Lista de Exercícios de Probabilidade e Análise Combinatória

Prévia do material em texto

PROBABILIDADE E 
ANÁLISE 
COMBINATÓRIA 
EXERCÍCIOS 
PROF. 
TELMO 
 
MATEMÁTICA 
STUDYHARD 
 
 
 
Questão 1 
Para exemplificar probabilidade, um grupo de estudantes fez uma atividade envolvendo química, conforme 
o procedimento descrito. 
Cada estudante recebeu um recipiente contendo 800 mL de água destilada com algumas gotas do 
indicador de pH alaranjado de metila e soluções de HCl e NaOH em diversas concentrações. 
Cada estudante deveria jogar apenas uma vez dois dados, um amarelo e um vermelho, ambos contendo 
os números de 1 a 6. 
• Ao jogar o dado vermelho, o estudante deveria adicionar ao recipiente 100 mL de solução do ácido 
clorídrico na concentração 10−n mol/L, sendo n o número marcado no dado (por exemplo, se saísse o 
número 1 no dado, a solução seria de 10−1 mol/L; se saísse 6, a solução seria de 10−6 mol/L). 
• Ao jogar o dado amarelo, o estudante deveria executar o mesmo procedimento, mas substituindo o ácido 
por NaOH, totalizando assim 1,0 L de solução. 
• O estudante deveria observar a cor da solução ao final do experimento. 
A professora mostrou a tabela com alguns valores de pH resultantes conforme os números tirados nos 
dados. Ela pediu, então, aos estudantes que utilizassem seus conhecimentos e a tabela para prever em 
quais combinações de dados a cor final do indicador seria vermelha. 
 
A probabilidade de, após realizar o procedimento descrito, a 
solução final preparada por um estudante ser vermelha é de: 
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
(E) 
 
 
 
Note e adote: 
Considere a seguinte relação entre pH do meio e coloração do indicador 
alaranjado de metila: 
 
 
Gabarito: 
C 
Resolução: 
Considerando-se a reação envolvida e o padrão observável na tabela, temos: 
– linha 1: os valores das colunas 3, 4 e 5 devem variar entre 2,1 e 2,0; 
– linha 2: os valores das colunas 4, 5 e 6 devem ser menores que 3,1; 
– linha 3: os valores das colunas 4 e 5 devem variar entre 7,0 e 4,1; 
– linha 4: os valores das colunas 5 e 6 devem ser menores que 7,0 e maiores que 4,1; 
– linha 5: os valores das colunas 5 e 6 devem ser menores que 8,9 e maiores que 4,1; 
– linha 6: todos os valores ausentes dessa linha devem ser superiores a 7,0. 
Assim, existem 5 valores de pH inferiores a 3,3 na primeira linha, e 4 valores na segunda linha, de 
forma que a probabilidade de, após realizar o procedimento descrito, a solução final preparada 
por um estudante ser vermelha, ou seja, ter pH inferior a 3,3, é dada por: 
P = (5 + 4) / 36 
P = ¼ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Questão 2 
Carros que saem da cidade A rumo a alguma das cidades turísticas E, F e G fazem caminhos diversos, 
passando por pelo menos uma das cidades B, C e D, apenas no sentido indicado pelas setas, como 
mostra a figura. Os números indicados nas setas são as probabilidades, dentre esses carros, de ir de uma 
cidade a outra. 
 
Nesse cenário, a probabilidade de um carro ir de A a F é 
(A) 0,120. 
(B) 0,216. 
(C) 0,264. 
(D) 0,336. 
(E) 0,384. 
Gabarito: 
E 
Resolução: 
A probabilidade de um carro ir de A à F corresponde à soma das probabilidades de cada um dos 
três caminhos seguintes: 
– P1 = A → C → F = 0,2 × 0,6 = 0,12; 
– P2 = A → B → C → F = 0,8 × 0,1 × 0,6 = 0,048 e 
– P3 = A → B → D→ F = 0,8 × 0,9 × 0,3 = 0,216. 
Nesse cenário, a probabilidade de um carro ir de A à F é 
Ptotal = P1 + P2 + P3 
Ptotal = 0,12 + 0,048 + 0,216 
Ptotal = 0,384 
 
 
Questão 3 
Cinco pessoas devem ficar em pé, uma ao lado da outra, para tirar uma fotografia, sendo que duas delas 
se recusam a ficar lado a lado. O número de posições distintas para as cinco pessoas serem fotografadas 
juntas é igual a 
a) 48. 
b) 72. 
c) 96. 
d) 120. 
Gabarito: 
B 
Resolução: 
O número total de arranjos é dado por: 
Ntotal = 5! 
Ntotal = 120 
O número total de arranjos em que duas pessoas estejam sempre juntas é dado por: 
N1 = 2 . 4! 
N1 = 48 
O número de posições distintas para as cinco pessoas serem fotografadas juntas, considerando-
se que duas delas se recusam a ficar lado a lado, é igual a 
N = Ntotal – N1 
N = 120 – 48 
N = 72 
 
 
 
 
 
 
 
 
Questão 4 
Um atleta participa de um torneio composto por três provas. Em cada prova, a probabilidade de ele ganhar 
é de , independentemente do resultado das outras provas. 
Para vencer o torneio, é preciso ganhar pelo menos duas provas. A probabilidade de o atleta vencer o 
torneio é igual a 
a) . 
b) . 
c) . 
d) . 
Gabarito: 
C 
Resolução: 
Uma vez que para vencer o torneio é necessário que o atleta ganhe duas ou três provas, que em cada 
prova, a probabilidade de ele ganhar é de 2/3 e a de perder é 1/3, independentemente do resultado das 
outras provas, temos as seguintes probabilidades: 
– vencer duas provas e perder uma prova: 
P2de3 = 2/3 . 2/3 . 1/3 
P2de3 = 4/27 
Considerando-se que existem três combinações possíveis para vencer duas provas de um total 
de três, essa probabilidade passa a 3 . 4/27 = 4/9 
– vencer três provas: 
P3de3 = 2/3 . 2/3 . 2/3 
P3de3 = 8/27 
A probabilidade total de o atleta vencer o torneio é igual a 
Ptotal = P2de3 + P3de3 
Ptotal = 4/9 + 8/27 
Ptotal = 20/27 
 
 
 
 
 
QUESTÃO 5 
Combate ao Aedes aegypti 
 
O Ministério da Saúde convoca a população brasileira a manter permanentemente a mobilização nacional 
pelo combate ao Aedes aegypti, mosquito transmissor de quatro tipos de dengue, zika, chikungunya e 
febre amarela. O período do verão é o mais propício à proliferação do mosquito, por causa das chuvas, e 
consequentemente é a época de maior risco de infecção por essas doenças. No entanto, a recomendação 
é não descuidar nenhum dia do ano. 
Disponível em: <http://portalms.saude.gov.br>. Adaptado. 
 
Uma pessoa contraiu febre amarela, tratou-se e, algum tempo depois, contraiu dengue tipo 2. Supondo 
que essa pessoa resida em uma cidade onde circulam com a mesma prevalência os vírus causadores de 
todas essas doenças, e que essa pessoa venha a adquirir duas delas, a probabilidade de que essas 
doenças sejam dengue e chikungunya, nessa ordem, é 
(A) 25%. 
(B) 5%. 
(C) 15%. 
(D) 10%. 
(E) 30%. 
Gabarito: 
C 
 
 
 
 
 
Resolução: 
Admitindo-se que a pessoa em questão não adquira novamente o tipo de dengue que a infectou e também 
não adquira febre amarela, uma vez que a pessoa já contraiu um tipo de dengue, ela pode contrair 3 de 4 
tipos de dengue dentre 5 doenças possíveis: 
Pdengue = 3/5 
e, depois de contrair um segundo tipo de dengue, ela pode contrair Chikungunya dentre 4 
doenças possíveis: 
Pchikungunya = 1/4 
Assim, supondo que essa pessoa resida em uma cidade onde circulam com a mesma prevalência 
os vírus causadores de todas essas doenças, e que essa pessoa venha a adquirir 2 delas, a 
probabilidade de que essas doenças sejam dengue e chikungunya, nessa ordem, é dada por: 
Ptotal = 3/5 . 1/4 
Ptotal = 3/20 = 0,15 = 15% 
 
QUESTÃO 6 
Um jogo educativo possui 16 peças nos formatos: círculo, triângulo, quadrado e estrela, e cada formato é 
apresentado em 4 cores: amarelo, branco, laranja e verde. Dois jogadores distribuem entre si quantidades 
iguais dessas peças, de forma aleatória. 
O conjunto de 8 peças que cada jogador recebe é chamado de coleção. 
a) Quantas são as possíveis coleções que um jogador pode receber? 
b) Qual é a probabilidade de que os dois jogadores recebam a mesma quantidade de peças amarelas? 
c) A regra do jogo estabelece pontuações para as peças, da seguinte forma: círculo = 1 ponto, triângulo = 
2 pontos, quadrado = 3 pontos e estrela = 4 pontos. Quantas são as possíveis coleções que valem 26 
pontos ou mais? 
Gabarito: 
a) O número de possíveis coleções que um jogador pode receber corresponde à combinação formada por 
8 elementos de um total de 16 elementos possíveis: 
C16,8 = 16!/8!(16 – 8!) = 12870 
b) Se cada jogador deve receber 2 peças amarelas, dentre 4 possíveis, é necessário que também 
receba 6 peças de outras cores, dentre 12 possíveis. Assim,temos: 
C4,2.C12,6 = 4!/2!(4 – 2!) . 12!/6!(12 – 6!) = 5544 possibilidades 
A probabilidade de que os dois jogadores recebam a mesma quantidade de peças amarelas é 
dada por 
P = 5544/12870 
 
P = 28/65 
c) As possíveis coleções que valem 26 pontos ou mais correspondem a 
– 4 estrelas e 4 quadrados: 
1 
– 4 estrelas, 3 quadrados e 1 triângulo: 
C4,4.C4,3.C4,1 = 1 . 4!/3!(4 – 3!) . 4!/1!(4 – 1!) = 1 . 4 . 4 = possibilidades 
– 4 estrelas, 2 quadrados e 2 triângulos: 
C4,4.C4,2.C4,2 = 1 . 4!/2!(4 – 2!) . 4!/2!(4 – 2!) = 1 . 6 . 6 = 36 possibilidades 
– 4 estrelas, 3 quadrados e 1 círculo: 
C4,4.C4,3.C4,1 = 1 . 4!/3!(4 – 3!) . 4!/1!(4 – 1!) = 1 . 4 . 4 = 16 possibilidades 
– 3 estrelas, 4 quadrados e 1 triângulo: 
C4,3.C4,1.C4,1 = 4!/3!(4 – 3!) . 1 . 4!/1!(4 – 1!) = 1 . 4 . 4 = 16 possibilidades 
As possíveis coleções que valem 26 pontos ou mais são, portanto: 1 + 16 + 36 + 16 + 16 = 85. 
 
 
QUESTÃO 7 
A figura indica seis tipos de tomadas e os pinos projetados para nelas se encaixarem (1-A, 2-B, 3-C, 4-D, 
5-E e 6-F). Além dessa correspondência, sabe-se que: 
• O pino A também se encaixa na tomada 2. 
• O pino D também se encaixa nas tomadas 3 e 5. 
• O pino E também se encaixa nas tomadas 3 e 4. 
 
a) Sorteando-se aleatoriamente um tipo de pino e um tipo de tomada, qual é a probabilidade de que o 
encaixe entre eles possa ser feito? 
b) Sorteando-se aleatoriamente dois tipos de tomadas e dois tipos de pinos, qual é a probabilidade de que 
seja possível conectar um deles a uma tomada e o outro a outra? 
 
Gabarito: 
a) Existem combinações de pinos e tomadas que se encaixam: A com 1, A com 2, B com 2, C com 3, D 
com 3, D com 4, D com 5, E com 3, E com 4, E com 5 e F com 6. O número total de combinações é de 6 x 
6 = 36. Assim, sorteando-se aleatoriamente um tipo de pino e um tipo de tomada, a probabilidade de que o 
encaixe entre eles possa ser feito é de 
P = 11/36 
b) Sorteando-se aleatoriamente dois tipos de tomadas e dois tipos de pinos, a probabilidade de 
que seja possível conectar um deles a uma tomada e o outro a outra envolve as seguintes 
combinações: 
– tomadas A e B: pinos 1 e 2; 
– tomadas A e C: pinos 1 e 2 ou 1 e 3; 
– tomadas A e D: pinos 1 e 3, 1 e 4, 1 e 5, 2 e 3, 2 ou 4, 2 e 5; 
– tomadas A e E: pinos 1 e 3, 1 e 4, 1 e 5, 2 e 3, 2 e 4 ou 2 e 5; 
– tomadas A e F: pinos 1 e 6 ou 2 e 6; 
– tomadas B e C: pinos 2 e 3; 
– tomadas B e D: pinos 2 e 3, 2 e 4 ou 2 e 5; 
– tomadas B e E: pinos 2 e 3, 2 e 4 ou 2 e 5; 
– tomadas B e F: pinos 2 e 6; 
– tomadas C e D: pinos 3 e 4 ou 3 e 5; 
– omadas C e E: pinos 3 e 4 ou 3 e 5; 
– tomadas C e F: pinos 3 e 6; 
– tomadas D e E: pinos 3 e 4, 3 e 5 ou 4 e 5; 
– tomadas D e F: pinos 3 e 6, 4 e 6 ou 5 e 6; 
– tomadas E e F: pinos 3 e 6, 4 e 6 ou 5 e 6; 
de um total de 
C6,2 . C6,2 = 15 . 15 = 225 possibilidades 
Assim, a probabilidade pedida é de 
P = (1 + 2 + 6 + 6 + 2 + 1 + 3 + 3 + 1 + 2 + 2 + 1 + 3 + 3 + 3)/225 
P = 39/225 = 13/75 
 
 
 
 
 
 
 
QUESTÃO 8 
Considere o conjunto M(n, k) de todas as matrizes quadradas de ordem n x n, com exatamente k 
elementos iguais a 1, e os demais iguais a 0 (zero). Escolhendo aleatoriamente matrizes L ∈ M (3, 1) e R ∈ 
M (4, 2), a probabilidade de que L
2
 = 0 e R
2
 = 0 é igual a 
A ( ) 
B ( ) 
C ( ) 
D ( ) 
E ( ) 
Gabarito:B 
Resolução: 
Uma vez que L  M(3,1), existem três possibilidades para L
2
 ≠ 0: a11 = 1, a22 = 1 ou a33 = 1, num total de 
9 possibilidades, de forma que 
P = 6/9 
P = 2/3 
Uma vez que R  M(4,2), existem as seguintes possibilidades para R2 ≠ 0: 
– 1 número 1 na diagonal principal e 1 número 1 fora dessa diagonal, num total de 48 
possibilidades; 
– 2 números 1 na diagonal principal, num total de 4 possibilidades. 
P = (120 – 48 – 6 – 30)/120 
P = 36/120 
P = 3/10 
A probabilidade de que L2 = 0 e R2 = 0 é, portanto: 
P = 2/3 . 3/10 
P = 2/10 
P = 1/5 
 
 
 
QUESTÃO 9 
Lançando três dados de 6 faces, numeradas de 1 a 6, sem ver o resultado, você é informado de que a 
soma dos números observados na face superior de cada dado é igual a 9. Determine a probabilidade de o 
número observado em cada uma dessas faces ser um número ímpar. 
Gabarito: 
Lançando três dados de 6 faces, numeradas de 1 a 6, a soma dos números observados na face superior 
pode ser igual a 9 com as seguintes combinações: 
– 6 possibilidades com os números 1, 2 e 6; 
– 6 possibilidades com os números 1, 3 e 5; 
– 3 possibilidades com os números: 1, 4 e 4; 
– 3 possibilidades com os números: 2, 2 e 5; 
– 6 possibilidades com os números: 2, 3 e 4; 
–1 possibilidade com os números: 3, 3 e 3; 
- número total de possibilidades = 6 + 6 + 3 + 3 + 6 + 1 = 25. 
A soma dos números observados na face superior igual a 9, com o número observado em cada 
uma dessas faces sendo ímpar ocorre com as seguintes combinações: 
– 6 possibilidades com os números 1, 3 e 5; 
– 1 possibilidade com os números: 3, 3 e 3; 
– número total de possibilidades = 6 + 1 = 7. 
Assim, a probabilidade de o número observado em cada uma dessa faces ser um número ímpar é 
igual a 
P = 7/25 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
QUESTÃO 10 
O número de anagramas da palavra REFLORESTAMENTO que começam com a sequência FLORES é 
 
a) 9!. 
b) 9!/2!. 
c) 9!/(2! 2!). 
d) 9!/(2! 2! 2!). 
Gabarito: 
C 
Resolução: 
O número de anagramas da palavra REFLORESTAMENTO que começam com a sequência 
FLORES, considerando-se que a palavra reflorestamento tem 15 letras, a sequência flores tem 6 
letras, as letras E e T se repetem duas vezes, descontando-se as letras presentes na parte inicial 
FLORES, pode ser obtido permutando-se 9 letras com duas repetições, ou seja: 
P = 9!/(2! 2!)