Análise combinatória matemática

Recibió la medalla Royal de la Sociedad en 1920,
la medalla De Morgan de la Sociedad en 1929 y la medalla Sylvester
de la Sociedad en 1940, por sus importantes contribuciones en muchas
ramas de la matemática pura. También recibió la medalla Copley de
la Real Sociedad en 1947 por su parte distinguida en el desarrollo del
análisis matemático en Inglaterra durante los pasados treinta años. Fue
presidente de la Sociedad Matemática de Londres de 1926 a 1928 y otra
vez de 1939 a 1941.
92 Caṕıtulo 7. Particiones de un entero
Proposición 45 Para n ≥ 1 y 1 ≤ k ≤ n tenemos:
P kn+k = P
1
n + P
2
n + · · ·+ P kn ,
P 1n = P
n
n = 1.
Demostración: En efecto, la segunda de las fórmulas es
evidente de la definición. Para justificar la primera fórmula,
considere el conjunto A de las particiones de n en k o menos
partes. Cada partición de A puede ser considerada como un
k-étuplo de la forma (λ1, . . . , λm, 0, . . . , 0). Definimos sobre
A la aplicación
(λ1, . . . , λm, 0, . . . , 0) 7→ (λ1 + 1, · · · , λm + 1, 1, . . . , 1).
2Srinivasa Aiyangar Ramanujan (1887–1920) Matemático hindú,
nacido en Erode y considerado uno de los más grandes genios
matemáticos de todos los tiempos.
Teniendo solamente trece años empezó a trabajar sus propias ideas
en los campos de la geometŕıa y las series aritméticas. A la edad de 15
años demostró cómo resolver las ecuaciones cúbicas y de cuarto grado,
sin conocer los trabajos previos de Cardan, Ruffino y Tartaglia.
Estando en el colegio llegó a sus manos el libro Synopsis of elemetary
results in pure mathematics, de G. S. Carr, el cual fue literalmente devo-
rado por Ramanujan en forma autodidacta, aprendiendo no solamente
las matemáticas alĺı descritas sino también el estilo de la disciplina. El
libro de Carr teńıa un estilo muy conciso que influenció radicalmente el
estilo adoptado por Ramanujan en el futuro para presentar sus resulta-
dos. Por otra parte, este libro hab́ıa sido publicado en 1856, estando en
la época en que lo estudió Ramanujan completamente desactualizado en
muchos aspectos.
En 1904 Ramanujan comenzó a realizar profundas investigaciones so-
bre las series infinitas. Calculó además la constante de Euler con 15
decimales exactos. Empezó a estudiar los números de Bernoulli, redes-
cubriéndolos en forma independiente. Continuó con su trabajo sobre las
series hipergeométricas y realizó investigaciones sobre integrales, series
divergentes, funciones eĺıpticas y fracciones continuadas.
Planteó y resolvió algunos problemas en el Journal of the Indian Math-
ematical Society . Publicó una investigación relacionada sobre las ecua-
ciones eĺıpticas modulares en 1910 y una brillante investigación sobre los
números de Bernoulli en 1911, con lo cual obtuvo algún reconocimiento
7.2. Definiciones y relaciones por recurrencia 93
Claramente el rango de esta aplicación será el conjunto A′
de todas las particiones de n + k en exactamente k partes.
Además la aplicación es biyectiva, pues:
(a) dos k-étuplos distintos de A son enviados hacia dos
distintos k-étuplos de A′;
(b) cada k-étuplo de A′ es la imagen de un k-étuplo de A.
Luego, obtenemos:
|A| = P 1n + · · ·+ P kn = |A′| = P kn+k.
De estas relaciones por recurrencia pueden calcularse fá-
cilmente los primeros valores de P mn , como se ilustra en la
Figura 7.2.
dentro de la India por su trabajo. A pesar de no contar con educación
universitaria, se le empezó a reconocer como un genio de las matemáticas
en el área de Madras.
En enero de 1913 Ramanujan le escribió a G. H. Hardy, enviándole una
copia de su libro de 1910 Órdenes de infinitud . Hardy, junto con Little-
wood, estudió la larga lista de teoremas no demostrados que Ramanujan
le adjuntó con su carta. En ese entonces Ramanujan era extremada-
mente pobre, estaba muriéndose de inanición y contaba tan sólo con
estudios de secundaria incompletos. Sin embargo, sus investigaciones
eran ya absolutamente geniales. Hardy le ayudó de inmediato y al año
siguiente se lo llevó a Inglaterra, iniciando aśı una célebre colaboración
cient́ıfica que duraŕıa cinco años.
Descubrió independientemente los resultados de Gauss, Kummer y
otros sobre las series hipergeométricas. Quizás el más famoso de sus
trabajos fue sobre el número Pn de particiones de un entero n en var-
ios sumandos. MacMahon hab́ıa producido tablas del valor de Pn para
valores pequeños de n y Ramanujan utilizó estos datos numéricos para
conjeturar algunas propiedades notables, algunas de las cuales las de-
mostró usando funciones eĺıpticas. En un art́ıculo conjunto con Hardy,
Ramanujan brindó una fórmula asintótica para Pn.
En 1916 el Trinity College Cambridge le otorgó a Ramanujan el Doc-
torado en Matemática, en reconocimiento por sus investigaciones. Su
disertación fue titulada Números altamente compuestos y consistió en
siete de sus art́ıculos publicados durante su breve estancia en Inglaterra.
En 1918 Ramanujan fue electo compañero de la Sociedad Filosófica
de Cambridge y tres d́ıas después su nombre apareció en la lista para
94 Caṕıtulo 7. Particiones de un entero
P mn m = 1 2 3 4 5 6 · · ·
n = 1 1 0 0 0 0 0 · · ·
2 1 1 0 0 0 0 · · ·
3 1 1 1 0 0 0 · · ·
4 1 2 1 1 0 0 · · ·
5 1 2 2 1 1 0 · · ·
6 1 3 3 2 1 1 · · ·
Figura 7.2: Primeros valores de P mn .
7.3 Diagramas de Ferrars
Cuando n = 6, hay P 36 = 3 particiones en tres partes:
4+1+1, 3+2+1, 2+2+2. También hay 3 particiones que
tienen al 3 como la parte más larga: 3+1+1+1, 3+2+1, 3+3.
¿Será esto coincidencia? ¡No, como veremos a continuación!
Proposición 46 El número de particiones P kn de n en k
partes coincide con el número de particiones de n cuya parte
más larga es k.
Demostración: En efecto, considérese una partición cualquiera,
por ejemplo 5+4+1+1 y asociemos con ella el siguiente dia-
grama (llamado diagrama de Ferrars), en el cual cada parte
la elección como compañero de la Real Sociedad de Londres. Hab́ıa
sido propuesto por una pléyade de matemáticos ingleses famosos, entre
ellos, Hardy, MacMahon, Grace, Larmor, Bromwich, Hobson, Baker,
Littlewood, Nicholson, Young, Whittaker, Forsyth y Whitehead. Su
elección como compañero de la Real Sociedad fue confirmada en mayo
de 1918 y luego en octubre de ese mismo año fue elegido compañero del
Trinity College Cambridge. Ramanujan regresó hacia la India a finales
de febrero de 1919. Sin embargo, su salud era muy pobre y murió al año
siguiente.
Ramanujan dejó sin publicar un buen número de cuadernos llenos
de notas, con teoremas que los matemáticos continúan estudiando.
G. N. Watson, profesor de matemáticas en Birmingham de 1918 a 1951,
publicó 14 art́ıculos con el t́ıtulo genérico Teoremas enunciados por
Ramanujan y en total publicó cerca de 30 art́ıculos inspirados en los
manuscritos de Ramanujan.
7.4. Particiones auto-conjugadas 95
es representada por una fila de cuadrados igual en número a
la parte misma, ordenado como sigue:
5+4+1+1 −→
Guiándonos con el diagrama, podemos definir la partición
conjugada de 5+4+1+1 como la partición 4+2+2+2+1. La
partición original se lee por filas: número de cuadrados en
la fila 1 (= 5), número de cuadrados en la fila 2 (= 4),
etc. La partición conjugada se lee por columnas: número
de cuadrados en la columna 1 (= 4), número de cuadra-
dos en la columna 2 (= 2), etc. En general si tenemos que
λ = (λ1, λ2, . . . , λk) es una partición de n en k clases, la par-
tición conjugada λ∗ = (λ∗1, λ
∗
2, . . .) es aquella en la cual λ
∗
i es
el número de partes de λ de cardinalidad mayor o igual a i.
La aplicación que transforma una partición de n en su
conjugada establece una biyección entre el conjunto de todas
las particiones de n. Además, la conjugada de una partición
de n en k partes es una partición de n cuya parte más larga
es precisamente k y viceversa. De esta manera hemos es-
tablecido una biyección entre el conjunto de particiones de n
en k partes y el conjunto de particiones de n cuya