Apostila 2-Curso Geo-Cartografia Geral-2020-1

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CURSO DE APERFEIÇOAMENTO EM 
GEORREFERENCIAMENTO DE 
IMÓVEIS RURAIS 
 
 
 
 
 
 
 
 
CCAARRTTOOGGRRAAFFIIAA GGEERRAALL 
AAPPLLIICCAADDAA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2020 
 
Curso de Georreferenciamento de Imóveis Rurais – Cartografia Geral Aplicada 
 
 
 
1 
SUMÁRIO 
1. Introdução ............................................................................................................................ 6 
1.1. Definições ............................................................................................................................ 6 
1.2. Generalidades sobre Cartas e Mapas. .................................................................................. 7 
1.3. Características das Cartas .................................................................................................. 10 
1.4. Classificação ...................................................................................................................... 10 
1.4.1. Quanto à finalidade (ABNT) ............................................................................................. 10 
1.4.2. Classificação segundo a Diretoria do Serviço Geográfico do Exército (DSG) ................. 11 
2. Processo Cartográfico ........................................................................................................ 12 
2.1. Aquisição de Mapas .......................................................................................................... 12 
3. Superfícies de referência usadas em cartografia. .............................................................. 17 
3.1. Superfície de referência geoidal ........................................................................................ 17 
3.2. Superfície de referência esférica ....................................................................................... 17 
3.3. Superfície de referência elipsoidal .................................................................................... 18 
3.4. O relacionamento entre as superfícies física, geoidal e elipsoidal. ................................... 19 
4. Geometria do Elipsoide. .................................................................................................... 20 
4.1. Raios de curvatura do elipsoide de revolução. .................................................................. 21 
4.2. Comprimento de um arco de meridiano (S) ...................................................................... 23 
4.3. Área de um setor elipsóidico (A)....................................................................................... 24 
4.4. Área de um quadrilátero elipsóidico (T) ........................................................................... 25 
4.5. Aproximação esférica. ....................................................................................................... 25 
5. Sistemas de Referência ...................................................................................................... 26 
5.1. Sistemas de Coordenadas Geográficas e Geodésicas ........................................................ 26 
5.2. Latitudes Geocêntrica e Reduzida. .................................................................................... 28 
5.3. Sistemas de Coordenadas Cartesianas Tridimensionais. ................................................... 29 
5.4. Transformação de Coordenadas Geográficas em Cartesianas ........................................... 29 
5.5. Transformação de Coordenadas Cartesianas em Geográficas. .......................................... 30 
6. Datum. ............................................................................................................................... 33 
6.1. Datum Horizontal .............................................................................................................. 33 
6.2. Mudança de Datum............................................................................................................ 36 
6.2.1. Transformação de Coordenadas Geodésicas para Cartesianas Tridimensionais ............... 36 
Curso de Georreferenciamento de Imóveis Rurais – Cartografia Geral Aplicada 
 
 
 
2 
6.2.2. Transformação de Cartesianas Tridimensionais para Coordenadas Geodésicas ............... 37 
6.3. Datum vertical. .................................................................................................................. 42 
7. Projeções Cartográficas ..................................................................................................... 44 
7.1. Introdução .......................................................................................................................... 44 
7.2. Superfícies de projeção...................................................................................................... 44 
7.3. Projeções Azimutais .......................................................................................................... 46 
7.4. Projeções cônicas............................................................................................................... 46 
7.5. Projeções Cilíndricas ......................................................................................................... 47 
8. Introdução ao conceito de distorção .................................................................................. 51 
8.1. Escala principal. ................................................................................................................ 53 
8.2. Escalas particulares ........................................................................................................... 53 
8.2.1. Fator de deformação ao longo dos meridianos (h). ........................................................... 55 
8.2.2. Fator de deformação ao longo dos paralelos (k). .............................................................. 56 
8.2.3. Elipse das distorções ou Indicatriz de Tissot ..................................................................... 57 
8.2.4. Fator de deformação máximo (a) e mínimo (b)................................................................. 60 
8.2.5. Fator de deformação de área (p). ....................................................................................... 61 
8.2.6. Fator de deformação angular máximo (). ....................................................................... 61 
9. Análise de uma projeção sob a ótica da teoria das distorções. .......................................... 65 
10. Sistemas de Coordenadas Planas (quadriculado e reticulado) .......................................... 77 
11. A Projeção Universal Transversa de Mercator (UTM) ..................................................... 78 
11.1. As projeções TM ............................................................................................................... 78 
11.2. Transformação de coordenadas Geográficas para TM ...................................................... 79 
11.3. Transformação de coordenadas TM para Geográficas ...................................................... 81 
11.4. Modificação das coordenadas TM em UTM, RTM e LTM .............................................. 83 
11.5. O Sistema UTM ( Universal Transversa de Mercator) ..................................................... 84 
12. Utilização de Cartas Topográficas ..................................................................................... 86 
12.1. Articulação das folhas ....................................................................................................... 86 
12.2. Extração de informações quantitativas das cartas topográficas. ....................................... 90 
12.2.1. Extração de informações lineares ...................................................................................... 91 
12.2.2. Extração de áreas ...............................................................................................................91 
12.2.3. Extração de coordenadas ................................................................................................... 91 
 
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3 
ÍNDICE DE FIGURAS 
Figura 1 – Representação esquemática da finalidade das cartas. .................................................... 7 
Figura 2 – Modelo de comunicação cartográfica proposto por Kolacny. ....................................... 8 
Figura 3 - Adquirindo mapas digitais pela Internet – Passo 1 ...................................................... 13 
Figura 4 - Adquirindo mapas digitais pela Internet – Passo 2 ...................................................... 14 
Figura 5 - Adquirindo mapas digitais pela Internet – Passo 3 ...................................................... 15 
Figura 6 - Adquirindo mapas digitais pela Internet – Passo 4 ...................................................... 15 
Figura 7 - Adquirindo mapas digitais pela Internet – Passo 5 ...................................................... 16 
Figura 8 – Superfície de referência esférica. ................................................................................. 17 
Figura 9 – Superfície de referência elipsoidal. .............................................................................. 18 
Figura 10 – Relacionamento entre as superfícies física (topográfica), elipsoidal e geoidal. ........ 19 
Figura 11 – Grande normal e pequena normal. ............................................................................. 21 
Figura 12 – Raio de um paralelo elipsóidico. ................................................................................ 22 
Figura 13 – Área de um setor elipsóidico. .................................................................................... 24 
Figura 14 – Área de um quadrilátero elipsóidico. ......................................................................... 25 
Figura 15 – Sistema de coordenadas geográficas .......................................................................... 26 
Figura 16 – Sistema de coordenadas geodésicas. .......................................................................... 27 
Figura 17 – Latitude geocêntrica. .................................................................................................. 28 
Figura 18 – Latitude reduzida. ...................................................................................................... 28 
Figura 19 – Sistema cartesiano tridimensional. ............................................................................ 29 
Figura 20 – Estudo de sinal para a longitude. ............................................................................... 30 
Figura 21 – Representação gráfica das coordenadas geográficas e cartesianas tridimensionais do 
ponto P. .......................................................................................................................................... 31 
Figura 22 – Representação gráfica das coordenadas geográficas e cartesianas tridimensionais do 
ponto A. ......................................................................................................................................... 32 
Figura 23 – Representação gráfica da definição de projeção cartográfica. ................................... 44 
Figura 24 – Superfícies de projeção em função da forma, aspecto e classe. ................................ 45 
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4 
Figura 25 – Projeção Azimutal no aspecto normal. ...................................................................... 48 
Figura 26 – Projeção Cônica no aspecto normal. .......................................................................... 49 
Figura 27 – Projeção Cilíndrica no aspecto normal. ..................................................................... 50 
Figura 28 – Representação cartográfica descontínua. ................................................................... 51 
Figura 29 – Representação cartográfica contínua. ........................................................................ 52 
Figura 30 – Quadrilátero infinitesimal na superfície de referência (esfera) e na superfície de 
projeção. ........................................................................................................................................ 54 
Figura 31 – Significados das deformações na transformação da superfície referência de projeção 
para a de projeção. ......................................................................................................................... 54 
Figura 32 – Raio do paralelo em função da latitude. .................................................................... 56 
Figura 33 – Indicatriz de Tissot (elipse das distorções) ................................................................ 57 
Figura 34 – Quadrilátero infinitesimal na superfície de projeção. ................................................ 58 
Figura 35 – Pontos e Linhas de distorção Zero. ............................................................................ 62 
Figura 36 – Propriedades especiais das projeções cartográficas. .................................................. 63 
Figura 37 – Deformações sofridas pela Projeção Sinusoidal ou Projeção de Sansom-Flamsteed 64 
Figura 38 – Projeção Cilíndrica de Plate Carrée. Atribuída a Anaximander (550 a.C.) ............... 71 
Figura 39 – Projeção Azimutal Estereográfica. Atribuída a Hiparcus (160 - 125 a.C.) ............... 72 
Figura 40 – Projeção Azimutal Gnomônica. Atribuída a Thales (636 - 546 a.C.) ........................ 72 
Figura 41 – Projeção Azimutal Ortográfica. Atribuída a Apolônio (240 a.C.) ............................. 73 
Figura 42 – Projeção Azimutal de Postel. Conhecida desde 1426. ............................................... 73 
Figura 43 – Projeção Azimutal de Lambert. Descrita em 1772. ................................................... 74 
Figura 44 – Projeção Cônica Conforme de Lambert. Descrita em 1772. ..................................... 74 
Figura 45 – Projeção Cônica Equivalente de Lambert. Descrita em 1772. .................................. 75 
Figura 46 – Projeção Cilíndrica de Mercator. Utilizada por Mercator (1569). ............................. 75 
Figura 47 – Projeção Pseudo Cilíndrica. Descrita em 1890. ......................................................... 76 
Figura 48 – Diferenças entre reticulado e quadriculado. .............................................................. 77 
Figura 49 - Reticulado de um hemisfério na projeção Transversa de Mercator ........................... 78 
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5 
Figura 50 – Latitude aproximada 1. ............................................................................................. 81 
Figura 51 – Concepção da Projeção UTM (cilindro transverso e fusos) ...................................... 84 
Figura 52 – Fuso UTM .................................................................................................................. 85 
Figura 53 – Faixas da articulação do mundo ao milionésimo. ...................................................... 86 
Figura 54 – Folha SF-22 da Carta do Mundo ao Milionésimo. .................................................... 87 
Figura 55 – Articulação das folhas do mapeamento sistemático brasileiro. ................................. 88 
Figura 56 – Mapa do Brasil com a articulação na escala 1 : 1 000 000. ....................................... 89 
Figura 57 – Exemplo de escala gráfica. ........................................................................................ 90 
Figura 58 – Exemplo de extração de coordenadas de pontos em cartas topográficas. ................. 92 
 
ÍNDICE DE TABELAS 
Tabela 1 - Situação do mapeamento do território brasileiro (2003) .............................................12 
Tabela 2 – Estações do SIRGAS 2000 .......................................................................................... 35 
Tabela 3 – Parâmetro de transformação dos Datum brasileiros. ................................................... 37 
Tabela 4 – Tabela de deformação da Projeção Cilíndrica de Mercator (aspecto normal) ............ 67 
Tabela 5 – Tabela de deformação da Projeção Cilíndrica de Mercator (aspecto normal - secante) 
- ko = 0,965. .................................................................................................................................. 68 
Tabela 6 – Tabela de deformação da Projeção Conforme Azimutal Estereográfica (aspecto 
normal) .......................................................................................................................................... 69 
Tabela 7 – Tabela de deformação da Projeção Afilática Azimutal Gnomônica (aspecto normal) 69 
Tabela 8 – Tabela de deformação da Projeção Equidistante nos Meridianos Azimutal de Postel 
(aspecto normal) ............................................................................................................................ 70 
Tabela 9 – Tabela de deformação da Projeção Equivalente Azimutal de Lambert (aspecto 
normal) .......................................................................................................................................... 70 
Tabela 10 – Tabela de deformação da Projeção Cilíndrica de Plate Carrée - Equidistante ao longo 
dos meridianos. .............................................................................................................................. 71 
Tabela 11 – Variações mais usuais da projeção TM ................................................................... 83 
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6 
 
CARTOGRAFIA 
 
1. Introdução 
1.1. Definições 
 O vocábulo Cartografia é atribuído ao historiador português Visconde de Santarém que 
utilizou o termo em carta escrita em Paris, datada de 8 de dezembro de 1839 e dirigida ao 
historiador brasileiro Adolfo Varnhagen (Oliveira, 1980). Antes do vocábulo ser popularizado, a 
expressão corrente era Cosmografia. 
 Existem várias definições para cartografia e todas elas se referem às técnicas ou 
procedimentos de levantamento de dados e representação da superfície física curva da Terra na 
superfície de projeção adotada para a concretização dos mapas ou cartas. Entre as diversas 
definições se dará destaque a duas: 
“Arte de levantamento, construção e edição de cartas de qualquer natureza, e a ciência na 
qual repousa.” 
ou 
“Produto do conhecimento obtido no estudo de mapas geográficos, dos métodos para sua 
produção e reprodução, e de seu uso.” 
 Nestas definições aparecem duas palavras que aparentemente tem o mesmo significado, 
Carta e Mapa. 
 A palavra carta vem do latim charta que significa “folha para escrita” e do grego 
Karthes, que significa “folha de papiro” ou simplificando, papel. A palavra mapa vem do latim 
mappa que significa “lenço ou pedaço de tecido”. A partir da origem das palavras observa-se 
então que a diferença vem da origem do material de base (substrato) onde eram produzidos. As 
cartas eram feitas sobre papel e os mapas sobre tecido. 
 No Brasil costuma-se diferenciar mapa de carta em função ou da escala ou da 
fidedignidade das informações. No tocante a escala costuma-se chamar de carta quando o 
documento é confeccionado em escalas grandes ou médias e de mapa quando a escala é pequena. 
O problema desse enfoque é estabelecer qual o limiar entre escala média e pequena. 
 Com respeito à confiabilidade das informações, costuma-se chamar de carta os produtos 
elaborados com rigor geométrico de modo a se poder tomar medidas confiáveis sobre eles e de 
mapa, aqueles que funcionam apenas como ilustração. 
 
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7 
1.2. Generalidades sobre Cartas e Mapas. 
Pode-se definir carta ou mapa como: 
 
“Representação visual, codificada, geralmente bidimensional, total ou parcial, da 
superfície da Terra ou de outro objeto.” 
 
 A finalidade básica de uma carta é transmitir informações específicas a respeito de uma 
área cartografada para o usuário (figura 1). 
 
Figura 1 – Representação esquemática da finalidade das cartas. 
 Por ser uma representação visual deve ser entendido que nem tudo que existe na 
superfície física da Terra será reproduzido na carta (mapa) ao contrário de imagens orbitais ou de 
ortomosaicos fotogramétricos. Haverá uma seleção daquilo que é importante em função do 
objetivo e da escala de saída do produto. Em função da escala deverão ser utilizados símbolos 
para a representação das diversas feições cartográficas. Por isso o termo codificado. Neste caso 
poderão ser utilizadas as convenções ou legendas cartográficas. As convenções são símbolos 
normatizados por órgãos que tem essa competência (ABNT, IBGE, DSG, ICA, DHN e outros)1 e 
as legendas são símbolos criados pelo próprio produtor do mapa. Com exceção aos globos e as 
maquetes, os mapas são apresentados fisicamente na forma plana. Em função da extensão da 
superfície da Terra a ser cartografada, da escala e da projeção cartográfica utilizada pode-se 
representar a Terra toda ou parte dela. Também se podem utilizar as técnicas de mapeamento 
para fazer mapas da esfera celeste, de outros planetas, de prédios ou monumentos históricos ou 
até mesmo do corpo humano. 
 Como dito anteriormente, um mapa ou carta é um produto de comunicação e, portanto, os 
conceitos de semiologia gráfica estão presentes na sua construção. Define-se semiologia gráfica 
ao estudo dos símbolos gráficos, suas propriedades e suas relações com os elementos da 
informação que eles revelam (Oliveira, 1980). Vários autores têm apresentado suas ideias e 
teorias sobre a comunicação cartográfica. Um desses autores é o cartógrafo Tcheco Salachtchev 
Kolácny, que destaca: 
 
1 ABNT – Associação Brasileira de Normas Técnica; IBGE – Instituto Brasileiro de Geografia e 
Estatística; DSG – Diretoria do Serviço Geográfico do Exercito; ICA – Instituto Cartográfico da 
Aeronáutica; DHN – Diretoria de Hidro Navegação (Marinha) 
 
INFORMAÇÃO MAPA USUÁRIO
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8 
 
• a confecção e utilização de mapas deve ser encarada como um todo. 
• cartógrafos devem se preocupar com o uso tanto quanto com a sua construção. 
 
Esse cartógrafo apresenta em 1969 um modelo de comunicação cartográfico (figura 2) 
onde os elementos envolvidos na construção de mapas estão descritos. 
 
C O N T E Ú D O
D A M E N T E
D O
C A R T Ó G R A F O
L IN G U AG EM
CARTOGRÁFICA
T R A N S F O R M A Ç Õ E S I N T E L E C T U A I S
MAPA
C O N T E Ú D O
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A
 I
. 
C
.
3
45
1
2 3
4 5
2
1’
 
1 - Tarefa objeto; 4 - Processos psicológicos; 
2 - Conhecimento e experiência; 5 - Condições externas. 
3 - Habilidades e propriedades; 1’ - Necessidades, interesses e objetivos. 
 
Figura 2 – Modelo de comunicação cartográfica proposto por Kolacny. 
 
 
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9 
 Com respeito às informações cartografadas, essas podem ser classificadas em qualitativas 
ou quantitativas. 
 
 natureza 
Qualitativas: forma Feiçõesdistribuição 
 
 posições geográficas 
 Altitudes 
Quantitativas: Distâncias 
 Direções 
 áreas, volumes 
 
As feições representadas podem ser : 
 
da superfície 
terrestre 
 
 
naturais 
visíveis : 
mares, rios, lagos, montanhas, 
desertos, florestas 
 
invisíveis : 
 
climas, correntes, campos 
(magnético, gravitacional, etc.) 
 
artificiais 
cidades, estradas, ferrovias, canais, 
plantações, aeroportos, barragens, portos 
 
 
 
de outros 
objetos 
 
 
 
 
esfera celeste : estrelas e planetas 
 
 
 
Lua : crateras, “mares”... 
corpos celestes Sol : manchas solares ... 
 
 
Planetas : montanhas, formação de nuvens 
 
órgãos do corpo humano 
 
prédios históricos ... 
 
 
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10 
1.3. Características das Cartas 
 
• Permitem a coleta das informações em gabinete (escritório); 
• Apresentam informações não visíveis no terreno: toponímia, fronteiras fisicamente 
indefinidas; 
• Codificam informações através de símbolos; 
• Exigem uma atualização permanente – certas feições variam em função do tempo; 
• Representam um modo de armazenamento de informações conveniente ao manuseio; 
• São necessárias à visualização e compreensão de fenômenos espaciais e de sua 
distribuição e relacionamento; 
• Constituem um dos elementos básicos do planejamento das atividades socioeconômicas 
das comunidades humanas. 
 
1.4. Classificação 
1.4.1. Quanto à finalidade (ABNT) 
 
Geográficas: 
Topográficas – informações planimétricas e altimétricas (curvas de 
nível e pontos cotados). 
Planimétricas – somente informações planimétricas. 
 
Cadastrais, plantas 
 
Aeronáuticas 
 Navegação 
Náuticas 
 
Especiais : 
geológicas, geomorfológicas, meteorológicas, de solos, de 
vegetação, de uso da terra, geofísicas, globos. 
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11 
1.4.2. Classificação segundo a Diretoria do Serviço Geográfico do Exército (DSG) 
quanto a 
precisão 
 
topográficas - satisfazem as normas técnicas em vigor; 
- obtidas por métodos de levantamentos regulares. 
 
preliminares - obtidas por métodos de levantamento menos precisos que os 
regulares 
 
quanto ao 
caráter 
informativo 
 
 
 
 
 
gerais : - com informações genéricas, de uso particularizado. 
 
especiais: - com informações específicas, destinadas em particular a uma 
única classe de usuários. Este é o caso das cartas de 
aproximação de aeroportos que só servem para os pilotos. 
 
temáticas: - com uma ou mais assuntos específicos, servindo apenas para 
situar o tema. 
 
Outros 
documentos 
cartográficos 
 
 
 
 
 
Cartas de 
compilação 
- obtidas pela redução de folhas em escalas maiores; 
- obtidas pela reunião e consolidação de diversos documentos 
cartográficos. 
 
 
 
 
mosaicos2 
não-controlados : 
fotos montadas sem apoio em pontos de 
coordenadas conhecidas. 
semi-controlados: 
fotos montadas com apoio em pontos de 
coordenadas conhecidas. 
controlados : 
fotos retificadas montadas com apoio em 
pontos de coordenadas conhecidas. 
fotocartas : 
mosaico (controlado ou não) com 
quadriculado, moldura, nomenclatura, 
escala e etc.. 
Ortofoto : 
imagem formada por várias fotografias 
aéreas justapostas de uma região onde a 
perspectiva central é trocada por uma 
ortogonal. 
 
foto-índice : 
mapa índice realizado através da 
montagem das fotografias aéreas 
individuais reduzidas em escala, numeras 
e colocadas nas suas posições relativas de 
modo a permitir saber quais as fotografias 
que abrangem determinada região 
fotografada. 
 
folha-modelo: Representam o aspecto de uma folha contendo nomenclatura, 
quadriculado, legendas, etc. (Layout do Mapa) 
 
2 Mosaico fotográfico é a montagem de fotografias aéreas de eixo vertical, de modo que a justaposição da área de 
sobreposição, deve assegurar a melhor coincidência de detalhes possível. 
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12 
2. Processo Cartográfico 
Entende-se por mapeamento a aplicação do processo cartográfico sobre uma coleção de 
dados ou informações, com vistas à obtenção de uma representação gráfica da realidade 
perceptível, comunicada a partir da associação de símbolos e outros recursos gráficos que 
caracterizam a linguagem cartográfica. 
O planejamento de qualquer atividade que de alguma forma se relaciona com o espaço 
físico que habitamos requer, inicialmente, o conhecimento deste espaço. Neste contexto, passa a 
ser necessária alguma forma de visualização da região da superfície física do planeta, onde 
desejamos desenvolver nossa atividade. Para alcançar este objetivo, lançamos mão do processo 
cartográfico. 
Pode-se dividir, no processo cartográfico em três fases distintas: a concepção, a produção e 
a interpretação ou utilização. As três fases admitem uma só origem, os levantamentos dos dados 
necessários à descrição de uma realidade a ser comunicada através da representação cartográfica. 
No caso do mapa compilado a documentação coletada terá vital importância na atualização 
da base cartográfica compilada. 
 
2.1. Aquisição de Mapas 
 O Brasil, país de dimensões continentais, tem o seu território recoberto pelo mapeamento 
sistemático brasileiro que adota a mesma articulação da Carta do Mundo ao Milionésimo, a qual 
divide a Terra em fusos de 6º de amplitude em longitude e em faixas 4º de amplitude em latitude 
Por outro lado, sabe-se que 90% da cartografia nacional foi produzida entre as décadas de 60 e 
80. A partir de então, o governo brasileiro não investiu recursos nessa área, provocando uma 
defasagem nas informações contidas nos mapas. A Tabela 1 mostra o número de folhas do 
mapeamento sistemático existente, em função da escala. Esta tabela foi adaptada incluindo-se a 
área de abrangência das folhas em relação à amplitude em latitude e longitude. Observa-se que 
grande parte do território nacional é coberto por cartas na escala 1:100.000 e menores. 
 
Tabela 1 - Situação do mapeamento do território brasileiro (2003) 
Escalas 
Área Coberta 
(Latitude x longitude) 
Total de Folhas 
Porcentagem do 
Mapeamento (%) 
1:1.000.000 4º x 6º 46 100,00 
1:500.000 2º x 3º 68 36,90 
1:250.000 1º x 1º30’ 444 80,72 
1:100.000 30’ x 30’ 2.289 75,39 
1:50.000 15’ x 15’ 1.647 13,90 
1:25.000 7’30” x 7’30” 492 1,01 
fonte: http://www.moderna.com.br/geografia/projensinogeo/geobrasil/0028 (adaptado) 
http://www.moderna.com.br/geografia/projensinogeo/geobrasil/0028
Curso de Georreferenciamento de Imóveis Rurais – Cartografia Geral Aplicada 
 
 
 
13 
Atualmente com o uso de imagens orbitais com resolução média (2,5 m) o problema da 
atualização cartográfica está gradativamente sendo resolvido. No entanto, para muitos trabalhos, 
o acesso as cartas é a solução. 
Para se adquirir mapas em papel (formato analógico), basta visitar alguma loja do IBGE e 
adquirir uma cópia do mapa. Se a utilização do documento for diretamente sobre o papel, o 
problema do usuário está resolvido. Porém, se o usuário desejar utilizar o mapa em ambiente 
computacional, será necessário digitalizá-lo. Isto pode ser feito utilizando-se scanners ou mesas 
digitalizadoras, que é um processo geralmente lento e oneroso devido as etapas de vetorização e 
edição. Para resolver este problema, atualmente o IBGE vem disponibilizando mapas em 
formato digital gratuitamente na Internet. 
Para adquirir gratuitamente os mapas digitais disponibilizados pelo IBGE, o usuário deve 
acessar o site do IBGE através do seguinte endereço http://www.ibge.gov.br/home/, em seguida 
é necessário clicar em Geociências/Cartografia (Figura 3) 
 
 
Figura 3 - Adquirindo mapas digitais pela Internet – Passo 1 
 
 Após isso, o usuário deve acessar o link Produtos sob a opção Mapeamento 
Topográfico, conforme se pode observar na Figura 4: 
 
http://www.ibge.gov.br/home/Curso de Georreferenciamento de Imóveis Rurais – Cartografia Geral Aplicada 
 
 
 
14 
 
 Figura 4 - Adquirindo mapas digitais pela Internet – Passo 2 
 
 O passo seguinte é acessar o ícone de download, na forma de um disquete, localizado 
logo a frente de “Cartas Topográficas Vetoriais do Mapeamento Sistemático” (Figura 5). Ao 
clicar sobre o disquete, é aberta outra tela para que o usuário forneça seu e-mail (Figura 6), caso 
o usuário não esteja cadastrado no site do IBGE, este deverá fazer seu cadastro, para então 
conseguir acessar os mapas (Figura 7). 
 Para preencher o cadastro o usuário deverá possuir um endereço de e-mail e então 
preencher pelo menos todos os campos assinalados com um asterisco vermelho. Depois de 
cumprida esta etapa, o usuário pode realizar a aquisição gratuita de qualquer mapa, nas escalas 
1:25.000, até 1:250.000. Cada carta é acessada pelo nome da região mapeada e então um arquivo 
compactado (ZIP) é acessado para aquisição. Após isso, o usuário deve descompactar o arquivo 
e então utilizar os arquivos da carta em um programa de computação gráfica, tal como ArcView, 
Spring, Microstation, Geomedia, Bentley View, etc. 
 
 
 
 
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15 
 
Figura 5 - Adquirindo mapas digitais pela Internet – Passo 3 
 
 
Figura 6 - Adquirindo mapas digitais pela Internet – Passo 4 
 
Curso de Georreferenciamento de Imóveis Rurais – Cartografia Geral Aplicada 
 
 
 
16 
 
Figura 7 - Adquirindo mapas digitais pela Internet – Passo 5 
 
 O Exército Brasileiro também tem seu portal de disponibilização de produtos 
cartográficos digitais. O acesso ao “Geoportal do Exército” 
(http://geoportal.eb.mil.br/mediador/) pode ser feito como visitante ou através de cadastro. Os 
níveis de acesso aos dados são divididos em quatro categorias e, dependendo da categoria, o 
usuário pode pesquisar, visualizar ou baixar o dado. A política de acesso ao BDGEx (Banco de 
Dados Geográfico do Exercito) está disponível no próprio portal 
(http://www.geoportal.eb.mil.br/index.php/bdgex-1/permissoes-acesso). Estão disponíveis: 
metadados; ortoimagem; carta imagem; carta topográfica matricial; modelo digital de superfície 
e conjunto de dados geoespaciais vetoriais. As escalas dos produtos são 1:25.000, 1:50.000, 
1:100.000 e 1:250.000. 
 No estado de Goiás se tem acesso a uma gama de dados espaciais através do portal 
do SIEG (Sistema Estadual de Geoinformação) cujo endereço eletrônico é: 
http://www.sieg.go.gov.br. 
 
 
http://geoportal.eb.mil.br/mediador/
http://www.geoportal.eb.mil.br/index.php/bdgex-1/permissoes-acesso
http://www.sieg.go.gov.br/
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17 
3. Superfícies de referência usadas em cartografia. 
 Para se mapear a superfície da Terra, antes é necessário conhecer a sua forma e 
dimensões. Sabe-se que a Terra é um corpo esférico irregular e que não possui uma descrição 
geométrica. Então é necessária a utilização de modelos adequados para sua descrição de acordo 
com os objetivos pretendidos nos levantamentos e mapeamentos. 
3.1. Superfície de referência geoidal 
 O geóide é definido como uma superfície equipotencial (potencial gravitacional 
constante) materializada pelo nível médio dos mares considerado em repouso. Potencial 
gravitacional por sua vez é definido como a capacidade da força da gravidade de trazer uma 
partícula de massa unitária desde o infinito até uma distância R do centro da Terra. Em outras 
palavras é a capacidade da força gravitacional realizar trabalho. A força da gravidade que gera 
essa superfície equipotencial é resultante de uma interação entre massas. Sabe-se que existe uma 
relação direta entre a massa e a densidade de um corpo, e que existe uma grande variação na 
constituição densimétrica dos materiais que constituem a parte interna do globo terrestre. Deste 
modo, essa superfície equipotencial não apresenta uma forma regular. Há ainda que se considerar 
a questão dos corpos celestes, principalmente Sol e Lua, que interagem com o campo 
gravitacional, provocando variações diárias constantes nesta superfície. 
 Alguns autores definem como sendo a forma do geoide a que corresponde a forma da 
Terra real. Contudo, como essa superfície não tem uma definição geométrica, este postulado não 
tem muito sentido quando o objetivo está na busca de um modelo para o mapeamento. Não 
obstante, esta superfície é extremamente importante no estabelecimento das altitudes 
ortométricas (referidas ano nível do mar). 
 
3.2. Superfície de referência esférica 
 Se a área a ser mapeada for extensa mostrando continentes ou a superfície total da Terra, 
adota-se o modelo esférico para a superfície da Terra (figura 8). 
 
 
Figura 8 – Superfície de referência esférica. 
 
Monte Evereste
Fossa das Marianas
nível médio
dos mares
Terra esférica Modelo reduzido
 9 Km
  Km
6 cm
0,2 m
m
6.3
78
 km
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18 
Esta modelo implica em: 
Levantamento : Geodésia. 
Cálculos: Trigonometria esférica. 
Uso: mapas de formato pequeno mostrando grandes porções da superfície terrestre. 
Escala : escalas “pequenas” . 
Mapas: Utilização de projeções cartográficas 
 
3.3. Superfície de referência elipsoidal 
 Se a área a ser levantada e mapeada não for pequena e nem muito extensa, o modelo que 
melhor representa a superfície da Terra é o elipsoide de revolução, que possui uma formulação 
matemática razoavelmente simples (Figura 9). Neste modelamento leva-se em conta o 
achatamento dos polos. 
 O elipsoide de revolução é definido pelos seus semieixos maior (a) e menor (b) ou pelo 
semieixo maior e o achatamento (f). 
a
a
b
 
Figura 9 – Superfície de referência elipsoidal. 
Por exemplo : a = 6.378 km 
f = 1/298,25 onde : 
a
ba
f
−
=
 b = 6.356 km 
 
Este modelo implica em: 
 
Levantamento : Geodésia. 
Cálculos: Geodésicos . 
Medidas: Reduzidas ao elipsoide de revolução. 
Uso: cartas topográficas (mapeamento sistemático), náuticas, aeronáuticas. 
Escala : “médias “ 
Mapas: Utilização de projeções cartográficas 
Curso de Georreferenciamento de Imóveis Rurais – Cartografia Geral Aplicada 
 
 
 
19 
 Independentemente do modelo adotado, tanto o esférico como o elipsóidico possuem 
várias propostas para os seus parâmetros definidores (raio e semieixos maior e menor). 
 
3.4. O relacionamento entre as superfícies física, geoidal e elipsoidal. 
 
 Embora se utilizem modelos geométricos para descrever a superfície física da Terra na 
tarefa de mapeamento, as medições são executadas na superfície topográfica, ou simplesmente 
física. É importante então, definir-se alguns elementos deste relacionamento (Figura 10). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 10 – Relacionamento entre as superfícies física (topográfica), elipsoidal e geoidal. 
 
 Na figura aparecem as superfícies física (SF), elipsoidal (SE) e geoidal (SG). A separação 
entre as superfícies elipsoidal e geoidal recebe o nome de ondulação do geóide e é representado 
pela letra N. 
 Um ponto P, na superfície física, sendo projetado segundo a direção da vertical (linha de 
prumo) e da direção da normal (reta ortogonal a superfície do elipsóide) geram os pontos P’ e 
P’’. Ao segmento 'PP corresponde a altitude ortométrica (H), e ao segmento "PP corresponde 
a altitude geométrica ou elipsoidal (h). O ângulo formado entre a vertical e a normal é definido 
como desvio da vertical (i). Este ângulo é da ordem do segundo de arco e deste modo é possível 
se fazer uma relação entre as superfícies considerando que a vertical e a normal são paralelas 
entre si sem incorrer em erro significativo, assim pode-se escrever a equação que liga altitude 
geométrico, altitude ortométrica e ondulação do geóide. 
 
NHh += 
 
S.F.
S.E.
S.G.
vn
H
h
i
P
P’
P”N
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20 
4. Geometria do Elipsoide. 
 
 O elipsoide de revolução é a forma geométrica obtida pela rotação de uma semielípse ao 
redor de seu eixo menor. Por ser uma das formas geométricas utilizadas nas operações de 
mapeamento, o estudo da sua geometria é extremamente importante. 
 Um elipsoide fica perfeitamente definido pelos seus semieixos maior (a) e menor (b). 
Entretanto em geodésia é comum se estabelecer a definição pelo semieixo maior (a) associado ao 
achatamento ( f ). A relação matemática que estabelece o vínculo entre estas grandezas esta 
explicitado na seguinte equação. 
 
 
a
ba
f
−
= 
 
 Outro elemento importante no estudo do elipsoide é a excentricidade, que pode 
ser dividida em primeira e segunda. Estes valores são calculados pelas seguintes equações: 
 
 
2
22
2
a
ba
e
−
= ou 
22 2 ffe −= (primeira excentricidade ao quadrado) ; 
 
e 
 
2
22
2'
b
ba
e
−
= (segunda excentricidade ao quadrado). 
 
 Analogamente à excentricidade se pode estabelecer o segundo achatamento que é 
definido pela seguinte equação: 
 
 
b
ba
f
−
='
 
 
Existem outras relações que devem ser conhecidas. 
 
 Na Figura 11, observa-se um ponto P na superfície do elipsoide. Por este ponto passa a 
reta normal (ortogonal ao plano tangente em P) que cruza o eixo de rotação no ponto O. Esta 
mesma reta gera o ponto Q quando cruza o plano do equador, formando um ângulo  com este, 
denominado latitude geodésica. Ao segmento OP dá-se o nome de grande normal ou seção 1° 
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21 
vertical designado pela letra N; ao segmento 𝑄𝑃̅̅ ̅̅ dá-se o nome de pequena normal e representa-
se pelo símbolo N’. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 11 – Grande normal e pequena normal. 
 
O cálculo destas quantidades é feito pelas seguintes equações: 
 
 
221 sene
a
N
−
= e ( )21' eNN −= 
 
4.1. Raios de curvatura do elipsoide de revolução. 
 
 Ao contrário da esfera que possui apenas um raio de curvatura, o elipsoide de revolução, 
por possuir semieixos maior e menor, tem a sua curvatura variando entre os valores máximo (a) 
e mínimo (b). Portanto, é necessário que se conheçam as formulações matemáticas que permitem 
o cálculo destes raios de curvatura para qualquer ponto da superfície elipsóidica. 
 Existem infinitos planos que contém a reta normal. Cada um deles, ao cruzar o elipsoide 
de revolução, gera o que se denomina seção normal. A cada uma destas seções, corresponde um 
raio de curvatura diferente. Entretanto, apenas dois são de especial interesse, o raio de curvatura 
da seção 1º vertical e o raio da seção meridiana. Ao primeiro corresponde o raio máximo e ao 
segundo o raio mínimo. 
 Numericamente o raio da seção 1º vertical é equivalente ao valor da grande normal e 
utiliza a mesma formulação para o seu cálculo. No entanto o raio de curvatura da seção 
meridiana é calculado pela equação: 
 
 
( )322
2
1
)1(
sene
ea
M
−
−
= 
P

PN
PS
Equador
Normal
N
N'
o
Q
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22 
 A junção destes dois valores nos permite calcular o raio médio de curvatura. 
 
 MNR =0 
 
 e através do teorema de Euler, o raio de curvatura de uma seção normal qualquer 
 
 
N
sen
MR
 22cos1
+= 
 
 onde :  – azimute da seção meridiana 
 
 
 No elipsoide de revolução os paralelos são circunferências e o raio é calculado pela 
equação dada na Figura 12: 
 
 
 
 
cosNr = 
 
 
 
 
 
Figura 12 – Raio de um paralelo elipsóidico. 
 
 
 
 Além destes valores, pode-se necessitar conhecer o comprimento de um arco de 
meridiano, a área de um setor elíptico ou a de um quadrilátero elíptico. Pela constante variação 
da curvatura, a determinação das fórmulas não é trivial, e exige a adoção de desenvolvimento em 
série. 
 
 
P

PN
PS
Equador
Normal
o
N
r

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23 
4.2. Comprimento de um arco de meridiano (S) 
 
 𝑆 = 𝑎(1 − 𝑒2) ⋅ [𝐴 ⋅ (𝜑2 − 𝜑1) −
1
2
𝐵 ⋅ (𝑠𝑒𝑛 2 𝜑2 − 𝑠𝑒𝑛 2 𝜑1) +
1
4
𝐶 ⋅ (𝑠𝑒𝑛 4 𝜑2 −
𝑠𝑒𝑛 4 𝜑1) 
−
1
6
𝐷 ⋅ (𝑠𝑒𝑛 6 𝜑2 − 𝑠𝑒𝑛 6 𝜑1) −
1
8
𝐸 ⋅ (𝑠𝑒𝑛 8 𝜑2 − 𝑠𝑒𝑛 8 𝜑1) +
1
10
𝐹 ⋅ (𝑠𝑒𝑛 1 0𝜑2 − 𝑠𝑒𝑛 1 0𝜑1)
− ⋯ ] 
 
onde : 
 
𝐴 = 1 + 
3
4
𝑒2 + 
45
64
𝑒4 + 
175
256
𝑒6 + 
11025
16384
𝑒8 + 
43659
65536
𝑒10 + ⋯ 
 
𝐵 = 
3
4
𝑒2 + 
15
16
𝑒4 + 
525
512
𝑒6 + 
2205
2048
𝑒8 + 
72765
65536
𝑒10 + ⋯ 
 
𝐶 = 
15
64
𝑒4 + 
105
256
𝑒6 + 
2205
4096
𝑒8 + 
10395
16384
𝑒10 + ⋯ 
 
𝐷 = 
35
512
𝑒6 + 
315
2048
𝑒8 + 
31185
131072
𝑒10 + ⋯ 
 
𝐸 = 
315
16384
𝑒8 + 
3465
65536
𝑒10 + ⋯ 
 
𝐹 = 
693
131072
𝑒10 + ⋯ 
 
 
 
 
 
 
 
 
Curso de Georreferenciamento de Imóveis Rurais – Cartografia Geral Aplicada 
 
 
 
24 
4.3. Área de um setor elipsóidico (A) 
 
 A área de um setor elipsóidico (Figura 13) pode ser calculado pela fórmula: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 13 – Área de um setor elipsóidico. 
 
𝐴𝜑1
𝜑2 = 4𝜋 ⋅ 𝑏2 ⋅ [𝐴' ⋅ 𝑠𝑒𝑛 Δ 𝜑 ⋅ 𝑐𝑜𝑠 𝜑𝑚 − 𝐵' ⋅ 𝑠𝑒𝑛 3 Δ𝜑 ⋅ 𝑐𝑜𝑠 3 𝜑𝑚 + 𝐶' ⋅ 𝑠𝑒𝑛 5 Δ𝜑 ⋅ 𝑐𝑜𝑠 5 𝜑𝑚 − ⋯ ] 
 
 onde : 
 
 
2
12 
−
= e 
2
12 
+
=m 
 
 𝐴' = 1 + 
3
2
𝑒2 + 
3
8
𝑒4 + 
5
16
𝑒6 + 
35
28
𝑒8 + 
63
256
𝑒10 + ⋯ 
 
 𝐵' = 
1
6
𝑒2 + 
3
16
𝑒4 + 
3
16
𝑒6 + 
35
192
𝑒8 + 
45
256
𝑒10 + ⋯ 
 
 
𝐶' = 
3
80
𝑒4 + 
1
16
𝑒6 + 
5
64
𝑒8 + 
45
512
𝑒10 + ⋯ 
 
 
PN
PS
Equador

2
A
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25 
4.4. Área de um quadrilátero elipsóidico (T) 
 A área de um quadrilátero elipsóidico (Figura 14) pode ser calculado pela fórmula: 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 14 – Área de um quadrilátero elipsóidico. 
𝑇 = 2 ⋅ 𝑏2 ⋅ Δ𝜆 ⋅ (𝐴' ⋅ 𝑠𝑒𝑛 Δ 𝜑 ⋅ 𝑐𝑜𝑠 𝜑𝑚 − 𝐵' ⋅ 𝑠𝑒𝑛 3 Δ𝜑 ⋅ 𝑐𝑜𝑠 3 𝜑𝑚 + 𝐶' ⋅ 𝑠𝑒𝑛 5 Δ𝜑 ⋅ 𝑐𝑜𝑠 5 𝜑𝑚 + ⋯ ) 
 onde : 
 
2
12 
−
= 
 
4.5. Aproximação esférica. 
 Em alguns problemas o cálculo através de uma aproximação esférica é suficiente, e nesta 
situação, existem três formas clássicas de aproximação. 
 
 a) Média aritmética dos três eixos 
 
 )
3
1(
3
2 f
a
ba
R −=
+
= 
 
 b) Raio da esfera de mesma área superficial que o elipsoide 
 
 𝑅𝐴 = 𝑎 [1 −
𝑒2
6
−
17𝑒4
360
−
67𝑒6
3024
− ⋯ ] 
 c) Raio da esfera com mesmo volume que o elipsoide. 
 
 𝑅𝑉 = 𝑎 [1 −
𝑒2
6
−
5𝑒4
72
−
55𝑒6
1296
− ⋯ ] 
 
 
PN
PS
Equador

2T 
 2 
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26 
5. Sistemas de Referência 
 
 A posição de um ponto na superfície da Terra é determinada a partir de um sistema de 
coordenadas ou de referência. Estes sistemas estão associados a uma superfície de referência que 
se aproxima do formato da Terra. É o caso, por exemplo, do elipsoide de revolução. 
 Existem dois tipos de sistemas de referenciamento. O sistema de coordenadas esféricas e 
o sistema de coordenadas cartesianas tridimensionais. No primeiro tipo se enquadram às 
coordenadas geográficas e geodésicas. 
 
5.1. Sistemas de Coordenadas Geográficas e Geodésicas 
 
 O sistema de coordenadas geográficas divide o mundo nos hemisférios norte e sul, que 
utiliza o equador como plano de divisão, e em oriente e ocidente que adota o meridiano de 
Greenwich como fronteira (Figura 15). Neste sistema um ponto na superfície terrestre fica 
determinado pela sua latitude e longitude. 
Meridiano 
de 
Greenwichj 
 L
P
Equador
Meridiano de P
Paralelo de P
PN
PS
Vertical
 
Figura 15 – Sistema de coordenadas geográficas 
 
Latitude (j) – define-se latitude de um lugar como sendo o ângulo formado entre a 
vertical do lugar e o plano do equador, ou a distância angular contada 
sobre o meridiano deste, desde o equador até ele. A latitude varia de 0º 
a  90º sendo considerada negativa no hemisfério sul. 
Longitude (L) – define-se longitude de um lugar como sendo o ângulo diedro formado 
pelo plano meridiano de Greenwich e o plano meridiano do lugar, ou a 
distância angular contada sobre o equador desde o meridiano origem 
(Greenwich) até o meridiano deste. A longitude varia de 0º a 180º 
sendo considerada negativa a oeste de Greenwich (hemisfério 
ocidental). 
Curso de Georreferenciamento de Imóveis Rurais – Cartografia Geral Aplicada 
 
 
 
27 
 Pode-se estabelecer um sistema de coordenadas similar utilizando-se como modelo para a 
Terra o elipsoide de revolução ( Figura 16). Este sistema de coordenadas é conhecido como 
Sistema de Coordenadas Geodésicas. 
Meridiano de P
Equador
Superfície
Física
Normal
Paralelo de PPN
PS
P
Meridiano
de
Greenwich


h
 
 
Figura 16 – Sistema de coordenadas geodésicas. 
 
Latitude () – define-se latitude geodésica de um lugar como sendo o ângulo 
formado entre a normal do lugar e o plano do equador. 
A latitude varia de 0º a 90º sendo considerada negativa no 
hemisfério sul. 
 
Longitude () – define-se longitude de um lugar como sendo o ângulo diedro 
formado pelo plano meridiano de Greenwich e o plano meridiano 
do lugar, ou a distância angular contada sobre o equador desde o 
meridiano origem (Greenwich) até o meridiano deste. A longitude 
varia de 0º a 180º sendo considerada negativa a oeste de 
Greenwich (hemisfério ocidental). 
 
 
 Neste sistema pode-se associar a altitude geométrica ou elipsoidal h (distância sobre a 
normal desde o elipsoide até o ponto na superfície topográfica). Nesta situação o ponto fica 
assim referenciado (  , h). 
 
 
 
 
 
 
Curso de Georreferenciamento de Imóveis Rurais – Cartografia Geral Aplicada 
 
 
 
28 
5.2. Latitudes Geocêntrica e Reduzida. 
 Nos problemas práticos de Geodésia somente o conhecimento da latitude geodésica não é 
suficiente, é comum se necessitar determinar as latitudes geocêntricas (Figura 17) e a reduzida 
(Figura 18). 
 Define-se latitude geocêntrica  de um ponto P na superfície do elipsoide ao ângulo que 
o raio vetor CP deste ponto, forma com a sua projeção no plano do equador. 
 
P

PN
PS
Equador
Normal
o

c
 
Figura 17 – Latitude geocêntrica. 
A relação entre a latitude geodésica e a 
geocêntrica é estabelecida pela seguinte 
fórmula: 
 
 
  tgetg −= )1( 2 
 
 
 No caso da latitude reduzida, é necessário observar a Figura 18 antes de se poder definir. 
Na ilustração, aparece um dos círculos principais da elipse que contém P, o círculo cujo raio é 
igual ao semieixo maior (a). Então, a partir de P se constrói uma reta paralela ao eixo de rotação. 
Esta reta cruza a circunferência em P’. Define-se como latitude reduzida, ao ângulo formado 
pelo raio vetor 'CP e sua projeção no plano do equador. 
 
P

PN
PS
Equador
o
uc
P’
 
Figura 18 – Latitude reduzida. 
A relação entre a latitude geodésica e a 
reduzida é estabelecida pela seguinte fórmula: 
 
 
tgetgu −= )1( 2 
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29 
 
5.3. Sistemas de Coordenadas Cartesianas Tridimensionais. 
 Este sistema de coordenadas é caracterizado por um conjunto de três eixos (X, Y e Z), 
ortogonais entre si (Figura 19). A origem do sistema pode coincidir com o centro de massa da 
Terra, e neste caso, é denominado de geocêntrico. As características deste sistema são as 
seguintes: 
• o eixo X é definido pela intersecção do plano meridiano de Greenwich com o plano do 
equador, sendo orientado positivamente no sentido do centro para o exterior. 
• o eixo Y é definido pela intersecção do plano meridiano de longitude 90º Leste com o 
plano equatorial. Esse sistema é dextrogiro. 
• o eixo Z é paralelo ao eixo de rotação da Terra e orientado positivamente na direção do 
Pólo Norte. 
 
Meridiano de 
Greenwich
Equador
 = 90º E
PN
Z
X
Y
PS 
Figura 19 – Sistema cartesiano tridimensional. 
 
 
5.4. Transformação de Coordenadas Geográficas em Cartesianas 
A transformação das coordenadas geográficas em cartesianas é conseguida pela aplicação 
das seguintes equações: 
 
j
j
j
sen
;sencos
;coscos
=
=
=
Rz
LRy
LRx
 
 
 
Curso de Georreferenciamento de Imóveis Rurais – Cartografia Geral Aplicada 
 
 
 
30 
5.5. Transformação de Coordenadas Cartesianas em Geográficas. 
No sistema de coordenadas geográficas o modelo que é utilizado para representar a Terra é 
o modelo esférico. Assim, a transformação de coordenadas é dada pelas seguintes equações: 
 
222 zyxR ++= ; 
22 yx
z
arctg
+
=j ; 
x
y
arctgL = 
onde: R - Raio da esfera que representa a Terra real; 
 
j - Latitude geográfica; 
 
L - Longitude geográfica. 
 
A latitude é um ângulo que varia de 0º a  90º e o sinal da equação indica se o ponto está no 
hemisfério norte ou sul. Entretanto, a longitude é um ângulo que tem uma variabilidade maior (0º 
 180º) e neste caso, deve-se proceder a um estudo de sinal indicado no quadro da 
Figura 20. 
 
x y Longitude Hemisfério 
+ + L 
Leste 
- + L + 180° 
+ - L 
Oeste 
- - L - 180° 
 
Figura 20 – Estudo de sinal para a longitude. 
 
 
Exemplo 1 – Dada as coordenadas geográficas de um local P sobre a superfície física da Terra calcule as 
coordenadas cartesianas tridimensionais desse ponto. Considere as dimensões do elipsoide internacional Referência 
1967 para fazer a aproximação esférica. 
 
jP = 16°19’20,00” Sul 
LP = 50º45’01,00” Oeste 
 
Curso de Georreferenciamento de Imóveis Rurais – Cartografia Geral Aplicada 
 
 
 
31 
Inicialmente se precisa dos dados referentes ao elipsoide Referência 1967 para fazer a aproximação esférica, ou seja: 
a = 6.378.160,000 m 
b = 6.356.774,719 m 
f = 1/298,25 
 
Aplicando na equação de aproximação esférica 𝑅 =
2.𝑎+𝑏
3
 𝑅 =
2𝑥6.378.160+6.356.774,719
3
 
 
R = 6.371.031,573 m 
 
 
Aplicando os valores nas equações de transformações vem: 
X = R.cos (j).cos (L); 
Y = R.cos (j).sen (L); 
Z = R.sen (j); 
 
X = 6.371.031,573 . cos (-16°19’20,00”).cos (-50°45’01,00”) = 3.868.499,288 m 
Y = 6.371.031,573 . cos (-16°19’20,00”).sen (-50°45’01,00”) = -4.734.853,493 m 
Z = 6.371.031,573 . sen (-16°19’20,00”) = -1.790.508,019 m 
Finalmente : 
𝜑𝑃 = 16°19
′00" 𝑆𝑢𝑙 
𝐿𝑃 = 50°45
′00" 𝑂𝑒𝑠𝑡𝑒
 
𝑋 = 3.868.499,288 𝑚
𝑌 = −4.734.853,493 𝑚
𝑍 = −1.790.508,019 𝑚
 
 
Na Figura 21 é representadagraficamente a posição desse ponto nos dois sistemas, geográfico e cartesiano 
tridimensional. 
Meridiano de 
Greenwich
PN
Z
X
Y
PS
xy
z LPj
P
P
 
Figura 21 – Representação gráfica das coordenadas geográficas e cartesianas tridimensionais do ponto P. 
 
 
Exemplo 2 – Dada as coordenadas cartesianas tridimensionais de um local A sobre a superfície física da Terra 
calcule as coordenadas geográficas desse ponto. 
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32 
 
xA = -4.949.713,671 m 
yA = 2.964.950,508 m 
zA = -2.701.748,761 m 
 
Aplicando os valores nas equações de transformações vem: 
𝑅 = √𝑋2 + 𝑌2 + 𝑍2 𝑅 = √(−4.949.713,671) 2 + 2.964.950,5082 + (−2.701.748,761)2 
 
 R = 6.371.031,573 m 
 
𝜑 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
𝑍
√𝑋2+𝑌2
 𝜑 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
−2.701.748,761 
√(−4.949.713,671) 2+ 2.964.950,5082
 j = -25°05’30,00” 
 
 
 
𝐿 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
𝑌
𝑋
 𝐿 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
2.964.950,508 
−4.949.713,671
 L = -30°55’20,00” 
 
Fazendo estudo de sinal : 
X (-) e Y (+) L = L + 180° L = 149°04’40,00” 
 
Finalmente : 
𝑋𝐴 = −4.949.713,671 𝑚
𝑌𝐴 = 2.964.950,508 𝑚
𝑍𝐴 = −2.701.748,761 𝑚
 
𝜑𝐴 = 25°05
′30,00" 𝑆𝑢𝑙 
𝐿𝐴 = 149°04
′40,00" 𝐸𝑠𝑡𝑒
 
Na Figura 22 é representada graficamente a posição desse ponto nos dois sistemas, geográfico e cartesiano 
tridimensional. 
Meridiano de 
Greenwich
PN
Z
X
Y
PS
x
y
z
LA
jA
A
 
Figura 22 – Representação gráfica das coordenadas geográficas e cartesianas tridimensionais do ponto A. 
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33 
6. Datum. 
 
Datum é o conjunto de parâmetros que definem o sistema geodésico/cartográfico de um País. 
 Por parâmetros, se subentende a figura geométrica adotada para representar a Terra, as 
especificações relativas ao ponto origem, a orientação do sistema de coordenadas, a posição da 
superfície elipsoidal em relação à física e a geoidal, entre outros parâmetros. 
6.1. Datum Horizontal 
 De 1950 até meados da década de 70, o Brasil adotava o Datum de Córrego Alegre. Este 
Datum utiliza como superfície de referência, o Elipsóide de Hayford (1924) que teve a sua 
origem (centro) deslocada do centro de massa da Terra, de modo a melhor ajustá-lo à superfície 
topográfica do País. Este procedimento tornou o sistema topocêntrico (não geocêntrico). Por 
questões de simplificação adotou-se ondulação geoidal como nula (N = 0 – distância medida 
sobre a vertical do local entre o elipsoide e o geoide). 
 Os parâmetros definidores deste sistema são listados a seguir: 
Ponto origem: Vértice Córrego Alegre 
Coordenadas:  = -19º 50’ 14,91’’ 
  = -48º 57’ 41,98’’ 
 h = 683,81m 
Superfície de referência: Elipsoide internacional de Hayford 1924. 
Parâmetros: a = 6.378.388,000 m 
 b = 6.356.911,946 m 
 f = 1/297 
Ondulação Geoidal: N = 0 Obs.: a ondulação foi arbitrada como zero. 
 Posteriormente, por um breve período o Brasil conviveu com o Datum Astro-geodésico 
de Chuá, que mudou o ponto origem do vértice de Córrego Alegre para o vértice de Chuá. Este 
Datum, não oficial, foi um ensaio para a adoção do Datum SAD-69. 
 O Datum SAD-69 (South American Data) é um sistema regional não geocêntrico, que 
teve a sua recomendação indicada em 1969 na XI Reunião pan-americana de Consulta sobre 
Cartografia. Nem todos os países do continente seguiram a recomendação e oficialmente 
somente em 1979, o Brasil o adotou. 
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34 
 Os dados que caracterizam este Datum estão discriminados a seguir. 
 Ponto origem: Vértice Chuá 
Coordenadas:  = -19º 45’ 41,6527’’ 
  = -48º 06’ 04,0639’’ 
 H = 763,28 m altitude ortométrica 
Superfície de referência: Elipsóide internacional de Referência 1967. 
Parâmetros: a = 6.378.160,000 m 
 b = 6.356.774,719 m 
 f = 1/298,25 
Ondulação Geoidal: N = 0 determinada 
Azimute geodésico: Az = 271º30’04,05” (Chuá-Uberaba) 
 
 Esta concepção de Datum, referenciando o sistema a um ponto origem, é 
considerada uma solução clássica. Modernamente, principalmente pela tecnologia GNSS (Global 
Navigation Satellite System), a ideia passou a ser a adoção de uma rede de pontos de 
coordenadas conhecidas que dão suporte ao mapeamento. 
 Sob esse novo enfoque, desde 25/02/2005 através da resolução IBGE nº 1/2005 o 
presidente daquela instituição, resolveu alterar a caracterização do referencial geodésico 
brasileiro, que passou a ser o SIRGAS 2000 (Sistema de Referência Geocêntrico para as 
Américas) época 2000,4. 
 O projeto SIRGAS foi criado na Conferência Internacional para Definição de um Sistema 
Referencial Geocêntrico para a América do Sul, realizada em Assunção-Paraguai em 1993. Os 
primeiros resultados foram apresentados na reunião científica da International Association of 
Geodesy (IAG) no Rio de Janeiro em 1997, que se traduziram em uma das redes de referência 
continentais mais precisas do mundo. O SIRGAS proposto é composto por 58 estações 
distribuídas pelo continente, com coordenadas determinadas por GPS (Global Positioning 
System) e referidas a rede de referência internacional mais precisa daquela época (ITRF94 época 
1995,4). Destas 58 estações, 11 estão no território brasileiro e nove coincidem com estações da 
Rede Brasileira de Monitoramento Contínuo do Sistema GPS (RBMC). 
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35 
 Atualmente a figura geométrica adotada é o elipsoide de revolução geocêntrico 
usado pelo Geodetic Reference System 1980 (GRS 80) cujos parâmetros são os seguintes: 
a = 6.378.137,0000000000 m 
b = 6.356.752,3141403558 m 
f = 1/298,257222101 
 Este sistema está materializado por 21 estações geodésicas distribuídas no território 
nacional, cujos valores estão na Tabela 2. 
Tabela 2 – Estações do SIRGAS 2000 
Estação 
Coordenadas Geodésicas Coordenadas Cartesianas 
  
Altitude 
elipsoidal 
(m) 
X (m) Y (m) Z(m) 
BRAZ 15º 56’ 50,9112” S 47º 52’ 40,3283” W 1.106,020 4.115.014,085 -4.550.641,549 -1.741.444,019 
BOMJ 13º 15’ 20,0103” S 43º 25’ 18,2468” W 419,401 4.510.195,835 -4.268.322,325 -1.453.035,300 
CAC1 22º 41’ 14,5337” S 44º 59’ 08,8606” W 615,983 4.164.559,941 -4.162.495,407 -2.445.051,218 
CANA 25º 01’ 12,8597” S 47º 55’ 29,8847” W 3,688 3.875.253,589 -4.292.587,088 -2.681.107,718 
CORU 19º 00’ 01,0131” S 57º 37’ 46,6130” W 156,591 3.229.969,943 -5.095.437,766 -2.063.429,898 
CRAT 07º 14’ 16,8673” S 39º 24’ 56,1798” W 436,051 4.888.826,036 -4.017.957,454 -798.309,017 
CUIB 15º 33’ 18,9468” S 56º 04’ 11,5196” W 237,444 3.430.711,406 -5.099.641,565 -1.699.432,931 
FOR1 03º 43’ 34,3800” S 38º 28’ 28,6040” W 48,419 4.982.893,151 -3.959.968,539 -411.742,293 
FORT 03º 52’ 38,8046” S 38º 25’ 32,2051” W 19,451 4.985.386,605 -3.954.998,594 -428.426,440 
IMBI 28º 14’ 11,8080” S 48º 39’ 21,8825” W 11,850 3.714.672,427 -4.221.791,488 -2.999.637,883 
IMPZ 05º 29’ 30,3584” S 47º 29’ 50,0445” W 105,008 4.289.656,441 -4.680.884,944 -606.347,331 
MANA 03º 06’ 58,1415” S 60º 03’ 21,7105” W 40,160 3.179.009,359 -5.518.662,100 -344.401,823 
MCAE 22º 22’ 10,3989” S 41º 47’ 04,2080” W 0,056 4.400.142,600 -3.932.040,418 -2.412.305,322 
PARA 25º 26’ 54,1269” S 49º 13’ 51,4373” W 925,765 3.763.751,652 -4.365.113,803 -2.724.404,694 
POAL 30º 04’ 26,5528” S 51º 07’ 11,1532” W 76,745 3.467.519,402 -4.300.378,535 -3.177.517,730 
PSAN 00º 03’ 26,4338” S 51º 10’ 50,3285” W -15,506 3.998.232,011 -4.969.359,526 -6.340,615 
RECF 08º 03’ 03,4697” S 34º 57’ 05,4591” W 20,180 5.176588,653 -3.618.162,163 -887.363,920 
RIOD 22º 49’ 04,2399” S 43º 18’ 22,5958” W 8,630 4.280.294,879 -4.034.431,225 -2.458.141,380 
SALV 13º 00’ 31,2116” S 38º 30’ 44,4928” W 35,756 4.863.495,731-3.870.312,351 -1.426.347,813 
UEPP 22º 07’ 11,6571” S 51º 24’ 30,7223” W 430,950 3.687.624,315 -4.620.818,606 -2.386.880,343 
VICO 20º 45’ 41,4020” S 42º 52’ 11,9622” W 665,955 4.373.283,313 -4.059.639,049 -2.246.959,728 
SMAR 29º 43’ 08,1260” S 53º 42’ 59,7353” W 113,107 3.280.748,410 -4.468.909,741 -3.143.408,684 
Fonte: Resolução n° 1 de fevereiro de 2005 (IBGE) adaptada. 
 
 Está incluída nesta Tabela 2 a estação SMAR, pertencente a Rede Brasileira de 
Monitoramento Continuo do Sistema GPS (RBMC) e cujas coordenadas foram determinadas 
pelo IBGE posteriormente à campanha GPS/SIRGAS 2000. 
 
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36 
6.2. Mudança de Datum. 
 Considerando que todo o sistema de mapeamento tem uma ligação íntima com o Datum 
adotado, a utilização de um parâmetro diverso ao estabelecido, implica numa inconsistência de 
dados, ou seja, um mesmo ponto da superfície física terrestre terá coordenadas diferentes 
dependendo do referencial adotado. Deve-se então, tomar o cuidado de verificar em qual Datum 
está referenciado o mapeamento e fazer as adequações necessárias à compatibilização. 
 Com a difusão da utilização da tecnologia GPS, este cuidado deve ser redobrado, uma 
vez que o sistema utiliza os parâmetros do sistema WGS-84. 
 O IBGE através da Resolução nº 23, de 21 de fevereiro de 1989, estabeleceu os critérios 
oficiais para transformações de sistemas geodésicos (mudança de Datum). A Resolução nº 
1/2005 complementa no que concerne à mudança para o SIRGAS 2000. 
 A resolução recomenda que se utilize a transformação das coordenadas geodésicas em 
tridimensionais, aplique-se nestas os fatores de transformação e posteriormente se retorne ao 
sistema geodésico. Até essa Resolução aplicavam-se as fórmulas simplificadas de Molodeski. 
 
6.2.1. Transformação de Coordenadas Geodésicas para Cartesianas 
Tridimensionais 
 As equações de transformação são as seguintes: 
( ) ;sen)1(
;sencos)(
;coscos)(
11
2
111
11111
11111



heNZ
hNY
hNX
+−=
+=
+=
 
onde : 1 = Latitude geodésica do ponto. 
 1 = Longitude geodésica do ponto. 
 N1 = raio de curvatura da seção 1º vertical (grande normal). 
 h1 = altitude geométrica ou elipsoidal. 
 
Transformação de sistema 
 Os Datum de Córrego Alegre, SAD 69, SIRGAS 2000 e WGS 84 são, para efeito de 
transformação, considerados paralelos entre si, a alteração neste caso, envolve apenas translação 
de eixos. 
X2 = X1 + X12 
Y2 = Y1 + Y12 
Z2 = Z1 + Z12 
 
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37 
onde: X, Y e Z são parâmetros de transformação, definidos nas resoluções e estão listados 
na Tabela 3. 
 
6.2.2. Transformação de Cartesianas Tridimensionais para Coordenadas 
Geodésicas 
 As equações de transformação são as seguintes: 
 
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
2
2
2
2
2
2
2
3
2
2
22
2
cos
cos
sen'
N
YX
h
X
Y
arctg
uaeYX
ubeZ
arctg
−
+
=






=








−+
+
=



 
 
onde: 
 
 
utg
tgu
u
21
sen
+
= ; 
utg
u
21
1
cos
+
= ; 
2
2
2
2
2
2
2
b
a
YX
Z
tgu 
+
= 
 
 Os parâmetros de transformação encontram-se na Tabela 3 . 
 
Tabela 3 – Parâmetro de transformação dos Datum brasileiros. 
Parâmetros de 
Transformação 
Córr. Alegre 
- 
SAD 69 
SAD 69 
- 
Córr. Alegre 
SAD 69 
- 
SIRGAS 
2000 
SIRGAS 
2000 
– 
SAD 69 
SAD 69 
– 
WGS 84 
WGS 84 
– 
SAD 69 
X -138,70 m 138,70 m - 67,35 m 67,35 m - 66,87 m  0,43m 66,87 m  0,43m 
Y 164,40 m - 164,40 m 3,88 m - 3,88 m 4,37 m  0,44m - 4,37 m  0,44m 
Z 34,40 m -34,40 m -38,22 m 38,22 m -38,52 m  0,40m 38,52 m  0,40m 
 obs: Dados obtidos do Boletim de Serviço Nº 1602 (suplemento) e nas resoluções Nº 23/89 e Nº 1/2005 – IBGE. 
 
 Os parâmetros que definem o elipsóide utilizado pelo sistema WGS 84 são os seguintes: 
 
 a = 6.378.137,000 m 
WGS 84 b = 6.356.752,314 m 
 f = 1/298,257223563 
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38 
 
 Em decorrência da evolução tecnológica, o WGS84 já passou por três atualizações: 
WGS84(G730); WGS84(G873) e WGS84(G1150). Desta forma, os parâmetros de transformação 
da Tabela 3 entre SAD 69 e WGS84, devem ser usados para levantamentos GPS antes de 1994. 
Após esta data os parâmetros indicados são os da transformação entre SAD 69 e SIRGAS 2000 
uma vez que os dois sistemas (WGS84 e SIRGAS 2000) são compatíveis ao nível do centésimo 
do milímetro. 
 No site do IBGE é possível ter acesso ao programa de transformação de Datum 
PROGRID. Anteriormente se tinha acesso ao TCGeo. 
 O TCGeo utiliza a formulação apresentada na resolução nº 23 de 21 de fevereiro1989 e 
os parâmetros de transformação da resolução nº 1 de 25 de fevereiro de 2005. Este programa faz 
a transformação ponto a ponto e não leva em consideração a distorção da rede geodésica, 
originada pelo transporte de coordenadas feitas através da triangulação geodésica clássica. 
 O PROGRID é um programa mais abrangente que utiliza um “grid” de referência que 
procura modelar as distorções da rede ao mesmo tempo em que proporciona a mudança de 
Datum. 
 Nenhum desses programas melhora a qualidade do dado original quanto à precisão. 
 
Exemplo 3 – São dadas as coordenadas geodésicas de um local P sobre a superfície física da Terra no Datum 
Córrego Alegre. Calcule as coordenadas desse ponto no Datum SIRGAS 2000. 
 
P = 25°25’50,00” Sul 
P = 49º19’01,00” Oeste 
h = 980,425 m 
 
Para fazer a transformação de coordenadas geodésicas para cartesianas tridimensionais é necessário os dados 
referentes ao Datum Córrego Alegre (Elipsóide de Hayford), ou seja: 
 
a = 6.378.388,000 m 
b = 6.356.911,946 m 
f = 1/297 
 
As equações de transformação são as seguintes: 
 
( ) ;sen)1(
;sencos)(
;coscos)(
11
2
111
11111
11111



heNZ
hNY
hNX
+−=
+=
+=
 
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39 
Observa-se que é preciso calcular o raio da seção 1° vertical e a 1ª excentricidade ao quadrado. 
 
𝑁 =
𝑎
√1− 𝑒2𝑠𝑒𝑛2∅
 e 𝑒2 =
𝑎2−𝑏2
𝑎2
 
 
 
𝑒2 =
(6.378.388)2−(6.356.911,946)2
(6.378.388)2
 = 0,00672267002 𝑁 =
6.378.388 𝑚
√1− 𝑒2𝑠𝑒𝑛2(−25°25′50,00")
 N = 6.382.345,1712 m 
Então: 
X1 = (6.382.345,1712 + 980,425) x cos (-25°25’50,00”) x cos(-49°19’01,00”) = 3.757.938,73577 m 
Y1 = (6.382.345,1712 + 980,425) x cos (-25°25’50,00”) x sen(-49°19’01,00”) = - 4.371.621,27622 m 
Z1 = (6.382.345,1712.(1 – e²) + 980,425) x sen (-25°25’50,00”) = -2.722.682,62706 m 
Com as coordenadas cartesianas tridimensionais calculadas é necessário se fazer a translação para o novo Datum. 
Na tabela 3 temos os parâmetros para transformar de Córrego para SAD 69 e de SAD 69 para SIRGAS 2000. 
Assim: 
Parâmetros de 
Transformação 
Córr. Alegre - SAD 69 SAD 69 – SIRGAS 2000 Córr. Alegre – SIRGAS 2000 
X -138,70 m - 67,35 m -206,05 m 
Y 164,40 m 3,88 m 168,28 m 
Z 34,40 m -38,22 m -3,82 m 
e as coordenadas tridimensionais transladadas para o Datum SIRGAS 2000, são: 
X2 = X1 + X12 = 3.757.938,73577 + (-206,05) = 3.757.732,68577 m
 
Y2 = Y1 + Y12 = -- 4.371.621,27622 + 168,28 = -4.371.452,99622 m
 
Z2 = Z1 + Z12 = -2.722.682,62706 + (-3,82) = -2.722.686,44706 m
 
 
É necessário converter as coordenadas cartesianas tridimensionais em geodésicas pelas equações: 
 
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
2
2
2
2
2
2
2
3
2
2
22
2
cos
cos
sen'
N
YX
h
X
Y
arctg
uaeYX
ubeZ
arctg
−
+
=






=








−+
+
=



 
utg
tgu
u
21
sen
+
= ; 
utg
u
21
1
cos
+
=
; 
2
2
2
2
2
2
2
b
a
YX
Z
tgu 
+
=
 
 
 
 
Curso de Georreferenciamento de Imóveis Rurais – Cartografia Geral Aplicada 
 
 
 
40 
Os parâmetros doGRS 80 utilizados pelo SIRGAS 2000 são: 
a = 6.378.137,000 m 
 e² = 0,00669438002 
b = 6.356.752,314140358 m 
 e'² = 0,00673949678 
f = 1/298,257222101 
 
Calculando a tangente, o seno e o cosseno do ângulo auxiliar u, vem: 
 
𝑡𝑔𝑢 =
−2.722.686,44706
3.757.732685772 + (−4.371.452,99622)2
 x 
6.378.137
6.356.752,314140358
= −0,473903582 
 
 
𝑠𝑒𝑛𝑢 = 
−0,473903582
√1+ (−0,473903582)2
= −0,428248247 𝑐𝑜𝑠𝑢 = 
1
√1+ (−0,473903582)2
= 0,903661131 
 
Aplicando os valores nas equações de transformação: 
 
∅2 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (
−2.722.686,44706 + 0,00673949678 x 6.356.752,314140358 x (−0,428248247)3 
√3.757.732685772 + (−4.371.452,99622)2 − 0,00669438002 x 6.378.137 x (0,903661131)3
) = −25°25′51,4690" 
 
 
𝜆2 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (
−4.371.452,99622
3.757.73268577
) = −49°19′02,6658" 
 
 
 
𝑁 =
6.378.137 𝑚
√1− 0,00669438002 x 𝑠𝑒𝑛2(−25°25′51,4690")
= 6.382.077,4665 m 
 
ℎ2 = 
√3.757.732685772 + (−4.371.452,99622)2
cos ( −25°25′51,4690")
− 6.382.077,4665 = 979,7129 𝑚 
 Finalmente tem-se: 
∅
 Córrego Alegre SIRGAS 2000 
P = 25°25’50,00” Sul 25°25’ 51,4690” Sul 
P = 49º19’01,00” Oeste 49° 19’02,6658” Oeste 
h = 980,425 m 979,7129 m 
 
Exemplo 4 – Um levantamento feito em 1995 com GPS de um ponto na superfície da Terra, teve as coordenadas 
geodésicas obtidas transformadas para o Datum oficial da época, SAD 69. A resolução n° 1 de 25 de fevereiro de 
2005 mudou o Datum brasileiro para o SIRGAS 2000 e impôs um prazo de 10 anos para que os trabalhos feitos em 
outros sistemas sejam convertidos para o novo. Sendo assim, converta as coordenas do ponto P que estão em SAD 
69 para o SIRGAS 2000 
 
P = 15°05’32,00” Sul 
P = 52º49’05,00” Oeste 
h = 1083,531 m 
Curso de Georreferenciamento de Imóveis Rurais – Cartografia Geral Aplicada 
 
 
 
41 
 Primeiramente é necessário se converter as coordenadas geodésicas em cartesianas tridimensionais, e para 
isso são necessários os parâmetros do SAD 69. 
a = 6.378.160,000 m 
b = 6.356.774,719 m e² = 0,00669454185458779 
f = 1/298,25 
 
 Na sequencia o cálculo da seção 1ª vertical. 
 
𝑁 =
6.378.160 𝑚
√1− 𝑒2𝑠𝑒𝑛2(−15°05′32,00")
= 6.379.607,86315 m 
 
 E finalmente as coordenadas cartesianas tridimensionais. 
X1 = (6.379.607,86315 + 1083,531) x cos (-15°05’32,00”) x cos(-52°49’05,00”) = 3.097.230,90937 m 
Y1 = (6.379.607,86315 + 1083,531) x cos (-15°05’32,00”) x sen(-52°49’05,00”) = - 5.325.434,97420 m 
Z1 = (6.379.607,86315.(1 – e²) + 1083,531) x sen (-15°05’32,00”) = -1.650.242,42971 m 
 
Para fazer a mudança de Datum basta somar as constantes de translação X, Y e Z. No entanto, se deve tomar 
cuidado porque, tanto o Datum SIRGAS 2000 como o WGS 84 são geocêntricos, os seus semi-eixos maiores são 
iguais (a = 6.378.137 m) e o achatamento é idêntico até a 5ª casa depois da vírgula (f = 1/298,257222101 – SIRGAS 
2000 e f = 1/298,257223563 – WGS 84) de modo que em termos práticos, WGS 84 e SIRGAS 2000 são 
considerados iguais. Entretanto, as constantes de translação são diferentes e, em 1995, o ponto P que estava 
referenciado ao centro de massa da Terra foi transladado para um não geocêntrico, SAD 69. Dessa forma, o correto 
é fazer o caminho inverso daquela época voltando para o WGS 84 e assumindo que a coordenada está em SIRGAS 
2000. Em outras palavras, no presente caso, usar as constantes de translação do SAD 69 para o WGS 84. 
 
X2 = X1 + X12 = 3.097.230,90937 + (-66,87) = 3.097.164,03967 m
 
Y2 = Y1 + Y12 = -5.325.434,97420 + 4,37 = 
 
-5.325.430,60420 m
 
Z2 = Z1 + Z12 = -1.650.242,42971 + (-38,52) =
 
-1.650.280,94971 m
 
 
Finalmente aplicam-se as equações que transformam as coordenadas cartesianas tridimensionais em geodésicas. 
Os parâmetros do GRS 84 utilizados pelo WGS 84 são: 
a = 6.378.137,000 m 
 e² = 0,00669437999 
b = 6.356.752,31424518 m 
 e'² = 0,00673949674 
f = 1/298,257223563 
 
 
 
 
Curso de Georreferenciamento de Imóveis Rurais – Cartografia Geral Aplicada 
 
 
 
42 
Calculando a tangente, o seno e o cosseno do ângulo auxiliar u, vem: 
 
𝑡𝑔𝑢 =
−1.650.280,94971
3.097.164,039672 + (−5.325.430,60420)2
 x 
6.378.137
6.356.752,31424518
= −0,268779025148 
 
 
𝑠𝑒𝑛𝑢 = 
−0,268779025148
√1+ (−0,268779025148)2
= −0,2595666749 𝑐𝑜𝑠𝑢 = 
1
√1+ (−0,268779025148)2
= 0,96572518931 
 
Aplicando os valores nas equações de transformação: 
 
∅2 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (
−1.650.280,94971 + 0,00673949674 x 6.356.752,31424518 x (−0,2595666749)3 
√3.097.164,039672 + (−5.325.430,60420)2 − 0,00669437999 x 6.378.137 x (0,96572518931)3
) = −15°05′33,52" 
 
 
𝜆2 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (
−5.325.430,60420
3.097.164,03967
) = −52°4919′06,86" 
 
 
 
𝑁 =
6.378.137 𝑚
√1− 0,00669437999 x 𝑠𝑒𝑛2(−15°05′33,52")
= 6.379.584,9013 𝑚 
 
ℎ2 = 
√3.097.164,039672 + (−5.325.430,60420)2
cos ( −15°05′33,52")
− 6.379.584,9013 = 1080,4143 𝑚 
 
 SAD 69 SIRGAS 2000 
P = 15°05’32,00” Sul 15°05’33,52” Sul 
P = 52º49’05,00” Oeste 52º49’06,86” Oeste 
h = 1083,531 m 1080,4143 m 
 
Se fosse utilizado as constantes de translação do SAD 69 para SIRGAS 2000, introduziria um erro planimétrico de 
0,76 m. 
 
6.3. Datum vertical. 
Segundo Alencar (1990), o IBGE, através da Seção de Nivelamento – SNI, do antigo 
Conselho Nacional de Cartografia, em 13 de outubro de 1945 deu início à medição da Rede de 
Nivelamento Geodésico na localidade de Cocal, Município de Uruçanga, Santa Catarina. Nessa 
época o Brasil não adotava uma superfície altimétrica de referência para o cálculo das altitudes 
do País. Esse fato causava divergências de tal modo que na estação ferroviária de Itararé, em São 
Paulo, junção das estradas de ferro Sorocabana e Paraná-Santa Catarina, na mesma plataforma 
apareciam as altitudes: Sorocabana = 720,90 m e Paraná-Santa Catarina = 728,53 m. 
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43 
Em dezembro de 1946, foi feita a conexão desse nivelamento geodésico com a RN IV 
(Referência de Nível IV) do Serviço Geográfico do Exército, estabelecida junto ao Marégrafo de 
Torres, Rio Grande do Sul, permitindo então o cálculo das altitudes das referências de nível já 
implantadas (Alencar, 1990). 
O Marégrafo de Torres foi obtido com observações do nível do mar por um período de 1 
ano, tempo insuficiente para abranger e reduzir todas as variações periódicas causadas por 
influencias astronômicas. O ideal seria pelo menos 19 anos de observações. No entanto, para dar 
suporte a cadeia de triangulação de 1ª ordem, iniciada em 1945, ao longo do meridiano 49° oeste 
e que iria dar apoio básico ao mapeamento da Zona Carbonífera de Santa Catarina, adotou-se 
provisoriamente este marégrafo. 
 Em 1958 o Datum de Torres é substituído pelo Datum de Imbituba, Santa Catarina, cujo 
nível foi determinado a partir de 9 anos de observações maregráficas (1949 – 1957). Nesta época 
a rede de nivelamento já tinha alcançado o estado da Paraíba, totalizando 30 mil quilômetros, 
espalhados em 78 circuitos que estavam sendo ajustados em bloco. 
O Datum de Imbituba é o referencial altimétrico para a maior parte do Brasil, entretanto, 
existe uma pequena parte da Rede Altimétrica de Alta Precisão (RAAP), no Amapá, que utiliza o 
nível médio do Porto de Santana cujo valor de referência foi obtido entre 1957 e 1958. Essa rede 
até o momento não teve condições técnicas de ser conectada com Imbituba. 
 Com o objetivo de se ter um referencial altimétrico de melhor qualidade o IBGE em 1996 
concebeu a Rede Maregráfica Permanente para Geodésia (RMPG) cuja finalidade é determinar e 
acompanhar a evolução temporal e espacial dos data altimétricos do Sistema Geodésico 
Brasileiro (SGB). Cinco estações encontram-se em operação: Macaé (RJ), com observações 
convencionais desde novembro de 1994 e digitais desde julho de 2001; Imbituba (SC), desde 
junho de 1998 e agosto de 2001; Salvador (BA), desde dezembro