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A Álgebra Linear e o Método dos Elementos Finitos aplicados na análise estrutural

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A Álgebra Linear e o Método dos Elementos
Finitos aplicados na Análise Estrutural.
Renato Silva Nicoletti
Setembro de 2016
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Caṕıtulo 1
Introdução
Nos páıses em desenvolvimento, como o Brasil, a Engenharia se revela como fator vital para a ampliação
da infraestrutura, para a solução de problemas de ordem econômica e social e para a melhor na qualidade
de serviços oferecidos a sociedade como um todo. De modo geral, pode-se afirmar que a Engenharia anda
lado a lado com o desenvolvimento.
Nesse contexto, o engenheiro civil constitui um importante profissional quando se trata de infraestrutura,
pois o mesmo cumpre o papel do principal profissional habilitado para gerir projetos e construções de
edif́ıcios, portos, túneis, metrôs, barragens, aeroportos, estádios e até mesmo apresentar soluções inovadoras
e tecnológicas que visam a melhoria da qualidade de vida da sociedade.
Dentre as grandes áreas de estudo da engenharia civil, a engenharia estrutural é o ramo que se mostra
como um dos mais importantes em uma obra, visto que todos os demais elementos dependem da solidez
estrutural que a edificação seja estável. O principal objetivo do projeto de uma estrutura é possibilitar que
a mesma atenda à sua função de estabilidade sem entrar em colapso e sem deformar ou vibrar de forma
excessiva. Dentro destes limites, os quais são precisamente definidos pelas normas técnicas, o engenheiro
estrutural busca o melhor uso dos materiais dispońıveis concomitantemente com o menor custo posśıvel de
construção e manutenção da estrutura.
Na análise estrutural, os métodos anaĺıticos clássicos possibilitam o cálculo da resposta exata dos des-
locamentos, deformações e tensões na estrutura em todos os seus pontos, isto é, nos seus infinitos pontos,
entretanto tais soluções são somente conhecidas para alguns casos, que não se enquadram na maioria das
aplicações práticas do cotidiano.
Dessa forma, seria interessante desenvolver procedimentos aproximados, que pudessem ser aplicados
em caráter geral, não dependendo da forma da estrutura e da condição de carregamento, dentro da pre-
cisão aceitável do problema de engenharia. Este caminho alternativo aos procedimentos anaĺıticos clássicos
constitui o foco central do nosso problema e dará origem ao Método dos Elementos Finitos. A Figura 1
esquematiza os dois procedimentos.
Figura 1.1: Esquema do Método Clássico e do Método dos Elementos Finitos.
Fonte: Elaborado pelos autores.
Ainda nesse contexto, tem-se que as principais etapas do projeto estrutural são:
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4 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO
1. Elaboração do esquema estrutural;
2. Definição das cargas ou forças que atuam na estrutura;
3. Cálculo dos esforços e deformações;
4. Dimensionamento das peças estruturais;
5. Detalhamento do projeto para execução.
Assim, o presente trabalho visa equacionar o Método dos Elementos Finitos para o cálculo de esforços e
deformações em vigas buscando seu consequente dimensionamento, apresentar o software desenvolvido com
esse objetivo, resolver aplicações reais do tema com diferentes complexidades e evidenciar o importante papel
da Álgebra Linear, do Cálculo Diferencial e Integral e do Cálculo Numérico nesse percurso.
Caṕıtulo 2
Equacionamento do Problema
2.1 Idealização de Sistemas – Modelos Discretizados
Considerando que a compreensão de diversos processos e fenômenos torna-se simplificada quando se
estudam os mesmos de forma fracionada, torna-se inerente a mente humana querer subdividir os sistemas
em seus componentes individuais, ou em seus elementos. Nesse contexto, vem à tona a ideia de que, a partir
do entendimento do comportamento de cada elemento, é posśıvel entender o comportamento do conjunto,
independente da complexidade do problema. Ou seja, em suma, busca-se compreender o todo por meio do
entendimento das partes. No âmbito da engenharia e da ciência, comumente se apropria deste caminho para
a abordagem dos problemas. A Figura 2.1 apresenta estruturas discretizadas.
Figura 2.1: Modelos de Sistemas Discretos.
Fonte: Faculdade de Engenharia do Porto.
2.1.1 Sistemas Cont́ınuos
No cenário em que estamos trabalhamos, define-se o sistema cont́ınuo como aquele que se estuda o
problema em sua totalidade. Em nosso caso, a Teoria da Flexão de uma Viga foi desenvolvida por E.
Winkler (1867), e a Solução Anaĺıtica permite determinar o deslocamento vertical v, para todos os valores
de x, ou seja, a solução é obtida para os infinitos pontos da viga, através de uma função matemática. Dessa
maneira a viga, objeto de análise, é estudada como um Sistema Cont́ınuo, uma vez que a solução é obtida
para todos os pontos que constituem o corpo cont́ınuo.
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6 CAPÍTULO 2. EQUACIONAMENTO DO PROBLEMA
2.1.2 Sistemas Discretos
O tratamento do equiĺıbrio da estrutura pode ser realizado considerando-a um Sistema Discreto. A ideia
da Discretização de Sistema Cont́ınuo leva em conta a divisão da estrutura em partes separadas distintas,
conectadas entre si nos pontos discretos.
Nesta situação, a solução aproximação representa a estrutura como uma montagem de elementos que
possuem um comprimento finito (e não diferencial). Dessa maneira, o sistema é subdividido em um número
finito de partes ou elementos, de sorte que a estrutura inteira é modelada por um agregado de estruturas
”simples”. Ademais, denomina-se os pontos de conexão entre os elementos por Nós do Modelo e faz-se
importante e dizer que são nesses nós em que as forças são aplicadas e os deslocamentos são medidos.
Vale ressaltar que no modelo discretizado, não se busca calcular os deslocamentos dos infinitos pontos da
viga, como no caso cont́ınuo. No primeiro, são calculados somente os deslocamentos de alguns pontos, que
são os nós do modelo e julga-se que os mesmos são suficientes para representar o deslocamento do sistema
inteiro de forma adequada.
Faz-se importante salientar ainda que uma das razões pelo qual o Método dos Elementos Finitos obteve
sucesso desde o ińıcio de seu equacionamento até os dias de hoje é que o seu conceito fundamental, a
discretização, acarreta em muitas equações algébricas simultâneas, que são geradas e resolvidas com o aux́ılio
de softwares numéricos.
A Figura 2.1.2 resume o processo de discretização.
Figura 2.2: Método Geral para Análise de Sistemas Discretos.
Fonte: ALVES, 2003.
2.2. A ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS 7
2.2 A Análise Matricial de Estruturas
A Análise Matricial de Estruturas e, em consequência, o Método dos Elementos Finitos possuem como
fundamento inicial a Relação entre Forças Nodais e Deslocamentos Nodais para cada Elemento Individual.
Essa importante ideia está associada ao Conceito de Rigidez.
O caso mais simples neste contexto ocorre com molas: a constante elástica da mola, que é a medida
da rigidez da mola, é representada através da relação entre a força aplicada e o deslocamento medido na
extremidade da mola. Dessa forma, tem-se que F “ k ¨ d.
De forma análoga ao que ocorre com a mola, acontece em um elemento finito, todavia em caráter mais
amplo. Na mola existe apenas o conceito de rigidez axial, pois ela transfere apenas forças axiais. Em uma
viga, por sua vez, estão presentes vários componentes de rigidez simultaneamente, como rigidez axial, rigidez
a flexão, rigidez à torção e ao cisalhamento. Contudo, temos de modo geral que a equação (2.1) governa a
análise matricial de estruturas.
rF s “ rKs ¨ rU s (2.1)
Onde:
• rF s é a matriz coluna com todas as cargas nodais;
• rKs é a Matriz Rigidez da Estrutura que relaciona as forças e os deslocamentos nodais;
• rU s é a matriz coluna com os deslocamentos nodais.
Visto isso, o foco do problema se torna a determinação da Matriz Rigidez da Estrutura.
2.3 Leis Fundamentais
A elaboração do modelo matemático que representa de forma discreta a estrutura pode ser estabelecida
a partir da aplicação de algumas leis