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Equacionamento do Método dos Elementos Finitos através da Álgebra Linear

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Renato Silva Nicoletti
XIX Simpósio de Matemática para a Graduação
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DE TECNOLOGIA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
1
Introdução
Os métodos analíticos clássicos possibilitam o cálculo da resposta
exata dos deslocamentos e tensões na estrutura em todos os seus pontos,
entretanto tais soluções são somente conhecidas para alguns casos.
Dessa forma, seria interessante desenvolver procedimentos
aproximados, que pudessem ser aplicados em caráter geral, dentro da
precisão aceitável do problema de engenharia.
Figura 1: Estrutura reticulada.
Fonte: Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto.
2
Introdução
Este caminho alternativo aos procedimentos analíticos clássicos
constitui o foco central do nosso problema e dará origem ao Método dos
Elementos Finitos.
3
Estruturas com 
Geometria, 
Carregamento e 
Condição de Apoio 
Simples
Estruturas 
Complexas
Solução Exata
Solução 
Aproximada
Método dos 
Elementos Finitos
Exemplo
4
Calcularemos o deslocamento vertical e a rotação na extremidade de
uma viga em balanço, produzida em virtude da aplicação de uma carga de
50kN (cinco toneladas) também na extremidade. Assim, consideramos
uma viga com as seguintes características:
• Material: Concreto;
• Vão: 3 metros;
• Seção Transversal: Retangular (40cm x 60cm).
Figura 2: Viga do problema proposto para ser equacionado e resolvido neste trabalho.
Fonte: Elaborado pelos autores
Exemplo
5
Figura 3: Exemplo de caso prático de viga em balanço.
Fonte: MicMontagens
Equacionamento do Problema
6
Considerando que a compreensão de diversos processos e fenômenos
torna-se simplificada quando se estudam os mesmos de forma fracionada,
vem à tona a ideia de que, a partir do entendimento do comportamento de
cada elemento, é possível entender o comportamento do conjunto. Desta
forma, temos duas abordagens para o equacionamento:
• Sistemas Contínuos - estudo do problema em sua totalidade;
• Sistemas Discretos - divisão da estrutura em partes separadas
distintas, conectadas entre si nos pontos discretos.
Equacionamento do Problema
Figura 4: Método Geral para Análise de Sistemas Discretos.
Fonte: ALVES, 2003. 7
Análise Matricial de Estruturas
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Pela Lei de Hooke, temos, de modo geral, que a equação (01) governa a
análise matricial de estruturas.
𝐹 = 𝐾 . 𝑈 (01)
Onde:
 [𝐹] é a matriz coluna com todas as cargas nodais;
 [𝐾] é a Matriz Rigidez da Estrutura que relaciona as forças e os 
deslocamentos nodais;
 [𝑈] é a matriz coluna com os deslocamentos nodais.
Leis Fundamentais
9
A elaboração do modelo matemático que representa de forma
discreta a estrutura pode ser estabelecida a partir da aplicação de
algumas leis importantes da Mecânica Estrutural. Neste âmbito, a
estrutura em equilíbrio deve satisfazer três leis:
1. Lei do Equilíbrio de Forças;
2. Lei da Compatibilidade de Deslocamentos;
3. Lei de Comportamento do Material.
Leis Fundamentais
10
1. Equilíbrio de Forças
Considera-se as Equações de Equilíbrio advindas da Mecânica e
aplica-se as mesmas em cada elemento isoladamente. Se os elementos
estiverem em equilíbrio, a estrutura como um todo também estará.
෍𝑭𝒊 = 𝟎, 𝒊 = 𝒙, 𝒚, 𝒛.
Leis Fundamentais
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2. Lei da Compatibilidade de Deslocamentos
Impõe que todas as extremidades de elementos conectadas a um
mesmo nó, estão sujeitos aos mesmos componentes de deslocamentos.
Figura 5: Representação da compatibilidade de deslocamentos entre os elementos.
Fonte: ALVES, 2003.
Leis Fundamentais
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3. Lei de Comportamento do Material
Quando se transmite esforços ao longo da estrutura, a mesma se
deforma em virtude dos esforços internos. Desta forma, segundo a
Resistência dos Materiais, utiliza-se as seguintes relações:
1. 𝑭 = 𝒌 × U
2. 𝑰𝒙 = 𝑨׬ 𝒚
𝟐𝒅𝑨
3.
𝒅𝟐𝒗
𝒅𝒙𝟐
=
𝑴
𝑬.𝑰𝒙
Análise Matricial de Estruturas
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Em nosso problema, a relação entre as forças nodais e os
deslocamentos nodais para o elemento de viga com somente rigidez à
flexão, é dada pela equação (02).
𝑓1
𝑀1
𝑓2
𝑀2
=
12𝐸𝐼
𝐿3
6𝐸𝐼
𝐿2
−
12𝐸𝐼
𝐿3
6𝐸𝐼
𝐿2
6𝐸𝐼
𝐿2
4𝐸𝐼
𝐿
−
6𝐸𝐼
𝐿2
2𝐸𝐼
𝐿
12𝐸𝐼
𝐿3
−
6𝐸𝐼
𝐿2
12𝐸𝐼
𝐿3
−
6𝐸𝐼
𝐿2
6𝐸𝐼
𝐿2
2𝐸𝐼
𝐿
−
6𝐸𝐼
𝐿2
4𝐸𝐼
𝐿
.
𝑣1
𝜃1
𝑣2
𝜃2
(02)
Resultados
14
Substituindo os respectivos valores chega-se à:
𝑓1
𝑀1
−50
0
= 1,8 × 105 ×
0,444
0,666
−0,444
0,666
0,666
1,333
−0,666
0,666
0,444
−0,666
0,444
−0,666
0,666
0,666
−0,666
1,333
.
0
0
𝑣2
𝜃2
−50
0
= 1,8 × 105 ×
0,444 −0,666
−0,666 1,333
.
𝑣2
𝜃2
Resultados
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Resolvendo completamente o sistema chega-se aos seguintes
resultados:
• 𝑓1 = 50 𝑘𝑁;
• 𝑀1 = 150 𝑘𝑁.𝑚
• 𝑓2 = −50 𝑘𝑁;
• 𝑀2 = 0;
• 𝑣1 = 0;
• 𝜃1 = 0;
• 𝑣2 = − 2,49 × 10
−3𝑚;
• 𝜃2 = − 1,245 𝑟𝑎𝑑.
Conclusões
• O Método dos Elementos Finitos constitui um método aproximado
que, independente da forma da estrutura e da condição de
carregamento, nos fornece resultados aceitáveis;
• Para a aplicação do MEF, a discretização deteve um papel
fundamental para, a partir de pequenas partes, equacionar o todo;
• Na execução, conceitos de Cálculo Numérico, Cálculo Diferencial e
Integral e Álgebra Linear são vitais, especialmente na programação;
• Confirmou-se a eficiência do Método dos Elementos Finitos e
ratificou-se a praticidade do mesmo. Ademais, neste contexto, a
programação do método torna-se uma importante ferramenta de
auxílio para projetistas no âmbito da engenharia.
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Software Matemático
Desenvolveu-se ainda um software simples e interativo na
linguagem C para calcular os deslocamentos de um elemento de viga
para as condições de carga, vão, seção, material e vinculação que o
usuário inserir.
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Figura 6: Discretização e propriedades da viga objeto do software.
Fonte: Elaborado pelos autores
Referências Bibliográficas
ALVES, A. F. Elementos finitos: a base da tecnologia CAE. São Paulo: Érica,
2003. p. 294.
BOGADO, H. W. Programação em Linguagem C/C++. Curitiba: CEFET-PR, 1998.
VANDERLEI, R. Dias. Resistência dos Materiais. Universidade Estadual de
Maringá. Disponível em: <www.gdace.uem.br/romel/MDidatico/.../Capitulo4-
DeflexaodeVigas.pdf>. Acessado em 03 de abril de 2016.
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