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Análise combinatória matemática

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elementales). Debe recordarse que (nk ) =
0 cuando k > n o cuando k < 0.
Proposición 22 (Triángulo de Pascal)(
n+ 1
k
)
=
(
n
k
)
+
(
n
k − 1
)
.
Demostración: En efecto, la parte izquierda de la fórmula
anterior es el número de maneras de seleccionar k objetos de
una colección de n + 1 objetos. Distingamos momentánea-
mente uno de los n + 1 objetos del resto. Entonces, cada
una de las (n+1k ) selecciones originales de los k objetos, o
En 1639 la familia Pascal se trasladó a Rouen, donde su padre hab́ıa
obtenido el puesto de recolector de impuestos para la Alta Normand́ıa.
De esa época es el primer trabajo de Pascal, titulado Ensayos sobre las
Secciones Cónicas, publicado en 1640.
Pascal inventó la primera calculadora digital para ayudar a su padre
en su trabajo de recolección de impuestos. Trabajó en este invento por
tres años, entre 1642 y 1645. El aparato, llamado Pascaline, recuerda a
los calculadores mecánicos de los años de la década de 1940. Esto hizo de
Pascal la segunda persona en inventar una calculadora mecánica, pues
Schickard ya hab́ıa manufacturado una en 1624.
Debió resolver algunos problemas relacionados con el diseño de su
calculadora, debido a las particularidades de la moneda utilizada en
Francia por aquella época. Hab́ıa 20 soles en una libra y 12 deniers en un
sol. El sistema se mantuvo en Francia hasta 1799, aunque en Bretaña se
empleó un sistema similar hasta 1971. Pascal tuvo que resolver muchos
problemas técnicos para implementar la división de una libra por 240,
problemas que pudo haberse evitado si la división hubiese sido por 100.
La producción de la máquina Pascaline comenzó en 1642. Para 1652
unos cincuenta prototipos hab́ıan sido producidos, pero pocas máquinas
hab́ıan sido vendidas y la manufactura del Pascaline cesó ese año.
En 1646 Pascal empezó una serie de experimentos sobre la presión
atmosférica. En 1647 probó, para su satisfacción, que el vaćıo existe. Al
3.2. El triángulo de Pascal 39
bien contiene a este objeto distinguido o bien no lo contiene.
El número de selecciones que incluyen al objeto distinguido
es entonces ( nk−1), pues coincide con el número de maneras
de seleccionar los k − 1 restantes objetos de entre los n aún
disponibles. Por otra parte, el número de selecciones que no
incluyen al objeto distinguido es (nk ), ya que esta cantidad
coincide con el número de maneras de seleccionar k objetos
de entre los n aún disponibles.
Otra identidad interesante desde el punto de vista com-
binatorio es la siguiente, la cual generaliza al triángulo de
Pascal:
Proposición 23 Para N , n ∈ N, M ≥ 1, n ≤ N + M , se
cumple
n∑
k=0
(
N
k
)(
M
n− k
)
=
(
N +M
n
)
.
principio Descartes no creyó en la noción del vaćıo de Pascal. En una
carta dirigida a Huygens, Descartes escribió, injusta y cruelmente, lo
siguiente: “. . . (Pascal) tiene mucho vaćıo en su cabeza”. Pascal escribió
el art́ıculo Nuevos Experimentos Concernientes al Vaćıo, que lo llenó de
controversias con un grupo de cient́ıficos quienes, como Descartes, no
créıan en el vaćıo. En 1648 Pascal observó que la presión de la atmósfera
decrece con la altura y dedujo que el vaćıo existe sobre la atmósfera.
Desde 1653 Pascal trabajó en matemáticas y f́ısica, escribiendo el
Tratado sobre el Equilibrio de los Ĺıquidos, obra en la cual explica la
ahora llamada Ley de la Presión de Pascal . Este tratado es un completo
esbozo de un sistema de hidrostática, el primero en la historia de la
ciencia, y materializó su contribución más importante y distintiva a la
f́ısica teórica.
Trabajó sobre las secciones cónicas y produjo importantes teoremas
en geometŕıa proyectiva. En su trabajo La Generación de las Secciones
Cónicas (1654) considera las cónicas como generadas por proyecciones
centrales del ćırculo. Ésta era la primera parte de un tratado sobre
cónicas que Pascal nunca llegó a completar. El trabajo se perdió, pero
gracias a las notas levantadas posteriormente por Leibniz y Tschirnhaus
sobre el mismo, ahora podemos tener una idea bastante completa de lo
que fue.
40 Caṕıtulo 3. Coeficientes binomiales y multinomiales
Demostración: En efecto, considérese una colección deN+
M objetos, particionados en dos subcolecciones de N y M
objetos respectivamente, y considérese el número total de
posibles selecciones de n ≤ N +M objetos, cual es (N+Mn ).
Por otra parte, obsérvese que el producto (Nk )(
M
n−k ) corres-
ponde al número de maneras de seleccionar los n objetos de
las dos particiones de objetos, seleccionando k de la primera
partición de N objetos y n− k de la segunda partición de M
objetos (proposición 15). Luego, al sumar cada uno de estos
productos (Nk )(
M
n−k ) obtenemos al final el número total de
maneras de seleccionar los n objetos de los N + M objetos
originales.
El lector podrá observar que cuando M = 1 y n ≥ 1
obtenemos la fórmula(
N + 1
n
)
=
(
N
n− 1
)
+
(
N
n
)
,
que es precisamente el triángulo de Pascal.
Aunque Pascal no fue el primero en estudiar el triángulo de Pascal , su
Tratado sobre los Triángulos Aritméticos fue el más importante trabajo
en este tópico. Posteriormente a través de los trabajos de Wallis y Pascal
sobre los coeficientes binomiales, Newton descubrió el teorema general
del binomio para potencias racionales y negativas.
A través de su correspondencia con Fermat, dejó abiertos los cimientos
de la teoŕıa de las probabilidades. Esta correspondencia consistió en
cinco cartas en 1654. Consideró el problema de un dado (¿cuántas veces
deberemos lanzar un par de dados antes de esperar un doble seis?), ya
estudiado por Cardan, y el problema de los puntos (¿cómo dividir las
apuestas si el juego del dado es incompleto?), también considerado por
Cardan, Pacioli y Tartaglia. Pascal resolvió el problema de los puntos
para un juego entre dos jugadores.
Su último trabajo fue sobre la cicloide, la curva trazada por un punto
de la circunferencia de un disco que rueda. Aplicó el principio de Cava-
lieri para calcular el área y centro de gravedad de cualquier segmento de
la cicloide. También resolvió el problema del cálculo del volumen y la
superficie del sólido de revolución formado al rotar la cicloide alrededor
de su eje horizontal.
3.3. Generalización de los coeficientes binomiales 41
3.3 Generalización de los coeficientes
binomiales
La definición de coeficientes binomiales puede ser extendida
de manera natural, si observamos que ( nm) =
[n]m
m! . En efecto,
podemos cambiar n por cualquier número real x.
Definición 24 Sea x ∈ R y m ∈ N. Entonces se define el
coeficiente binomial(
x
m
)
:=
[x]m
m!
=
x(x− 1) · · · (x−m+ 1)
m!
.
En particular, para cualquier entero n positivo, tendremos
la identidad(
−n
m
)
=
−n(−n− 1) · · · (−n−m+ 1)
m!
= (−1)m
(
n+m− 1
m
)
.
Una fórmula interesante que utiliza los coeficientes bi-
nomiales generalizados es el desarrollo infinito de (1 + x)β ,
donde β ∈ R, el cual es estudiado en los cursos de cálculo.
Lo presentamos aqúı sin demostración.
Proposición 25 Sea β ∈ R y sea |x| < 1. Entonces,
(1 + x)β =
∞∑
m=0
(
β
m
)
xm =
∞∑
m=0
[β]m
m!
xm. (3.2)
3.4 El teorema del multinomio
Concluimos este caṕıtulo estableciendo el teorema del multi-
nomio, utilizando métodos combinatorios.
42 Caṕıtulo 3. Coeficientes binomiales y multinomiales
Proposición 26 (Multinomio de Newton) Sean x1, x2,
. . . , xr ∈ R y n ∈ N. Entonces se cumple la fórmula
(x1+x2+· · ·+xr)n =
∑
k1,k2,...,kr≥0
k1+k2+···+kr=n
(
n
k1, k2, . . . , kr−1
)
xk11 x
k2
2 · · ·x
kr
k .
Demostración: En efecto, para cada uno de los n factores
de la parte izquierda de la fórmula anterior, selecciónese una
de los x’s. Entonces, cada término tiene la forma
xk11 x
k2
2 · · ·x
kr
r ,
donde ki ≥ 0 y
∑r
i=1 ki = n. El coeficiente de cada uno de
estos términos es precisamente el número de maneras en que
podemos dividir los n factores en r grupos, el primer grupo
conteniendo k1 elementos, el segundo