Lista 12 de cálculo 1 - Limites e funções

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b) lim
x→1
2
√
x− 2
√
4x+ 3−
√
7
;
Temos que
2
√
x− 2
√
4x+ 3−
√
7
=
2(
√
x− 1)(
√
4x+ 3 +
√
7)
(
√
4x+ 3−
√
7)(
√
4x+ 3 +
√
7)
=
=
2(
√
x− 1)(
√
4x+ 3 +
√
7)
4x− 4
=
(
√
x− 1)(
√
4x+ 3 +
√
7)
2(
√
x− 1)(
√
x+ 1)
=
=
√
4x+ 3 +
√
7
2(
√
x+ 1)
Logo, lim
x→1
2
√
x− 2
√
4x+ 3−
√
7
= lim
x→1
√
4x+ 3 +
√
7
2(
√
x+ 1)
=
2
√
7
4
=
√
7
2
c) lim
x→a
|x− a|
x2 − a2
, a 6= 0.
Temos que
lim
x→a−
|x− a|
x2 − a2
= lim
x→a−
−(x− a)
(x− a)(x+ a)
= lim
x→a−
− 1
x+ a
= − 1
2a
lim
x→a+
|x− a|
x2 − a2
= lim
x→a+
(x− a)
(x− a)(x+ a)
= lim
x→a+
1
x+ a
=
1
2a
Como − 1
2a
6= 1
2a
concluimos que o limite em questão não existe.
5. Se x e y são números reais tais que x2 +y2 = 1, use o Teorema do valor Intermediário
para mostrar que existe θ ∈ (0, π) tal que cos(θ) = x e sen(θ) = y.
Temos que x2 ≤ x2 + y2 = 1 logo, |x| ≤ 1, ou seja, −1 ≤ x ≤ 1.
Se x = −1 temo4. Diga se o limite existe ou n˜ao. Se o limite existir, calcule
-o e se n˜ao existir justifique sua resposta. s que x = −1 = cos(π) e y = 0 = sen(π),
ou seja, θ = π.
Se x = 1 temos que x = 1 = cos(0) e y = 0 = sen(0), ou seja, θ = 0.
Se −1 < x < 1, então cos(π) < x < cos(0) e como a função cos : [0, π] → [−1, 1]
é cont́ınua, segue do Teorema do Valor Intermediário que existe θ ∈ R tal que 0 <
θ < π e x = cos(θ). Como sen2(θ) = 1 − cos2(θ), temos que y2 = sen2(θ), ou seja,
|y| = |sen(θ)|. Como 0 < θ < π temos que |sen(θ)| = sen(θ), ou seja, y = sen(θ).
4. Diga se o limite existe ou não. Se o limite existir, calcule-o e se não existir justifique
sua resposta.