
+
4n
3!
+ · · ·
)
.
Demostración: En efecto,
e =
∞∑
k=0
1
k!
=
∞∑
k=n
1
(k − n)!
=
∞∑
k=n
[k]n
k!
=
∞∑
k=0
[k]n
k!
.
La transformación L definida en la demostración de la proposición
anterior satisface
L([x]n) = 1 =
1
e
∞∑
k=0
[k]n
k!
.
Si ϕ(x) =
∑
n αn [x]n, entonces
L(ϕ(x)) =
∑
n
αn
∑
k
1
e
[k]n
k!
=
1
e
∑
k
1
k!
∑
n
αn [k]n =
1
e
∑
k
ϕ(k)
k!
.
Escribiendo ϕ(x) = xn+1 obtenemos el resultado.
dispar de hechos y técnicas desmerecedora de consideración matemática
seria, a un campo activo, sistemático y profundo, de las matemáticas
modernas puras y aplicadas”.
Obtuvo cuatro grados honoŕıficos: la Universidad de Estrasburgo
(1984), la Universidad de L’Aquila (1990), la Universidad de Bologna
(1996) y la Universidad Politécnica de Brooklyn (1997).
4.3. Fórmulas de inversión 57
4.3 Fórmulas de inversión
De enorme utilidad es el siguiente resultado, cuya demostración
requiere de conocimientos elementales de álgebra lineal.
Proposición 37 (Primera fórmula de inversión) Sean
ϕn(x) y ψn(x) familias de polinomios de grado n y sean α kn ,
β kn , con 0 ≤ k ≤ n, cualquier colección de números reales.
Suponga que se satisfacen las relaciones
ϕn(x) =
n∑
k=0
α kn ψk(x), (n = 0, 1, 2, . . . , n0),
ψn(x) =
n∑
k=0
β kn ϕk(x), (n = 0, 1, 2, . . . , n0).
Si a0, a1, a2, . . . , an0, b0, b1, b2, . . . , bn0 son números que
satisfacen las relaciones
an =
n∑
k=0
α kn bk, (n = 0, 1, 2, . . . , n0),
entonces
bn =
n∑
k=0
β kn ak, (n = 0, 1, 2, . . . , n0).
Demostración: En efecto, claramente
ϕn(x) =
n∑
k=0
α kn
n∑
m=0
βmk ϕm(x) =
n∑
m=0
( n∑
k=0
α kn β
m
k
)
ϕm(x).
Escribiendo αmn = β
m
n = 0 cuando m > n, y comparando los
coeficientes de ϕm(x) en la ecuación anterior, obtenemos
n∑
k=0
α kn β
m
k = δn,m =
{
1, si n = m
0, si n 6= m.
58 Caṕıtulo 4. Particiones de un conjunto
En otras palabras, las matrices ((α ij )) y ((β
i
j )) son inversas
una de la otra, de donde la ecuación vectorial a = ((α ij ))b
es equivalente a la ecuación vectorial b = ((β ij ))a.
Una aplicación inmediata de este resultado es la famosa
fórmula de Stirling para el cálculo directo de sus números de
segunda especie Smn .
Proposición 38 (Fórmula de Stirling)
Smn =
1
m!
m∑
k=0
(−1)m−k
(
m
k
)
kn.
Demostración: En efecto, escribiendo x = y + 1 y uti-
lizando la fórmula del binomio de Newton, tenemos que
xn = (y + 1)n =
n∑
k=0
(
n
k
)
(x− 1)k.
Por otra parte, también aplicando la fórmula del binomio de
Newton,
(x− 1)n =
n∑
k=0
(−1)n−k
(
n
k
)
xk.
Vamos a aplicar la primera fórmula de inversión a estos poli-
nomios, ϕ(x) = xn y ψ(x) = (x−1)n. Ese resultado garantiza
que si a0, a1, a2, . . . , b0, b1, b2, . . . son números que satisfacen
la relación
an =
n∑
k=0
(
n
k
)
bk,
entonces
bn =
n∑
k=0
(−1)n−k
(
n
k
)
ak.
En particular (fórmula 4.1) tenemos
mn =
m∑
k=0
(
m
k
)
(k!S kn ), (escribiendo S
0
n = 0).
4.3. Fórmulas de inversión 59
Luego, obtenemos
(m!Smn ) =
m∑
k=0
(−1)m−k
(
m
k
)
kn.
De paso esta última expresión para m!Smn es precisa-
mente, como vimos, el número de funciones sobreyectivas
que pueden definirse de un conjunto X de n elementos en un
conjunto A de m elementos.
Proposición 39 Las matrices de los primeros números de
Stirling de primera y segunda especie son inversas una de
la otra: la matriz S = (S ij )n×n es inversa de la matriz s =
(s ij )n×n.
Demostración: En efecto, de la definición de los números
de Stirling de primera especie y de la fórmula (4.2) obtenemos
[x]n =
n∑
k=1
s kn x
k , xn =
n∑
k=1
S kn [x]k.
El resultado se obtiene entonces aplicando la idea de la de-
mostración de la proposición 37, al tomar α kn = s
k
n y β
k
n =
S kn .
Por ejemplo, a continuación se presentan las matrices A
y B de los primeros números de Stirling de primera y se-
gunda especie respectivamente, de orden menor o igual que 6.
El lector puede corroborar (usando por ejemplo un paquete
computacional) que el inverso de cada uno de los menores
principales de A es igual al correspondiente menor principal
de B.
A =

1 0 0 0 0 0
−1 1 0 0 0 0
2 −3 1 0 0 0
−6 11 −6 1 0 0
24 −50 35 −10 1 0
−120 274 −225 85 −15 1
 ,
60 Caṕıtulo 4. Particiones de un conjunto
B =

1 0 0 0 0 0
1 1 0 0 0 0
1 3 1 0 0 0
1 7 6 1 0 0
1 15 25 10 1 0
1 31 90 65 15 1
 .
4.4 Ejercicios
87. Encuentre el número de maneras de distribuir n objetos
distinguibles en m cajas distinguibles, de manera que p cajas
queden ocupadas y m− p queden vaćıas.
88. Sea X un conjunto de n objetos. Calcule el número de
particiones de X en k clases, con λ1 clases de cardinalidad 1,
λ2 clases de cardinalidad 2, . . . , λk clases de cardinalidad k,
donde n =
∑k
i=1 i λi.
89. Se definen los números de Lah, L kn , mediante la ecuación
[−x]n = L 1n [x]1 + L 2n [x]2 + · · ·+ Lnn [x]n.
Observe

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