Aula 2 - Teoria dos Conjuntos

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 CONCEITO PRIMITIVO 
Os conceitos de conjunto, elemento e pertinência de 
elemento ao conjunto são definidos como primitivos, ou 
seja, são aceitos sem definição. 
Intuitivamente, conjunto é um agrupamento de elementos. 
 
 REPRESENTAÇÕES DE UM CONJUNTO 
Existem basicamente três maneiras de representarmos um 
conjunto, a saber: 
I. Por Extensão (tabular) 
𝐸𝑥: 𝐴 = {0; 1; 2; 3; 4; 5; … } ; 𝐵 = { 𝑎; 𝑒; 𝑖; 𝑜; 𝑢 } 
II. Por compreensão (propriedade característica) 
𝐸𝑥: 𝐴 = { 𝑥 | 𝑥 é 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑛𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑙 } ; 
 𝐵 = { 𝑥 | 𝑥 é 𝑣𝑜𝑔𝑎𝑙 } 
III. Diagrama de Venn-Euler 
𝐸𝑥: 𝐷𝑎𝑑𝑜 𝑢𝑚 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝐴 = { 0; 2; 4; 6; 8 }, 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠: 
 
 RELAÇÃO DE PERTINÊNCIA 
As relações de pertinência ∈ 𝑒 ∉ relacionam 
um elemento a um conjunto. 
𝐸𝑥: 𝐴 = {0; 1; 2; 3; 4; 5}, podemos afirmar que: 
 1 ∈ 𝐴 
 6 ∉ 𝐴 
 RELAÇÃO DE INCLUSÃO 
As relações de inclusão ⊂ 𝑒 ⊄ relacionam dois 
conjuntos. 
 
 CONJUNTO UNIVERSO 
É o conjunto que possui todos os elementos. 
Simbolicamente teríamos ∀ 𝑥, 𝑥 ∈ 𝑈. 
 CONJUNTO UNITÁRIO 
É o conjunto no qual apenas um elemento satisfaz a 
propriedade característica. 
 CONJUNTO VAZIO 
É aquele que não possui elementos, ou seja, nenhum 
elemento satisfaz a sua propriedade característica. 
Simbolicamente: ∀ 𝑥, 𝑥 ∉ 𝑉𝑎𝑧𝑖𝑜. 𝐴 = ∅ 𝑜𝑢 𝐴 = { } 
 SUBCONJUNTOS (Inclusão) 
Um conjunto A é subconjunto de um conjunto B se, e 
somente se, todo elemento de A, pertence também a B. 
𝐴 ⊂ 𝐵 ⇔ ( ∀ 𝑥 ∈ 𝐴 ⇒ 𝑥 ∈ 𝐵 ) 
 
 Propriedades da inclusão 
P1) 𝑨 ⊂ 𝑼 
P2) 𝑨 ⊂ 𝑨 (𝑟𝑒𝑓𝑙𝑒𝑥𝑖𝑣𝑎) 
P3) (𝑨 ⊂ 𝑩 𝒆 𝑩 ⊂ 𝑫) ⟹ (𝑨 ⊂ 𝑫) (𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎) 
P4) (𝑨 ⊂ 𝑩 𝒆 𝑩 ⊂ 𝑨) ⟺ (𝑨 = 𝑩)(𝑎𝑛𝑡𝑖 − 𝑠𝑖𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎) 
P5) ∅ ⊂ 𝑨; ∀𝑨 
P6) 𝑆𝑒 𝑨 possui 𝒏 elementos, então o número de 
subconjuntos de 𝑨 é 𝟐𝒏. 
O conjunto formado pelos subconjuntos de 𝑨 é chamado 
de Conjunto das Partes de 𝑨. Representamos esse 
conjunto por 𝑃(𝐴). 𝐸𝑥: 𝐴 = {1; 2; 3}, 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒: 
 𝑃(𝐴) = {∅; 𝐴; {1}; {2}; {3}; {1,2}; {1,3}; {2,3}; {1,2,3}} 
Note que o número de elementos de 𝑃(𝐴) é 8, ou seja, 
𝑃(𝐴) = 2𝑛 → 23 = 8 
 OPERAÇÕES ENTRE CONJUNTOS 
 UNIÃO (∪) 
A união de dois conjuntos 𝐴 𝑒 𝐵 é o conjunto formado por 
todos os elementos que pertencem a 𝑨 𝑜𝑢 𝑩, ou seja: 
 𝑨 ∪ 𝑩 = {𝒙 | 𝒙 ∈ 𝑨 𝒐𝒖 𝒙 ∈ 𝑩} 
 
 Propriedades da união 
P1) 𝑨 ∪ ∅ = 𝑨 
P2) 𝑨 ∪ 𝑨 = 𝑨 (𝑖𝑑𝑒𝑚𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑡𝑒) 
P3) 𝑨 ∪ 𝑩 = 𝑩 ∪ 𝑨 (𝑐𝑜𝑚𝑢𝑡𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎) 
P4) 𝑨 ∪ (𝑩 ∪ 𝑪) = (𝑨 ∪ 𝑩) ∪ 𝑪 (𝑎𝑠𝑠𝑜𝑐𝑖𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎) 
 INTERSECÇÃO (∩) 
A intersecção de dois conjuntos 𝐴 𝑒 𝐵 é o conjunto 
formado por todos os elementos comuns a 𝑨 𝑒 𝑩, ou 
seja: 
𝑨 ∩ 𝑩 = {𝒙 | 𝒙 ∈ 𝑨 𝒆 𝒙 ∈ 𝑩} 
 PRÉ - ENEM MATEMÁTICA – REVISÃO 
Prof°: Rubem Machado e-mail: rubemachado08@gmail.com TEORIA DOS CONJUNTOS - AULA 02 
 
 
 
 Propriedades da intersecção 
P1) 𝑨 ∩ ∅ = ∅ 
P2) 𝑨 ∩ 𝑨 = 𝑨 (𝑖𝑑𝑒𝑚𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑡𝑒) 
P3) 𝑨 ∩ 𝑩 = 𝑩 ∩ 𝑨 (𝑐𝑜𝑚𝑢𝑡𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎) 
P4) 𝑨 ∩ (𝑩 ∩ 𝑪) = (𝑨 ∩ 𝑩) ∩ 𝑪 (𝑎𝑠𝑠𝑜𝑐𝑖𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎) 
 Dois conjuntos 𝑨 𝑒 𝑩 são ditos disjuntos se, e 
somente se, eles não possuem elementos comuns, ou seja, 
𝑨 ∩ 𝑩 = ∅ 
 DIFERENÇA 
 A diferença de dois conjuntos 𝐴 𝑒 𝐵 é o conjunto dos 
elementos que pertencem a 𝑨, mas que não pertencem a 𝑩. 
Simbolicamente temos: 
 𝑨 − 𝑩 = {𝒙 | 𝒙 ∈ 𝑨 𝒆 𝒙 ∉ 𝑩} 
 
 Propriedades da diferença 
P1) 𝑨 − 𝑨 = ∅ 
P2) 𝑨 − ∅ = 𝑨 
P3) ∅ − 𝑨 = ∅ 
P4) 𝑺𝒆 𝑩 ⊂ 𝑨 ⇒ 𝑩 − 𝑨 = ∅ 
P5) 𝑺𝒆 𝑨 ≠ 𝑩 ⇒ (𝑨 − 𝑩) ≠ (𝑩 − 𝑨) 
Para efetuarmos 𝑨 − 𝑩 não se exige que 𝑩 ⊂ 𝑨. COMPLEMENTAR 
Considere 𝑩 subconjunto de 𝑨 ( 𝑩 ⊂ 𝑨 ). Definimos de 
𝑪𝑨
𝑩 ( lê-se complementar de 𝑩 em relação a 𝑨 ) o conjunto 
de elementos que faltam para 𝑩 se transformar em 𝑨, ou 
seja, 𝑨 − 𝑩. Simbolicamente: 𝑩 ⊂ 𝑨 ⟹ 𝑪𝑨
𝑩 = 𝑨 − 𝑩 
Podemos representar 𝑪𝑼
𝑨 = 𝑼 − 𝑨 = �̅� 
 
 Propriedades do complementar 
P1) ∅̅ = 𝑼 
P2) �̅� = ∅ 
P3) �̿� = 𝑨 
P4) 𝑺𝒆 𝒙 ∈ 𝑨 ⇒ 𝒙 ∉ �̅� | 𝑺𝒆 𝒙 ∈ �̅� ⇒ 𝒙 ∉ 𝑨 
P5) 𝑻𝒆𝒐𝒓𝒆𝒎𝒂𝒔 𝒅𝒆 𝑫𝒆 𝑴𝒐𝒓𝒈𝒂𝒏: 
𝑨 ∪ 𝑩̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ = �̅� ∩ �̅� | 𝑨 ∩ 𝑩̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ = �̅� ∪ �̅� 
 SIMPLIFICAÇÃO DE EXPRESSÕES 
P1) 𝑨 ∩ (𝑩 ∪ 𝑪) = (𝑨 ∩ 𝑩) ∪ (𝑨 ∩ 𝑪) 
P2) 𝑨 ∪ (𝑩 ∩ 𝑪) = (𝑨 ∪ 𝑩) ∩ (𝑨 ∪ 𝑪) 
P3) 𝑨 − 𝑩 = 𝑨 ∩ �̅� 
 DIFERENÇA SIMÉTRICA 
A diferença simétrica entre os conjuntos 𝑨 𝑒 𝑩 é um 
terceiro conjunto que possui elementos que 
pertençam a um único conjunto. Simbolicamente 
𝑨 ∆ 𝑩 = (𝑨 − 𝑩) ∪ (𝑩 − 𝑨) 
 
 NÚMERO DE ELEMENTOS DA UNIÃO 
 Entre dois conjuntos: 
𝒏(𝑨 ∪ 𝑩) = 𝒏(𝑨) + 𝒏(𝑩) − 𝒏(𝑨 ∩ 𝑩) 
 Entre três conjuntos: 
𝒏(𝑨 ∪ 𝑩 ∪ 𝑪) = 𝒏(𝑨) + 𝒏(𝑩) + 𝒏(𝑪) − 𝒏(𝑨 ∩ 𝑩) −
 𝒏(𝑩 ∩ 𝑪) − 𝒏(𝑨 ∩ 𝑪) + 𝒏(𝑨 ∩ 𝑩 ∩ 𝑪) 
 CONJUNTOS NUMÉRICOS 
1. Conjunto dos Números Naturais (ℕ) 
 ℕ = {𝟎; 𝟏; 𝟐; 𝟑; 𝟒; 𝟓; … } 
 ℕ∗ = {1; 2; 3; 4; 5; … } 
 
2. Conjunto dos Números Inteiros (ℤ) 
ℤ = {… ; −3; −2; −1; 0; 1; 2; 3; … } 
Podemos citar alguns subconjuntos dos inteiros: 
ℤ∗ = 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑖𝑟𝑜𝑠 𝑛ã𝑜 𝑛𝑢𝑙𝑜𝑠 → {… ; −3; −2; −1; 1; 2; 3; … } 
ℤ+ = 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑖𝑟𝑜𝑠 𝑛ã𝑜 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 → {0; 1; 2; 3; … } 
ℤ− = 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑖𝑟𝑜𝑠 𝑛ã𝑜 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜𝑠 → {… ; −3; −2; −1; 0} 
 
3. Conjunto dos Números Racionais (ℚ) 
 
 
4. Conjunto dos Números Irracionais (𝕀) 
𝕀 = Aos elementos cuja representação decimal é infinita e 
não periódica. 
5. Conjunto dos Números Reais (ℝ) 
O conjunto números reais, é tal que ℝ = ℚ ∪ 𝕀 
 
∀ 𝑎, 𝑏 ∈ ℕ, (𝑎 + 𝑏) ∈ ℕ 𝑒 (𝑎 ∙ 𝑏) ∈ ℕ 
∀ 𝑎, 𝑏 ∈ ℤ, (𝑎 + 𝑏) ∈ ℤ, (𝑎 ∙ 𝑏) ∈ ℤ 𝑒 (𝑎 − 𝑏) ∈ ℤ 
ℚ = {𝑥 | 𝑥 =
𝑎
𝑏
, 𝑐𝑜𝑚 𝑎 ∈ ℤ, 𝑏 ∈ ℤ∗}