Juros Compostos

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Juros Compostos
Os Juros Compostos são calculados levando em conta a atualização do capital, ou seja, o juro incide não apenas no valor inicial, mas também sobre os juros acumulados (juros sobre juros).
Esse tipo de juros, chamado também de “capitalização acumulada”, é muito utilizado nas transações comerciais e financeiras (sejam dívidas, empréstimos ou investimentos).
Exemplo
Uma aplicação de R$10.000, no regime de juros compostos, é feita por 3 meses a juros de 10% ao mês. Qual o valor que será resgatado ao final do período?
	Mês
	Juros
	Valor
	1
	10% de 10000 = 1000
	10000 + 1000 = 11000
	2
	10% de 11000 = 1100
	11000 + 1100 = 12100
	3
	10% de 12100 = 1210
	12100 + 1210 = 13310
Note que o juro é calculado usando o valor já corrigido do mês anterior. Assim, ao final do período será resgatado o valor de R$13.310,00.
Para compreendermos melhor, é necessário conhecer alguns conceitos utilizados em matemática financeira. São eles:
· Capital: valor inicial de uma dívida, empréstimo ou investimento.
· Juros: valor obtido quando aplicamos a taxa sobre o capital.
· Taxa de Juros: expressa em porcentagem (%) no período aplicado, que pode ser dia, mês, bimestre, trimestre ou ano.
· Montante: o capital acrescido dos juros, ou seja, Montante = Capital + Juros.
Fórmula: Como Calcular os Juros Compostos?
Para calcular os juros compostos, utiliza-se a expressão:
M = C (1+i)t
Onde,
M: montante
C: capital
i: taxa fixa
t: período de tempo
Para substituir na fórmula, a taxa deverá estar escrita na forma de número decimal. Para isso, basta dividir o valor dado por 100. Além disso, a taxa de juros e o tempo devem se referir à mesma unidade de tempo.
Se pretendemos calcular somente os juros, aplicamos a seguinte fórmula:
J = M - C
Exemplos
Para entender melhor o cálculo, vejamos abaixo exemplos sobre a aplicação dos juros compostos.
1) Se um capital de R$500 é aplicado durante 4 meses no sistema de juros compostos sob uma taxa mensal fixa que produz um montante de R$800, qual será o valor da taxa mensal de juros?
Sendo:
C = 500
M = 800
t = 4
Aplicando na fórmula, temos:
Uma vez que a taxa de juros é apresentada na forma de porcentagem, devemos multiplicar o valor encontrado por 100. Assim, o valor da taxa mensal de juros será de 12,5 % ao mês.
1) Enem - 2018
Um contrato de empréstimo prevê que quando uma parcela é paga de forma antecipada, conceder-se-á uma redução de juros de acordo com o período de antecipação. Neste caso, paga-se o valor presente, que é o valor naquele momento, de uma quantia que deveria ser paga em uma data futura. Um valor presente P submetido a juros compostos com taxa i, por um período de tempo n, produz um valor futuro V determinado pela fórmula
Em um contrato de empréstimo com sessenta parcelas fixas mensais, de R$ 820,00, a uma taxa de juros de 1,32% ao mês, junto com a trigésima parcela será paga antecipadamente uma outra parcela, desde que o desconto seja superior a 25% do valor da parcela.
Utilize 0,2877 como aproximação para e 0,0131 como aproximação para ln (1,0132).
A primeira das parcelas que poderá ser antecipada junto com a 30ª é a
a) 56ª
b) 55ª
c) 52ª
d) 51ª
e) 45ª
Na questão proposta, queremos descobrir qual a parcela que, aplicando a redução de juros ao pagar antecipadamente, o valor pago tenha um desconto superior 25%, ou seja:
Simplificando a fração (dividindo em cima e embaixo por 25), descobrindo que o valor a ser pago pela parcela antecipada deve ser:
A parcela antecipada corresponde ao valor futuro corrigido para o valor presente, ou seja, descontado os juros de 1,32% ao pagar essa parcela antes do prazo, isto é:
Onde n é igual ao período que será antecipado. Substituindo essa expressão na anterior, temos:
Como aparece 820 em ambos os lados da desigualdade, podemos simplificar, "cortando" esse valor:
Podemos inverter as frações, tendo o cuidado de também inverter o sinal da desigualdade. Assim, nossa expressão fica:
Observe que o valor que queremos descobrir está no expoente (n). Sendo assim, para resolver a inequação aplicaremos o logaritmo natural (ln) em ambos os lados da inequação, ou seja:
Agora, podemos substituir pelos valores indicados no enunciado e encontrar o valor do n:
Como n deve ser maior que o valor encontrado, então teremos que antecipar 22 parcelas, ou seja, pagaremos a 30ª parcela junto com a 52ª (30 + 22 = 52).
Alternativa: c) 52ª
2) Enem - 2011
Um jovem investidor precisa escolher qual investimento lhe trará maior retorno financeiro em uma aplicação de R$ 500,00. Para isso, pesquisa o rendimento e o imposto a ser pago em dois investimentos: poupança e CDB (certificado de depósito bancário). As informações obtidas estão resumidas no quadro:
Para o jovem investidor, ao final de um mês, a aplicação mais vantajosa é
a) a poupança, pois totalizará um montante de R$ 502,80.
b) a poupança, pois totalizará um montante de R$ 500,56.
c) o CDB, pois totalizará um montante de R$ 504,38.
d) o CDB, pois totalizará um montante de R$ 504,21.
e) o CDB, pois totalizará um montante de R$ 500,87.
Para descobrir qual o melhor rendimento, vamos calcular quanto cada um renderá no final de um mês. Vamos então começar calculando o rendimento da poupança.
Considerando os dados do problema, temos:
c = R$500,00
i = 0,560% = 0,0056 a.m.
t = 1 mês
M = ?
Substituindo esses valores na fórmula de juros compostos, temos:
M = C (1+i)t
Mpoupança = 500 (1 + 0,0056)1
Mpoupança = 500.1,0056
Mpoupança = R$ 502,80
Como neste tipo de aplicação não existe desconto do imposto de renda, então esse será o valor resgatado.
Agora, iremos calcular os valores para o CDB. Para esta aplicação, a taxa de juros é igual 0,876% (0,00876). Substituindo esses valores, temos:
MCDB = 500 (1+0,00876)1
MCDB = 500.1,00876
MCDB = R$ 504,38
Esse valor não será o valor recebido pelo investidor, pois nesta aplicação existe um desconto de 4%, relativo ao imposto de renda, que deverá ser aplicado sobre os juros recebidos, conforme indicado abaixo:
J = M - C
J = 504,38 - 500 = 4,38
Precisamos calcular 4% deste valor, para isso basta fazer:
4,38.0,04 = 0,1752
Aplicando esse desconto ao valor, encontramos:
504,38 - 0,1752 = R$ 504,21
Alternativa: d) o CDB, pois totalizará um montante de R$ 504,21.
3) UERJ - 2017
Um capital de C reais foi investido a juros compostos de 10% ao mês e gerou, em três meses, um montante de R$ 53240,00. Calcule o valor, em reais, do capital inicial C.
Temos os seguintes dados no problema:
M = R$53240,00
i = 10% = 0,1 ao mês
t = 3 meses
C = ?
Substituindo esses dados na fórmula de juros compostos, temos:
M = C (1+i)t
53240 = C (1+0,1)3
53240 = 1,331 C
4) Fuvest - 2018
Maria quer comprar uma TV que está sendo vendida por R$ 1.500,00 à vista ou em 3 parcelas mensais sem juros de R$ 500,00. O dinheiro que Maria reservou para essa compra não é suficiente para pagar à vista, mas descobriu que o banco oferece uma aplicação financeira que rende 1% ao mês. Após fazer os cálculos, Maria concluiu que, se pagar a primeira parcela e, no mesmo dia, aplicar a quantia restante, conseguirá pagar as duas parcelas que faltam sem ter que colocar nem tirar um centavo sequer. Quanto Maria reservou para essa compra, em reais?
a) 1.450,20
b) 1.480,20
c) 1.485,20
d) 1.495,20
e) 1.490,20
Neste problema, temos que fazer a equivalência de valores, ou seja, conhecemos o valor futuro que deverá ser pago em cada parcela e queremos conhecer o valor presente (capital que será aplicado).
Para esta situação usamos a seguinte fórmula:
Considerando que a aplicação deverá render R$ 500,00 no momento do pagamento da segunda parcela, que será 1 mês após o pagamento da primeira parcela, temos:
Para pagar a terceira parcela também de R$500,00, o valor ficará aplicado por 2 meses, então o valor aplicado será igual a:
Assim, o valor que Maria reservou para a compra é igual a soma dos valores aplicados com o valor da primeira parcela, ou seja:
V = 500 + 495,05 + 490,15 = R$ 1.485,20
Alternativa: c) R$ 1.485,20
5) UNESP - 2005
Mário tomou um empréstimo de R$ 8.000,00 a juros de 5% ao mês. Doismeses depois, Mário pagou R$ 5.000,00 do empréstimo e, um mês após esse pagamento, liquidou todo o seu débito. O valor do último pagamento foi de:
a) R$ 3.015,00.
b) R$ 3.820,00.
c) R$ 4.011,00.
d) R$ 5.011,00.
e) R$ 5.250,00.
Sabemos que o empréstimo foi liquidado em duas parcelas e que temos os seguintes dados:
VP = 8000
i = 5% = 0,05 a.m
VF1 = 5000
VF2 = x
Considerando os dados e fazendo a equivalência dos capitais, temos:
Alternativa: c) R$ 4.011,00.