AP1 - CG - 2011 2-Gabarito

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
AP1 – Construções Geométricas – 2011/2
Nome: Matŕıcula:
Pólo: Data:
Atenção!
• Identifique a Prova, colocando Nome, Matŕıcula, • O desenvolvimento das questões pode ser a lápis.
Pólo e Data; • É expressamente proibido o uso de corretivo nas respostas.
• É expressamente proibido o uso de calculadoras; • Se a questão apresenta figura, a solução da questão deve
• Devolver a prova e a folha de respostas ao res- ser feita utilizando a figura fornecida, no espaço para
ponsável; ela reservado.
Questão 1 [2,0 pt]Considere o segmento CD. Construa os pontos eqüidistantes dos pontos
A e B, de tal forma que por cada um desses pontos se pode observar o segmento CD sob um
ângulo de 45◦, isto é, ligando-se cada um desses pontos aos extremos do segmento CD obtém-se
um ângulo de 45◦.
Solucão Os pontos são as interseções da mediatriz dos pontos A e B com o arco capaz de 45◦
do segmento CD.
Questão 2 [2,0 pt]Construa um triângulo retângulo conhecendo-se a hipotenusa e sua altura
relativa.
Construções Geométricas AP1 – Construções Geométricas 2
Solucão Todo triângulo retângulo é inscrit́ıvel em uma semicircunferência cujo diâmetro é igual
a hipotenusa do triângulo. Assim, constrúımos um segmento AB igual a hipotenusa dada e
traçamos a semicircunferência de centro no ponto médio e raio igual a metade da hipotenusa. Em
seguida, traçamos uma perpendicular a AB e na perpendicular marcamos a altura. Finalmente,
pela altura traçamos uma paralela a AB tocando a semicircunferência em dos pontos C e C ′.
Formando dois triângulos retângulos congruentes.
Questão 3 [2,0 pt]Construa um poĺıgono estrelado de 8 pontas pulando 2 a 2 vértices de um
octógono regular, sabendo que cada segmento que forma o poĺıgono estrelado mede 6cm.
Solucão Construa um segmento AB de 6cm de comprimento. O poĺıgono estrelado e inscrit́ıvel
em um circunferência de centro O tal que OÂB = OB̂A =
45◦
2
. Por isso, traçamos a mediatriz
do segmento AB e constrúımos pelo ponto A um ângulo de
45◦
2
para encontrarmos o ponto O.
Em seguida, constrúımos a circunferência de centro em O e raio OA e em tal circunferência
constrúımos o poĺıgono desejado.
Questão 4 [2,0 pt]Dados os segmentos de medidas a, b e c, encontre o segmento de compri-
mento
x =
a2 − b2√
b.c
.
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Construções Geométricas AP1 – Construções Geométricas 3
Solucão Construa um triângulo retângulo cuja hipotenusa tem medida a e um dos catetos tem
medida b. O segundo cateto desse triângulo tem medida y tal que y2 = a2 − b2. Construa
sobre uma reta dois segmentos consecutivos de medidas b e c. No ponto que une os segmentos
trace uma perpendicular. Construa uma semicircunferência de diâmetro igual a soma b + c,
que interceptará a perpendicular formando um segmento z =
√
b.c. Agora, basta construir o
segmento de comprimento x =
y2
z
⇔ z
y
=
y
x
, isto é, x é a terceira proporcional dos segmentos
z e y, nessa ordem.
Questão 5 [2,0 pt]Construa o trapézio isósceles sendo dados a base maior e a diagonal, sabendo
que a base menor é a terceira proporcional da diagonal e a base maior dadas, nessa ordem.
Solucão Primeiramente, obtenha a terceira proporcional dos segmentos que correspondem a
diagonal e a base maior, nessa ordem, isto é, se d é a diagonal, b é a base maior e b′ é a base
menor, então
d
b
=
b
b′
. A seguir, para construir o trapézio isósceles, construa um triângulo
isósceles auxiliar, AEC, onde AE = AB + BE, com AB e BE iguais as bases maior e menor,
respectivamente. Pelo vértice C trace uma paralela a AB e, sobre essa paralela, construa o
segmento CD de comprimento igual à base menor.
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Construções Geométricas AP1 – Construções Geométricas 4
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