Prova 1 - Questões de Cálculo 1

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1. (a) Sendo y =
x3
3
√
(x2 + 1)3
, mostre que
dy
dx
=
x2√
(x2 + 1)5
(b) Verifique que o ponto P = (1,−1) pertence à curva
(x2 + y2)3 − (x3 + y3)2 = 8
e ache a equação da reta tangente à curva no ponto P .
2. Considere a função f(x) = 3
√
x.
(a) Usando o limite que define a derivada, lim
∆x→0
f(x+ ∆x)− f(x)
∆x
, mostre que se x 6= 0, então
f ′(x) =
1
3
3
√
x2
. Em que ponto não se define f ′(x) por esta fórmula? Em quais pontos a
função f(x) é cont́ınua?
(b) Calcule o limite lim
∆x→0
f(x0 + ∆x)− f(x0)
∆x
para x0 = 0.
(c) Existe uma reta tangente ao gráfico de f no ponto (0, 0)? Se sim, qual é a sua equação?
3. Calcule três dos seguintes limites
(a) lim
x→2
3−
√
x+ 7
1−
√
x− 1
(b) lim
x→+∞
(2x3 − 4x− 3)3(5− 3x− 3x2)3
(54x15 + x14 − x2 − 23)
(c) lim
x→+∞
( 3
√
x3 − 8x2 − x) (d) lim
x→−1−
|x+ 1|
3− 4x− 7x2
4. Considere a função f(x) =
4x
x2 + 1
(a) Determine o doḿınio de f e estude o comportamento de f(x) quando x → ±∞. Em quais
pontos do seu doḿınio a função é cont́ınua?
(b) Use o fato de que f ′(x) =
−4(x2 − 1)
(x2 + 1)2
(NÃO CALCULE f ′(x)) e determine os intervalos de
crescimento e decrescimento de f , os pontos de máximo locais e os pontos de ḿınimo locais
de f , bem como os valores de f(x) nesses pontos;
(c) Agora mostre que f ′′(x) =
8x(x2 − 3)
(x2 + 1)3
, e determine as direções de concavidades do gráfico,
bem como seus pontos de inflexão.
(d) Usando os dados coletados nos itens anteriores, faça um esboço bonito do gráfico de f . Dado
numérico importante:
√
3 ≈ 1,7
5. Considere a função f(x) =
x2
2x− 1
,
(a) Usando limites, verifique que a curva y = f(x) tem uma reta asśıntota vertical. Escreva a
equação dessa reta asśıntota.
(d) Verifique que a curva y = f(x) tem uma reta asśıntota inclinada. Determine a equação dessa
reta asśıntota.
Prova 1 - Cálculo 1
(b) Use o fato de que f ′(x) =
2x(x− 1)
(2x− 1)2
(NÃO CALCULE f ′(x)) para determinar os intervalos de
crescimento e decrescimento de f , os pontos de máximo locais e os pontos de ḿınimo locais
de f . Calcule os valores de f(x) nesses pontos;
(c) Use o fato de que f ′′(x) =
2
(2x− 1)3
(NÃO CALCULE f ′′(x)) para determinar as direções de
concavidades do gráfico. Este gráfico possui pontos de inflexão?
(e) A partir dos dados coletados acima, faça um esboço bonito do gráfico de f .