Lista de Exercícios - P A e P G - Com Gabarito Comentado - Prof Aruã Dias

Prévia do material em texto

Página 2 de 8 
 
 
1. (Fgv 2017) Na tabela de 8 colunas e infinitas linhas numeradas, indicada na figura, 
podemos formar infinitos quadrados coloridos 3 3, como mostra um exemplo. 
 
 
 
Nessa tabela, o quadrado colorido 3 3 cuja soma dos 9 elementos é igual a 4.806 ocupa 
três linhas, sendo uma delas a linha 
a) 71. 
b) 67. 
c) 53. 
d) 49. 
e) 41. 
 
2. (Fgv 2018) Os termos de uma sequência são definidos recursivamente por 
1
n n 1
a 5
a 2 a −
=

= +
 
para todo n , n 2. Sendo assim, a soma dos n primeiros termos dessa sequência será 
dada pela expressão 
a) 7n 2.− 
b) 23,5n 3,5n 5.− + 
c) 2n 17n 60.− + 
d) 2n 4n.+ 
e) 2n 3.+ 
 
3. (Fuvest 2010) Os números a1, a2, a3 formam uma progressão aritmética de razão r, de tal 
modo que 1α + 3, 2α - 3, 3α – 3 estejam em progressão geométrica. Dado ainda que 1α > 0 e 
2α = 2, conclui-se que r é igual a 
a) 3 + 3 
b) 
3
3
2
+ 
c) 3 +
3
4
 
d) 3 -
3
2
 
e) 3 - 3 
 
 
Página 3 de 8 
 
4. (Fgv 2012) Guilherme pretende comprar um apartamento financiado cujas prestações 
mensais formam uma progressão aritmética decrescente; a primeira prestação é de R$ 
2600,00 e a última, de R$ 2020,00. 
A média aritmética das prestações é um valor: 
a) entre R$ 2250,00 e R$ 2350,00 
b) entre R$ 2350,00 e R$ 2450,00 
c) menor que R$ 2250,00 
d) maior que R$ 2450,00 
e) impossível de determinar com as informações dadas 
 
5. (Fgv 2012) Uma bobina cilíndrica de papel possui raio interno igual a 4 cm e raio externo 
igual a 8 cm. A espessura do papel é 0,2 mm. 
 
 
 
Adotando nos cálculos 3,π = o papel da bobina, quando completamente desenrolado, 
corresponde a um retângulo cuja maior dimensão, em metros, é aproximadamente igual a 
a) 20. 
b) 30. 
c) 50. 
d) 70. 
e) 90. 
 
6. (Fuvest 2015) Dadas as sequências 2na n 4n 4,= + + 
2n
nb 2 ,= n n 1 nc a a+= − e 
n 1
n
n
b
d ,
b
+= 
definidas para valores inteiros positivos de n, considere as seguintes afirmações: 
 
I. na é uma progressão geométrica; 
II. nb é uma progressão geométrica; 
III. nc é uma progressão aritmética; 
IV. nd é uma progressão geométrica. 
 
São verdadeiras apenas 
a) I, II e III. 
b) I, II e IV. 
c) I e III. 
d) II e IV. 
e) III e IV. 
 
7. (Fuvest 2019) Forma‐se uma pilha de folhas de papel, em que cada folha tem 0,1mm de 
espessura. A pilha é formada da seguinte maneira: coloca‐se uma folha na primeira vez e, em 
cada uma das vezes seguintes, tantas quantas já houverem sido colocadas anteriormente. 
Depois de 33 dessas operações, a altura da pilha terá a ordem de grandeza 
a) da altura de um poste. 
b) da altura de um prédio de 30 andares. 
 
Página 4 de 8 
 
c) do comprimento da Av. Paulista. 
d) da distância da cidade de São Paulo (SP) à cidade do Rio de Janeiro (RJ). 
e) do diâmetro da Terra. 
 
8. (Fgv 2013) Um capital A de R$10.000,00 é aplicado a juros compostos, à taxa de 20% ao 
ano; simultaneamente, um outro capital B, de R$5.000,00, também é aplicado a juros 
compostos, à taxa de 68% ao ano. 
Utilize a tabela abaixo para resolver. 
 
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 
log x 0 0,30 0,48 0,60 0,70 0,78 0,85 0,90 0,96 
 
Depois de quanto tempo os montantes se igualam? 
a) 22 meses. 
b) 22,5 meses. 
c) 23 meses. 
d) 23,5 meses. 
e) 24 meses. 
 
9. (Unicamp 2017) Seja x um número real, 0 x 2,π  tal que a sequência (tan x, sec x, 2) é 
uma progressão aritmética (PA). Então, a razão dessa PA é igual a 
a) 1. 
b) 5 4. 
c) 4 3. 
d) 1 3. 
 
10. (Unicamp 2019) A figura a seguir exibe um pentágono em que quatro lados consecutivos 
têm comprimentos a, b, c e d. 
 
 
 
Se a sequência (a, b, c, d) é uma progressão geométrica de razão q 1, então tan θ é igual a 
a) 1 q. 
b) q. 
c) 2q . 
d) q. 
 
 
Página 5 de 8 
 
Gabarito: 
 
Resposta da questão 1: 
 [B] 
 
Seja o quadrado colorido 
 
k k 1 k 2
k 8 k 9 k 10 ,
k 16 k 17 k 18
+ +
+ + +
+ + +
 
 
com k . Logo, sabendo que a soma dos nove elementos desse quadrado é igual a 4.806, 
temos 
3k 24 3k 27 3k 30 4806 9k 81 4806
k 525.
+ + + + + =  + =
 =
 
 
Portanto, escrevendo 525 como 
525 8 65 5
8 65 8 8 3
8 66 5,
=  +
=  + − +
=  −
 
 
e observando que todo elemento da coluna 3 é da forma 8n 5,− com n sendo o número da 
linha a que pertence tal elemento, podemos concluir que as linhas ocupadas pelo quadrado 
colorido dado são 66, 67 e 68. 
 
Resposta da questão 2: 
 [D] 
 
Calculando: 
( )
( ) ( )
1
n n 1
5
2
2
a 5
a 2 a
r 2
a 5 n 1 2 2n 3
5 2n 3 n 2n 8 n 2n 8n
S n 4n
2 2 2
−
=

= +
=
= + −  = +
+ +  +  +
= = = = +
 
 
Resposta da questão 3: 
 [E] 
 
P.A.(2 – r, 2, 2 + r) 2 – r > 0  r < 2 
P.G.(5 – r, -1 , -1 + r ) 
 
Aplicando a propriedade da P.G. Temos: 
 
(-1)2 = (5 – r).(r – 1)  r2 – 6r + 6 = 0  3 3 r += (não convém, maior que 2) ou 3 3 r −= 
(convém) 
 
Resposta da questão 4: 
 
Página 6 de 8 
 
 [A] 
 
A soma dos n primeiros termos da P.A. será dada por: 
( )
n
2020 2600 n
S .
2
+ 
= 
A média dos n termos será 
( )2020 2600 n
2310 t.
2 n
+ 
= 

 
 
Resposta da questão 5: 
 [D] 
 
Sabendo que a espessura do papel é 0,2 mm, temos que todo o papel enrolado corresponde a 
40 mm
200
0,2 mm
= circunferências concêntricas, de tal modo que os raios dessas circunferências 
crescem, de dentro para fora, segundo uma progressão aritmética de razão 0,2 mm. 
Portanto, a maior dimensão do retângulo é dada pela soma dos comprimentos das 
circunferências, ou seja, 
 
40,2 80
2 (40,2 40,4 80) 2 3 200
2
6 12020
72120mm
70 m.
π
+
  + + +    
= 
=

 
 
Resposta da questão 6: 
 [E] 
 
[I] Falsa. Tem-se que 2n 1a (n 2) .+ = + Logo, como a razão 
 
22
n 1
2
n
a (n 3) 1
1
a n 2(n 2)
+ +  = = + 
 + +
 
 
não é constante, segue que na não é uma progressão geométrica. 
 
[II] Falsa. De fato, a razão 
 
2
2 2
2
(n 1)
n 2n 1 n 2n 1n 1
nn
b 2
2 2
b 2
+
+ + − ++ = = = 
 
não é constante. Daí, podemos concluir que nb não é uma progressão geométrica. 
 
[III] Verdadeira. A diferença entre quaisquer dois termos consecutivos da sequência nc é 
 
2 2
n 1 n
2 2
a a (n 1) 4(n 1) 4 (n 4n 4)
n 2n 1 4n 4 4 n 4n 4
2n 5.
+ − = + + + + − + +
= + + + + + − − −
= +
 
 
Desse modo, nc é uma progressão aritmética de primeiro termo 7 e razão igual a 2. 
 
Página 7 de 8 
 
 
[IV] Verdadeira. De (II), temos 2n 1nd 2 ,
+= que é uma progressão geométrica de primeiro termo 
8 e razão igual a 4. 
 
Resposta da questão 7: 
 [D] 
 
O número de folhas na pilha, após n operações, constitui a progressão geométrica 
n 1(1, 2, 4, 8,16, , 2 , ).− Logo, tomando a aproximação 10 32 10 , após 33 operações, segue 
que a altura da pilha será igual a 
32 1 2 30 1
10 3 1
3 3 1
8
2 10 2 2 10
4 (2 ) 10
4 (10 ) 10
4 10 mm
400km.
− −
−
−
 =  
=  
  
 

 
 
Tal altura é da ordem de grandeza da distância da cidade de São Paulo à cidade do Rio de 
Janeiro. 
 
Resposta da questão 8: 
 [E] 
 
Temos tAM 10000 (1,2)=  e 
t
BM 5000 (1,68) .=  Logo, 
 
t
t t
t
1,68
10000 (1,2) 5000 (1,68) 2
1,2
log(1,4) log2
t (log2 log7 log10) log2
t (0,3 0,85 1) 0,3
0,30
t
0,15
t 2.
 
 =   = 
 
 =
  + − =
  + − 
 
 
 
 
Portanto, os montantes se igualarão, aproximadamente, após 2 anos (ou 24 meses). 
 
Resposta da questão 9: 
 [D] 
 
Calculando: 
 
Página 8 de 8 
 
( )1 2 3 2 1 3
2
2 2 2 2
PA a , a , a 2a a a
1 senx
2sec x 2 t g x 2 2 sen x 2cosx 2 sen x 2 2cosx
cosx cosx
sen x 1 cos x
1 cos x 2 2cosx 1 cos x 4 8cosx 4cos x 5cos x 8cosx 3 0
3
cosx ou cosx 1 (não convém)
5
5 4
sec x ; tgx
3 3
5 4 1
PA r r
3 3 3
→ → = +
= + →  = + → + = → = −
= −
− = − → − = − + → − + =
= =
= =
→ = − → =
 
 
Respostada questão 10: 
 [A] 
 
Tem-se que 
2 3(a, b, c, d) (a, aq, aq , aq ).= 
 
Logo, vem 
2
3
2
2
c a
tg
d b
aq a
aq aq
a(q 1)
aq(q 1)
1
.
q
θ
−
=
−
−
=
−
−
=
−
=