Injunções no Ajustamento de Observações

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INJUNÇÕES
Ajustamento de Observações II
Engenharia Cartográfica e de Agrimensura
Departamento de Cartografia
FCT/UNESP
Prof. Paulo de Oliveira Camargo 
INJUNÇÕES
Ajustamento de Observações II
Engenharia Cartográfica e de Agrimensura
Departamento de Cartografia
FCT/UNESP
Prof. Paulo de Oliveira Camargo 
� Conteúdo da aula:
� Introdução
� Tipos de injunções
� Injunção Absoluta,
� Injunção Relativa
� Injunção Funcional
� Método Combinado com Injunção Funcional
� Método Paramétrico com Injunção Funcional
� Método Paramétrico com Injunção Relativa
� Exercícios
� Conteúdo da aula:
� Introdução
� Tipos de injunções
� Injunção Absoluta,
� Injunção Relativa
� Injunção Funcional
� Método Combinado com Injunção Funcional
� Método Paramétrico com Injunção Funcional
� Método Paramétrico com Injunção Relativa
� Exercícios
INJUNÇÕES
� A injunção no ajustamento é uma restrição imposta em alguns dos
parâmetros envolvidos no ajustamento.
� A equação de injunção é definida como sendo uma equação
constituída somente de parâmetros.
� Na prática, as injunções nos parâmetros ocorrem quando alguns ou
todos parâmetros devem satisfazerem algumas relações advindas da
geometria ou de características físicas do modelo.
� Por exemplo: em fotogrametria, pontos na margem de um lago
podem ser injuncionados como tendo a mesma altitude, as quais
podem ser ou não conhecidas, pontos sobre uma reta (por exemplo,
estrada), devem satisfazer a equação da reta, dois pontos cuja
distância entre si é conhecida pode ser injuncionado como tendo
distância conhecida.
� A injunção no ajustamento é uma restrição imposta em alguns dos
parâmetros envolvidos no ajustamento.
� A equação de injunção é definida como sendo uma equação
constituída somente de parâmetros.
� Na prática, as injunções nos parâmetros ocorrem quando alguns ou
todos parâmetros devem satisfazerem algumas relações advindas da
geometria ou de características físicas do modelo.
� Por exemplo: em fotogrametria, pontos na margem de um lago
podem ser injuncionados como tendo a mesma altitude, as quais
podem ser ou não conhecidas, pontos sobre uma reta (por exemplo,
estrada), devem satisfazer a equação da reta, dois pontos cuja
distância entre si é conhecida pode ser injuncionado como tendo
distância conhecida.
INTRODUÇÃO
� Injunção Absoluta:
� Quando um parâmetro é mantido fixo no ajustamento tem-se a
injunção absoluta, ou seja, sua é variância é nula.
� Ao montar a matriz A (método paramétrico ou combinado) não é
necessário derivar em relação a tal parâmetro, pois ele tem peso que
tende ao infinito ( P = ).
� Injunção Relativa:
� Também conhecida como injunção com peso.
� Neste caso, os parâmetros são tratados como observações adicionais ou
pseudo-observações.
� Injunção Funcional:
� Há uma relação funcional entre os parâmetros, os quais devem
obedecer uma determinada condição geométrica ou física, podendo
conhecer ou não o seu valor. Pode envolver todos ou partes dos
parâmetros.
� Injunção Absoluta:
� Quando um parâmetro é mantido fixo no ajustamento tem-se a
injunção absoluta, ou seja, sua é variância é nula.
� Ao montar a matriz A (método paramétrico ou combinado) não é
necessário derivar em relação a tal parâmetro, pois ele tem peso que
tende ao infinito ( P = ).
� Injunção Relativa:
� Também conhecida como injunção com peso.
� Neste caso, os parâmetros são tratados como observações adicionais ou
pseudo-observações.
� Injunção Funcional:
� Há uma relação funcional entre os parâmetros, os quais devem
obedecer uma determinada condição geométrica ou física, podendo
conhecer ou não o seu valor. Pode envolver todos ou partes dos
parâmetros.
TIPOS DE INJUNÇÕES
� Modelo matemático:
� Os modelos matemáticos do método combinado e da injunção são dados,
respectivamente por:
� Ambos formam um sistema constituído de r + s equações de
observações, sendo r equações de condição do método combinado e s
equações de injunções, que linearizados são dados por:
onde:
e
� Modelo matemático:
� Os modelos matemáticos do método combinado e da injunção são dados,
respectivamente por:
� Ambos formam um sistema constituído de r + s equações de
observações, sendo r equações de condição do método combinado e s
equações de injunções, que linearizados são dados por:
onde:
e
MÉTODO COMBINADO COM INJUNÇÃO FUNCIONAL
� Equações normais:
� Repetindo o procedimento do método combinado, porém considerando
dois conjuntos de multiplicadores de Lagrange K e K’, referente ao 10 e
20 modelo.
� A forma a ser minimizada é dada por:
� Anulando as derivadas parciais em relação a V, K, X e K’, obtém-se:
� Equações normais:
� Repetindo o procedimento do método combinado, porém considerando
dois conjuntos de multiplicadores de Lagrange K e K’, referente ao 10 e
20 modelo.
� A forma a ser minimizada é dada por:
� Anulando as derivadas parciais em relação a V, K, X e K’, obtém-se:
MÉTODO COMBINADO COM INJUNÇÃO FUNCIONAL
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� As equações matriciais representam um conjunto de n+r+u+s equações
algébricas envolvendo n+r+u+s incógnitas, que correspondem a n
resíduos (V), r correlatos (K), u parâmetros (X) e s correlatos (K’)
referente a injunção.
� As quatros equações combinadas constituem o sistema de equações
normais, que podem ser reunidas em uma “super-matriz”:
� A solução desse sistema envolve muito cálculo, geralmente o interesse é
por X e V.
� Da equação , tem-se que:
� As equações matriciais representam um conjunto de n+r+u+s equações
algébricas envolvendo n+r+u+s incógnitas, que correspondem a n
resíduos (V), r correlatos (K), u parâmetros (X) e s correlatos (K’)
referente a injunção.
� As quatros equações combinadas constituem o sistema de equações
normais, que podem ser reunidas em uma “super-matriz”:
� A solução desse sistema envolve muito cálculo, geralmente o interesse é
por X e V.
� Da equação , tem-se que:
� Substituindo V em , tem-se a equação que proporciona o
vetor dos correlatos K:
� Substituindo K em , obtém-se o vetor das correções X:
onde:
X* = - (AT M-1 A)-1 AT M-1 W → Correção obtida com o método 
combinado;
δX = (AT M-1 A)-1 CT K’ → Influência da injunção. 
� Substituindo V em , tem-se a equação que proporciona o
vetor dos correlatos K:
� Substituindo K em , obtém-se o vetor das correções X:
onde:
X* = - (AT M-1 A)-1 AT M-1 W → Correção obtida com o método 
combinado;
δX = (AT M-1 A)-1 CT K’ → Influência da injunção. 
– Para obter o vetor dos correlatos K’, envolvido no cálculo de δX,
substitui-se a expressão de X em :
que resulta:
� Parâmetros ajustados:
� Fator de variância a posteriori:
– Para obter o vetor dos correlatos K’, envolvido no cálculo de δX,
substitui-se a expressão de X em :
que resulta:
� Parâmetros ajustados:
� Fator de variância a posteriori:
� MVC dos parâmetros ajustados:
� A MVC de Xa é obtida aplicando a propagação em:
com:
que resulta em:
� MVC dos parâmetros ajustados:
� A MVC de Xa é obtida aplicando a propagação em:
com:
que resulta em:
� Problema: Considerando a trilateração ajustada pelo método
combinado, de onde tem-se da última iteração:
� Calcular o correspondente valor de XaR, considerando YR como
injunção funcional e com valor igual a 5,0 m => YR = 5,0 m.
�
� Solução:
� Neste problema tem-se somente uma equação de injunção (s = 1), que é 
dada por (modelo linear):
� Problema: Considerando a trilateração ajustada pelo método
combinado, de onde tem-se da última iteração:
� Calcular o correspondente valor de XaR, considerando YR como
injunção funcional e com valor igual a 5,0 m => YR = 5,0 m.
�
� Solução:
� Neste problema tem-se somente uma equação de injunção (s = 1), que é 
dada por (modelo linear):
EXERCÍCIO - MÉTODO COMBINADO COM INJUNÇÃO 
FUNCIONAL � A matriz C é dada por:
sendo s = 1 equação de injunção e u = 2 incógnitas, então:
� O erro de fechamento W’ referente à equação de injunção é dada 
por :
� A expressão para o cálculo do vetor de correção X dos 
parâmetros é dada por:
do ajustamento com o método combinado tem-seque:
� A matriz C é dada por:
sendo s = 1 equação de injunção e u = 2 incógnitas, então:
� O erro de fechamento W’ referente à equação de injunção é dada 
por :
� A expressão para o cálculo do vetor de correção X dos 
parâmetros é dada por:
do ajustamento com o método combinado tem-se que:
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� A influência da injunção que é dada por:
sendo:
assim:
� Vetor das correções dos parâmetros X:
� A influência da injunção que é dada por:
sendo:
assim:
� Vetor das correções dos parâmetros X:
� Coordendas (x,y) do Ponto R ajustadas:
� Fator de variância a posteriori:
� MVC das coordenadas do Ponto R ajustadas:
� Desvio padrão das coordenadas:
� Coordendas (x,y) do Ponto R ajustadas:
� Fator de variância a posteriori:
� MVC das coordenadas do Ponto R ajustadas:
� Desvio padrão das coordenadas:
� Solução alternativa: uma segunda forma de resolver o exercício é
considerar YR das equações originais como sendo um valor constante, devido
à injunção. Então substituindo YaR por 5, as equações originais:
� Equações de condição:
� Valores aproximados e observações:
� Matrizes A e B:
� Solução alternativa: uma segunda forma de resolver o exercício é
considerar YR das equações originais como sendo um valor constante, devido
à injunção. Então substituindo YaR por 5, as equações originais:
� Equações de condição:
� Valores aproximados e observações:
� Matrizes A e B:
� Vetor do erro de fechamento da equação de condição :
� Matriz Peso:
� Vetor das correções X e dos parâmetros ajustados Xa:
– Efetuando os cálculos, obtém-se que o vetor das correções e os
parâmetros – 1ª etapa do ajustamento:
� Vetor do erro de fechamento da equação de condição :
� Matriz Peso:
� Vetor das correções X e dos parâmetros ajustados Xa:
– Efetuando os cálculos, obtém-se que o vetor das correções e os
parâmetros – 1ª etapa do ajustamento:
� Realizar as demais iterações até que |X| < 0,001 m
� Teste estatístico para análise do Ajustamento: Não é possível
realizar o Teste Global do Modelo, pois não foi arbitrado um sigma a
priori para montar a matriz Peso. Análise pode ser realizada com o
Teste Tau (Teste de Pope).
� Vetor das correções X - Convergiu na 1ª iteração:
� Coordendas do Ponto R ajustadas:
� Fator de variância a posteriori:
� MVC das coordenadas do Ponto R ajustadas:
� Realizar as demais iterações até que |X| < 0,001 m
� Teste estatístico para análise do Ajustamento: Não é possível
realizar o Teste Global do Modelo, pois não foi arbitrado um sigma a
priori para montar a matriz Peso. Análise pode ser realizada com o
Teste Tau (Teste de Pope).
� Vetor das correções X - Convergiu na 1ª iteração:
� Coordendas do Ponto R ajustadas:
� Fator de variância a posteriori:
� MVC das coordenadas do Ponto R ajustadas:
� Modelo matemático:
� Neste caso o modelo matemático é composto por:
� Ambos formam um sistema constituído de n equações de observações e s
equações de injunções, que linearizados são dados por:
� Equações normais:
� A forma quadrática a ser minimizada é dada por:
� Modelo matemático:
� Neste caso o modelo matemático é composto por:
� Ambos formam um sistema constituído de n equações de observações e s
equações de injunções, que linearizados são dados por:
� Equações normais:
� A forma quadrática a ser minimizada é dada por:
MÉTODO PARAMÉTRICO COM INJUNÇÃO FUNCIONAL
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– Anulando as derivadas parciais em relação a X e K’:
– O vetor das correções aos parâmetros é obtido da Eq. (1):
onde:
X* = - N-1 U → Correção obtida com o método paramétrico,
δX = N-1 CT K’ → Influência da injunção. 
– Anulando as derivadas parciais em relação a X e K’:
– O vetor das correções aos parâmetros é obtido da Eq. (1):
onde:
X* = - N-1 U → Correção obtida com o método paramétrico,
δX = N-1 CT K’ → Influência da injunção. 
– Para obter o vetor dos correlatos K’, envolvido no cálculo de δX,
substitui-se a expressão de X na (Eq. (2)):
que resulta:
� Parâmetros ajustados:
� Fator de variância a posteriori:
– Para obter o vetor dos correlatos K’, envolvido no cálculo de δX,
substitui-se a expressão de X na (Eq. (2)):
que resulta:
� Parâmetros ajustados:
� Fator de variância a posteriori:
� MVC dos parâmetros ajustados:
� A MVC de Xa é obtida aplicando a propagação em:
com:
que resulta em:
� MVC dos parâmetros ajustados:
� A MVC de Xa é obtida aplicando a propagação em:
com:
que resulta em:
� Modelo matemático:
� Neste caso o modelo matemático é composto por: 
� A segunda equação representa uma injunção relativa, onde L’a
representa o vetor dos parâmetros ajustados; pois, quando introduz esse
tipo injunção no ajustamento, os parâmetros são tratados como
observações adicionais ou pseudo-observações, então:
� A equação de injunção relativa linearizada é dada por:
� Modelo matemático:
� Neste caso o modelo matemático é composto por: 
� A segunda equação representa uma injunção relativa, onde L’a
representa o vetor dos parâmetros ajustados; pois, quando introduz esse
tipo injunção no ajustamento, os parâmetros são tratados como
observações adicionais ou pseudo-observações, então:
� A equação de injunção relativa linearizada é dada por:
MÉTODO PARAMÉTRICO COM INJUNÇÃO RELATIVA
� Ambos formam um sistema constituído de n equações de observações e s
equações de injunções, que linearizados são dados por:
� Equações normais:
� A forma quadrática a ser minimizada é dada por:
- Substituindo V e V’, resulta:
� Ambos formam um sistema constituído de n equações de observações e s
equações de injunções, que linearizados são dados por:
� Equações normais:
� A forma quadrática a ser minimizada é dada por:
- Substituindo V e V’, resulta:
– O vetor das correções X é obtido a partir da 1ª derivada da função, que é
igual a zero:
– Para matriz peso das injunções diagonal, a matriz N’ e o vetor U’
serão, respectivamente, Pinj e PinjL’, onde Pinj representa a matriz peso
das injunções.
– O vetor das correções X é obtido a partir da 1ª derivada da função, que é
igual a zero:
– Para matriz peso das injunções diagonal, a matriz N’ e o vetor U’
serão, respectivamente, Pinj e PinjL’, onde Pinj representa a matriz peso
das injunções.
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– O procedimento de introdução de injunções é muito útil
computacionalmente, monta-se a matriz N e o vetor U, conforme o
modelo do método paramétrico, e a partir daí, se um dado parâmetro
(j) é injuncionado, posiciona-se o mesmo na matriz N e do vetor U, nos
elementos correspondentes a (j). A estes elementos adiciona-se Pinj no
correspondente elemento (j) em N e PinjL’ em U.
– Este tratamento é conveniente numericamente, mantém o modelo
paramétrico e possibilita padrões especiais para a matriz A e N, que
são importantes para eficiência numérica.
– O procedimento de introdução de injunções é muito útil
computacionalmente, monta-se a matriz N e o vetor U, conforme o
modelo do método paramétrico, e a partir daí, se um dado parâmetro
(j) é injuncionado, posiciona-se o mesmo na matriz N e do vetor U, nos
elementos correspondentes a (j). A estes elementos adiciona-se Pinj no
correspondente elemento (j) em N e PinjL’ em U.
– Este tratamento é conveniente numericamente, mantém o modelo
paramétrico e possibilita padrões especiais para a matriz A e N, que
são importantes para eficiência numérica.
� Parâmetros ajustados:
� Fator de variância a posteriori:
� MVC dos parâmetros ajustados:
� A MVC de Xa é obtida aplicando a propagação na expressão que fornece 
o valor ajustado, com o vetor . 
Assim:
� Parâmetros ajustados:
� Fator de variância a posteriori:
� MVC dos parâmetros ajustados:
� A MVC de Xa é obtida aplicando a propagação na expressão que fornece 
o valor ajustado, com o vetor . 
Assim:
• Problema: Considerando a rede de nivelamento ajustada pelo método
paramétrico:
A precisão da observação é dada por:
(As setas indicam o sentido do nivelamento) , sendo K em km
� Calcular novamente as altitudes ajustadas considerando a altitude do
ponto V (HV) como injunção relativa, ou seja:HV = 23,078 ± 0,001 m 
• Problema: Considerando a rede de nivelamento ajustada pelo método
paramétrico:
A precisão da observação é dada por:
(As setas indicam o sentido do nivelamento) , sendo K em km
� Calcular novamente as altitudes ajustadas considerando a altitude do
ponto V (HV) como injunção relativa, ou seja:
HV = 23,078 ± 0,001 m 
EXERCÍCIO - MÉTODO PARAMÉTRICO COM INJUNÇÃO 
RELATIVA � Solução:
� Dados necessários do ajustamento da rede de nivelamento com o 
método paramétrico:
� Solução:
� Dados necessários do ajustamento da rede de nivelamento com o 
método paramétrico:
� Equação de injunção (s = 1) => 
� Matriz C:
� Vetor : 
� Peso da injunção relativa:
� Matriz 
� Equação de injunção (s = 1) => 
� Matriz C:
� Vetor : 
� Peso da injunção relativa:
� Matriz 
� Vetor :
� Altitudes ajustadas => Xa = 
� Fator de variância a posteriori
� Vetor :
� Altitudes ajustadas => Xa = 
� Fator de variância a posteriori
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� Controle de Qualidade - Nivelamento:
a) Hipóteses:
b) Qui-quadrado amostral:
c) Qui-quadrado teórico, com ν = n – u graus de liberdade, para o
nível de significância α = 10%:
d) Análise:
=> 1,15 < 9,24
� Como a hipótese básica não foi rejeitada o ajustamento é aceito no
controle de qualidade, com nível de significância α = 10%.
� Controle de Qualidade - Nivelamento:
a) Hipóteses:
b) Qui-quadrado amostral:
c) Qui-quadrado teórico, com ν = n – u graus de liberdade, para o
nível de significância α = 10%:
d) Análise:
=> 1,15 < 9,24
� Como a hipótese básica não foi rejeitada o ajustamento é aceito no
controle de qualidade, com nível de significância α = 10%.
� MVC das altitudes ajustadas:� MVC das altitudes ajustadas:
�Solução alternativa: agrupar as equações de observação e de injunção
� Ajustamento pelo método paramétrico com injunção:
– Número de observações: n = 9 
– Número de parâmetros: u = 5
– Número de injunção: s = 1
– Número de equações: n+s = 10
– Graus de liberdade: n+s–u = 5
� Equações de condição e de injunção:
�Solução alternativa: agrupar as equações de observação e de injunção
� Ajustamento pelo método paramétrico com injunção:
– Número de observações: n = 9 
– Número de parâmetros: u = 5
– Número de injunção: s = 1
– Número de equações: n+s = 10
– Graus de liberdade: n+s–u = 5
� Equações de condição e de injunção:
� Matriz A: 
� Vetor L e Lo: 
� Matriz A: 
� Vetor L e Lo: 
• v
� Matriz Peso: 
• v
� Matriz Peso: 
• Sequência do ajustamento:
– Matriz N => N = ATPA
– Vetor U => U = ATPL
– Parâmetros ajustados => Xa = X = - N-1 U
– Vetor dos resíduos =>
– Fator de variância a posteriori =>
– Análise do ajustamento => Teste Global do Modelo (TGM)
– MVC das altitudes ajustadas =>
• Sequência do ajustamento:
– Matriz N => N = ATPA
– Vetor U => U = ATPL
– Parâmetros ajustados => Xa = X = - N-1 U
– Vetor dos resíduos =>
– Fator de variância a posteriori =>
– Análise do ajustamento => Teste Global do Modelo (TGM)
– MVC das altitudes ajustadas =>
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• Altitudes Ajustadas:
• Variância a posteriori:
• Controle de Qualidade - Nivelamento:
a) Hipóteses:
b) Qui-quadrado amostral:
• Altitudes Ajustadas:
• Variância a posteriori:
• Controle de Qualidade - Nivelamento:
a) Hipóteses:
b) Qui-quadrado amostral:
c) Qui-quadrado teórico, com ν = n – u graus de liberdade, para o
nível de significância α = 10%:
d) Análise:
=> 1,15 < 9,24
� Como a hipótese básica não foi rejeitada o ajustamento é aceito no
controle de qualidade, com nível de significância α = 10%.
�MVC das altitudes ajustadas:
c) Qui-quadrado teórico, com ν = n – u graus de liberdade, para o
nível de significância α = 10%:
d) Análise:
=> 1,15 < 9,24
� Como a hipótese básica não foi rejeitada o ajustamento é aceito no
controle de qualidade, com nível de significância α = 10%.
�MVC das altitudes ajustadas:
� Ajustar a rede de nivelamento geométrico (Gemael, 1994). A precisão da
observação é dada por: , sendo K em km.
a) Rede de nivelamento b) Desníveis observados
(As setas indicam o sentido do nivelamento)
c) Altitudes Conhecidas:
HA = 33,831 ± 0,001 m 
HB = 19,316 ± 0,002 m
HC = 2,791 ± 0,004 m 
� Ajustar a rede de nivelamento geométrico (Gemael, 1994). A precisão da
observação é dada por: , sendo K em km.
a) Rede de nivelamento b) Desníveis observados
(As setas indicam o sentido do nivelamento)
c) Altitudes Conhecidas:
HA = 33,831 ± 0,001 m 
HB = 19,316 ± 0,002 m
HC = 2,791 ± 0,004 m 
EXERCÍCIO – AJUSTAMENTO DE REDE DE NIVELAMENTO